Número inteiro

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}=}$  Conjunto dos inteiros não nulos ${\displaystyle =\mathbb {Z} -\{0\}}$ 

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ₊ ${\displaystyle =}$  Conjunto dos inteiros não negativos ${\displaystyle =\{0,1,2,3,...\}}$ 

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ ₊ ${\displaystyle =}$  Conjunto dos inteiros não negativos, excluindo zero ${\displaystyle =\{1,2,3,...\}}$ 

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ _- ${\displaystyle =}$  Conjunto dos inteiros não positivos ${\displaystyle =\{...-3,-2,-1,0\}}$ 

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ _- ${\displaystyle =}$  Conjunto dos inteiros não positivos, excluindo zero ${\displaystyle =\{...,-3,-2,-1\}}$ 

Há diversos campos numéricos verificando as propriedades abaixo. Dizemos que eles têm uma mesma estrutura algébrica, a qual é chamada de anel de integridade. O campo dos inteiros, ${\displaystyle [\mathbb {Z} ,+,\cdot ]}$ , é o mais simples e conhecido dos anéis de integridade, e tem o seguinte conjunto de propriedades básicas:

Para todos ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$ :

• ${\displaystyle a+b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [a operação ${\displaystyle +}$  é fechada]
• ${\displaystyle a\cdot b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [a operação ${\displaystyle \cdot }$  é fechada]

• ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [associatividade da ${\displaystyle +}$ ]
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [associativa da ${\displaystyle \cdot }$ ]

• ${\displaystyle a+0=a}$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [0 é o elemento neutro da ${\displaystyle +}$ ]
• ${\displaystyle a\cdot 1=a}$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [1 é o elemento neutro da ${\displaystyle \cdot }$ ]

• ${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [comutatividade da ${\displaystyle +}$ ]
• ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [comutatividade da ${\displaystyle \cdot }$ ]

• ${\displaystyle \exists a'\in \mathbb {Z} }$  tal que ${\displaystyle a+a'=0}$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [${\displaystyle a'}$  é o simétrico de ${\displaystyle a}$ ]

• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [distributividade da ${\displaystyle \cdot }$ ]

• ${\displaystyle a\cdot b=0\Rightarrow }$  ${\displaystyle a=0}$  ou ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \qquad \qquad }$ [integridade da ${\displaystyle \cdot }$ ]

${\displaystyle i)}$  Unicidade do elemento neutro da multiplicação

Vamos supor por absurdo que existem dois elementos neutros da multiplicação ${\displaystyle 1}$  e ${\displaystyle 1'}$ , com ${\displaystyle 1\neq 1'}$ 

Como ${\displaystyle 1}$  é elemento neutro da multiplicação, então: ${\displaystyle 1'\cdot 1=1'}$ 

Como ${\displaystyle 1'}$  é elemento neutro da multiplicação, então: ${\displaystyle 1\cdot 1'=1}$ 

Temos: ${\displaystyle 1'=1'\cdot 1=1\cdot 1'=1}$  [Comutatividade da multiplicação]

${\displaystyle \qquad \quad \Rightarrow 1'=1}$ 

É absurdo, pois ${\displaystyle 1'}$  é diferente de ${\displaystyle 1}$  por hipótese.

Então o elemento neutro da multiplicação é único.

${\displaystyle ii)}$  Unicidade do elemento simétrico

Vamos supor que existem dois simétricos ${\displaystyle a'}$  e ${\displaystyle a''}$  de ${\displaystyle a}$ , tal que ${\displaystyle a'\neq a''}$ .

${\displaystyle a'=0+a'}$  [Existência do elemento neutro]

${\displaystyle \quad =(a+a'')+a'}$  [Existência do inverso na adição]

${\displaystyle \quad =a+(a''+a')}$  [Associativa]

${\displaystyle \quad =a+(a'+a'')}$  [Comutativa]

${\displaystyle \quad =(a+a')+a''}$  [Associativa]

${\displaystyle \quad =0+a''=a''}$  [Existência do elemento neutro]

Notação para o simétrico de ${\displaystyle a}$  é ${\displaystyle -a}$ .

