Série geométrica

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A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica: $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots }$$ (Veja somatório)

Esta série é convergente se e somente se ${\displaystyle |r|<1}$ e, neste caso, a soma vale: $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}}$$ (Veja somatório)

Da teoria das progressões geométricas, temos que: $${\displaystyle \sum _{n=N1}^{N2}r^{n}=r^{N1}{\frac {1-r^{N2-N1+1}}{1-r}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}r^{n}={\frac {1-r^{N+1}}{1-r}}={\frac {1}{1-r}}-{\frac {r^{N+1}}{1-r}}}$$ É fácil ver que se ${\displaystyle |r|<1}$ então esta série é convergente e sua soma é dada por: $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}}$$

Por outro lado, se ${\displaystyle |r|\geq 1}$, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da Razão r seja menor que 1, sua soma é dada por: $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}}$$ Onde "a" é o termo inicial da série.

Podemos utilizar esta série para calcular algumas séries de Taylor:

• ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},~~|x|<1}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n},~~|x|<1}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{2n},~~|x|<1}$

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