Prismă octagramică

Prismă octagramică
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform
Fețe	10 (2 octagrame regulate       8 pătrate)
Laturi (muchii)	24
Vârfuri	16
χ	2
Configurația vârfului	8/3.4.4
Simbol Wythoff	2 8/3 | 2
Simbol Schläfli	s{2,16/3} sau sr{2,8/3}
Diagramă Coxeter	sau
Grup de simetrie	D8h, [2,8], (*2.8.8), ordin 32
Grup de rotație	D8, [2,8]+, (2.8.8), ordin 16
Arie	${\displaystyle A=2A_{b}+A_{lat}}$
Volum	${\displaystyle V=A_{b}h}$
Poliedru dual	bipiramidă octagramică
Proprietăți	neconvex
Figura vârfului

În geometrie prisma octagramică face parte dintr-o familie infinită de prime neconvexe. Are 10 fețe, dintre care 8 fețe laterale pătrate și două baze octagramice regulate, 24 de laturi și 16 vârfuri.^[1] Având 10 fețe, este un tip de decaedru. Topologic este identică cu prisma octogonală.

Dacă fețele sunt toate regulate, prisma octagramică este un poliedru semiregulat, mai general, un poliedru uniform cu simbolul uniform U_78d, fiind a patra într-un set infinit de prisme formate din fețe laterale pătrate și două baze poligoane stelate regulate. Poate fi văzut ca produsul cartezian al unei octagrame regulate și al unui segment, și reprezentat prin produsul {8/3}×{}.

De observat în modelul 3D din casetă că baza octagramică are un interior ambiguu deoarece laturile sale se autointersectează. În jurul nucleului octogonal central se află opt zone triunghiulare care pot fi considerate interior sau exterior, în funcție de modul în care este definit interiorul. O definiție a interiorului unui poligon este mulțimea de puncte din care o rază pentru a ieși din perimetru traversează laturile poligonului de un număr impar de ori, caz în care aceste opt zone sunt considerate exterior al octagramei. Cealaltă definiție (uzuală) urmărește frontiera octagramei, în formă de hexadecagon concav, caz în care toate zonele sunt octagramei sunt considerate interior.

Grupul de simetrie al unei prisme decagramice drepte este D_8h^[1] de ordinul 32. Grupul de rotație este D₈ de ordinul 16.

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unei prisme octagramice cu lungimea tuturor laturilor egală cu 1 sunt:^[1]

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right),}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right).}$

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturilor a (care sunt toate egale) este:^[1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {5-2{\sqrt {2}}}}{2}}\,a\approx 0,736813\,a.}$

Ca la toate prismele, aria totală A este de două ori aria bazei (A_b) plus aria laterală, iar volumul V este produsul dintre aria bazei și înălțimea (distanța dintre planele celor două baze) h.

Aria bazei este aria octagramei regulate {8/3} pentru lungimea laturii a este:^[2]

${\displaystyle A_{b}=(6{\sqrt {2}}-8)\,a^{2}\approx 0,485281~a^{2}}$

Perimetrul bazei este suma segmentelor de pe frontiera bazei, adică (v. figura alăturată):^[2]

${\displaystyle P=8(2-{\sqrt {2}})\,a.}$

Pentru a = 1, perimetrul bazei este ≈4,686292.

Aria laterală a prismei cu înălțimea de lungime h este:^[2]

${\displaystyle A_{lat}=Ph,}$

iar aria totală este:^[2]

${\displaystyle A=2A_{b}+A_{lat}}$

Pentru a = 1 și h = 1 aria totală este ≈ 5,656855

Volumul este:^[2]

${\displaystyle V=A_{b}h.}$

Pentru a = 1 și h = 1 volumul este ≈0,485281.

Poliedrul dual al prismei octagramice este bipiramida octagramică.^[1]

• Lista poliedrelor uniforme
• Poliedru prismatic uniform

• Materiale media legate de prismă octagramică la Wikimedia Commons

Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: stop

v • d • m Poliedru (categorie) 1–10 fețe Monoedru (1) · Diedru (2) · Triedru (3) · Tetraedru (4) · Pentaedru (5) · Hexaedru (6) · Heptaedru (7) · Octaedru (8) · Eneaedru (9) · Decaedru (10) 2–20 fețe Endecaedru (11) · Dodecaedru (12) · Tridecaedru (13) · Tetradecaedru (14) · Pentadecaedru (15) · Hexadecaedru (16) · Heptadecaedru (17) · Octadecaedru (18) · Eneadecaedru (19) · Icosaedru (20) >20 fețe Icositetraedru (24)  · Triacontaedru (30) · Icosidodecaedru (32) · Hexacontaedru (60) · Eneacontaedru (90) · Hectotriadioedru (132) · Apeiroedru (∞) (regulat) Noțiuni de bază față · latură · vârf · poliedru uniform (poliedru regulat · poliedru cvasiregulat · poliedru semiregulat) Poliedre convexe poliedru platonic · poliedru arhimedic · poliedru Catalan · poliedru Johnson Poliedre neconvexe poliedru Kepler–Poinsot · poliedru stelat (poliedru stelat uniform) · hemipoliedru Poliedre prismatice prismă · antiprismă · trunchi · cupolă · pană · piramidă · paralelipiped