Spectrul unei matrice

În matematică spectrul unei matrice este mulțimea valorilor proprii ale matricei.^[1][2][3][4] În general, dacă ${\displaystyle T\colon V\to V}$ este un operator liniar pe un spațiu vectorial finit dimensional, spectrul său este mulțimea de scalari ${\displaystyle \lambda }$ astfel încât ${\displaystyle T-\lambda I}$ nu este o funcție inversabilă. Determinantul matricei este egal cu produsul valorilor sale proprii. Similar, urma matricei este egală cu suma valorilor sale proprii.^[5][6][7] Din acest punct de vedere, se poate defini pseudodeterminantul unei matrice singulare ca fiind produsul valorilor proprii diferite de zero (densitatea distribuției normale multivariate^⁠(d) are nevoie de această noțiune).

Fie V un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste un corp K și T : V → V o aplicație liniară. Spectrul lui, presupus a fi că T, notat σ_T, este multimulțimea rădăcinilor polinomului caracteristic^⁠(d) al lui T. Astfel, elementele spectrului sunt tocmai valorile proprii ale lui T, iar multiplicitatea unei valori proprii λ din spectru este egală cu dimensiunea spațiului valorilor proprii generalizat^⁠(d) a lui T pentru λ.

Se alege o bază B a lui V peste K și fie M ∈ Mat_K(V) o matrice. Se definește aplicația liniară T : V → V punctual prin Tx = Mx, unde în partea dreaptă x este interpretat ca fiind un vector coloană, iar M acționează asupra lui x prin înmulțire matricială. Acum se spune că x ∈ V este un vector propriu al lui M dacă x este un vector propriu al lui T. Similar, λ ∈ K este o valoare proprie a lui M dacă este o valoare proprie a lui T, și cu aceeași multiplicitate, iar spectrul lui M, notat σ_M, este multimulțimea tuturor acestor valori proprii.

Descompunerea spectrală^⁠(d) a unei matrice diagonalizabile^⁠(d) este o descompunere^⁠(d) a unei matrice diagonalizabile într-o formă canonică specifică, prin care matricea este reprezentată în termeni de vectori și valori proprii.

Raza spectrală^⁠(d) a unei matrice pătrate este cea mai mare valoare absolută a valorilor sale proprii.^[1] În teoria spectrală^⁠(d), raza spectrală a unui operator liniar mărginit^⁠(d) este supremum^⁠(d) al valorilor absolute ale elementelor din spectrul acelui operator.

• en Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (ed. 3rd), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8 
• en Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 
• en Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (ed. 3rd), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8 
• en Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (ed. 2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646 

Portal Matematică