Distribuição normal

 

 

Obra sobre o teorema central do limite publicada em 1840.

Uma das primeiras aparições da distribuição normal ocorreu em 1733 com Abraham de Moivre com o aprofundamento do estudo de fatorial ${\displaystyle n!}$  quando considerado um jogo de cara ou coroa.^[9] Em 1756, ele publicou A Doutrina das Chances, em que a distribuição normal aparece como o limite de uma distribuição binomial, o que originaria o teorema central do limite.^[10]

Em 1777, Pierre-Simon Laplace retomou o trabalho e obteve uma boa aproximação do erro entre a distribuição normal e a distribuição binomial em razão da função gama de Euler.^[9] Em seu livro publicado em 1781, Laplace publica uma primeira tabela da distribuição normal. Em 1809, Carl Friedrich Gauss assimila os erros da observação na astronomia à curva, erros da densidade da distribuição normal.^[10]

A distribuição normal é totalmente definida quando o primeiro teorema central do limite (chamado então teorema de Laplace) é elaborado por Laplace em 1821.^[10] O nome normal é dado por Henri Poincaré no fim do século XIX.^[11] A distribuição normal também pode ser chamada de distribuição de Gauss ou distribuição de Laplace–Gauss,^[12] de acordo com sua autoria. A denominação segunda distribuição de Laplace também é usada ocasionalmente.^[13][14]

A distribuição normal é estudada frequentemente. Por exemplo, novas tabelas digitais foram publicadas por Egon Sharpe Pearson em 1948, pelo National Bureau of Standards em 1952 e por Greenwood e Hartley em 1958.^[15][16]

Existe uma infinidade de distribuições normais, cada uma com sua própria média e desvio padrão. A distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1 é chamada de distribuição normal padrão.^[17] Ela é uma distribuição de probabilidade (uma medida ${\displaystyle N}$ , de massa total unitária) unidimensional (com suporte real ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ ).^[18] É uma distribuição absolutamente contínua (a medida é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue).

Em outras palavras, existe uma densidade de probabilidade muitas vezes denotada como ${\displaystyle \varphi }$  para a distribuição normal padrão tal que: ${\displaystyle N(dx)=\varphi (x)dx}$ . É generalizada para a distribuição normal multivariada. A distribuição normal padrão também pode ser chamada de distribuição normal centrada e reduzida.^[19] A escala horizontal do gráfico da distribuição normal padrão corresponde ao escore-z que é uma medida de posição que indica o número de desvios padrão em que um valor se encontra a partir da média. Podemos transformar um valor ${\displaystyle x}$  em escore-z usando a fórmula:

^[20]

${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }}$  Arredondar para o centésimo mais próximo

Quando um valor de uma variável aleatória ${\displaystyle x}$  distribuída normalmente é transformado em um escore-z, a distribuição de ${\displaystyle z}$  será uma distribuição normal padrão. Após essa transformação, a área que recai no intervalo ${\textstyle (x_{1};x_{2})}$  sob a curva normal padrão é a mesma que aquela sob a curva normal padrão no correspondente intervalo ${\textstyle (z_{1};z_{2})}$ .^[20]

1. A área acumulada é próxima de 0 para escores-z próximos a z=-3,49.
2. A área acumulada aumenta conforme os escores-z aumentam.
3. A área acumulada para z=0 é 0,5000.
4. A área acumulada é próxima a 1 para escores-z próximos a z=3,49.

 

A densidade da distribuição normal padrão é dada pela função ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ definida por ${\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\;\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}$ , para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ .^[21] Esta distribuição é chamada centrada porque o valor do seu momento de ordem 1 (esperança) é 0 e reduzida porque o valor do seu momento de ordem 2 (variância) é 1, assim como o seu desvio padrão. O gráfico da densidade ${\displaystyle \varphi }$  é chamado função gaussiana, curva de Gauss ou curva em forma de

sino. A distribuição normal é denotada pela letra ${\displaystyle N}$ . Uma variável aleatória ${\displaystyle X}$  que segue uma distribuição normal padrão é denotada como ${\displaystyle X\sim N(0,1)}$ .^[22]

Seguem algumas propriedades sobre a função densidade:

