Simetrie octaedrică

Grupuri punctuale în spațiul tridimensional

Simetrie involutivă Cs, (*) [ ] =	Simetrie ciclică Cnv, (*nn) [n] =	Simetrie diedrală Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup poliedric, [n,3], (*n32)
Simetrie tetraedrică Td, (*332) [3,3] =	Simetrie octaedrică Oh, (*432) [4,3] =	Simetrie icosaedrică Ih, (*532) [5,3] =

Simetria octaedrică este cea a octaedrului regulat, care are 24 de simetrii de rotație (care conservă orientarea) și 48 de simetrii în total. Acestea includ transformări care combină o reflexie și o rotație. Un cub are același set de simetrii, deoarece este dualul octaedrului.

Grupul de simetrii care conservă orientarea este S₄, grupul simetric^⁠(d) sau grupul de permutări a patru obiecte, deoarece există exact o astfel de simetrie pentru fiecare permutare a patru diagonale mari ale cubului.

Simetria octaedrică chirală, respectiv completă (sau achirală) sunt simetrii de puncte discrete (sau, echivalent, simetrii pe sferă) cu cele mai mari grupuri de simetrie compatibile cu simetria de translație. Ele se numără printre grupurile de puncte cristalografice ale sistemului cristalin cubic.

Exemple
${\displaystyle (0,0)=0}$	${\displaystyle (3,0)=7}$	${\displaystyle (0,3)=3}$	${\displaystyle (7,1)=1'}$	${\displaystyle (4,5)=9'}$
${\displaystyle (7,0)=0'}$	${\displaystyle (4,0)=7'}$	${\displaystyle (7,3)=3'}$	${\displaystyle (0,1)=1}$	${\displaystyle (3,5)=9}$

Ca grup hiperoctaedric^⁠(d) de dimensiunea 3, grupul octaedric complet este produsul în coroană^⁠(d) ${\displaystyle S_{2}\wr S_{3}\simeq S_{2}^{3}\rtimes S_{3}}$,
și un natural modalitatea de a-și identifica elementele este ca perechi ${\displaystyle (m,n)}$ cu ${\displaystyle m\in [0,2^{3})}$ și ${\displaystyle n\in [0,3!)}$.
Dar fiindcă este și produsul direct^⁠(d) ${\displaystyle S_{4}\times S_{2}}$, se pot identifica elementele subgrupului tetraedric T_d ca ${\displaystyle a\in [0,4!)}$ și inversiunile lor ca ${\displaystyle a'}$.

Deci de exemplu identitatea ${\displaystyle (0,0)}$ este reprezentată ca ${\displaystyle 0}$ iar inversiunea ${\displaystyle (7,0)}$ ca ${\displaystyle 0'}$.
${\displaystyle (3,1)}$ este reprezentat ca ${\displaystyle 6}$ iar ${\displaystyle (4,1)}$ ca ${\displaystyle 6'}$.

O rotație improprie este o compunere de rotație și reflexie.

Ilustrări de rotații improprii
Reflexia ${\displaystyle 7'}$ aplicată rotației ${\displaystyle 4}$ de 120° dă rotația improprie ${\displaystyle 8'}$ de 60°. ${\displaystyle 7'\circ 4=8'}$
Reflexia ${\displaystyle 7'}$ aplicată rotației ${\displaystyle 22'}$ de 90° dă rotația improprie ${\displaystyle 17}$ de 90° ${\displaystyle 17}$. ${\displaystyle 7'\circ 22'=17}$

O, 432 sau [4,3]⁺ de ordinul 24, este simetrie octaedrică chirală sau simetrie octaedrică de rotație. Acest grup este la fel cu cel al simetriei tetraedrice chirale T, dar axele C₂ sunt acum axe C₄ și, în plus, există 6 axe C₂, prin punctele de mijloc ale laturilor (muchiilor) cubului. T_d și O sunt izomorfe ca grupuri abstracte: ambele corespund lui S₄, grupul simetric de 4 obiecte. T_d este reuniunea lui T cu mulțimea obținută prin compunerea fiecărui element al lui O \ T cu inversiunea. O este grupul de rotație al cubului și al octaedrului.