Como por hipótese ${\displaystyle a'\neq a''}$  não podemos ter ${\displaystyle a'=a''}$ .

Logo o simétrico da adição é único.

Com isso podemos definir a subtração:

${\displaystyle \qquad a+b'=a+(-b)=a-b}$ 

${\displaystyle iii)}$  Multiplicação por ${\displaystyle 0}$ 

${\displaystyle \qquad 0\cdot a=0}$  ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} }$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow 0\cdot a=(b-b)a}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow 0\cdot a=ab-ab}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow 0\cdot a=0}$ 

${\displaystyle iv)}$  Distributividade

${\displaystyle (b+c)a=ba+ca}$ 

${\displaystyle (b+c)a=a(b+c)}$  [Comutativa]

${\displaystyle \Rightarrow ab+ac=ba+ca}$  [Distributiva e Comutativa]

${\displaystyle i)}$ Sendo ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  números inteiros:

${\displaystyle \qquad a+c=b+c\Rightarrow a=b,}$  ${\displaystyle \forall c\in \mathbb {Z} }$ 

Observe que, para ${\displaystyle x=y,}$  ${\displaystyle \quad x,y\in \mathbb {Z} }$  e ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$ 

Logo temos, ${\displaystyle x+z=y+z}$  (vem da definição de soma em ${\displaystyle \mathbb {N} }$ )

Agora podemos provar:

${\displaystyle \qquad a+c=b+c}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow (a+c)+(-c)=(b+c)+(-c)}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow a+(c-c)=b+(c-c)}$  [Associatividade]

${\displaystyle \qquad \Rightarrow a+0=b+0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow a=b}$ 

${\displaystyle ii)}$  Sendo ${\displaystyle a,b}$  e ${\displaystyle c}$  números inteiros

${\displaystyle \qquad a\cdot c=b\cdot c\Rightarrow a=b,}$  ${\displaystyle \forall c\neq 0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow ac-bc=bc-bc}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow ca-cb=0}$  [Comutatividade]

${\displaystyle \qquad \Rightarrow c(a-b)=0}$  [Distributiva]

Logo ${\displaystyle c=0}$  ou ${\displaystyle a-b=0}$ , como ${\displaystyle c\neq 0}$ , por hipótese temos:

${\displaystyle \qquad a-b=0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow a-b+b=0+b}$ 

${\displaystyle \qquad a+0=0+b}$ 

${\displaystyle \qquad a=b}$ 

Temos que se ${\displaystyle a>b}$  ou ${\displaystyle b<a}$  isso significa que ${\displaystyle a-b>0}$ 

Com isso os números inteiros ficam divididos em:

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}=\{0,1,2,3...\}\Rightarrow }$  Inteiros não negativos

${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {Z} :x\geq 0}$ 

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}=\{...,-3,-2,-1,0\}\Rightarrow }$  Inteiros não positivos

${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {Z} :x\leq 0}$ 

${\displaystyle \mathbb {Z} _{*}^{+}=\{1,2,3,...\}\Rightarrow }$  Inteiros positivos

${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {Z} :x>0}$ 

${\displaystyle \mathbb {Z} _{*}^{-}=\{...,-3,-2,-1\}\Rightarrow }$  Inteiros negativos

${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {Z} :x<0}$ 

Observação: temos ${\displaystyle a>b\Rightarrow a-b>0,}$  no caso particular ${\displaystyle a-0=a}$ , temos ${\displaystyle a>0}$ , somente se ${\displaystyle a\in \{1,2,3,...\}}$ 

Notação:${\displaystyle {\begin{cases}a\geq b(a>b\quad ou\quad a=b)\\a\leq b(a<b\quad ou\quad a=b)\\\end{cases}}}$ 

