Frassion continuà

Na frassion continuà (o frassion continua) a l'é n'espression dla forma

ch'as denòta ëdcò ${\displaystyle [a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}]}$, anté che ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$ a l'é na sequensa, pì 'd soens, ëd nùmer ò ëd fonsion numériche.

Si le quantità ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ a son tute positive, la frassion continuà a l'é bin definìa.

Cand ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$ a l'é na sequensa infinìa, as peul consideresse la frassion continuà

coma ël lìmit dla sequensa ${\displaystyle ([a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}])_{n}}$.

L'anvension dle frassion continuà a armonta a Pietro Antonio Cataldi. Ël prim a ciameje parèj a l'é stàit John Wallis.

Na frassion continuà ${\displaystyle [a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},\dots ]}$ a l'é regolar cand ${\displaystyle a_{0}}$ a l'é 'n nùmer antregh e ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ a son antregh positiv. Ant ës cas-sì la frassion continuà ${\displaystyle [a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},\dots ]}$ a l'é 'n nùmer rassional se la sequensa ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$ a l'é finìa, dësnò a l'é n'irassional; ij nùmer ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ as ciamo cossient parsiaj.

Dàit doi nùmer antregh, la sequensa dij cossient ${\displaystyle (a_{0},\ldots ,a_{n})}$ dle division sucessive dl'algoritm d'Euclid a forma na frassion continuà regolar. An sa manera as detérmina na bijession an tra nùmer rassionaj e frassion continuà limità regolar ch'a l'han darié denominator parsial pì grand che 1.

La corispondensa ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots )\mapsto [a_{0},a_{1},\ldots ]}$ a l'é na bijession an tra sequense infinìe d'antregh con ${\displaystyle a_{j}>0}$ për j>0 e nùmer irassionaj. Për esempi, e=[2,1,2,1,1,4,...,2k,1,1,...], visadì l'espansion an frassion continuà dël nùmer ${\displaystyle e=[a_{0},a_{1},\ldots ]}$ a l'ha coefissient ${\displaystyle a_{0}=2,a_{1}=1}$ e ${\displaystyle a_{3k-1}=2k,a_{3k}=a_{3k+1}=1}$ për k>0.
Ij nùmer irassionaj ch'a corispondo a sequense periòdiche a son rèis ëd polinòmi ëd second gré a coefissient costant (e as ciamo nùmer irassionaj quadràtich).