Axe de rotație
C4	C3	C2
3	4	6

Simetrie octaedrică chirală

Proiecție ortogonală	Proiecție stereografică
cu 2 poziții	cu 4 poziții	cu 3 poziții	cu 2 poziții

O_h, *432, [4,3], sau m3m de ordinul 48 - simetrie octaedrică completă (sau simetrie octaedrică achirală). Acest grup are aceleași axe de rotație ca și O, dar cu planele de oglindire atât ale lui T_d, cât și ale lui T_h. Acest grup este izomorf cu S₄·C₂ și este grupul de simetrie completă al cubului și octaedrului. Este grupul hiperoctaedric^⁠(d) pentru n = 3.

Compus de cub și octaedru

Fiecare față a dodecaedrului disdyakis este un domeniu fundamental.

Grupul octaedric O_h cu domeniul fundamental

Cu axele cu 4 poziții ca axe de coordonate, un domeniu fundamental al lui O_h este dat de 0 ≤ x ≤ y ≤ z. Un obiect cu această simetrie este caracterizat de partea obiectului din domeniul fundamental, de exemplu cubul este dat de z = 1, iar octaedrul de x + y + z = 1 (sau inegalitățile corespunzătoare, pentru a obține poliedrul în loc de suprafața sa). ax + by + cz = 1 dă un poliedru cu 48 de fețe, de exemplu dodecaedrul disdyakis.

Cele 9 drepte de oglindire ale simetriei octaedrice complete pot fi împărțite în două subgrupuri de 3 și 6 (trasate cu violet și roșu), reprezentând două subsimetrii ortogonale: D_2h și T_d. Simetria D_2h poate fi dublată la D_4h prin restaurarea a 2 oglinzi dintr-una din cele trei orientări.

Simetrie octaedrică și subgrupuri de reflexie
Proiecție ortogonală Proiecție stereografică cu 4 poziții cu 3 poziții cu 2 poziții Oh, [4,3], , simetrie octaedrică completă (3+6 oglindiri) Td, [3,3]=[1+,4,3], = , subgrupul tetraedric (6 oglindiri) C3v, [3], , subgrupul diedral (3 oglindiri)	Proiecție ortogonală Proiecție stereografică cu 4 poziții cu 3 poziții cu 2 poziții D4h, [4,2], subgrupul diedral (1+2+2 oglindiri) D2h, [2,2]=[4,3*], = subgrupul diedral (1+1+1 oglindiri) C4v, [4], , subgrupul diedral (2+2 oglindiri)

Fie mulțimea tuturor matricilor permutare 3×3 la care se atribuie un semn + sau − fiecăruia dintre cei trei 1. Există ${\displaystyle 3!=6}$ permutări și ${\displaystyle 2^{3}=8}$ combinații de semne pentru un total de 48 de matrici, dând grupul octaedric complet. 24 dintre aceste matrici au determinantul +1; Acestea sunt matricile de rotație ale grupului octaedric chiral. Celelalte 24 de matrici au determinantul −1 și corespund unei reflexii sau inversiuni.

Pentru simetria octaedrică sunt necesare trei generatori de reflexii, care reprezintă cele trei oglinzi ale unei diagrame Coxeter–Dynkin. Produsul reflexiilor produce 3 generatori de rotații.

[4,3],

	Reflexii			Rotații			Rotație improprie
Generatori	R0	R1	R2	R0R1	R1R2	R0R2	R0R1R2
Grup
Ordin	2	2	2	4	3	2	6
Matrice	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$

Schoenflies	Coxeter		Orbifold	Herm.–Maug.	Structură	Ciclic	Ordin	Index
Oh	[4,3]		*432	m3m	S4×S2		48	1
Td	[3,3]		*332	43m	S4		24	2
D4h	[2,4]		*224	4/mmm	D2×D8		16	3
D2h	[2,2]		*222	mmm	D23=D2×D4		8	6
C4v	[4]		*44	4mm	D8		8	6
C3v	[3]		*33	3m	D6=S3		6	8
C2v	[2]		*22	mm2	D22=D4		4	12
Cs=C1v	[ ]		*	2 or m	D2		2	24
Th	[3+,4]		3*2	m3	A4×S2		24	2
C4h	[4+,2]		4*	4/m	Z4×D2		8	6
D3d	[2+,6]		2*3	3m	D12=Z2×D6		12	4
D2d	[2+,4]		2*2	42m	D8		8	6
C2h = D1d	[2+,2]		2*	2/m	Z2×D2		4	12
S6	[2+,6+]		3×	3	Z6=Z2×Z3		6	8
S4	[2+,4+]		2×	4	Z4		4	12
S2	[2+,2+]		×	1	S2		2	24
O	[4,3]+		432	432	S4		24	2
T	[3,3]+		332	23	A4		12	4
D4	[2,4]+		224	422	D8		8	6
D3	[2,3]+		223	322	D6=S3		6	8
D2	[2,2]+		222	222	D4=Z22		4	12
C4	[4]+		44	4	Z4		4	12
C3	[3]+		33	3	Z3=A3		3	16
C2	[2]+		22	2	Z2		2	24
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	48

