Naprężenie ścinające

Naprężenie ścinające ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ (zwane również naprężeniem stycznym lub tnącym) jest bezpośrednią przyczyną powstawania odkształceń postaciowych ${\displaystyle \mathbf {\gamma } }$ w obciążonym ośrodku sprężystym^[1][2]. Takie odkształcenia (pokazane na rys. 1a-b dla płaskiego stanu naprężenia), powodują tylko zmianę kształtu elementarnego sześcianu (otaczającego rozważany punkt ośrodka) w dwuskośny równoległościan, bez jakiejkolwiek zmiany jego objętości (tzw. zmiana dewiacyjna – bez zmiany długości krawędzi). W przypadku ogólnym sześcian ten podlega nie tylko działaniu naprężeń stycznych ${\displaystyle \mathbf {\tau } ,}$ ale również naprężeń normalnych ${\displaystyle \mathbf {\sigma } ,}$ powodujących zmianę objętości tego sześcianu bez jakiejkolwiek zmiany jego kształtu (tzw. zmiana aksjacyjna – ze zmianą długości krawędzi). Obydwa naprężenia, styczne i normalne, są składowymi całkowitego naprężenia ${\displaystyle \mathbf {s} }$ działającego na ścianę sześcianu.

O ile jednak naprężenia normalne ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ wywołują skutki łatwo obserwowalne w postaci wydłużeń lub skróceń jednostkowych ${\displaystyle \mathbf {\epsilon } ,}$ o tyle skutki działania naprężeń ścinających, powodujące tylko zmiany kątów, są znacznie trudniejsze do obserwacji. Pomiędzy naprężeniami stycznymi, a wywołanymi przez nie odkształceniami postaciowymi zachodzi prawo Hooke’a ${\displaystyle \tau =\gamma G}$ (${\displaystyle G}$ – moduł odkształcenia postaciowego) analogiczne do prawa ${\displaystyle \sigma =\epsilon E}$ dla przypadku rozciągania.

Na podstawie rys. 1a mamy ${\displaystyle \Delta l=\Delta s\cos 45^{\circ }\;{}}$ oraz ${\displaystyle {}\;l={\frac {a}{\sin 45^{\circ }}},}$ stąd

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta l}{l}}={\frac {\Delta s}{a}}\cos 45^{\circ }\sin 45^{\circ }=0{,}5{\frac {\Delta s}{a}}={\frac {\gamma }{2}}.}$

Jako ilustrację działania naprężeń normalnych przytacza się najczęściej model prostego pręta rozciąganego siłami osiowymi przyłożonymi na jego przeciwległych końcach. W przekrojach poprzecznych prostopadłych do osi takiego modelu występuje czyste rozciąganie. Równie prostego modelu dla działania naprężeń stycznych nie udaje się znaleźć. Stan czystego ścinania można jednak wywołać w płytce rozciąganej w jednym kierunku ${\displaystyle (+\sigma )}$ i ściskanej ${\displaystyle (-\sigma )}$ – w drugim (rys. 1b).

Przy wymiarowaniu połączeń nitowanych i spawanych przyjmuje się, że naprężenia styczne ${\displaystyle \tau }$ rozkładają się równomiernie na wszystkie przekroje poprzeczne nitów lub spoin dzięki czemu naprężenia te oblicza się ze wzoru ${\displaystyle \tau ={\frac {P}{F}},}$ w którym ${\displaystyle P}$ jest siłą działającą na połączenie, a ${\displaystyle F}$ sumą przekrojów wszystkich nitów lub spoin tego połączenia.

W ukośnych przekrojach prętów rozciąganych (rys. 1c) naprężenia styczne mają stałe wartości na długości tych prętów.

W przekrojach prętów pracujących na zginanie poprzeczne rozkład naprężeń stycznych jest silnie nieliniowy (rys. 1d).