As relações ${\displaystyle <}$  e ${\displaystyle \leq }$  são compatíveis com a adição e a multiplicação, conforme os resultados:

Proposição:

Sendo ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$ 

${\displaystyle i)}$  A relação de ordem é preservada na adição:

${\displaystyle *\quad a<b\Leftrightarrow a+c<b+c,\quad \forall c\in \mathbb {Z} }$ 

${\displaystyle a<b\Rightarrow b-a>0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow b-a+c-c>0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow b+c-a-c>0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow (b+c)-(a+c)>0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow a+c<b+c}$ 

${\displaystyle a+c<b+c\Rightarrow a<b}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad \quad \Rightarrow (b+c)-(a+c)>0}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad \quad \Rightarrow b+c-a-c>0}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad \quad \Rightarrow (b-a)+(c-c)>0}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad \quad \Rightarrow b-a>0}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad \quad \Rightarrow a<b}$ 

${\displaystyle *\quad a\leq b\Leftrightarrow a+c\leq b+c,\quad \forall c\in \mathbb {Z} }$ 

Esta demonstração é de forma análoga à anterior.

${\displaystyle ii)}$  A relação de ordem é preservada na multiplicação por inteiros positivos:

${\displaystyle *\quad a<b\Leftrightarrow a\cdot c<b\cdot c,\quad \forall c\in \mathbb {Z} }$ 

Observe que quando ${\displaystyle n>0}$ 

${\displaystyle cn>0}$  para ${\displaystyle c>0}$ , ou seja, ${\displaystyle 3n>2n>n>0}$ 

${\displaystyle a<b\Rightarrow b-a>0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow c(b-a)>0\quad \qquad c>0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow cb-ca>0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow ca<cb}$ 

${\displaystyle ca<cb\Rightarrow a<b}$ 

${\displaystyle \qquad \quad \Rightarrow ca-cb>0}$ 

${\displaystyle \qquad \quad \Rightarrow c(b-a)>0\quad \qquad c>0}$ 

${\displaystyle \qquad \quad \Rightarrow b-a>0}$ 

${\displaystyle \qquad \quad \Rightarrow a<b}$ 

${\displaystyle cn<0}$  para ${\displaystyle c<0}$ , ou seja, ${\displaystyle -3n<-2n<-n<0}$ 

${\displaystyle a<b\Rightarrow b-a>0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow c(b-a)<0\quad \qquad c<0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow cb-ca<0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow cb<ca}$ 

${\displaystyle a<b\Rightarrow ca>cb}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow cb-ca<0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow c(b-a)<0\quad \qquad c<0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow b-a>0}$ 

${\displaystyle \qquad \Rightarrow a<b}$ 

O valor absoluto de um número inteiro ${\displaystyle b}$  é a distância modular, e é definido como a distância do número até a origem(0):

${\displaystyle |b|={\begin{cases}b\ se\ b\geq 0\\-b\ se\ b<0\\\end{cases}}}$ 

Tomar o valor absoluto de um número inteiro consiste basicamente em deixá-lo inalterado se o número for positivo ou nulo, e apagar seu sinal, caso ele seja negativo.

Exemplo:

${\displaystyle |-2|=2=|2|}$ ,

${\displaystyle |0|=0}$ 

O divisor de um número inteiro ${\displaystyle a}$ , é todo inteiro ${\displaystyle b}$  capaz de transformar o inteiro ${\displaystyle a}$  num produto de inteiros: ${\displaystyle a=b.c}$  (para algum número inteiro ${\displaystyle c}$ ).

