Elipsoide

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Em matemática, um elipsoide (pré-AO 1990: elipsóide) é uma superfície cuja equação num sistema de coordenadas cartesianas x-y-z é

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$

onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsoide. Se dois dos números são iguais, o elipsoide é um esferoide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.

Supondo a ≥ b ≥ c, então:

• a ≠ b ≠ c : o elipsoide é escaleno
• c = 0 : o elipsoide é plano (duas elipses em simetria)
• b = c : esferoide em forma de charuto
• a = b : esferoide em forma de comprimido
• a = b = c : esfera

Os esferoides resultam da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos.

O volume de um elipsoide é dado por:^[1]

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}$

A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:

${\displaystyle 2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)}$

em que

${\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}}$

${\displaystyle \theta =\arcsin {\left(e\right)}}$

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

e ${\displaystyle F(\theta ,m)}$ e ${\displaystyle E(\theta ,m)}$ são os integrais elípticos incompletos do segundo e terceiro tipos.

Fórmulas aproximadas:

Elipsoide plano: ${\displaystyle =2\pi \left(ab\right)}$

Se ${\displaystyle b=c}$: ${\displaystyle \approx 2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)}$

Se ${\displaystyle a=b}$: ${\displaystyle \approx 2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)}$

Se o elipsoide é escaleno: ${\displaystyle \approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}}$

onde p ≈ 1,6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1 061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de p = 8/5 = 1,6 resulta bem para praticamente todos os elipsoides esferoides, com erro relativo máximo de 1 178% (fórmula de David W. Cantrell).

Ao aplicar uma transformação linear invertível a uma esfera, obtém-se um elipsoide

A intersecção de um elipsoide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.

Nas ciências cartográficas, os elipsoides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos polos, ao contrário das esferas. As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.

• Elipse
• Paraboloide
• Hiperboloide
• Elipsoide de referência
• Geoide
• Lugar geométrico