Rozważmy dla przykładu pręt pryzmatyczny o przekroju symetrycznym względem płaszczyzny ${\displaystyle Ozx}$ i zginany poprzecznie w tej płaszczyźnie. Na rys. 2 pokazano element wycięty z tego pręta przekrojami a–a i b–b. W przekroju a–a działa naprężenie normalne zgodnie ze wzorem ${\displaystyle \sigma (x,z)={\frac {M_{y}(x)}{J_{y}}}z,}$ w przekroju zaś b–b, mamy ${\displaystyle d\sigma (x,z)={\frac {dM_{y}(x)}{J_{y}}}z,}$ przy czym ${\displaystyle J_{y}}$ jest momentem bezwładności przekroju względem osi ${\displaystyle Oy,}$ a ${\displaystyle M_{y}(x)}$ – momentem zginającym względem tej osi.

Warunek równowagi sił działających wzdłuż osi ${\displaystyle Ox}$ na element ${\displaystyle abcd}$ zapiszemy w postaci

${\displaystyle \tau (x,z)b(z)dx=\int _{z}^{z_{max}}d\sigma (x,z)b(z)dz,}$

gdzie ${\displaystyle b(z)}$ jest szerokością przekroju poprzecznego na wysokości ${\displaystyle z.}$

Dzięki temu, że ${\displaystyle d\sigma (x,z)={\frac {dM_{y}(x)}{J_{y}}}z}$ możemy napisać

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau (x,z)&={\frac {1}{b(z)dx}}\int _{z}^{z_{max}}d\sigma (x,z)b(z)dz\\[1ex]&={\frac {dM_{y}(x)}{J_{y}b(z)dx}}\int _{z}^{z_{max}}zb(z)dz\\[1ex]&={\frac {Q(x)S_{y}^{\star }(z)}{J_{y}b(z)}},\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle S_{y}^{\star }(z)}$ oznacza moment statyczny względem osi ${\displaystyle Oy}$ tej części przekroju poprzecznego, która jest położona powyżej prostej o równaniu ${\displaystyle z=\mathrm {const} .}$

I tak na przykład dla przekroju prostokątnego o wymiarach ${\displaystyle b\times h}$ otrzymuje się (rys. 1d)

${\displaystyle \tau (x,z)={\frac {6}{bh^{3}}}\left({\frac {h^{2}}{4}}-z^{2}\right)Q(x)\;{}}$ oraz ${\displaystyle {}\;\tau _{max}(x)=1{,}5{\frac {Q(x)}{bh}}=1{,}5Q_{sr}(x).}$

Istotą teorii Eulera-Bernoulliego jest założenie o płaskości przekroju pręta zginanego poprzecznie. Oznacza to, że punkty leżące w płaszczyźnie tego przekroju przed odkształceniem pręta pozostają nadal na płaszczyźnie po jego odkształceniu. Konsekwencją takiego założenia jest pominięcie odkształceń wywołanych siłą poprzeczną ${\displaystyle Q.}$

W rzeczywistości przekrój podlegający ścinaniu ulega deplanacji (spaczeniu) i jego punkty doznają dodatkowych przemieszczeń prostopadłych do płaszczyzny przekroju, który staje się pewną powierzchnią opisaną przez funkcję spaczenia ${\displaystyle u^{*}(x,z)}$^[3].

Rzeczą interesującą jest porównanie wielkości przemieszczeń wywołanych zginaniem według teorii Eulera-Bernoulliego, z przemieszczeniami będącymi efektem deplanacji wywołanej ścinaniem. Aby efektywnie dokonać tego porównania ograniczymy się do przypadku belki pryzmatycznej o przekroju prostokątnym o wymiarach ${\displaystyle b\times h.}$

Oznaczmy przemieszczenie punktu przekroju poprzecznego wzdłuż osi ${\displaystyle Ox}$ przez ${\displaystyle u(x,z)}$ (rys. 6a). Wykorzystując prawo Hooke’a dla ścinania ${\displaystyle (\gamma ={\frac {\tau }{G}}),}$ możemy napisać