• O cálculo da integral de Gauss permite demonstrar que a função ${\displaystyle \varphi }$  é uma densidade de probabilidade pela fórmula ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {exp} (-{\frac {1}{2}}t^{2})\mathrm {d} t={\sqrt {2\,\pi }}}$ .
• É contínua, uniformemente limitada e par.^[23]
• O máximo da função ${\displaystyle \varphi }$  é atingido na média 0 e de valor ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ .^[23]
• Verifica ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\varphi (x)=\lim _{x\rightarrow -\infty }\varphi (x)=0}$ .^[24]
• A densidade ${\displaystyle \varphi }$  é infinitamente derivável. Uma indução matemática permite obter a fórmula para a ${\displaystyle n}$ -ésima derivada de ${\displaystyle \varphi }$ : ${\displaystyle \varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\varphi (x)}$ , em que ${\displaystyle H_{n}}$  é o ${\displaystyle n}$ –ésimo polinômio de Hermite.^[25]
• A densidade possui dois pontos de inflexão, em 1 e em –1. Estes são os pontos em que a segunda derivada ${\displaystyle \varphi ''}$  se anula e muda de sinal. Os dois pontos são aproximadamente três quintos da altura total.^[18]

 

Historicamente a distribuição normal aparece como a distribuição limite no teorema central do limite, usando a função de distribuição cumulativa. A distribuição normal é a distribuição de probabilidade, em que a função de distribuição é dada por ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ , definida por

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t}$ , para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ . Ela fornece a probabilidade de uma variável aleatória de distribuição normal pertencer a

um intervalo fechado ${\displaystyle [a,b]}$ , ${\displaystyle \mathbb {P} (X\in [a,b])=\Phi (b)-\Phi (a)}$ .^[26]

Seguem algumas propriedades sobre a função de distribuição:

• Não existe uma expressão analítica para a função de distribuição ${\displaystyle \Phi }$ . Isto é, não é expressa a partir de funções usuais, mas torna–se uma função usual. Para obter os valores de probabilidade ${\displaystyle \Phi (x)=\mathbb {P} (X\leq x)}$  é preciso aproximar esta função de outras funções usuais gerando a tabela de valores.^[27]
• Pode ser expressa em função da função erro por meio das seguintes fórmulas equivalentes ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$  e ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1}$ .^[28]
• É infinitamente derivável e verifica ${\displaystyle \Phi '(x)=\varphi (x)}$ . A fórmula equivalente ${\displaystyle \mathrm {d} \Phi (x)=\varphi (x)\mathrm {d} x}$  permite definir a integral de Lebesgue–Stieltjes com relação à distribuição normal.^[29]
• É absolutamente contínua e estritamente crescente, sendo uma bijeção de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  no intervalo aberto ${\displaystyle ]0,1[}$ .^[30] O recíproco ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$  é chamado de função inversa da função distribuição acumulada da distribuição normal. Por exemplo, esta função é utilizada pelo modelo probit.^[31]
• Pela paridade da distribuição, ${\displaystyle \Phi (-x)=1-\Phi (x)}$ . Portanto, ${\displaystyle \Phi (0)={\frac {1}{2}}}$ . Isso mostra que a mediana da distribuição normal padrão é 0.^[30]

 

A caracterização da distribuição normal pela função característica tem o objetivo de demonstrar certas propriedades como a estabilidade da soma e o teorema central do limite. A função característica de distribuição normal padrão é dada por

${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$  e definida por ${\displaystyle \phi (t)={\rm {e}}^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$ , para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ .^[32][33] Em grego existem duas variações para a letra phi minúscula. O ${\displaystyle \phi }$  utilizado agora é diferente do ${\displaystyle \varphi }$  utilizado no início do texto. Isto é, são duas notações diferentes para phi minúsculo.

Esta função característica é proporcional à densidade da distribuição padrão. Ela permite demonstrar certas propriedades como a estabilidade por adição e o teorema central do limite.^[34]

Seguem algumas propriedades sobre a função de distribuição:

• A função característica da distribuição normal pode ser obtida a partir da função densidade pelas igualdades ${\displaystyle \phi (t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{{\rm {i}}tx}\mathrm {d} \Phi (x)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{{\rm {i}}tx-{\frac {x^{2}}{2}}}\mathrm {d} x={\rm {e}}^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$ .^[26]
• Se uma variável aleatória ${\displaystyle X}$  segue uma distribuição normal padrão da função característica ${\displaystyle \phi }$  definida acima, então a transformação linear ${\displaystyle Y=aX+b}$  admite a função característica ${\displaystyle \phi _{Y}(t)={\rm {e}}^{{\rm {i}}bt}\phi (at)}$ . É uma variável aleatória com distribuição normal de média ${\displaystyle b}$  e variância ${\displaystyle a^{2}}$ .^[35]

