Paridade

Seja P o conjunto dos números inteiros pares e I o conjunto formado pelos números inteiros ímpares, então:

${\displaystyle P=\left\{x\in \mathbb {Z} |x=2y,y\in \mathbb {Z} \right\}}$ 

${\displaystyle I=\left\{x\in \mathbb {Z} |x=2y-1,y\in \mathbb {Z} \right\}}$ 

Sejam ${\displaystyle P}$  o conjunto dos números pares e ${\displaystyle I}$  o conjunto dos números ímpares. Tendo como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, temos as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle P\subset \mathbb {Z} }$ 
• ${\displaystyle I\subset \mathbb {Z} }$ 
• ${\displaystyle P\cap I=\emptyset }$ 
• ${\displaystyle P\cup I=\mathbb {Z} }$ 
• ${\displaystyle P={\bar {I}}=\mathbb {Z} -I}$ , onde a barra denota o complementar do conjunto.
• ${\displaystyle I={\bar {P}}=\mathbb {Z} -P}$ 

Seja ${\displaystyle p}$  um número par qualquer e ${\displaystyle i}$  um número ímpar qualquer, têm-se as seguintes propriedades sobre operações aritméticas:

• A soma ou subtração de dois números pares resulta em um número par:

${\displaystyle p\pm p'=2n\pm 2n'=2(n\pm n')=p''\,\!}$ 

• A soma ou subtração de dois números ímpares resulta em um número par:

${\displaystyle i\pm i'=(2n-1)\pm (2n'-1)=2n\pm 2n'+c=2(n\pm n'+c)=p\,\!}$ 

• A soma ou subtração de um número par com um número ímpar resulta em um número ímpar:

${\displaystyle p\pm i=p\pm (p'-1)=(p\pm p')\pm 1=i'\,\!}$ 

• A multiplicação de um número par por um número par resulta em um número par:

${\displaystyle p\times p'=(2n)(2n')=2(2nn')=p''\,\!}$ 

• A multiplicação de um número ímpar por um número ímpar resulta em um número ímpar:

${\displaystyle i\times i'=(2n-1)(2n'-1)=2n2n'-2n-2n'+1=2(2nn')-2n-2n'+1=p-p'-p''+1=p'''+1=i''\,\!}$ 

• A multiplicação de um número par por um número ímpar resulta em um número par:

${\displaystyle p\times i=(2n)(2n'-1)=2n2n'-2n=2(2nn'-n)=p'\,\!}$ 

• As propriedades de paridade são restritas à divisão devido ao fato do conjunto dos números inteiros não ser fechado para a operação de divisão. No entanto, se o quociente de uma divisão entre dois números pares é inteiro, então ele também é par se o dividendo possuir mais fatores de dois que o divisor:

${\displaystyle p\,\div \,p'=2^{a}n\,\div \,2^{a'}n'=2^{a-a'}\left(n\,\div \,n'\right)=p''{\mbox{ se, e somente se, }}0<a'<a}$ 

Existem diversos métodos para determinar se um número dado é par ou ímpar. O mais fácil deles e, consequentemente, o mais utilizado é baseado na observação do último digito do número que esteja avaliando: caso o último dígito do número seja divisível por dois, isto é, se o resto da divisão do mesmo por dois for igual a zero então o número é par, caso contrário, é ímpar.

Exemplos:

${\displaystyle 6\Rightarrow 6\div 2=3,{\mbox{resto}}=0\Rightarrow 6{\mbox{ é par}}}$ 

${\displaystyle 282\Rightarrow 2\div 2=1,{\mbox{resto}}=0\Rightarrow 282{\mbox{ é par}}}$ 

${\displaystyle 4.875.979.749\Rightarrow 9\div 2=4,{\mbox{resto}}=1\neq 0\Rightarrow 4.875.979.749{\mbox{ é ímpar}}}$ 

Em outras palavras, neste método o último dígito é avaliado como um número isolado e considera-se que o número que originou o dígito mantém a mesma característica. Esse método é válido devido ao fato de utilizarmos por padrão o sistema de base 10 para representar os números. Como 10 é um número par, cada casa do número nesta base é formada por combinações de pares de números de mesma grandeza:

${\displaystyle {\mbox{Base }}10\rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)}$ 

Embora este método de avaliação seja válido nos sistemas numéricos mais comuns (como o Octal, base 8; e o Hexadecimal, base 16), este método não é válido em um sistema numérico com base ímpar. No sistema de base 7, por exemplo, 2₍₇₎ é par, mas 12₍₇₎ é ímpar. Isso acontece porque cada casa do número nesta base contém um número sem par da mesma grandeza, obrigando-o a fazer par com o número da casa seguinte:

${\displaystyle {\mbox{Base }}7\rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6{\color {Red},10})}$ 

 

 Ver artigo principal: Paridade do zero

O zero é um número par.^[1] Esta afirmação é feita devido às seguintes razões:

• ele é um número inteiro múltiplo de dois, isto é, ele pode ser escrito na forma 2n, sendo n inteiro;
• o zero é divisível por 2;
• o zero é cercado por número ímpares;
• o zero é o resultado da soma de algum número inteiro com o seu simétrico;
• zero elementos podem ser divididos em dois grupos com um número igual de elementos;
• o zero, interpretado como número par, é compatível com todas as regras das somas/subtrações e produtos de números pares e ímpares.

Ou seja, o zero compartilha todas as propriedades comuns a todos os números pares, portanto, conclui-se que ele é par. Popularmente, existe uma definição que determina o zero como sendo um número "nem fração nem ímpar". Esta afirmação geralmente vem acompanhada pela justificativa que o zero seria um "número neutro" e que a propriedade não se aplicaria ao mesmo. Esta afirmação é falsa devido ao fato do conceito de elemento neutro estar associada a uma operação e não a um conjunto numérico. De fato, o zero é o elemento neutro das operações de adição e subtração, mas não é, por exemplo, das operações de multiplicação e divisão.