Número

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.^[3][4][5][6]

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem. O princípio de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de ideias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine como fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleção, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos , os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

 

O conceito de números na sua forma mais simples é claramente abstrata e intuitiva; entretanto, foi objeto de estudo de diversos pensadores. Pitágoras de Samos (cerca de 571 a.C. ou 570 a.C. - 497 a.C. ou 496 a.C.), por exemplo, considerava o número a essência e o princípio de todas as coisas;^[7] para Arthur Schopenhauer 1788 — 1860) o conceito numérico apresenta-se como a ciência do tempo puro.^[8] Outras definições:

• Número é a relação entre a quantidade e a unidade, Isaac Newton (1643 — 1727);^[9]
• Número é um composto da unidade, Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.);
• Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração, Émile Boutroux (1845 — 1921);
• Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade, Benjamin Constant (1767 — 1830);
• Número é o movimento acelerado ou retardado, Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.);
• Número é uma coleção de unidades, Tales de Mileto (cerca de 624 ou 625 a.C. - 556 ou 558 a.C.) e Marie Jean Antoine Nicolas Caritat ( 1743 - 1794);
• Número é a razão entre uma quantidade abstrata e uma outra quantidade da mesma espécie, Isaac Newton (1643— 1727);
• Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe, Bertrand Russell ( 1872 — 1970) em Principia mathematica).^[10][11][12]

Os números podem ser classificados de acordo com um conjunto de números, que vem a ser uma coleção de elementos,^[13] mostrados a seguir:

Exemplos e definições dos conjuntos numéricos mais importantes:

Conjunto de números

${\displaystyle \mathbb {N} }$	Natural	0, 1, 2, 3, 4, ... ou 1, 2, 3, 4, ...
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	Inteiro	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	Racional	a⁄b onde a e b são inteiros e b é diferente de zero
${\displaystyle \mathbb {R} }$	Real	Limite de uma sequência de números racionais convergentes
${\displaystyle \mathbb {C} }$	Complexo	a + bi aonde a e b são números reais e i é a raiz quadrada de  −1

 Ver artigo principal: Número complexo

Um número complexo é um número ${\displaystyle z}$  que pode ser escrito na forma ${\displaystyle z=x+iy}$ , em que ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  são números reais e ${\displaystyle i}$  denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade ${\displaystyle i^{2}=-1,}$  sendo que ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de ${\displaystyle z}$ .^{[14][15][16][17]} O conjunto dos números complexos, denotado por ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , contém o conjunto dos números reais.

Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.

 Ver artigo principal: Número real

O conjunto dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$  é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos).

 Ver artigo principal: Número racional

É todo o número que pode ser representado por uma fração entre dois números inteiros, onde é representado pelo conjunto P/Q sendo P e Q números inteiros.

O conjunto dos números racionais (representado por Q, o uso da letra Q é derivada da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros, com o denominador diferente de 0).

 Ver artigo principal: Número inteiro

São constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e dos simétricos dos números naturais não nulos (-1, -2, -3, ...). Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, estes números são chamados de inteiros relativos.

O conjunto de todos os inteiros é representado por um Z em negrito (ou ainda um ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  em blackboard bold, ou ℤ, cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.

Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

 Ver artigo principal: Número natural

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3, 4, 5...). O número natural também é definido como um número inteiro positivo, aonde o zero não é considerado como um número natural. Quando o símbolo dos números naturais (N) vier seguido de um asterisco (*) é retirado o 0 (zero).

 Ver artigo principal: Número inteiro negativo

Número negativo é todo número real menor que zero, como o −1 e o −3. Dois números são chamados de números simétricos quando estão à mesma distância do zero, como o −5 e o 5.

 Ver artigo principal: Número fracionários

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. Número fracionário expressa esta condição. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", "quebrado" (do verbo frangere: "quebrar").

 Ver artigo principal: Número irracional

Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo ${\displaystyle \mathbb {I} .}$  O conceito de número irracional remonta ao conceito de incomensurabilidade.

A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras.

A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritmética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.^[18]

 

Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2.

Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (século V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega conseguiu um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número.

Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis.

Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fração, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginá-la cheia de "buracos". É no século XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.

A descoberta dos números irracionais, simbolizou um grande passo para o desenvolvimento da matemática.

Dentre os números irracionais encontramos os transcendentes, que são os números não algébricos, ou seja não existe nenhum polinômio de coeficientes inteiros de que sejam raiz.

Temos como exemplo de números transcendentes o Pi e a constante de Euler:

${\displaystyle \pi =3,1415926535897932384...}$  (número Pi, constante de Arquimedes)

${\displaystyle e=2,7182818...}$  (constante de Euler)

 Ver artigo principal: Pi

Com o estudo contínuo dos elementos da matemática, os matemáticos se depararam com a necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência; e com cálculos contínuos, notaram que um número se repetia para qualquer que fosse a circunferência, número este que outrora foi denominado de número pi (π).

Esse número é encontrado através da razão do comprimento pelo diâmetro da circunferência.

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$  ou ainda ${\displaystyle \pi ={\frac {C}{2r}}}$ 

Esse é um dos números que foi citado no início do texto: a constante π é de fundamental importância para a área de geometria e trigonometria..

 Ver artigo principal: Número de Euler

O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, ele é à base dos logaritmos naturais.

As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$ 

E vale aproximadamente ${\displaystyle 2,718281828459045235360287.}$ 

O número ${\displaystyle e}$  é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de ${\displaystyle e}$  só foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873.