Uma outra maneira de definir a distribuição normal padrão é pela utilização da função geradora de momentos. É a distribuição de probabilidade, em que a função geradora de momentos é dada por ${\displaystyle M:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$  e definida por^[36] ${\displaystyle M(t)={\rm {e}}^{\frac {t^{2}}{2}}}$ , para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ . O objetivo é calcular os momentos da distribuição normal.^[37]

Seguem algumas propriedades sobre a função geradora de momentos:

• A função geradora de momentos da distribuição normal pode ser obtida a partir da função densidade. Seja ${\displaystyle X}$ , que segue uma distribuição normal padrão, então ${\displaystyle M(t)=\mathbb {E} [e^{tX}]={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{xt}{\rm {e}}^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{-({\frac {(x-t)^{2}-t^{2}}{2}})}\mathrm {d} x={\rm {e}}^{\frac {t^{2}}{2}}\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\mathrm {d} x={\rm {e}}^{\frac {t^{2}}{2}}}$ .^[36]
• Se uma variável aleatória ${\displaystyle X}$  segue uma distribuição normal padrão da função geradora de momentos ${\displaystyle M}$ , então a transformação linear ${\displaystyle Y=aX+b}$  admite a função geradora de momentos ${\displaystyle M_{Y}(t)={\rm {e}}^{bt}M(at)}$ . Assim, ${\displaystyle Y}$  é uma variável aleatória com distribuição normal de média ${\displaystyle b}$  e variância ${\displaystyle a^{2}}$ .^[37]

Mais usualmente que a distribuição normal padrão, a distribuição normal não centrada e não reduzida é a distribuição de probabilidade absolutamente contínua, na qual um dos quatros pontos seguintes podem ser verificados.

• A densidade de probabilidade é dada pela função ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ , definida por ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\;\pi }}}}\;\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\frac {(t-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}}}$ , para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ .^[21]
• A função de distribuição (cumulativa) é dada pela função ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ , definida por ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\;\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\frac {(t-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}}\mathrm {d} t}$ , para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ .^[38]
• A função característica é dada por ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$  , definida por ${\displaystyle \phi (t)={\rm {e}}^{\mu {\rm {i}}t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$ , para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ .^[33]
• A função geradora de momentos é dada por ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$  , definida por ${\displaystyle M(t)={\rm {e}}^{\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$ , para todo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$  ou ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$  e ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$ .^[39]

Para ${\displaystyle \sigma =0}$ , as funções de densidade e de distribuição não são definidas. Este caso corresponde a um comportamento degenerado da distribuição normal, às vezes chamada de distribuição normal imprópria. Isto é a medida de Dirac no ponto ${\displaystyle \mu }$ . O valor ${\displaystyle \mu }$  é a média da distribuição, ${\displaystyle \sigma }$  é o desvio padrão e ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  é a variância. Esta distribuição é denotada por ${\displaystyle N}$ , uma variável aleatória ${\displaystyle X}$  que segue a distribuição normal com a média ${\displaystyle \mu }$  e variância ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  é denotada por ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ .^[33]

• • Se a variável aleatória ${\displaystyle X}$  segue uma distribuição normal padrão ${\displaystyle N(0,1)}$ , então a variável aleatória ${\displaystyle \sigma X+\mu }$  segue uma distribuição normal ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$  de média ${\displaystyle \mu }$  e de variância ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ . Reciprocamente, se ${\displaystyle Y}$  segue uma distribuição normal ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ , então ${\displaystyle {\frac {Y-\mu }{\sigma }}}$  segue uma distribuição normal padrão.^[40] Em outras palavras, toda distribuição normal pode ser obtida pela translação e pela dilatação de uma distribuição normal padrão. Esta primeira propriedade permite obter a fórmula ${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq x)=\mathbb {P} \left({\frac {Y-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)=\mathbb {P} \left(X\leq {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$ .^[41] Então, é possível deduzir as propriedades da distribuição normal a partir da distribuição normal centrada reduzida e vice–versa. A variável ${\displaystyle {\frac {Y-\mu }{\sigma }}}$  às vezes é chamada de padronização de ${\displaystyle Y}$  ou de variável padrão ${\displaystyle Y}$ .^[42]
  • A densidade ${\displaystyle f}$  é simétrica em relação à ${\displaystyle \mu }$ .^[23]
  • O máximo da função ${\displaystyle f}$  é atingido em ${\displaystyle \mu }$ , com valor ${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$ .^[23]
  • Desde que a distribuição normal seja uma distribuição de probabilidade absolutamente contínua, o evento ${\displaystyle [X=x]}$  é insifgnificante. Isto é, quase certamente uma variável aleatória com distribuição normal ${\displaystyle X}$  nunca é igual a um valor fixo ${\displaystyle x}$ . Isto é expresso matematicamente por ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=0}$ .^[43]
  • A largura à meia altura (largura da curva à metade da altura total) fornece um valor da amplitude da distribuição. Esta largura à meia altura da distribuição normal é proporcional ao desvio padrão ${\displaystyle H=2{\sqrt {2\ln(2)}}\sigma \approx 2,3548\sigma }$ . O fator 2 vem da propriedade de simetria da distribuição normal.^[44]
  • A densidade tem dois pontos de inflexão, em ${\displaystyle \mu +\sigma }$  e em ${\displaystyle \mu -\sigma }$ . Eles são os pontos, nos quais a segunda derivada ${\displaystyle f''}$  anula–se e muda de sinal. Os dois pontos situam–se aproximadamente três quintos da altura total.^[18]
  • A distribuição normal é uma distribuição da família exponencial. Isto é, a sua densidade é escrita como ${\displaystyle f(x)=a(\theta )b(x)\mathrm {e} ^{-c(\theta )d(x)}}$ ou como ${\displaystyle f(x)=\mathrm {e} xp\left({\frac {x\theta _{1}-\beta (\theta _{1})}{\alpha (\theta _{2})}}\right)}$ , com ${\displaystyle \theta _{1}=\mu }$ , ${\displaystyle \theta _{2}=\sigma }$ , ${\displaystyle \beta (\mu )={\frac {\mu ^{2}}{2}}}$  e ${\displaystyle \alpha (\sigma )=\sigma ^{2}}$ .^[45]

