Derivada direcional

Em matemática, a derivada direcional de uma função multivariável diferenciável ao longo de um dado vetor v em um dado ponto x intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função, movendo-se através de x com uma velocidade especificada por v. Ela, portanto, generaliza a noção de derivada parcial, em que a taxa de mudança é tomada ao longo de uma curva em um sistema de coordenadas curvilíneo, com todas as outras coordenadas sendo constantes.

A derivada direcional é um caso especial da derivada de Gâteaux.

Seja τ uma curva cujo vetor tangente em algum ponto escolhido é v. A derivada  direcional de uma função f em relação a v pode ser representada das seguintes maneiras:

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} ),}$
• ${\displaystyle f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} ),}$
• ${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} ),}$
• ${\displaystyle Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} ),}$
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} ),}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial {f(\mathbf {x} )}}{\partial {\tau }}},}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )},}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.}$

A derivada direcional de uma função da forma ${\displaystyle z=f(x,y)}$ na direção ${\displaystyle {\vec {u}}}$ tem por definição:

${\displaystyle D{\vec {u}}f(x,y)={df \over dx}{\scriptstyle {\text{u1}}}+{df \over dy}{\scriptstyle {\text{u2}}}}$

Também pode ser escrita como o produto escalar: ${\displaystyle D{\vec {u}}f(x,y)={\vec {\nabla }}f\centerdot {\vec {u}}}$

Essa definição foi estabelecida para duas dimensões, mas pode ser generalizada para três dimensões. Teremos, portanto, uma função de três variáveis, w = f (x, y, z), que pode ser representada graficamente num sistema de coordenadas retangulares.

Esse produto escalar entre o gradiente de f e um vetor unitário ${\displaystyle {\vec {u}}}$ tem grandes implicações na matemática. Sejam algumas delas:

• A derivada direcional será máxima e igual ao módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ e ${\displaystyle {\vec {u}}}$ for igual a zero.

${\textstyle D{\vec {u}}f(x,y)=\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert \left\vert {\vec {u}}\right\vert \cos 0^{\circ }\therefore D{\vec {u}}f(x,y)=\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert }$

• A derivada direcional será mínima e igual a menos o módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ e ${\displaystyle {\vec {u}}}$ for igual a 180°.

${\displaystyle D{\vec {u}}f(x,y)=\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert \left\vert {\vec {u}}\right\vert \cos 180^{\circ }\therefore D{\vec {u}}f(x,y)=-\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert }$

• A derivada direcional será nula se ${\displaystyle f(x,y)}$ for uma curva de nível representada por ${\displaystyle f(x,y)=k}$ e ${\displaystyle {\vec {u}}}$ for um vetor tangente à curva de nível. Observando o produto escalar ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f\centerdot {\vec {u}}=0}$ temos uma condição de perpendicularidade entre ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ e ${\displaystyle {\vec {u}}}$, o que prova que o gradiente será normal à curva de nível ${\displaystyle f(x,y)=k}$.

Em um espaço Euclidiano, alguns autores^[1] definem a derivada direcional como sendo relacionada a um vetor v arbitrário e não nulo depois de normalizado, sendo, pois, independente de sua magnitude e dependendo apenas de sua direção.

Esta definição fornece a taxa de crescimento de f por unidade de distância movida na direção dada por v. Neste caso, tem-se que

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},}$

ou no caso de f ser diferenciável em x,

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.}$

No contexto de uma função em um espaço Euclidiano, alguns textos restringem o vetor v a ser um vetor unitário. Com esta restrição, ambas as definições acima são equivalentes.^[2]

Muitas das propriedades familiares da derivada ordinária são mantidas para a derivada direcional. Estes incluem, para quaisquer funções f e g definidas e diferenciáveis em um ponto p, bem como em sua vizinhança:

Seja M uma variedade diferenciável e p um ponto de M. Suponha que f é uma função definida em uma vizinhança de p, e diferenciável em p. Se v é um vetor tangente a M em p, então a derivada direcional de f ao longo de v, denotada alternativamente como df(v), (consulte a derivada Covariante), (consulte a Derivada de Lie), ou, pode ser definido como se segue. Deixe γ : [−1, 1] → M ser uma curva diferenciável com γ(0) = p e γ′(0) = v. Então a derivada direcional é definida por

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.}$

Esta definição pode ser comprovada independentemente da escolha de γ, desde que γ seja selecionado da maneira descrita de modo que γ′(0) = v.

