Integral de Riemann

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No ramo da matemática conhecido como análise real, a integral de Riemann, criada por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função em um intervalo. Embora a integral de Riemann seja inadequada para muitos propósitos teóricos, é uma das definições mais simples de integral. Algumas deficiências desta técnica podem ser contornadas pela integral de Riemann-Stieltjes, e a maioria delas desaparece na integral de Lebesgue.

Seja ${\displaystyle f(x)}$ uma função não negativa válida para os números reais do intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, e seja ${\displaystyle S=\{(x,y);0<y<f(x)\}}$ uma região do plano sob a função ${\displaystyle f(x)}$ e acima do intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ (ver a figura 1). O interesse é medir a área de ${\displaystyle S}$. Uma vez realizada esta medição, esta é denotada por:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x\,.}$

A ideia básica de integral de Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade para a área de ${\displaystyle S}$. Para uma aproximação cada vez melhor, é dito que "no limite" é obtida exatamente a área de ${\displaystyle S}$ sob a curva.

Onde ${\displaystyle f}$ pode ser positivo e negativo, a integral corresponde à "área com sinal"; isto é, a área acima do eixo ${\displaystyle x}$ é positiva e a área abaixo do eixo ${\displaystyle x}$ é negativa.

Uma partição de um intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ é uma sequência finita ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$. Cada ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ é denominado como um sub-intervalo da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento do mais longo sub-intervalo ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$, isto é, aquele em que ${\displaystyle \max(x_{i+1}-x_{i})}$ onde ${\displaystyle 0\leq i\leq n-1}$. Isto também é conhecido como norma de partição.

Uma partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente com uma sequência finita de números ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ sujeito à condição de que para cada ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}}$. Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma que para uma partição ordinária.

Supondo que ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ juntamente com ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ são uma partição etiquetada de ${\displaystyle [a,b]}$, e que ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ juntamente com ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ seja uma outra partição etiquetada de ${\displaystyle [a,b]}$. Podemos dizer que ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ e ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ juntas são um refinamento da ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ juntamente com ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ se para cada inteiro ${\displaystyle i}$ com ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$, exista um inteiro ${\displaystyle r(i)}$ tal que ${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}$ e tal que ${\displaystyle t_{i}=s_{j}}$ para algum ${\displaystyle j}$ com ${\displaystyle r(i)\leq j\leq r(i+1)}$. Falando de uma maneira mais simples, um refinamento de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto não chega a lugar algum.

Podemos definir uma ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas de partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um refinamento da menor.

Escolha uma função válida para números reais ${\displaystyle f}$ a qual se encontra definida no intervalo ${\displaystyle [a,b]}$. A Soma de Riemann de ${\displaystyle f}$ com respeito a partição denominada ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ com ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ é:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).}$

Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um retângulo com a altura ${\displaystyle f(t_{i})}$ e o comprimento ${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}}$. A soma de Riemann é a área sinalizada de todos os retângulos.

Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma função de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o significado preciso acerca do que significa "cada vez mais fino" é o mais importante.

Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa aproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom para definir uma integral. Para ser especifico, nós dizemos que a integral Riemann de ${\displaystyle f}$ se igualara a ${\displaystyle S}$ se as seguintes condições foram consideradas:

Para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$, onde exista ${\displaystyle \delta >0}$ tal que para qualquer partição etiquetada ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ e ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ onde a malha seja menor que ${\displaystyle \delta }$, nós temos:

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-s\right|<\epsilon .\,}$

Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil para se trabalhar. Então faremos uma definição alternativa para a integral de Riemann a qual seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma definição que a original. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de ${\displaystyle f}$ é igual a ${\displaystyle s}$ se as seguintes condições foram consideradas:

Para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$, existe uma partição etiquetada ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ e ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ tal que para qualquer refinamento ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$ e ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}}$ de ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ e ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$, nós teremos

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-s\right|<\epsilon .\,}$

Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de ${\displaystyle f}$ com respeito para qualquer partição que seja selecionada que leve a se aproximar de ${\displaystyle s}$. Desde que isto seja verdade, não importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nós diremos que a soma Riemann convergira para ${\displaystyle s}$. Esta definição é sempre um caso especial de um conceito mais geral, uma rede.

Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, ${\displaystyle s}$ funciona na sua primeira definição se e somente se ${\displaystyle s}$ funciona na sua segunda definição. Para mostrar que a primeira definição implica a segunda, iniciamos com um ${\displaystyle \epsilon }$, e escolhemos um ${\displaystyle \delta }$ que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição etiquetada onde a malha é menor que ${\displaystyle \delta }$. Esta soma Riemann é em dentro ${\displaystyle \epsilon }$ de ${\displaystyle s}$, e qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que ${\displaystyle \delta }$, então a soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em ${\displaystyle \epsilon }$ de ${\displaystyle s}$. Para mostrar que a segunda definição implica a primeira, isto é facilitado com uso da integral de Darboux. Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da integral de Darboux, para isto veja a integral. Agora nós iremos mostrar que a função de integração de Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ tal que o limite inferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentro ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$ do valor ${\displaystyle s}$ da integral de Darboux. Seja ${\displaystyle r}$ igual ${\displaystyle \max _{0\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n-1}M_{i}-m_{i}}$, onde ${\displaystyle M_{i}}$ e ${\displaystyle m_{i}}$ são o supremum e infimum, respectivamente, de ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$, e sendo ${\displaystyle \delta }$ menor que ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2rn}}}$ e ${\displaystyle \min _{0\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n-1}x_{i+1}-x_{i}}$. Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de ${\displaystyle f}$ com respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que ${\displaystyle \delta }$ ira estar em dentro de ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}}$ da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de ${\displaystyle \epsilon }$ de ${\displaystyle s}$.