Transformacja naturalna

Jeżeli ${\displaystyle {\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}}$  są kategoriami, a ${\displaystyle F\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}},}$  ${\displaystyle G\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$  są parą równoległych funktorów kowariantnych, to transformacją naturalną z ${\displaystyle F}$  do ${\displaystyle G}$  nazywamy rodzinę ${\displaystyle \{\eta _{X}\}_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}}$  morfizmów ${\displaystyle \eta _{X}\colon F(X)\to G(X)}$  kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  indeksowaną obiektami ${\displaystyle X\in {\mathfrak {A}}^{o}\!=\mathrm {Ob} {\mathfrak {A}},}$  taką, że dla dowolnego morfizmu ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  w ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$  następujący diagram komutuje:

tzn. ${\displaystyle \eta _{Y}F(f)=G(f)\eta _{X}}$ ^[1][2]. Transformację taką oznaczamy symbolem ${\displaystyle \eta \colon F\to G.}$  Morfizmy ${\displaystyle (\eta _{X})_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}}$  nazywamy komponentami transformacji naturalnej ${\displaystyle \eta .}$ 

Funktory ${\displaystyle F}$  i ${\displaystyle G}$  nazywamy naturalnie równoważnymi, gdy istnieje transformacja naturalna ${\displaystyle \{\eta _{X}\}_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}}$  morfizmów ${\displaystyle \eta _{X}\colon F(X)\to G(X)}$  taka, że dla każdego ${\displaystyle X\in {\mathfrak {A}}^{o}}$  morfizm ${\displaystyle \eta _{X}}$  jest izomorfizmem w kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {B}}.}$ 

Złożeniem transformacji naturalnych ${\displaystyle \eta \colon F\to G}$  i ${\displaystyle \theta \colon G\to H}$  jest transformacja naturalna ${\displaystyle \theta \eta \colon F\to H}$  określona jako rodzina złożeń ${\displaystyle \{\theta _{X}\eta _{X}\}_{X\in {\mathfrak {A}}^{o}}.}$ 

Analogicznie definiuje się transformacje naturalne multifunktorów, tzn. funktorów z produktu kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{1}\times \ldots \times {\mathfrak {A}}_{n}}$  do ${\displaystyle {\mathfrak {B}}.}$ 

Jeżeli ${\displaystyle F\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}},}$  ${\displaystyle G\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}}$  jest parą równoległych funktorów kontrawariantnych, to definiujemy transformacje naturalne z ${\displaystyle F}$  do ${\displaystyle G}$  traktując ${\displaystyle F}$  i ${\displaystyle G}$  jako funktory kowariantne z kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\mathrm {op} }}$  do ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ^[3].

Niech ${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}=\mathbf {Vect} }$  będzie kategorią przestrzeni liniowych ${\displaystyle V}$  nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} }$  i przekształceń liniowych ${\displaystyle f\colon V_{1}\to V_{2}.}$  Przestrzeń sprzężona (dualna) ${\displaystyle V^{*}}$  jest określona jako przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} .}$  Przyporządkowując każdemu wektorowi ${\displaystyle u}$  przestrzeni ${\displaystyle V}$  funkcjonał ${\displaystyle \psi _{u}}$  na ${\displaystyle V^{*},}$  należący do ${\displaystyle V^{**}=(V^{*})^{*},}$  określony wzorem ${\displaystyle \psi _{u}(\varphi )=\varphi (u)}$  dla ${\displaystyle \varphi \in V^{*},}$  otrzymujemy kanoniczny monomorfizm liniowy ${\displaystyle \psi _{V}\colon V\to V^{**}}$ ^[4]. Rodzina ${\displaystyle \{\psi _{V}\}_{V\in \mathbf {Vect^{o}} }}$  jest transformacją naturalną funktora tożsamościowego ${\displaystyle \mathbf {Vect} \to \mathbf {Vect} }$  w funktor drugiej sprzężonej ${\displaystyle \mathbf {Vect} \to \mathbf {Vect} }$  określony przez przyporządkowanie obiektowe ${\displaystyle V\mapsto V^{**}.}$  Gdy ograniczymy się do podkategorii przestrzeni liniowych skończenie wymiarowych, otrzymujemy równoważność naturalną – tę, od której Eilenberg i MacLane zaczęli objaśnianie teorii kategorii.

