Russellov paradox

Russellov paradox alebo Russellova antinómia je paradox, objavený v roku 1901 Bertrandom Russellom, ktorý ukazuje, že Cantorova intuitívna teória množín (naivná teória množín) je vnútorne sporná.

Označme S množinu všetkých množín, ktoré nie sú svojim vlastným prvkom (tj. množín, ktoré neobsahujú samých seba).

${\displaystyle S=\{X|X\notin X\}}$

Táto množina je v Cantorovom systéme dobre definovaná, tzn. teraz by malo byť pre ľubovoľnú množinu M možno rozhodnúť, či táto množina M je alebo nie je prvkom množiny S. Toto však sa nedá rozhodnúť v prípade samotnej množiny S. Obe možnosti totiž vedú k sporu s ich definíciou. (Ak S nie je svojim vlastným prvkom, mala by podľa definície do S patriť; ak však S je svojim vlastným prvkom, potom podľa definície do S by patriť nemala.)

Táto antinómia má radu populárnych variant, ktoré ju používajú v rôznych jednoduchšie predstaviteľných kontextoch.

V malom meste je jediný holič, ktorý holí práve tých mužov v meste, ktorí sa neholia sami. Také mesto však nemôže existovať, lebo tu opäť dochádza ku sporu: Holí holič sám seba? Sám seba má holiť práve vtedy, kedy sám seba holiť nebude.

Paradox sa dá aplikovať i na Wikipédiu: Vo Wikipédii existuje článok Zoznam zoznamov, obsahujúci zoznam všetkých článkov, ktoré sú zoznamy. Ak by však existoval článok nazvaný Zoznam všetkých zoznamov, ktoré sa neobsahujú, musí byť buď neúplný (ak neobsahuje sám seba), alebo chybný (ak sám sebe obsahuje).

Tieto vysvetľujúce varianty Russelovho paradoxu majú oproti jeho exaktnej množinovej verzii istú výhodu: paradoxu je možné sa vyhnúť tým, že sa daný jav odmietne. V paradoxe holiča sa prehlási, že taký holič (či mesto) jednoducho nemôže existovať, vo Wikipédii žiadny taký článok takisto neexistuje atď. Význam Russelovho paradoxu spočíva v tom, že v matematike sa nedá odmietnuť existencia nejakej množiny, ktorá plne vyhovuje definícii, len preto, že vedie k sporným záverom. Odmietnuť existenciu takej množiny totiž znamená, že sama príslušná definícia množiny je nevyhovujúca.

Po predložení tohoto paradoxu bola intuitívna teória množín pretvorená na axiomatickú teóriu množín, pričom boli axiómy formulované tak, aby sa tomuto a podobným problémom predišlo. Sám Russell, spolu s Alfredom Whiteheadom vytvorili vo svojej knihe Principia Mathematica komplikovaný systém typov, ktoré sa známym paradoxom vyhýbal, ale nebol širšie prijatý. Dnes sa najčastejšie používa Zermelo-Fraenkelova teória množín, ktorá sa Russelovmu paradoxu vyhýba tak, že ich axiómy neumožňujú zostrojenie množiny S; S v tejto teórii nie je množina, ale vlastná trieda.

Existujú i ďalšie teórie, ktoré poskytujú riešenie Russelovho paradoxu, napr. tzv. New Foundations amerického matematika van Quina.

• Paradoxy naivnej teórie množín
• Paradox klamára
• Gödelova veta
• Problém zastavenia
• Zermelova-Fraenkelova teória množín
• Buraliho-Fortiho paradox
• Cantorov paradox