Macierz ortogonalna

Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa ${\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {R} )}$ o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:

${\displaystyle A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}=I_{n},}$

gdzie ${\displaystyle I_{n}}$ oznacza macierz jednostkową wymiaru ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle A^{T}}$ oznacza macierz transponowaną względem ${\displaystyle A.}$

Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych^[1].

Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej^[2].

Niech ${\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {R} ).}$ Następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle A}$ jest macierzą ortogonalną^[3]
2. kolumny macierzy ${\displaystyle A,}$ traktowane jako wektory przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tworzą bazę ortonormalną^[4]
3. wiersze macierzy ${\displaystyle A,}$ traktowane jako wektory przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tworzą bazę ortonormalną^[4]
4. kolumny macierzy ${\displaystyle A,}$ traktowane jako wektory przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tworzą układ ortonormalny^[5]
5. wiersze macierzy ${\displaystyle A,}$ traktowane jako wektory przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tworzą układ ortonormalny^[6]
6. ${\displaystyle A^{T}A=I,}$ gdzie ${\displaystyle I}$ oznacza macierz jednostkową wymiaru ${\displaystyle n,}$ a ${\displaystyle A^{T}}$ oznacza macierz transponowaną względem ${\displaystyle A}$^[7][8]
7. ${\displaystyle AA^{T}=I,}$ gdzie ${\displaystyle I}$ oznacza macierz jednostkową wymiaru ${\displaystyle n,}$ a ${\displaystyle A^{T}}$ oznacza macierz transponowaną względem ${\displaystyle A}$^[9]
8. dla każdej bazy ortonormalnej ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ układ ${\displaystyle \{Av_{1},\ldots ,Av_{n}\}}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[10]
9. macierz A jest odwracalna i ${\displaystyle A^{-1}=A^{T},}$ gdzie ${\displaystyle A^{-1}}$ oznacza macierz odwrotną do macierzy ${\displaystyle A,}$ a ${\displaystyle A^{T}}$ oznacza macierz transponowaną względem ${\displaystyle A}$^[11][12]
10. ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}a_{kj}=\delta _{ik},}$ gdzie ${\displaystyle \delta _{ik}}$ jest deltą Kroneckera^[13]
11. ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ji}a_{jk}=\delta _{ik},}$ gdzie ${\displaystyle \delta _{ik}}$ jest deltą Kroneckera^[14]
12. ${\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {R} ^{n}}(Ax)\cdot (Ay)=x\cdot y}$^[15]
13. ${\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|Ax|=|x|}$^[16]

• Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1^[17].
• Jeśli ${\displaystyle A,B}$ są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn ${\displaystyle AB}$ też jest macierzą ortogonalną^[18].
• Macierz odwrotna do macierzy ${\displaystyle A}$ jest jej macierzą transponowaną, tj. ${\displaystyle A^{-1}=A^{T}.}$ Macierz ta też jest ortogonalna.
• Macierz jednostkowa jest ortogonalna.

Z własności zbioru macierzy ortogonalnych stopnia n wynika, że zbiór ten tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym^[19][20], grupę tę nazywa się grupą ortogonalną stopnia n i oznacza się symbolem ${\displaystyle O(n)}$ lub ${\displaystyle O(n,\mathbb {R} )}$^[21]. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$^[21][22].

Specjalna grupa ortogonalna ${\displaystyle SO(n)}$ (lub grupa unimodularna ${\displaystyle {\mathcal {SL}}(n,\mathbb {R} )}$) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jeden^[21][23]. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej ${\displaystyle O(n)}$^[21][23].

Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.

• Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną^[24], np. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&0{,}96\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{bmatrix}}}$^[25][26]

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos x&\sin x\\\sin x&-\cos x\end{bmatrix}}}$^[25][27]

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{c}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\ddots &&&&&&&&&\\0&&1&&&&&&&&\\0&&&-1&&&&&&&\\0&&&&\ddots &&&&&&\\0&&&&&-1&&&&&\\0&&&&&&\cos(\xi _{1})&-\sin(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&\sin(\xi _{1})&\cos(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&&&\ddots &&\\0&&&&&&&&&\cos(\xi _{k})&-\sin(\xi _{k})\\0&&&&&&&&&\sin(\xi _{k})&\cos(\xi _{k})\end{array}}\!\!\right]}$^{[28][29][30][31][32]}

• macierz odwrotna
• macierz unitarna

Inne:

• macierz obrotu
• grupa obrotów

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
• J. Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
• A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
• A. Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7.
• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012.

• ToddT. Rowland ToddT., Orthogonal group, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).