Em adição à densidade de probabilidade, à função de distribuição, à função característica e à função geradora de momentos, existem outras caracterizações da distribuição normal.

• Caracterização segundo Georges Darmois e Sergeï Bernstein – se duas variáveis aleatórias ${\displaystyle X_{1}}$  e ${\displaystyle X_{2}}$  são independentes e igualmente distribuídas e se duas variáveis aleatórias ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$  e ${\displaystyle X_{1}-X_{2}}$  também são independentes, então a distribuição comum ${\displaystyle X_{1}}$  e ${\displaystyle X_{1}}$  é a distribuição normal.^[10]
• Caracterização segundo Charles Stein – a distribuição normal é a única distribuição de probabilidade (medida de probabilidade) ${\displaystyle \mathbb {P} }$  tal qual, para qualquer função ${\displaystyle g}$  de classe C¹ (derivável ou derivada contínua), ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g'(x)\mathrm {d} \mathbb {P} (x)=\int _{\mathbb {R} }xg(x)\mathrm {d} \mathbb {P} (x).}$ ^[18]

O momento de ordem 1 é chamado média (${\displaystyle \mu }$ ) e é dado como parâmetro da distribuição normal ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ . O segundo parâmetro é o desvio padrão (${\displaystyle \sigma }$ ). Isto é, a raiz quadrada da variância ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ , que é, por definição, a média dos quadrados dos desvios da média, ou segundo momento central. Os momentos centrais da distribuição normal são dados por${\displaystyle {\begin{cases}\mu _{2k}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2k}]={\frac {(2\,k)!}{2^{k}k!}}\sigma ^{2k}\\\mu _{2k+1}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2k+1}]=0\end{cases}}}$ ,

para ${\displaystyle k\geq 0}$  e ${\displaystyle X}$  uma variável aleatória com distribuição normal ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ .^[37]

O momento central de ordem ${\displaystyle n}$  pode ser obtido a partir de uma função de momentos de ordem inferior à ${\displaystyle n}$  e o momento de ordem ${\displaystyle n}$  pode ser obtido a partir de momentos de ordem inferior à ${\displaystyle n}$  – 1 e do momento central de ordem ${\displaystyle n}$ . Então, os primeiros momentos da distribuição normal são:

${\displaystyle {\begin{cases}m_{1}=\mathbb {E} [X]=\mu \\m_{2}=\mathbb {E} [X^{2}]=\sigma ^{2}+\mu ^{2}\\m_{3}=\mathbb {E} [X^{3}]=3\mu \sigma ^{2}+\mu ^{3}\end{cases}}}$ .^[46]

Com a simetria em torno de ${\displaystyle \mu }$  da função densidade da distribuição normal, os momentos centrais de ordem ímpar são todos zero.^[47] Os momentos de ordem par da distribuição normal padrão ${\displaystyle N(0,1)}$  pode ser obtido pela relação de recorrência ${\displaystyle m_{2k}=(2k-1)m_{2k-2}}$ , que vem da integração por partes seguinte, para ${\displaystyle k\geq 1}$ ,${\displaystyle m_{2k}=\int _{-\infty }^{+\infty }t^{2k-1}t\varphi (t)\mathrm {d} t=-\int _{-\infty }^{+\infty }t^{2k-1}\varphi '(t)\mathrm {d} t=(2k-1)\int _{-\infty }^{+\infty }t^{2k-2}\varphi (t)\mathrm {d} t}$ .^[48]