 Ver artigo principal: Número áureo

${\displaystyle \phi =1,61803398874989...={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$  é um número irracional, porém não é transcendente, pois é raiz do polinômio ${\displaystyle x^{2}-x-1.}$  É considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas:

- na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores; - em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares; - em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.

 Ver artigo principal: Número imaginário

Número imaginário é um número complexo com parte real igual a zero, ou seja, um número da forma b i, em que i é a unidade imaginária. Em alguns contextos, exige-se que b seja diferente de zero. O termo foi inventado por René Descartes em 1637 no seu La Géométrie para designar os números complexos em geral, e tem esse nome pelo objetivo inicialmente pejorativo: na época, acreditava-se que tais números não existissem.^[19]

• Número excessivo ou abundante: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é maior do que ele mesmo (p. ex.: 12).
• Número perfeito: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é igual a ele mesmo (p. ex.: 6).
• Número defectivo ou deficiente: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é menor do que ele mesmo (p. ex.: 10).
• Número levemente imperfeito: número cuja soma de seus divisores é o próprio número menos a unidade (p. ex.: 4, 8, 16, 32, ${\displaystyle 2^{n}}$ ).
• Números amigáveis: são dois números cuja soma dos divisores de um resulta no outro e vice-versa. Pares amigáveis: 220 e 284, 1184 e 1210, 17296 e 18416, 9363584 e 9437056.
• Números sociáveis: grupo de três ou mais números que formam um círculo fechado, pois a soma dos divisores do primeiro forma o segundo e assim por diante até que a soma dos divisores do último forma o primeiro (p. ex.: 12496, 14288, 15472, 14536 e 14264).
• Número primo: é um número natural que tem exatamente dois divisores distintos: o número um e ele mesmo.^[20]
• Número ordinal: são números usados para assinalar uma posição numa sequência ordenada. Exemplos: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto etc.Dauben, J.W. (1979). Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite. New Jersey: Princeton University Press , pp. 156−159.</ref>.
• O número 26 é o único que existe que se encontra entre um quadrado (25 = ${\displaystyle 5^{2}}$ ) e um cubo (27 = ${\displaystyle 3^{3}}$ ) (provado por Pierre de Fermat).
• O número 69 é o único que existe cujos algarismos que compõem seu quadrado (${\displaystyle 69^{2}}$  = 4761) e seu cubo (${\displaystyle 69^{3}}$  = 328509) formam todos os números entre 0 e 9 sem repetição.
• O número de Skewes (10^10^10^34 = 10^10^10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000) é um dos maiores números que já serviram a algum propósito em Matemática (na fórmula de Gauss). O número de Graham, ainda maior, aparece em problemas de combinatória.

Quando um conjunto possui o mesmo tamanho dos naturais, dizemos que ele é um conjunto contável (Aleph-zero). Porém nem todos os conjuntos são contáveis, como o conjunto dos números Reais, provado pelo método de diagonalização, ou seja, podemos dizer que o infinito dos Reais é maior que o infinito dos naturais.^[21]

Mas se o conjunto dos Reais é composto pelo conjunto dos Racionais e Irracionais, e foi provado que os Racionais possuem o mesmo tamanho dos Naturais, então podemos afirmar que quem faz a diferença na contagem são os números Irracionais. Mas que Irracionais fazem essa diferença? Existem vários tipos deles também. Alguns irracionais são construídos como raízes de polinômios com coeficientes inteiros, chamados de irracionais Algébricos.

Porém, pela mesma técnica de Godel, podemos provar que os Irracionais algébricos também são contáveis, associando cada coeficiente do polinômio a um expoente de um número primo. Por exemplo: ${\displaystyle x^{2}+2x+1,}$  por exemplo, escreveríamos como ${\displaystyle 21\cdot 32\cdot 51.}$  Já que os Irracionais algébricos são contáveis, quem faz a diferença são justamente os irracionais não-algébricos, chamados transcendentes. Mas mesmo dentre os transcendentes, existem diferentes tipos, como PI, por exemplo, que não podemos ter ele como raiz de um polinômio, mas podemos aproximá-lo tão precisamente quanto desejemos por meio de um algoritmo. Números dessa forma são chamados Computáveis.

Mas ainda podemos provar que os Computáveis também são contáveis. Fazemos isso provando que se existe um algoritmo que aproxima o número (chamado computável), então esse algoritmo pode ser implementado numa linguagem (mostrado por Turing). Mas como existem contáveis codificações em uma linguagem finita, então existem contáveis números Computáveis.

Então, quem são os não-contáveis? Existem números que não podemos gerar por meios de algoritmos, por exemplo: a constante de Chaitin. Resumidamente, podemos construir calculando o seguinte somatória: para cada algoritmo existente (cujo natural associado é n), se o algoritmo pára, soma-se 2-n, senão não soma nada. Como a somatória não pode ser calculada porque não podemos saber se um algoritmo pára (Problema da Parada), então a constante de Chaitin é um número não-computável.

Surpreendentemente a constante de Chaitin ainda se encontra num conjunto contável! Não conseguimos dizer um algoritmo para gerar esses números, mas podemos descrever como gerá-los (por isso são chamados de Números Definíveis). Podemos argumentar da seguinte forma: se escrevermos uma descrição numa folha de papel a respeito de como obter um número definível, então essa descrição também pode ser associada a um número natural.

Então quais números fazem os números Reais serem um infinito maior que o dos números naturais? São os números que não podemos construir, não podemos aproximar e não podemos descrever, ou seja, nem dá para pensar sobre eles.

Pode-se por fim organizar os números dividindo-os em sistemas como na tabela abaixo: