Teorema Fundamental dos Homomorfismos

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Em álgebra abstrata, o teorema fundamental dos homomorfismos, também conhecido como teorema homomórfico fundamental, relaciona a estrutura de dois objetos, entre os quais existe um homomorfismo, e o núcleo e a imagem do homomorfismo.

O teorema homomórfico é usado para provar os teoremas do isomorfismo.

Dados dois grupos ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ e um homomorfismo de grupo ${\displaystyle f:G\to H}$, seja ${\displaystyle K}$ um subgrupo normal de ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle \varphi }$ o homomorfismo sobrejetivo canônico ${\displaystyle G\twoheadrightarrow G/K}$ (onde ${\displaystyle G/K}$ é um grupo quociente). Se ${\displaystyle K}$ é um subconjunto de ker${\displaystyle (f)}$, então, existe um único homomorfismo ${\displaystyle h:G/K\to H}$ tal que ${\displaystyle f=h\circ \varphi }$.

Em outras palavras, a projeção natural ${\displaystyle \varphi }$ é universal entre homomorfismos em ${\displaystyle G}$ que mapeiam ${\displaystyle K}$ para o elemento identidade.

A situação é descrita pelo seguinte diagrama comutativo:

Escolhendo ${\displaystyle K=\ker(f)}$ imediatamente se consegue o primeiro teorema do isomorfismo.

Seja ${\displaystyle X}$ um conjunto e ${\displaystyle R}$ uma relação de equivalência sobre ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle \pi _{R}:X\to X/R}$ a correspondente sobrejeção. Se ${\displaystyle Y}$ é um conjunto, uma função ${\displaystyle \sigma :X\to Y}$ será dita uma ${\displaystyle R}$-função quando ${\displaystyle \sigma }$ for constante nas classes de ${\displaystyle R}$, isto é, quando ${\displaystyle x\sim _{R}y}$ implica ${\displaystyle \sigma (x)=\sigma (y)}$ se ${\displaystyle x\in X,y\in X}$. Toda ${\displaystyle R}$-função fatora-se unicamente através do quociente ${\displaystyle X/R}$, isto é, existe uma única função ${\displaystyle {\widetilde {\sigma }}:X/R\to Y}$ tal que ${\displaystyle {\widetilde {\sigma }}\circ \pi _{R}=\sigma }$. A unicidade é imediata, posto que ${\displaystyle \pi _{R}}$ é sobrejetiva. Defina uma relação ${\displaystyle \Sigma }$ de ${\displaystyle X/R}$ em ${\displaystyle Y}$ consistindo de todos os pares ${\displaystyle (c,\sigma x)}$ para ${\displaystyle c\in X/R}$, ${\displaystyle x\in c}$. Essa relação é funcional: seu domínio é claramente todo o ${\displaystyle X/R}$; ademais, se ${\displaystyle (c,\sigma x)}$ e ${\displaystyle (c,\sigma y)}$ estão em ${\displaystyle \Sigma }$, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ estão na mesma ${\displaystyle R}$-classe, logo ${\displaystyle \sigma (x)=\sigma (y)}$ por hipótese. Temos então uma candidata à função procurada, que envia uma classe de ${\displaystyle X/R}$ à imagem por ${\displaystyle \sigma }$ de qualquer um de seus representantes. Mas agora é imediato que a fatoração se verifica, e estamos terminados.

Nas condições do enunciado do teorema do início desta seção, ${\displaystyle K\leq \ker(f)}$ é equivalente a ${\displaystyle f}$ ser uma ${\displaystyle \equiv _{K}}$-função; a aplicação induzida pelas observações do parágrafo anterior é um homomorfismo uma vez que ${\displaystyle \pi }$ é epimorfismo e ${\displaystyle f}$ é homomorfismo.

O Segundo Teorema dos Isomorfismos, também conhecido como Teorema do Isomorfismo do Reticulado (Lattice Isomorphism Theorem), tem o seguinte enunciado

Seja ${\displaystyle G}$ um grupo e seja ${\displaystyle N}$ um subgrupo normal de ${\displaystyle G}$:

(i) O epimorfismo canônico ${\displaystyle \pi :G\twoheadrightarrow G/N}$ induz um isomorfismo de reticulados entre o conjunto de subgrupos de ${\displaystyle G}$ contendo ${\displaystyle N}$ e o conjunto de subgrupos de ${\displaystyle G/N}$; esse isomorfismo preserva normalidade e podemos escrever ${\displaystyle K^{\pi }=K/N\leq G/N}$ se ${\displaystyle G\geq K\geq N}$.

(ii) Se ${\displaystyle G\geq H\geq N}$, há uma bijeção entre os espaços de classes ${\displaystyle G/H\to {\big (}G/N{\big )}{\big /}{\big (}H/N{\big )}}$, i.e., os índices ${\displaystyle \left[G:H\right]}$ e ${\displaystyle \left[G/N\,:\,H/N\right]}$ são iguais. Se, além disso, ${\displaystyle H\vartriangleleft G}$, (note-se que por (i) há uma estrutura natural de grupo no contradomínio) essa bijeção é um isomorfismo.

Prova.

Para (i), o isomorfismo envia um subgrupo à sua imagem por ${\displaystyle \pi }$ e traz um subgrupo por sua imagem inversa; trata-se de uma bijeção que preserva a ordem parcial de inclusão; também preserva subgrupos gerados e interseções*, portanto é um isomorfismo de reticulados. É imediato que preserva normalidade.

*Que preserva interseções é consequência da igualdade entre espaços de classe ${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in {\mathcal {A}}}{\big (}K_{\alpha }/L{\big )}={\Big (}\bigcap _{\alpha \in {\mathcal {A}}}K_{\alpha }{\Big )}{\Big /}\!L}$, para ${\displaystyle {\big (}K_{\alpha }{\big )}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ uma família de subgrupos de um mesmo grupo, cada um de seus membros contendo o subgrupo ${\displaystyle L}$. Uma inclusão é imediata; seja então ${\displaystyle \left(k_{\alpha }\right)_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ um elemento do conjunto ${\displaystyle \prod K_{\alpha }}$ tal que ${\displaystyle k_{\alpha }L=k_{\beta }L}$ quaisquer que sejam ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\mathcal {A}}}$. Já que ${\displaystyle L\leq \textstyle {\bigcap }\,K_{\alpha }}$, vale que para todo ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle k_{\alpha }\in \textstyle {\bigcap }\,K_{\alpha }}$, implicando a outra.

Para (ii), temos a função de projeção ${\displaystyle \pi _{2}:G/N\to G^{\pi }/H^{\pi }}$ , portanto temos a sobrejeção ${\displaystyle \pi _{2}\circ \pi :G\to {\big (}G/N{\big )}{\big /}{\big (}H/N{\big )}}$. Note que para ${\displaystyle a,b\in G}$, se ${\displaystyle a\equiv _{H}b}$, então ${\displaystyle a^{-1}b\in H}$ e ${\displaystyle \pi (a)^{-1}\pi (b)\in H^{\pi }}$ (${\displaystyle \pi }$ é homomorfismo), donde ${\displaystyle \pi (a)\equiv _{H^{\pi }}\pi (b)}$ ou seja ${\displaystyle \pi _{2}\circ \pi (a)=\pi _{2}\circ \pi (b)}$. Portanto ${\displaystyle \pi _{2}\circ \pi }$ desce, pela propriedade universal de conjuntos-quocientes, para uma função ${\displaystyle \varphi }$ entre os espaços de classe ${\displaystyle G/H\to {\big (}G/N{\big )}{\big /}{\big (}H/N{\big )}}$ tal que ${\displaystyle \varphi \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \pi }$, onde ${\displaystyle \pi _{1}}$ é a sobrejeção de ${\displaystyle G}$ sobre o espaço de classes ${\displaystyle G/H}$. Afirmo que ${\displaystyle \varphi }$ estabelece a equipotência: a função é sobrejetiva, pois o são ${\displaystyle \pi _{2}\circ \pi }$ e ${\displaystyle \pi _{1}}$; é injetiva pois se, digamos, ${\displaystyle x=\pi _{1}(s),y=\pi _{1}(t)}$, têm a mesma imagem por ${\displaystyle \varphi }$, então ${\displaystyle \pi _{2}\circ \pi (s)=\pi _{2}\circ \pi (t)}$, logo ${\displaystyle \pi (s)^{-1}\pi (t)\in H^{\pi }}$, daí ${\displaystyle \pi (s^{-1}t)\in H^{\pi }}$, portanto ${\displaystyle s^{-1}t\in H}$ (pelo isomorfismo de reticulados), logo ${\displaystyle x=y}$. Se adicionalmente ${\displaystyle H\vartriangleleft G}$, o argumento se repete mutatis mutandis: em vez de apelarmos à propriedade universal de conjuntos-quocientes, apelamos àquela dos grupos quocientes (isto é, ao teorema que dá nome a esta página), obtendo um homomorfismo que se fatora como antes (uma vez que todas as projeções em questão tornam-se homomorfismos), estabelecendo enfim o isomorfismo ${\displaystyle G/H\cong {\big (}G/N{\big )}{\big /}{\big (}H/N{\big )}}$.