Sempre que ${\displaystyle b}$  for divisor de ${\displaystyle a}$ , também costuma-se empregar as seguintes terminologias alternativas, sinônimas:

${\displaystyle \qquad }$ "o inteiro ${\displaystyle b}$  divide ${\displaystyle a}$ ", o que pode ser abreviado com a notação: ${\displaystyle b|a}$  ;

${\displaystyle \qquad }$ "o inteiro ${\displaystyle a}$  é múltiplo de ${\displaystyle b}$ "

Exemplo:

Os divisores de ${\displaystyle a=4}$  são ${\displaystyle b=-2,-1,1,2}$ 

Todos eles são não-nulos, e temos respectivamente:

${\displaystyle 4=(-2)\cdot (-2),\quad 4=(-1)\cdot (-4),\quad 4=1\cdot 4,\quad 4=2\cdot 2}$ 

Atenção:

• zero só é divisor de si mesmo;
• todos os inteiros são divisores de zero.

${\displaystyle i)}$  Se ${\displaystyle b}$  é divisor de ${\displaystyle a}$ , então ${\displaystyle -b}$  também é.

Hipótese: ${\displaystyle b\mid a\Rightarrow a=b\cdot c\qquad c\in \mathbb {Z} }$ 

Tese: ${\displaystyle -b\mid a\Rightarrow a=-b\cdot d\qquad d\in \mathbb {Z} }$ 

Temos que ${\displaystyle a=b\cdot c}$ 

Então ${\displaystyle (-1)a=b\cdot c(-1)}$ 

${\displaystyle \Rightarrow (-1)-a=(-1)b\cdot (-c)}$ 

${\displaystyle \Rightarrow a=(-b)\cdot (-c)}$ , sendo ${\displaystyle d=-c}$ 

${\displaystyle \Rightarrow a=-b.d}$ , pela definição de divisor ${\displaystyle \Rightarrow -b\mid a}$ 

${\displaystyle ii)}$  Se ${\displaystyle a}$  é divisor de ${\displaystyle b}$  e ${\displaystyle b}$  é divisor de ${\displaystyle a}$ , então ${\displaystyle a=b}$  ou ${\displaystyle a=-b}$ 

Hipótese: ${\displaystyle a\mid b}$  e ${\displaystyle b\mid a}$ 

Tese: ${\displaystyle a=b}$ 

Temos que ${\displaystyle a\mid b\Rightarrow b=a\cdot c}$ , ${\displaystyle \qquad c\in \mathbb {Z} }$ 

${\displaystyle \qquad \qquad b\mid a\Rightarrow a=b\cdot d}$ , ${\displaystyle \qquad d\in \mathbb {Z} }$ 

${\displaystyle \Rightarrow b=(b\cdot d)\cdot c\Rightarrow b=b(d\cdot c)\Rightarrow d\cdot c=1}$ 

${\displaystyle \Rightarrow d=c=1}$  ou ${\displaystyle d=c=-1}$ 

• Para ${\displaystyle d=c=1}$ 

${\displaystyle a=b\cdot d\Rightarrow a=b\cdot 1\Rightarrow a=b}$ 

${\displaystyle b=a.c\Rightarrow b=a\cdot 1\Rightarrow b=a}$ 

• Para ${\displaystyle d=c=-1}$ 

${\displaystyle a=b\cdot d\Rightarrow a=b\cdot (-1)\Rightarrow a=-b}$ 

${\displaystyle b=a.c\Rightarrow b=a\cdot (-1)\Rightarrow b=-a}$ 

Como ${\displaystyle 1,-1,a,-a}$  sempre são divisores de cada número inteiro ${\displaystyle a\neq 0}$ , dizemos que eles são os divisores triviais, ou os divisores impróprios, de ${\displaystyle a}$ .

Nos casos em que ${\displaystyle a=1}$  e ${\displaystyle a=-1}$ , temos exatamente dois divisores triviais. Contudo, em todos os demais casos de ${\displaystyle a\neq 0}$ , temos exatamente quatro divisores triviais.

Número primo é todo inteiro ${\displaystyle p\neq 0,\pm 1}$  cujos divisores são todos triviais. Isto equivale a dizer que um número primo é todo inteiro ${\displaystyle p}$  com exatamente quatro divisores: ${\displaystyle p,-p,1,-1}$ .