É deduzida a fórmula dos momentos centrais reduzidos ${\displaystyle m_{2k}=(2k-1)\cdots 3\cdot 1={\frac {(2\,k)!}{2^{k}k!}}}$ , assim a fórmula dos momentos centrais ${\displaystyle \mu _{2k}={\frac {(2\,k)!}{2^{k}k!}}\sigma ^{2k}}$ .^[26]

Os momentos centrais ${\displaystyle (\mu _{n},n\geq 0)}$  de uma distribuição podem ser obtidos a partir da função geradora de momentos centrados. Para a distribuição ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ , a mudança da variável ${\displaystyle y=x-\mu }$  permite obter as fórmulas ${\displaystyle M_{\text{c}}(t)={\rm {e}}^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)^{k}}$ de uma parte e ${\displaystyle M_{\text{c}}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\mu _{n}t^{n}}$  de outra parte.^[37]

Para a identificação dos coeficientes das duas séries, isto implica que os momentos de ordem ímpar são zero ${\displaystyle \mu _{2k+1}=0}$  e fornece uma fórmula para os momentos de ordem par ${\displaystyle \mu _{2k}={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}\sigma ^{2k}}$ .^[26]

A assimetria ${\displaystyle \gamma _{1}}$ , a curtose ${\displaystyle \beta _{2}}$  e a curtose normalizada ${\displaystyle \gamma _{2}}$  são obtidas a partir das fórmulas dos momentos ${\displaystyle {\begin{cases}\gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}=0\\\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}=3\\\gamma _{2}=\beta _{2}-3=0\\\end{cases}}}$ .^[49]

A distribuição normal é um ponto de referência para comparação das espessuras de caudas longas. Se uma distribuição possui uma curtose normalizada ${\displaystyle \gamma _{2}>0}$ , então a distribuição possui uma cauda longa mais grossa que a distribuição normal e é chamada leptocúrtica. Se ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$ , a distribuição possui uma cauda longa mais fina que a distribuição normal e é chamada platicúrtica. Se a distribuição possui uma curtose normalizada nula, então a distribuição possui uma cauda longa comparável à distribuição normal e é chamada mesocúrtica.^[50][51]

Cumulantes

A função característica permite obter a função geradora de cumulantes pela fórmula ${\displaystyle \ln(\phi (t))=\sum _{n=1}^{+\infty }K_{n}{\frac {({\rm {i}}t)^{n}}{n!}}}$  e permite obter os cumulantes ${\displaystyle K_{1}=\mu }$ , ${\displaystyle K_{2}=\sigma ^{2}}$  e${\displaystyle K_{n}=0}$  , para ${\displaystyle n\geq 3}$ .^[52]

 

A primeira versão do teorema central do limite (teorema de Moivre–Laplace) foi estabelecido para as variáveis aleatórias da distribuição de Bernoulli. De maneira mais geral, se ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  são variáveis aleatórias independentes e igualmente distribuídas com variância finita e se a soma é denotada como ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}$ , então ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }\mathbb {P} \left(a\leq {\frac {S_{n}-\mathbb {E} [S_{n}]}{\sqrt {Var(S_{n})}}}\leq b\right)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\mathrm {d} x}$ , para todo ${\displaystyle a<b}$ , em que ${\displaystyle \varphi }$  é a densidade de probabilidade da distribuição normal padrão.^[27]

Este teorema significa que tudo que pode ser considerado a soma de um grande número de pequenos valores aleatórios independentes aproxima–se de uma distribuição normal.^[53] Isto mostra a característica central da distribuição normal, em teoria da probabilidade. Um enunciado do teorema pode ser formulado como: se uma grandeza física submetida à influência de um número importante de fatores independentes e se a influência de cada fator separadamente é pequena, então a distribuição desta grandeza é uma distribuição gaussiana.^[54]

O teorema central do limite é válido para toda distribuição de probabilidade com variáveis independentes e identicamente distribuídas ${\displaystyle (X_{i};i=1,2,\dots ,n)}$ que, com desvio padrão finito, permite obter uma boa aproximação da soma ${\displaystyle S_{n}}$ . Por exemplo,

