Jacques Herbrand

Jacques Herbrand
Jaques Herbrand em sua última viagem de escalada de montanhas
Nascimento	12 de fevereiro de 1908 Paris
Morte	27 de julho de 1931 (23 anos) Oisans
Nacionalidade	Francês
Alma mater	Escola Normal Superior de Paris
Orientador(es)(as)	Ernest Vessiot[1]

Jacques Herbrand (Paris, 12 de fevereiro de 1908 — Oisans, 27 de julho de 1931) foi um matemático francês. Trabalhou em lógica matemática e teoria dos corpos de classes.

Herbrand introduziu funções recursivas em meados de 1932. A expressão teorema de Herbrand se refere a dois teoremas completamente diferentes. Um é o resultado da sua tese de doutorado em teoria da prova, e do teorema de Herbrand-Ribet. O quociente de Herbrand é um tipo de característica de Euler, usada em algebra homológica. Ele contribuiu para o programa de Hilbert nos fundamentos da matemática fornecendo uma demonstração de consistência construtiva para um sistema fraco da aritmética. A demonstração usa o supra-mencionado teorema de Herbrand em teoria da prova.

Herbrand terminou seu doutorado na École Normale Supérieure em Paris sob a orientação de Ernest Vessiot, em 1929. Entretanto, ele ingressou no exército em Outubro de 1929, e não defendeu sua tese na Sorbonne antes do ano seguinte. Ele ganhou uma bolsa Rockefeller que o permitiu estudar na Alemanha em 1931, primeiro com John von Neumann em Berlim, e em junho com Emil Artin em Hamburgo, e finalmente com Emmy Noether em Göttingen.

Ele submeteu seu principal estudo sobre da teoria da prova e funções recursivas gerais, "On the consistency of arithmetic" (Sobre a consistência da aritmética) no início de 1931. Enquanto seu ensaio estava sendo examinado, o "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I" (Sobre sentenças formalmente indecidíveis do Principia Mathematica e sistemas relacionados I) de Gödel anunciou a impossibilidade de formalizar a prova de consistência de uma teoria suficientemente forte dentro dessa própria teoria. Herbrand estudou o ensaio de Gödel e escreveu um apêndice para o seu próprio estudo explicando porque o resultado de Gödel não contradizia o seu. Em julho daquele ano ele estava escalando os Alpes franceses com dois amigos, caiu nas montanhas de granito do Massif des Écrins e morreu. "On the consistency of arithmetic" foi publicado postumamente.

Definição de "unificador": Seja S={ t1 = t1', ..., tn = tn'} um sistema de equações entre termos de uma assinatura L, possivelmente contendo X1,...., Xn. Uma substituição unificadora de S, ou simplesmente um unificador de S é uma substituição [s1/X1,....,sn/Xn] tal que torna todas as equações em equações entre termos idênticos.

O método da unificação de termos por transformações entre sistemas de equações é constituído de três regras básicas:

Obs. U (significa união nos exemplos abaixo)ː

1. (Eliminação de triviais): S U {X = X} ---> S
2. (Decomposição de termos): S U {f(t1,...,tn) = f(t1', ..., tn')} -----> S U { t1 = t1', ..., tn = tn'}
3. (Eliminação de variáveis): S U { X = t} ----> S[t/X] U {X = t}

Herbrand mostrou que esse método é "correto e completo", isto é:

1. Se o método encontra uma substituição "J", então, aplicando J ao sistema inicial S estaremos resolvendo todas as suas equações (corretude).
2. Se o sistema inicial S tem uma solução "J" então o método encontra essa substituição em um número finito de aplicações de suas regras (completude).

Seja S um conjunto de cláusulas numa assinatura L. Então: S é insatisfatível (não-satisfatível) se e somente se existe um conjunto finito de instâncias básicas de cláusulas de S que é insatisfatível.

ou seja:

1. Se um conjunto de fórmulas for insatisfatível então existe um conjunto finito de instâncias básicas dessas fórmulas que comprovam isso, isto é, é também insatisfatível (completude).
2. Se existe um conjunto de instancias básicas dessas fórmulas que é insatisfatível, então o conjunto em si é insatisfatível (corretude).

"Jacques Herbrand teria odiado Bourbaki" disse o matemático francês Claude Chevalley, esta citação se encontra em "Nicolas Bourbaki: Faits et légendes" Edition du Choix, 1995, de Michèle Chouchan.

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