Número composto é todo inteiro ${\displaystyle k\neq 0}$  que tem ao menos um divisor não trivial. Isto equivale a dizer que um número composto é todo inteiro ${\displaystyle k\neq 0}$  com cinco ou mais divisores.

Chamamos de divisor comum de dois ou mais números inteiros, todo inteiro que seja divisor de cada um desses inteiros.

Exemplo:

Os divisores de ${\displaystyle 8}$  são ${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8}$ , enquanto que os divisores de ${\displaystyle 12}$  são ${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12}$ . Assim, os divisores comuns de ${\displaystyle 8}$  e ${\displaystyle 12}$  são ${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4}$ .

Dizemos que dois números inteiros são relativamente primos, ou primos entre si se tiverem como divisores comuns apenas os divisores triviais ${\displaystyle +1}$  e ${\displaystyle -1}$ .

Proposição: todo número primo que não dividir um inteiro ${\displaystyle a}$  dado, é relativamente primo com ${\displaystyle a}$ .

Demonstração: Sendo ${\displaystyle p}$  um primo dado e ${\displaystyle a}$  um número inteiro. Temos que os divisores de ${\displaystyle p}$  são ${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle -1}$ , ${\displaystyle p}$  e ${\displaystyle -p}$ , como ${\displaystyle p}$  não divide ${\displaystyle a}$ , seus únicos divisores comuns serão ${\displaystyle 1}$  e ${\displaystyle -1}$ .

Chamamos de máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, o maior dos divisores comuns desses inteiros. A notação ${\displaystyle mdc(a,b)}$  indicará o máximo divisor comum dos inteiros ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ .

Exemplo:

Temos ${\displaystyle mdc(6,9)=3}$ , pois os divisores comuns de ${\displaystyle 6}$  e ${\displaystyle 9}$  são ${\displaystyle \pm 1}$  e ${\displaystyle \pm 3}$ .

Note que:

• o ${\displaystyle mdc(a,b)}$  sempre existe, a menos que ${\displaystyle a=b=0}$ .

${\displaystyle mdc(0,b)={\begin{Bmatrix}(b),se\quad b\neq 0\\\nexists \quad se\quad b=0\end{Bmatrix}}}$ 

• o conjunto de divisores comuns de qualquer conjunto de dois ou mais números inteiros nunca é vazio (pois ${\displaystyle \pm 1}$  sempre são divisores comuns deles) e é finito (pois os divisores de ${\displaystyle c\neq 0}$ estão entre ${\displaystyle c}$  e ${\displaystyle -c}$ ).

• o ${\displaystyle mdc(a,b)\geq 1}$ , em particular, sempre é positivo.
• ${\displaystyle mdc(a,b)=mdc(-a,b)=mdc(a,-b)=mdc(-a,-b)}$ .
• Dizer que dois números ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  são primos entre si, é o mesmo que dizer que ${\displaystyle mdc(a,b)=1}$ .

${\displaystyle \rightarrow }$  Fatoração: sendo ${\displaystyle a=b_{1},b_{2}...b_{n}}$ , com ${\displaystyle a,b_{1},b_{2}...b_{n}}$  inteiros, dizemos que ${\displaystyle b_{1},b_{2}...b_{n}}$  são fatores de ${\displaystyle a}$  e que ${\displaystyle b_{1},b_{2}...b_{n}}$ é uma fatoração desse ${\displaystyle a}$ .

Ex: ${\displaystyle 18=2\cdot 9=3\cdot 6=1\cdot 18=2\cdot 3\cdot 3}$ 

O mdc também pode ser calculado a partir do Algoritmo de Euclides.