Subrupuri octaedrice în notația Coxeter[1]

O

T_d

T_h

                                                        Grafuri ciclice ale subgrupurilor de ordinul 24

Subgrupuri de rotații

Subgrupuri de reflexii

Subgrupuri care conțin inversiune

Cubul are 48 de izometrii (elemente de simetrie), formând grupul de simetrie O_h, izomorf cu S₄ × Z₂. Ele pot fi clasificate după cum urmează:

• O (identitatea și 23 de rotații proprii) cu următoarele clase de conjugare^⁠(d) (în paranteze sunt date permutările diagonalelor cubului și reprezentarea cuaternionului unitar^⁠(d)):

• identitatea (identitate; 1)
• rotație în jurul unei axe de la centrul unei fețe la centrul feței opuse cu un unghi de 90°: 3 axe, 2 poziții per axă, în total 6 ((1 2 3 4) etc.; ((1 ± i) / √2 etc.)
• la fel cu un unghi de 180°: 3 axe, 1 poziție per axă, în total 3 ((1 2) (3 4) etc.; i, j, k)
• rotație în jurul unei axe de la centrul unei muchii până la centrul muchiei opuse cu un unghi de 180°: 6 axe, 1 poziție per axă, în total 6 ((1 2) etc.; ((i ± j) / √2 etc.)
• rotație în jurul unei diagonale mari cu un unghi de rotație de 120°: 4 axe, 2 poziții per axă, în total 8 ((1 2 3) etc.; (1 ± i ± j ± k) / 2)

• Același lucru cu inversiune (x este aplicat pe −x) (de asemenea, 24 de izometrii). De reținut că rotația cu un unghi de 180° în jurul unei axe combinată cu inversiunea este doar o reflexie în planul perpendicular. Compunerea inversiunii cu rotația în jurul diagonalei mari cu un unghi de 120° este o rotație în jurul diagonalei mari cu un unghi de 60°, compusă cu reflexia în planul perpendicular (rotația în sine nu aplică cubul pe el însuși; intersecția planului de reflexie cu cubul este un hexagon regulat).

O izometrie a cubului poate fi identificată în diferite moduri:

• prin trei fețe adiacente date (de exemplu 1, 2 și 3 pe un zar);
• prin imaginea unui cub cu un marcaj nesimetric pe o singură față: fața cu marcajul, fie că este normală sau o reflexie, și orientarea;
• printr-o permutare a celor patru diagonale ale corpului (este posibilă oricare dintre cele 24 de permutări), compusă sau nu cu o inversiune.

Pentru cuburile colorate sau marcate (cum ar fi zarurile), grupul de simetrie este un subgrup al O_h.

Exemple:

• C_4v, [4], (*422): dacă o față are o culoare diferită (sau două fețe opuse au culori diferite una de cealaltă și față de celelalte patru), cubul are 8 izometrii, așa cum are un pătrat în spațiul bidimensional.
• D_2h, [2,2], (*222): dacă fețele opuse au aceleași culori, diferite pentru fiecare set de două, cubul are 8 izometrii, ca un paralelipiped.
• D_4h, [4,2], (*422): dacă două fețe opuse au aceeași culoare și toate celelalte fețe au o culoare diferită, cubul are 16 izometrii, ca o prismă pătrată.
• C_2v, [2], (*22):

• dacă două fețe adiacente au aceeași culoare și toate celelalte fețe au o culoare diferită, cubul are 4 izometrii.
• dacă trei fețe, dintre care două opuse au o culoare și celelalte trei o altă culoare, cubul are 4 izometrii.
• dacă două fețe opuse au aceeași culoare și alte două fețe opuse de asemenea, iar ultimele două au culori diferite, cubul are 4 izometrii.

