0の2乗は0、0の1乗は0、0の0.1乗は0、0の0.01乗は0･･･と続きますが、0の0乗が1になるのは何故でしょうか？また、0のn乗においてn→0の極限をとることはできるのでしょうか？

「aの0乗=1」というのは基本的に定義（決めごと）です。

これを決めないと、－1乗が、1/aとはならなくなってしまいますので、必要です。

△乗というのは、1にaを△回かけると考えるのが一番良いと思います。

ここから、0の0乗=1になってしまいます。

0に関して考えれば、△乗というのは、1に0を△回かけるということですので、△＝0出ない限りは、必ず0になってしまいます。

それに対して0乗とは、何も掛けないということですので、根本的に違ってしまいます。

n→0の極限をとっても0にならない限りは、答えは0となります。0にしてしまえば、答えは1になりますし、収束することがないので、極限は取れないと考えます。

■０の０乗＝１……かな？

http://oshiete.eibi.co.jp/kotaeru.php3?q=1297649

らしいです。

＞logをとって極限をとるのがやりやすい

他の方も答えられているとおり、0の0乗は 1ではなく不定です。

あと、言葉尻をとらえるようですが:

0のn乗においてn→0の極限をとることはできるのでしょうか？

極限をとることはできますよ。

ただ、極限値があったからといって、関数の n = 0 の値にはなりません。

そういうことが期待できるのは、その関数が 0 において連続な場合のみです (i.e. 0^n は n = 0 において連続ではない) 。