A ideia da divisão euclidiana consiste em separar um todo em partes iguais. Essa divisão pode ocorrer de forma exata (quando a união dessas partes resulta no número original) ou de forma inexata (quando ocorre o contrário). No contexto dos números inteiros, ${\displaystyle a}$  corresponde ao todo, e ${\displaystyle b}$  corresponde a cada uma das partes iguais. Ou seja:

• A divisão exata de ${\displaystyle a}$  por ${\displaystyle b}$  equivale a dizer que existe um número inteiro ${\displaystyle q}$  tal que: ${\displaystyle a=q\cdot b}$ .

${\displaystyle \qquad }$ Exemplo:

${\displaystyle \qquad \qquad 4=2\cdot 2}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad 10=2\cdot 5}$ 

• A divisão inexata de ${\displaystyle a}$  por ${\displaystyle b}$  equivale a dizer que existe um número inteiro ${\displaystyle q}$  tal que: ${\displaystyle a=q\cdot b+r}$ , onde ${\displaystyle r}$  (resto) é menor que ${\displaystyle b}$ 

${\displaystyle \qquad }$ Exemplo:

${\displaystyle \qquad \qquad 26=2\cdot 9+8}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad 21=4\cdot 5+1}$ 

Há apenas uma maneira de fazer uma divisão exata, mas há maneiras diferentes de se fazer uma divisão inexata. Podemos dividí-las em: inexatas por falta (a mais utilizada, como ${\displaystyle 17=3\cdot 5+2}$ ) e inexatas por excesso (como ${\displaystyle 17=4\cdot 5+(-3)}$ ).

Este teorema afirma que os números primos funcionam como base para a construção de todo e qualquer número inteiro (exceto ${\displaystyle 0}$  e ${\displaystyle \pm 1}$ ), fazendo apenas multiplicações. Este teorema tem uma importância tão grande que é chamado de Teorema Fundamental da Aritmética.

A fatoração em primos de um inteiro ${\displaystyle a\neq 0}$ , ${\displaystyle \pm 1}$  pode ser escrita de diversas maneiras, como por exemplo:

• Existem primos ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},...,}$ possivelmente repetidos, tais que ${\displaystyle a=\pm p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}...}$ .
• Existem primos ${\displaystyle p_{1}\leq p_{2}\leq p_{3}\leq ...\leq p_{n}}$ tais que ${\displaystyle a=\pm p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot ...\cdot p_{n}}$ .
• Existem primos distintos ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3},...<p_{n}}$ , e respectivos inteiros positivos ${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}}$ , tais que ${\displaystyle a=\pm p_{1}^{j_{1}}\cdot p_{2}^{j_{2}}\cdot p_{3}^{j_{3}}\cdot ...\cdot p_{n}^{j_{n}}}$ .

Assim, por exemplo,

${\displaystyle \qquad \qquad -40=-2\cdot 2\cdot 2\cdot 5}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad -40=-2^{3}\cdot 5}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad 63=3\cdot 3\cdot 7}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad 63=3^{2}\cdot 7}$ 

Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.

A ordem de Z é dada por ... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

1. se a < b e c < d, então a + c < b + d
2. se a < b e 0 < c, então ac < bc

Inteiro é frequentemente um tipo primitivo em linguagem de programação, normalmente com 1, 2, 4, ou 8 bytes de comprimento (8, 16, 32, ou 64 bits). Observe, porém, que um computador pode apenas representar um subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits (${\displaystyle 2^{8}}$  para bytes, ${\displaystyle 2^{32}}$  para arquiteturas de 32 bits, etc). No entanto, o uso de técnicas de inteligência artificial permitem que computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros.

O RSA é o mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública. Ele foi criado em 1978 por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, que na época trabalhavam no MIT e é o mais usado em aplicações comerciais atualmente. A construção deste sistema é baseada nas propriedades da Teoria dos Números e suas principais características são: simplicidade, chave pública e extrema dificuldade em violar o código.

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• Parte inteira
• Sequência de inteiros
• Inteiro (tipo de dado)