Trasformazione naturale

In teoria delle categorie una trasformazione naturale è una freccia tra funtori "paralleli".

che rende possibile definire la categoria ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\mathcal {A}}}$ di tutti i funtori

${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}}$

tra due categorie ${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$ assegnate.

Siano

${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle G:{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}}$

due funtori tra le categorie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Una trasformazione naturale ${\displaystyle \alpha :F\Longrightarrow G}$ è una collezione

${\displaystyle \{\alpha _{X}:FX\longrightarrow GX\}_{X\in {\mathcal {A}}_{0}}}$

di frecce di ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ indicizzate dagli oggetti di ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ e tale che il seguente diagramma commuta per ogni freccia ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ di ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$:

cioè   ${\displaystyle \ Gf\cdot \alpha _{X}=\alpha _{Y}\cdot Ff}$.

Siano date le trasformazioni naturali

${\displaystyle \alpha :F\Longrightarrow G}$

${\displaystyle \beta :H\Longrightarrow K}$

ove ${\displaystyle \ F,G}$ sono funtori tra due categorie ${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$, mentre ${\displaystyle \ H,K}$ sono funtori tra due categorie ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}}$.

Se ne può definire la composizione orizzontale

come quella trasformazione naturale ${\displaystyle \gamma =\beta \circ \alpha }$ le cui frecce, nella categoria ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, siano definite in uno dei due modi equivalenti:

${\displaystyle \gamma _{X}=\beta _{GX}\cdot H\alpha _{X}}$,

${\displaystyle \gamma _{X}=K\alpha _{X}\cdot \beta _{FX}}$.

infatti, applicando i funtori H,K al diagramma della trasformazione naturale tra F e G otteniamo:

Siano date le trasformazioni naturali

${\displaystyle \alpha :F\Longrightarrow G}$

${\displaystyle \beta :G\Longrightarrow H}$

ove ${\displaystyle \ F,G,H}$ sono funtori tra due categorie ${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$.

Se ne può definire la composizione verticale

come quella trasformazione naturale ${\displaystyle \gamma =\beta \cdot \alpha }$ le cui frecce, nella categoria ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, siano definite nel modo elementare:

${\displaystyle \gamma _{X}=\beta _{X}\cdot \alpha _{X}}$

Siamo ora pronti per definire la categoria dei funtori come quella categoria ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\mathcal {A}}}$ che ha per oggetti tutti i funtori ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}}$, per frecce ${\displaystyle \ \gamma }$ le trasformazioni naturali tra tali funtori e la composizione di frecce sia proprio la composizione verticale poc'anzi definita.

Esempio 1

Se ${\displaystyle \ Ins}$ è la categoria degli insiemi e ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ è la categoria duale di una categoria ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ è ottenuta invertendo tutte le frecce di ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$), allora la categoria ${\displaystyle Ins^{{\mathcal {C}}^{op}}}$ è la categoria dei prefasci su ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Esempio 2

Sia ${\displaystyle {\textbf {2}}=\{\bullet \longrightarrow \bullet \}}$ la categoria con due oggetti distinti e una sola freccia tra essi. Sia ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ l'insieme ordinato dei numeri razionali visto come categoria ponendo i numeri come oggetti e le relazioni ${\displaystyle p\leq q}$ come frecce ${\displaystyle p\longrightarrow q}$.

Si verifica che i funtori ${\displaystyle {\textbf {2}}^{\mathbb {Q} ^{op}}}$ sono le sezioni di numeri razionali (con l'aggiunta dell'insieme vuoto ${\displaystyle \emptyset }$ e dell'intero ${\displaystyle \mathbb {Q} }$). Quindi abbiamo la formula notevole:

${\displaystyle \mathbb {R^{*}} ={\textbf {2}}^{\mathbb {Q} ^{op}}}$

ove ${\displaystyle \mathbb {R^{*}} }$ è l'insieme ordinato dei numeri reali con l'aggiunta di ${\displaystyle -\infty }$ e ${\displaystyle +\infty }$.

• Saunders Mac Lane, Categorie nella pratica matematica, Editore Boringhieri, 1977.

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