Ogólniej, niech ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$  oznacza kategorię przestrzeni wektorowych nad dowolnym ciałem ${\displaystyle K}$  i niech ${\displaystyle B}$  będzie ustalonym obiektem. Symbolem Hom(–, B) oznaczamy funktor kontrawariantny z ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$  do ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$  (zdefiniowany analogicznie do funktorów głównych kontrawariantnych), nadając zbiorom ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$  zwykłą strukturę przestrzeni wektorowej. Złożenie tego funktora z samym sobą daje funktor kowariantny ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,B),B)}$  z ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$  do ${\displaystyle \mathbf {Vect} .}$  Każdemu ${\displaystyle A\in \mathrm {Ob} \mathbf {Vect} }$  przyporządkowujemy kanoniczne przekształcenie liniowe ${\displaystyle \eta _{A}}$  z ${\displaystyle A}$  w ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,B),B),}$  którego szczególny przypadek omawialiśmy powyżej. Jest to transformacja naturalna funktora tożsamościowego na ${\displaystyle \mathbf {Vect} }$  w funktor ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,B),B)}$ ^[5].

Niech ${\displaystyle \mathbf {Z} }$  oznacza grupę liczb całkowitych (obiekt wolny o jednym generatorze w kategorii ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$  grup abelowych). Funktor kowariantny ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathbf {Z} ,-):\mathbf {Ab} \to \mathbf {Ab} }$  jest naturalnie równoważny funktorowi tożsamościowemu na ${\displaystyle \mathbf {Ab} ,}$  a komponentami tej transformacji naturalnej są homomorfizmy grup ${\displaystyle \eta _{A}\colon \mathrm {Hom} (\mathbf {Z} ,A)\to A}$  określone jako ${\displaystyle \eta _{A}(\varphi )=\varphi (1)}$  dla homomorfizmów ${\displaystyle \varphi \colon \mathbf {Z} \to A.}$ 

Ze znanych własności produktów tensorowych grup abelowych (a także przestrzeni liniowych i modułów nad pierścieniami) wynika równoważność naturalna funktorów trzech zmiennych ${\displaystyle \mathrm {Hom} (?_{1}\otimes ?_{2},?_{3})}$  i ${\displaystyle \mathrm {Hom} {\big (}?_{1},\mathrm {Hom} (?_{2},?_{3}){\big )},}$  gdzie ${\displaystyle ?_{1},?_{2},?_{3}}$  są symbolami tych zmiennych^[3].

Bifunktor mnożenia kartezjańskiego z ${\displaystyle \mathbf {Set} \times \mathbf {Set} }$  do ${\displaystyle \mathbf {Set} ,}$  który każdej parze obiektów ${\displaystyle X,Y}$  (zbiorów w ${\displaystyle \mathrm {Ob} \mathbf {Set} }$ ) przyporządkowuje zbiór ${\displaystyle \Phi (X,Y)=X\times Y,}$  a każdej parze morfizmów ${\displaystyle \alpha \colon X_{1}\to X_{2},}$  ${\displaystyle \beta \colon Y_{1}\to Y_{2}}$  przyporządkowuje odpowiadające im przekształcenie iloczynów kartezjańskich, jest naturalnie równoważny analogicznie zdefiniowanemu bifunktorowi ${\displaystyle \Psi (X,Y)=Y\times X.}$  Odpowiednią transformację naturalną wyznaczają bijekcje ${\displaystyle \eta _{X,Y}\colon X\times Y\to Y\times X}$  przyporządkowujące parze ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$  parę ${\displaystyle \langle b,a\rangle .}$  Podobnie ustala się naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych o przyporządkowaniu obiektowym A×(B×C) → (A×B)×C^[6].

Transformacją naturalną dla funktora ${\displaystyle \mathrm {List} \colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Mon} }$  z kategorii zbiorów do kategorii monoidów jest operacja ${\displaystyle \mathrm {rev} \colon \mathrm {List} \to \mathrm {List} ,}$  która – mając daną listę – odwraca jej elementy:

${\displaystyle [1,2,8,7]{\xrightarrow {\mathrm {rev} }}[7,8,2,1]}$ 

Dla zbioru ${\displaystyle A}$  komponent ${\displaystyle \mathrm {rev} _{A}\colon \mathrm {List} (A)\to \mathrm {List} (A)}$  jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z ${\displaystyle A.}$ 

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 48.

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, [1]
• Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 5: Funktory i transformacje naturalne. Ważniak MIMUW. [dostęp 2010-08-17].
•   Functorial morphism (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].