${\displaystyle {\begin{aligned}du&=\gamma dz={\frac {\tau }{G}}dz\\[1ex]&={\frac {1}{G}}{\frac {6}{bh^{3}}}\left({\frac {h^{2}}{4}}-z^{2}\right)Q(x)dz\\[1ex]&=k\left({\frac {h^{2}}{4}}-z^{2}\right)dz,\end{aligned}}}$

gdzie:

${\displaystyle k={\frac {6Q(x)}{Gbh^{3}}}.}$

Obliczymy teraz przemieszczenie całkowite ${\displaystyle u(x,z)}$ liczone względem układu ${\displaystyle Ozx.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,z)&=k\int _{-{\frac {h}{2}}}^{z}\left({\frac {h^{2}}{4}}-\xi ^{2}\right)d\xi \\[1ex]&=k\left(-{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{4}}h^{2}z+{\frac {1}{12}}h^{3}\right).\end{aligned}}}$

Funkcja ta (rys. 6a) opisuje całkowite przemieszczenia punktów przekroju w kierunku osi ${\displaystyle Ox}$ wywołane ścinaniem siłą ${\displaystyle Q(x).}$ Przemieszczenia liczone względem środka ciężkości przekroju określa funkcja

${\displaystyle u^{\circ }(x,z)=k\left(-{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{4}}h^{2}z\right),}$

${\displaystyle u^{\circ }\left(x,\pm {\frac {h}{2}}\right)=\pm {\frac {kh^{3}}{12}}.}$

Funkcję spaczenia (deplanacji) otrzymamy, odejmując od funkcji ${\displaystyle u(x,z)}$ funkcję liniową przechodzącą przez punkty ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle A}$ (rys. 6a). Po wykonaniu tej operacji funkcja spaczenia przybiera postać

${\displaystyle u^{*}(x,z)={\frac {k}{3}}\left({\frac {h^{2}}{4}}-z^{2}\right)z.}$

Maksymalna wartość spaczenia występuje dla ${\displaystyle z^{*}=\pm {\frac {h}{\sqrt {12}}}=0{,}2887\cdot h}$ i ma wartość ${\displaystyle u_{max}^{*}(x)={\tfrac {k}{3}}\left({\tfrac {h^{2}}{4}}-{\tfrac {h^{2}}{12}}\right){\tfrac {h}{\sqrt {12}}}={\tfrac {h^{3}}{18{\sqrt {12}}}}k={\tfrac {\sqrt {12}}{36}}{\tfrac {Q(x)}{Gb}}.}$

Otrzymany wynik warto porównać z rezultatami uzyskanymi dla zginania według teorii Eulera-Bernoulliego. W tym celu rozważymy belkę wspornikową z rys. 6b. Równania linii ugięcia ${\displaystyle w(x),}$ kąta obrotu przekroju ${\displaystyle w^{'}(x)}$ i krzywizny osi ${\displaystyle w^{''}(x)}$ mają postać

${\displaystyle w(x)={\frac {P}{6EJ}}(-x^{3}+3L^{2}x-2L^{3}),}$

${\displaystyle w^{'}(x)={\frac {P}{6EJ}}(-3x^{2}+3L^{2}),}$

${\displaystyle w^{''}(x)=-{\frac {P}{EJ}}x.}$

Największe wartości przemieszczeń występują na lewym końcu belki. I tak

${\displaystyle w_{max}(0)=-{\frac {PL^{3}}{3EJ}},\quad w_{max}^{'}(0)={\frac {PL^{2}}{2EJ}}.}$

Stąd

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {u_{max}^{*}}{w_{max}}}\right|&={\frac {\sqrt {12}}{36}}{\frac {Q}{bG}}{\frac {1}{\frac {PL^{3}}{3EJ}}}={\frac {\sqrt {12}}{144}}{\frac {E}{G}}\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!3},\\\left|{\frac {u_{max}^{*}}{{\frac {h}{2}}w_{max}^{'}}}\right|&={\frac {\sqrt {12}}{36}}{\frac {Q}{bG}}{\frac {1}{{\frac {h}{2}}{\frac {PL^{2}}{2EJ}}}}={\frac {\sqrt {12}}{108}}{\frac {E}{G}}\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}.\end{aligned}}}$