• C_s, [ ], (*):

• dacă două fețe adiacente au culori diferite, iar celelalte patru au o a treia culoare, cubul are 2 izometrii.
• dacă două fețe opuse au aceeași culoare și toate celelalte fețe au culori diferite, cubul are 2 izometrii.

• C_3v, [3], (*33): dacă trei fețe, dintre care niciuna opusa față de alta, au o culoare și celelalte trei o altă culoare, cubul are 6 izometrii.

Pentru unele subgrupuri mai mari, un cub cu acel grup ca grup de simetrie nu este posibil doar cu colorarea fețelor (o culoare pe întreaga față). Este necesară desenarea unui model pe fețe.

Exemple:

• D_2d, [2⁺,4], (2*2): dacă pe o față există un segment care împarte fața în două dreptunghiuri egale, iar pe fața opusă este un segment orientat perpendicular pe primul, cubul are 8 izometrii; există un plan de simetrie și o simetrie de rotație în două poziții cu o axă la un unghi de 45° față de acel plan și, ca urmare, există și un alt plan de simetrie, perpendicular pe primul, și o altă axă de simetrie de rotație cu două poziții, perpendiculară pe prima.
• T_h, [3⁺,4], (3*2): dacă pe fiecare față există segment care împarte fața în două dreptunghiuri egale, astfel încât segmentele de pe fețele adiacente nu se întâlnesc pe laturi (muchii), cubul are 24 de izometrii: permutările pare ale diagonalelor corpului și aceleași permutări compuse cu inversiunea (x este aplicat pe −x).
• T_d, [3,3], (*332): dacă cubul este format din opt cuburi mai mici, patru albe și patru negre, puse alternativ în toate cele trei direcții standard, cubul are 24 de izometrii: permutările pare ale diagonalelor corpului și inversările celorlalte rotații (proprii).
• T, [3,3]⁺, (332): dacă fiecare față are același model cu simetrie de rotație de două ori, să spunem litera S, astfel încât pe toate laturile un vârf al unui S întâlnește o laterală a altui S, cubul are 12 izometrii: permutările pare ale diagonalelor corpului.

Simetria completă a cubului, O_h, [4,3], (*432), este conservată dacă și numai dacă toate fețele au același model astfel încât să conserve simetria completă a pătratului, acesta având grupul de simetrie, Dih₄, [4], de ordinul 8.

Simetria completă a cubului sub rotații proprii, O, [4,3]⁺, (432), este conservată dacă și numai dacă toate fețele au același model cu simetrie de rotație cu 4 poziții^⁠(d), Z₄, [4]⁺.

În teoria suprafeței Riemann^⁠(d), suprafața Bolza^⁠(d), numită uneori curba Bolza, este obținută ca acoperire dublă ramificată a sferei Riemann, cu locul de ramificare la setul de vârfuri ale octaedrului regulat înscris. Grupul său de automorfism include involuția hipereliptică care inversează cele două straturi ale acoperirii. Involuția hipereliptică dă tocmai grupul de simetrii al octaedrului.

Clasă	Nume	Imagine	Fețe	Laturi	Vârfuri	Numele dualului	Imagine
Poliedru arhimedic (Poliedru Catalan)	cub snub		38	60	24	icositetraedru pentagonal

Clasă	Nume	Imagine	Fețe	Laturi	Vârfuri	Numele dualului	Imagine
Poliedru platonic	Cub		6	12	8	Octaedru
Poliedru arhimedic (dual poliedru Catalan)	Cuboctaedru		14	24	12	Dodecaedru rombic
	Cub trunchiat		14	36	24	Octaedru triakis
	Octaedru trunchiat		14	36	24	Hexaedru tetrakis
	Rombicuboctaedru		26	48	24	Icositetraedru romboidal
	Cuboctaedru trunchiat		26	72	48	Dodecaedru disdyakis
Compus poliedric regulat	Stella octangula		8	12	8	Autodual
	Cub și octaedru		14	24	14	Autodual

• en Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5
• en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
• en Norman Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

• Simetrie tetraedrică
• Simetrie icosaedrică

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Octahedral group la MathWorld.
• en Groupprops: Direct product of S4 and Z2