• se as variáveis ${\displaystyle X_{i}}$  seguem a distribuição de Bernoulli ${\displaystyle B(p)}$ , então ${\displaystyle S_{n}}$ segue aproximadamente uma distribuição normal ${\displaystyle N(np,np(1-p))}$ . Esta aproximação é satisfatória quando ${\displaystyle np(1-p)>10}$ ;^[55]
• se as variáveis ${\displaystyle X_{i}}$  seguem a distribuição qui–quadrado com um graus de liberdade ${\displaystyle \chi ^{2}(1)}$ , então ${\displaystyle S_{n}}$ segue aproximadamente uma distribuição normal ${\displaystyle N(n,2n)}$ ;^[56]
• se as variáveis ${\displaystyle X_{i}}$  seguem a distribuição exponencial ${\displaystyle E(\lambda )}$ , então ${\displaystyle S_{n}}$ segue aproximadamente uma distribuição normal ${\displaystyle N\left({\frac {n}{\lambda }},{\frac {n}{\lambda ^{2}}}\right)}$ .^[57]

Existem versões mais gerais deste teorema. Por exemplo, variáveis aleatórias independentes não são da mesma distribuição, mas com pequenas variâncias em relação às suas médias.^[58] Um teorema de Gnedenko e Kolmogorov (1954) estipula que uma variável aleatória normal é a soma de um grande número de variáveis aleatórias indenpendentes pequenas , sendo que nenhuma delas é predominante.^[59]

Teorema – Seja uma série de variáveis aleatórias ${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$ , sendo que cada uma é a soma de um número finito de variáveis aleatórias ${\displaystyle X_{n,1},\dots ,X_{n,k_{n}}}$ com ${\displaystyle k_{n}\rightarrow +\infty }$ . Para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , introduz–se a variável aleatória truncada ${\displaystyle X^{\varepsilon }={\begin{cases}X&{\text{ se }}|X|\leq \varepsilon \\0&{\text{ em caso contrário}}\end{cases}}}$  e supõe–se

1. ${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}|X_{nk}|{\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0}$  (em probabilidade) .^[60]
2. Para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , ${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}\mathbb {E} [X_{nk}^{\varepsilon }]{\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}\mu }$  e ${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}{\text{Var}}[X_{nk}^{\varepsilon }]{\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}\sigma ^{2}}$ .^[61]

Então, a distribuição de ${\displaystyle X_{n}}$  converge para a distribuição normal ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ .^[62]

Estabilidade pela adição (propriedade de conservação)

A distribuição normal é estável pela adição. Isto é, a soma de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição normal é em si uma variável aleatória com distribuição normal. Mais explicitamente, se ${\displaystyle X_{1}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$ , ${\displaystyle X_{2}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$  e ${\displaystyle X_{1}}$ e ${\displaystyle X_{2}}$  são independentes, então a variável aleatória ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$  segue a distribuição normal ${\displaystyle N(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$ .^[10]

Esta propriedade é generalizada por ${\displaystyle n}$  variáveis, isto é, se para todo ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$  as variáveis aleatórias ${\displaystyle X_{i}}$  seguem a distribuição normal ${\displaystyle N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2})}$  e são independentes, então a soma ${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}$  segue a distribuição normal ${\displaystyle N(\mu _{1}+\mu _{2}+\dots +\mu _{n},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\dots +\sigma _{n}^{2})}$ .^[63]

Esta propriedade é demonstrada diretamente por meio de funções características. A densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias independentes da distribuição normal é dada pela convolução de duas densidades. Isto é traduzido pelas fórmulas de convolução de funções: ${\displaystyle \varphi \left({\frac {x-\mu _{1}}{\sigma _{1}}}\right)\ast \varphi \left({\frac {x-\mu _{2}}{\sigma _{2}}}\right)=\varphi \left({\frac {x-(\mu _{1}+\mu _{2})}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}\right)}$ ,^[64]

ou de convolução de medidas normais denotadas como ${\displaystyle N_{\mu ,\sigma ^{2}}}$ : ${\displaystyle N_{\mu _{1},\sigma _{1}^{2}}\ast N_{\mu _{2},\sigma _{2}^{2}}=N_{\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}$ . Não deve ser confundida com a distribuição, cuja densidade é a soma das densidades da distribuição normal.