Ponieważ ${\displaystyle {\frac {E}{G}}=2(1+\mu )}$ zatem dla średniej wartości współczynnika Poissona ${\displaystyle \mu =0{,}25}$ mamy ${\displaystyle {\frac {E}{G}}=2{,}5}$ i ostatecznie

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {u_{max}^{*}}{w_{max}}}\right|&=0{,}0601\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!3},\\\left|{\frac {u_{max}^{*}}{{\frac {h}{2}}w_{max}^{'}}}\right|&=0{,}0321\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}.\end{aligned}}}$

Jak widać, dla belek wysokich ${\displaystyle (h/L=1),}$ wartości przemieszczeń wynikających z deplanacji przekroju poprzecznego mogą osiągać wartości nawet kilkuprocentowe w stosunku do przemieszczeń wywołanych zginaniem.

Wpływ ścinania jest jeszcze większy przy obliczaniu ugięć belek. I tak na przykład dla belki z rys. 6b przy założeniu, że ${\displaystyle \tau _{sr}=Q/A,}$ maksymalne ugięcie wywołane ścinaniem siłą ${\displaystyle P}$ wynosi ${\displaystyle w_{max}^{Q}={\frac {QL}{GA}}.}$ W porównaniu z ugięciem pochodzącym od zginania otrzymujemy

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {w_{max}^{Q}}{w_{max}^{M}}}\right|&={\frac {QL}{GA}}{\frac {3EJ}{PL^{3}}}={\frac {E}{4G}}\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}\\&={\frac {1}{4}}2{,}5\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}=0{,}625\left({\frac {h}{L}}\right)^{\!2}.\end{aligned}}}$

W poniższej tabeli zestawiono procentowy udział ścinania w ugięciu końca wspornika z rys. 6b.

h/L	1,0	1/2	1/5	1/10
${\displaystyle {\frac {w^{Q}}{w^{M}}}}$%	62,5	15,6	2,5	0,625

Dodatkowo sprawdzimy jeszcze udział ścinania w maksymalnych wartościach kątów obrotu przekroju końca wspornika

${\displaystyle {\tfrac {\frac {u_{max}^{\circ }}{h/2}}{w_{max}^{'}}}={\tfrac {2}{h}}{\tfrac {kh^{3}}{12}}{\tfrac {2EJ}{PL^{2}}}={\tfrac {1}{3}}{\tfrac {6Q}{Gbh^{3}}}h^{2}{\tfrac {2E}{PL^{2}}}{\tfrac {bh^{3}}{12}}=0{,}4167\left({\tfrac {h}{L}}\right)^{\!2}.}$

Warto na koniec zauważyć, że efekty pochodzące od ścinania czasem się sumują z efektami pochodzącymi od zginania (jak przy obliczeniu ugięć), a czasem się odejmują (jak przy obliczaniu kątów).

Analizę ogólną naprężenia stycznego w wybranym punkcie ośrodka sprężystego najwygodniej jest przeprowadzać za pomocą konstrukcji koła Mohra sporządzonego dla przyjętego układu współrzędnych ${\displaystyle Oxy.}$ Z konstrukcji tej wynika, że w każdym punkcie ośrodka istnieją dwa prostopadłe kierunki, którym odpowiadają zerowe wartości naprężeń stycznych. Dla tych kierunków zwanych kierunkami naprężeń głównych naprężenia normalne osiągają wartości ekstremalne. Wyznaczanie tych kierunków^[1] ma znaczenie podstawowe na przykład przy projektowaniu zbrojenia elementów żelbetowych. Naprężenia styczne w ogóle nie występują tylko w takim ośrodku, który jest „hydrostatycznie” ściskany lub rozciągany. W takim przypadku każdy kierunek jest kierunkiem głównym, a koło Mohra redukuje się do punktu.