A derivada de Lie de um campo de vetores ao longo de um campo de vetores é dada pela diferença de duas derivadas direcionais:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.}$

Em particular, para um campo escalar a derivada de Lie reduz-se à derivada direcional padrão:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .}$

Derivadas direcionais são usadas frequentemente em derivações introdutórias do tensor de curvatura de Riemann. Considere um retângulo curvado com um vetor infinitesimal δ ao longo de uma borda e δ′ ao longo da outra. Transladamos um covetor S ao longo de δ, em seguida, δ′ e, em seguida, subtraímos a translação ao longo de δ′ e, em seguida, de δ. Em vez de construir a derivada direcional usando derivadas parciais, usamos a derivada covariante. O operador de translação para δ é portanto

${\displaystyle 1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,}$

e para δ′,

${\displaystyle 1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.}$

A diferença entre os dois caminhos é, então,

${\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.}$

Pode-se argumentar^[3] que a não comutatividade das derivadas covariantes mede a curvatura da variedade:

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },}$

onde R é o tensor de curvatura de Riemann e o sinal depende da convenção de sinais do autor.

Na álgebra de Poincaré, podemos definir um operador de translação infinitesimal P como

${\displaystyle \mathbf {P} =i\nabla .}$

(o i assegura que P é um operador autoadjunto). Para um deslocamento finito λ, a representação  unitária do espaço de Hilbert para translações é^[4]

${\displaystyle U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(-i\mathbf {\lambda } \cdot \mathbf {P} \right).}$

Usando a definição acima de operador de translação infinitesimal, vemos que o operador de translação finita é o exponencial de uma derivada direcional:

${\displaystyle U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right).}$

Este é um operador de translação, no sentido em que ele atua sobre funções multivariadas f(x) como

${\displaystyle U(\mathbf {\lambda } )f(\mathbf {x} )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +\mathbf {\lambda } ).}$

Prova da última equação

A derivada de uma função suave f(x) é definida por (para um termo ε pequeno) ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}.}$ Isto pode ser rearranjado para encontrar f(x+ε): ${\displaystyle f(x+\epsilon )=f(x)+\epsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\epsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).}$ Daí, ${\displaystyle [1+\epsilon \,(d/dx)]}$ é uma operador de translação. Isto é instantaneamente generalizado[5] para de funções com diversas variáveis f(x) ${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {\epsilon } )=\left(1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).}$ Aqui ${\displaystyle \mathbf {\epsilon } \cdot \nabla }$ é a derivada direcional ao longo do deslocamento infinitesimal ε. Encontramos a versão infinitesimal do operador translacional: ${\displaystyle U(\mathbf {\epsilon } )=1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla .}$ É evidente que a lei de multiplicação do grupo[6] U(g)U(f)=U(gf) assume a forma ${\displaystyle U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).}$ Então, suponha-se que tomemos um deslocamento finito λ e dividamos em N partes (N→∞ é implicado em todos os lugares), assim λ/N=ε. Em outras palavras, ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =N\mathbf {\epsilon } .}$ Então, aplicando U(ε) N vezes, podemos construir U(λ): ${\displaystyle [U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}=U(N\mathbf {\epsilon } )=U(\mathbf {\lambda } ).}$ Agora podemos conectar na expressão acima em U(ε): ${\displaystyle [U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}=\left[1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {\mathbf {\lambda } \cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.}$ Usando a identidade[7] ${\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},}$ obtemos ${\displaystyle U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right).}$ Uma vez que U(ε)f(x)=f(x+ε), vamos encontrar ${\displaystyle [U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N\mathbf {\epsilon } )=f(\mathbf {x} +\mathbf {\lambda } )=U(\mathbf {\lambda } )f(\mathbf {x} )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),}$ Q.E.D. Como uma nota técnica, este procedimento só é possível porque o grupo de translação forma um subgrupo abeliano (subálgebra de Cartan) na álgebra de Poincaré. Em particular, a lei multiplicativa do grupo U(a)U(b)=U(a+b) não deve ser considerada. Também podemos notar que Poincaré é um grupo de Lie conectado. É um grupo de transformação T(ξ) que é descrito por um conjunto contínuo de parâmetros reais ${\displaystyle \scriptstyle \xi ^{a}}$. A lei multiplicativa do grupo assume a foma ${\displaystyle T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).}$ Tomando ${\displaystyle \scriptstyle \xi ^{a}}$=0 como as coordenadas da identidade, temos ${\displaystyle f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.}$ Os operadores no espaço de Hilbert são representados pelos operadores unitários U(T(ξ)). Na notação acima, foi suprimido o T; agora vamos escrever U(λ) como U(P(λ)). Para as vizinhança próxima à identidade, a série de potências pode ser representada como ${\displaystyle U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots }$ Suponha que U(T(ξ)) forma uma representação sem projeção, isto é, ${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).}$ A expansão de f à segunda potência é ${\displaystyle f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.}$ Depois de expandir a equação de multiplicação de representação e equacionando os coeficientes, temos a condição não trivial ${\displaystyle t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.}$ Uma vez que ${\displaystyle \scriptstyle t_{ab}}$ é por definição simétrica em seus índices, nós vamos ter o comutador padrão da álgebra de Lie: ${\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},}$ sendo C a constante de estrutura. Os geradores para translação são operadores de derivadas parciais, que comutam: ${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.}$ Isso implica que as constantes de estrutura somem e então os coeficientes quadráticos na expansão de f somem também, o que significa que f é simplesmente aditiva: ${\displaystyle f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},}$ e então para grupos abelianos, ${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).}$ Q.E.D.