 

O conjunto de funções ${\displaystyle \{\varphi ({\frac {x-\mu }{\sigma }});\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\}}$  forma a chamada "família normal", que por sua vez também é o nome do conjunto de distribuições normais ${\displaystyle \{N_{\mu ,\sigma ^{2}};\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\}}$ .^[65] A família de funções está fechada para convolução no sentido que a função ${\displaystyle \varphi }$  gera a família. Toda densidade que convolui um número suficientemente grande de vezes e adequadamente renormalizada está próxima de uma função de uma família normal.^[64]

Os seguintes teoremas dão mais detalhes matemáticos:

• Se para uma função de densidade ${\displaystyle f}$  de média 0 e desvio padrão 1, e quaisquer ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}\in \mathbb {R} }$  e ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in \mathbb {R} _{+}^{*}}$  existe ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$  e ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} _{+}^{*}}$ , satisfazendo ${\displaystyle f\left({\frac {x-\mu _{1}}{\sigma _{1}}}\right)\ast f\left({\frac {x-\mu _{2}}{\sigma _{2}}}\right)=f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$ , então ${\displaystyle f\equiv \varphi }$  é a densidade da distribuição normal padrão.^[66]
• De acordo com o teorema de Lévy–Cramér (1936), conjecturado por Paul Lévy, em 1935, se duas funções de densidade ${\displaystyle f_{1}}$  e ${\displaystyle f_{2}}$  verificam ${\displaystyle f_{1}(x)\ast f_{2}(x)=\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$ , então ${\displaystyle f_{1}(x)=\varphi \left({\frac {x-\mu _{1}}{\sigma _{1}}}\right)}$  e ${\displaystyle f_{2}(x)=\varphi \left({\frac {x-\mu _{2}}{\sigma _{2}}}\right)}$  com ${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}=\mu }$  e ${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}=\sigma }$ . Em outras palavras, se a soma de duas variáveis aleatórias independentes é normal, então as duas variáveis aleatórias seguem a distribuição normal.^[10][67]
• Se ${\displaystyle f}$  é a densidade comum de ${\displaystyle n}$  variáveis aleatórias independentes de média 0 e desvio padrão 1, então a convolução ${\displaystyle n}$  vezes de ${\displaystyle f}$  converge uniformemente em ${\displaystyle x}$ : ${\displaystyle \left(f(x/{\sqrt {n}})\right)^{\ast n}\rightarrow \varphi (x)}$  (este teorema é equivalente ao teorema central do limite). Esta família normal não deve ser confundida com a família normal de funções holomorfas^[64]

A distribuição normal é estável por linearidade. Se ${\displaystyle \alpha \geq 0}$  e ${\displaystyle \beta }$  são reais e ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ , então a variável aleatória ${\displaystyle \alpha X+\beta }$  segue a distribuição normal ${\displaystyle N(\alpha \mu +\beta ,\alpha ^{2}\sigma ^{2})}$ .^[68] Com a estabilidade por adição e por linearidade, a distribuição normal é um caso particular de distribuição estável com parâmetro de estabilidade ${\displaystyle \alpha =2}$ .^[69] Entre as distribuições estáveis, a distribuição normal, a distribuição de Lévy (${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ) e a distribuição de Cauchy (${\displaystyle \alpha =1}$ ) são as únicas com expressão analítica para a função densidade.^[70]

A distribuição normal é estável pela média. Se ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  são variáveis aleatórias independentes seguindo as distribuições normais ${\displaystyle N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2}),N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2}),\dots ,N(\mu _{n},\sigma _{n}^{2})}$ , então a média ${\displaystyle {\frac {1}{n}}(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n})}$  segue a distribuição ${\displaystyle N\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}+...+\mu _{n}}{n}},{\frac {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+....+\sigma _{n}^{2}}{n^{2}}}\right).}$ ^[71]

A distribuição normal não é convexa.^[72] Isto é, a desigualdade ${\displaystyle \lambda \mathbb {P} (A)+(1-\lambda )\mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (\lambda A+(1-\lambda )B)}$ , para todo ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  borelianos, não é satisfeita quando a medida ${\displaystyle \mathbb {P} }$  é normal. Entretanto, quando a desigualdade é normalizada com o inverso da função de distribuição da distribuição normal padrão, obtém–se o teorema (desigualdade de Ehrhard) ${\displaystyle \lambda \Phi ^{-1}\left(N_{0,1}(A)\right)+(1-\lambda )\Phi ^{-1}\left(N_{0,1}(B)\right)\leq \Phi ^{-1}\left(N_{0,1}(\lambda A+(1-\lambda )B)\right)}$ , para a medida padrão normal ${\displaystyle N_{0,1}}$ , todos os intervalos ${\displaystyle A}$  e ${\displaystyle B}$  e todo ${\displaystyle \lambda \in ]0,1[}$ .^[73]