Ideias análogas às anteriores podem ser usadas para provar a seguinte

Proposição. Sejam ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle K}$ subgrupos de um grupo. Então o conjunto de produtos ${\displaystyle HK=\{hk:h\in H,k\in K\}}$ tem cardinalidade ${\displaystyle [H:H\cap K]\cdot \vert K\vert }$ (interprete-se à luz da aritmética cardinal).

Se ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle K}$ forem finitos, recuperamos a conhecida fórmula ${\displaystyle \vert HK\vert ={\frac {\vert H\vert \cdot \vert K\vert }{\vert H\cap K\vert }}}$.

Para provarmos, note que temos o seguinte

Fato. Seja ${\displaystyle G}$ um grupo e sejam ${\displaystyle S}$ um conjunto de elementos de ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H\leq G}$ com seus elementos em ${\displaystyle S}$. Suponha que ${\displaystyle sh\in S}$ sempre que ${\displaystyle s\in S}$ e ${\displaystyle h}$ for um elemento do subgrupo ${\displaystyle H}$. Já que ${\displaystyle H\leq G}$, a relação ${\displaystyle \equiv _{H}}$ é uma relação de equivalência sobre ${\displaystyle S}$ e a hipótese sobre ${\displaystyle S}$ garante que as classes de equivalência são da forma ${\displaystyle sH}$ para algum ${\displaystyle s\in S}$. Logo ${\displaystyle \operatorname {Card} (S)={\big (}\!\operatorname {Card} (S/\!\equiv _{H}){\big )}\vert H\vert }$.

O leitor deve ter reconhecido o fato anterior como uma generalização modesta do Teorema de Lagrange. O importante é que, diferentemente deste último, não exigimos que a operação do grupo restrinja-se ao conjunto de elementos. Isso é crucial para provarmos a Proposição: o conjunto ${\displaystyle HK}$ satisfaz as hipóteses, se tomarmos o subgrupo como sendo ${\displaystyle K}$. Temos a composição natural ${\displaystyle H\,\,{\xrightarrow[{}]{\iota }}\,\,HK\,\,{\xrightarrow[{}]{\pi }}\,\,(HK)/\!\equiv _{K}}$ que envia um elemento à sua classe. Trata-se de uma ${\displaystyle \equiv _{H\cap K}}$-função; esta desce, logo, a uma função ${\displaystyle \theta }$ que vai do espaço de classes ${\displaystyle H/H\cap K}$ ao conjunto ${\displaystyle (HK)/\!\equiv _{K}}$. Agora é rotina checar que se trata de uma bijeção. ///

Utilizando o subgrupo ${\displaystyle H}$ e classes laterais à direita, obtém-se que a cardinalidade de ${\displaystyle HK}$ também é igual a ${\displaystyle [K:H\cap K]\cdot \vert H\vert }$, que é igual à cardinalidade de ${\displaystyle KH}$.

Finalizaremos com a seguinte

Proposição. Se ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle K}$ forem subgrupos tais que ${\displaystyle H}$ normaliza ${\displaystyle K}$, então o conjunto ${\displaystyle HK}$ forma um subgrupo, ${\displaystyle K\vartriangleleft HK}$, ${\displaystyle H\cap K\!\vartriangleleft H}$ e a função ${\displaystyle \theta :H/H\cap K\to (HK)/K}$ obtida anteriormente é um isomorfismo.

Teoremas semelhantes são válidos para monóides, espaços vetoriais, módulos e anéis.

• Homomorfismo
• Isomorfismo
• Grupos

• Beachy, John A. (1999), «Theorem 1.2.7 (The fundamental homomorphism theorem)», Introductory Lectures on Rings and Modules, ISBN 9780521644075, London Mathematical Society Student Texts, 47, Cambridge University Press, p. 27 
• Grove, Larry C. (2012), «Theorem 1.11 (The Fundamental Homomorphism Theorem)», Algebra, ISBN 9780486142135, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 11 .
• Jacobson, Nathan (2012), «Fundamental theorem on homomorphisms of Ω-algebras», Basic Algebra II, ISBN 9780486135212, Dover Books on Mathematics 2nd ed. , Courier Corporation, p. 62  .
• Rose, John S. (1994), «3.24 Fundamental theorem on homomorphisms», A course on Group Theory [reprint of the 1978 original], ISBN 0-486-68194-7, Dover Publications, Inc., New York, pp. 44–45 .