O operador rotacional também contém uma derivada direcional. O operador rotacional de um ângulo θ, isto é, por uma quantidade θ=|θ| em torno de um eixo paralelo a =θ/θ é

${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).}$

Aqui L é o operador vetorial que gera SO(3):

${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .}$

Pode ser demonstrado geometricamente que uma rotação infinitesimal dextrógira altera a posição do vetor x por

${\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} .}$

Assim, nós esperaríamos de uma rotação infinitesimal:

${\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.}$

Segue que

${\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .}$

Seguindo o mesmo procedimento de exponenciação acima, chegamos no operador rotacional na posição base, que é o exponencial de uma derivada direcional:^[8]

${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).}$

Uma derivada normal é uma derivada direcional tomada na direção normal (isto é, ortogonal) a alguma superfície no espaço, ou, mais geralmente, ao longo de um campo vetorial normal a alguma hipersuperfície. Veja, por exemplo, a condição de contorno de Neumann. Se a direção normal é denotada por ${\displaystyle \mathbf {n} }$, então a derivada direcional de uma função f é às vezes denotada por ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}}$. Em outras notações,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}$

Vários resultados importantes em mecânica contínua exigem as derivadas de vetores em relação aos vetores e de tensores em relação aos vetores e tensores.^[9] A derivada direcional proporciona uma forma sistemática de encontrar essas derivadas.

As definições de derivadas direcionais para várias situações são dadas abaixo. Presume-se que as funções são suficientemente suaves para que as derivadas possam ser tomadas.

Seja ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ uma função com imagem real do vetor ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Então a derivada de ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ em relação a ${\displaystyle \mathbf {v} }$ na direção ${\displaystyle \mathbf {u} }$ é definida como

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$

para todos os vetores ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

Propriedades:

Seja ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )}$ uma função, com imagem vetorial, do vetor ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Então a derivada de ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )}$ em relação a ${\displaystyle \mathbf {v} }$ na direção ${\displaystyle \mathbf {u} }$ é o tensor de segunda ordem definido como

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$

para todos os vetores ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

Propriedades:

Seja ${\displaystyle f(\mathbf {S} )}$ uma função com imagem real do tensor de segunda ordem ${\displaystyle \mathbf {S} }$. Então a derivada de ${\displaystyle f(\mathbf {S} )}$ em relação à ${\displaystyle \mathbf {S} }$ na direção ${\displaystyle \mathbf {T} }$ é o tensor de segunda ordem definido como

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =Df(\mathbf {S} )[\mathbf {T} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {S} +\alpha \mathbf {T} )\right]_{\alpha =0}}$

para todos os tensores de segunda ordem ${\displaystyle \mathbf {T} }$.

Propriedades:

Seja ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {S} )}$ uma função com imagem tensorial de segunda ordem do tensor de segunda ordem ${\displaystyle \mathbf {S} }$. Então a derivada de ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {S} )}$ em relação à ${\displaystyle \mathbf {S} }$ na direção ${\displaystyle \mathbf {T} }$ é o tensor de quarta ordem definido como

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =D\mathbf {F} (\mathbf {S} )[\mathbf {T} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {F} (\mathbf {S} +\alpha \mathbf {T} )\right]_{\alpha =0}}$

para todos os tensores de segunda ordem ${\displaystyle \mathbf {T} }$.

Propriedades:

• Derivada de Fréchet
• Derivada de Lie
• Forma diferencial
• Del em coordenadas cilíndricas e esféricas

• Hildebrand, F. B. Advanced Calculus for Applications. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-011189-9 
• K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-521-86153-3 
• Strauch, I. Análise Vetorial em Dez Aulas.

Referências

1. ↑ Thomas, George B. Jr.; and Finney, Ross L. (1979) Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley Publ. Co., fifth edition, p. 593.
2. ↑ Hughes-Hallet, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (1 de janeiro de 2012). Calculus : Single and multivariable. [S.l.]: John wiley. 780 páginas. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 
3. ↑ Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. p. 341. ISBN 9780691145587 
4. ↑ Weinberg, Steven (1999). The quantum theory of fields Reprinted (with corr.). ed. Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521550017 
5. ↑ Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691145587 
6. ↑ Mexico, Kevin Cahill, University of New (2013). Physical mathematics Repr. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211 
7. ↑ Edwards, Ron Larson, Robert, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable 9th ed. Belmont: Brooks/Cole. ISBN 9780547209982 
8. ↑ Shankar, R. (1994). Principles of quantum mechanics 2nd ed. New York: Kluwer Academic / Plenum. p. 318. ISBN 9780306447907 
9. ↑ J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.

Ligações externas

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• Derivadas direcionais em MathWorld.
• Derivadas direcionais em PlanetMath.