Matriz bissimétrica

Em matemática, uma matriz bissimétrica é uma matriz quadrada simétrica em relação às duas diagonais principais. Mais precisamente, uma matriz ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle n\times n}$ é bissimétrica se ela satisfaz tanto ${\displaystyle A=A^{T}}$ quanto ${\displaystyle AJ=JA}$, onde ${\displaystyle J}$ é a matriz de troca ${\displaystyle n\times n}$.

Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}.}$

• Matrizes bissimétricas são centrossimétricas e persimétricas simétricas.
• O produto de duas matrizes bissimétricas é uma matriz centrosimétrica.
• Matrizes bissimétricas de valor real são precisamente aquelas matrizes simétricas cujos autovalores permanecem os mesmos, exceto por possíveis mudanças de sinal após a pré ou pós-multiplicação pela matriz de troca.^[1]
• Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz bissimétrica real com autovalores distintos, então as matrizes que comutam com ${\displaystyle A}$ devem ser bissimétricas.^[2]
• O inverso das matrizes bissimétricas pode ser representado por fórmulas de recorrência.^[3]

Referências

1. ↑ Tao, David; Yasuda, Mark (2002). «A spectral characterization of generalized real symmetric centrosymmetric and generalized real symmetric skew-centrosymmetric matrices». SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 23 (3): 885–895. doi:10.1137/S0895479801386730 
2. ↑ Yasuda, Mark (2012). «Some properties of commuting and anti-commuting m-involutions». Acta Mathematica Scientia. 32 (2): 631–644. doi:10.1016/S0252-9602(12)60044-7 
3. ↑ Wang, Yanfeng; Lü, Feng; Lü, Weiran (10 de janeiro de 2018). «The inverse of bisymmetric matrices». Linear and Multilinear Algebra. 0 (3): 479–489. ISSN 0308-1087. doi:10.1080/03081087.2017.1422688 

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