A entropia de Shannon de uma distribuição de probabilidade absolutamente contínua de densidade dada por ${\displaystyle f}$  para medir a quantidade de informação é definida por ${\displaystyle H=-\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\ln f(x)\mathrm {d} x.}$  No conjuntos das distribuições absolutamente contínuas de variância ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  fixa, as distribuições normais ${\displaystyle N(\cdot ,\sigma ^{2})}$  fornece entropia máxima.^[74] A entropia para uma distribuição normal é dada por ${\displaystyle H=\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi e}}\right)}$ . Há também uma ligação entre a convergência de sequências de distribuições de probabilidade com distribuição normal e o aumento da entropia, tornando–se uma ferramenta importante na teoria da informação.^[10]

A informação de Fisher de uma densidade de probabilidade é outro conceito de quantidade de informação. Para uma densidade ${\displaystyle f}$ , a informação de Fisher é dada por ${\displaystyle I=\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}f(x)\mathrm {d} x.}$  Para toda densidade suficientemente regular de uma distribuição normal padrão, a informação satisfaz a seguinte desigualdade: ${\displaystyle I\geq 1}$ . A distribuição normal distingui–se de outras densidades desde que a desigualdade anterior seja uma igualdade e se e somente se a densidade for uma distribuição normal padrão.^[10]

A divergência de Kullback–Leibler permite medir a distância entre duas distribuições ou a perda de informação entre as duas distribuições. A divergência de Kullback–Leibler entre as duas distribuições normais ${\displaystyle N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$  e ${\displaystyle N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$  é ${\displaystyle D_{KL}(N_{\mu _{1},\sigma _{1}^{2}}\|N_{\mu _{2},\sigma _{2}^{2}})=\log \left({\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}-1\right)}$ .

Esta divergência é nula para ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}}$  e ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$ , mas aumenta quando ${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|}$  também aumenta.^[75]

Não existe expressão analítica para a função de distribuição ${\displaystyle \Phi }$  da distribuição normal padrão. Isto é, não existe uma fórmula simples entre a função de distribuição e as funções convencionais como as funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, entre outras. Entretanto, a função de distribuição é aplicada a vários resultados e é importante compreende–la melhor. Diferentes notações como séries ou frações contínuas generalizadas são possíveis.^[76]

Para ${\displaystyle 0<x\ll 1}$ , a função de distribuição da distribuição normal padrão é escrita na forma ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!2^{n}(2n+1)}}x^{2n+1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{40}}+\dots \right)}$  ou na forma ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+\varphi (x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\dots (2n+1)}}x^{2n+1}={\frac {1}{2}}+\varphi (x)\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{15}}+\dots \right).}$ ^[44]

Para ${\displaystyle 1\ll x}$ , a função de distribuição da distribuição normal padrão é escrita na forma

${\displaystyle \Phi (x)=1-{\frac {\varphi (x)}{x}}\left(1-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{x^{6}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\dots (2n-1)}{x^{2n}}}\right)+R_{n}}$ , com ${\displaystyle R_{n}=(-1)^{n+1}1\cdot 3\dots (2n+1)\int _{x}^{\infty }{\frac {\varphi (y)}{y^{2n+2}}}\mathrm {d} y}$ .^[44][76]

De maneira mais numérica e facilmente calculável, as aproximações seguintes fornecem valores da função de distribuição ${\displaystyle \Phi }$  da distribuição normal padrão com:

• Erro da ordem de ${\displaystyle 10^{-5}}$ : para ${\displaystyle x>0}$ , ${\displaystyle \Phi (x)=1-{\frac {{\rm {e}}^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\frac {0,4361836}{1+0,33267\,x}}+{\frac {-0,1201676}{(1+0,33267\,x)^{2}}}+{\frac {0,9772980}{(1+0,33267\,x)^{3}}}\right)+\epsilon (x)}$ ou ${\displaystyle |\epsilon (x)|<10^{-5}}$ .^[77]
• Erro de ordem de ${\displaystyle 2,5\,.\,10^{-4}}$ : para ${\displaystyle x>0}$ , ${\displaystyle \Phi (x)\approx 1-{\frac {1}{2\left(1+0,196854\,x+0,115194\,x^{2}+0,000344\,x^{3}+0,019527\,x^{4}\right)^{4}}}}$ .^[77]
• Erro da ordem de ${\displaystyle 10^{-2}}$ : ${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}0,1x(4,4-x)&{\text{ para }}0\leq x\leq 2,2\\0,49&{\text{ para }}2,2\leq x\leq 2,6\\0,5&{\text{ para }}x\geq 2,6\end{cases}}}$ .^[44]