Operator różniczkowy

Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych, definiujący proces tworzenia z danej funkcji nowej funkcji za pomocą operacji różniczkowania. Operatorem różniczkowym może być na przykład operator, który tworzy nową funkcję, będącą sumą pierwszej i drugiej pochodnej danej funkcji (patrz: Przykład poniżej).

Dziedziną operatora nazywa się zbiór wszystkich funkcji, na których określony jest dany operator. Przy tym mogą to być funkcje jednej lub wielu zmiennych, funkcje skalarne, wektorowe i ogólnie – funkcje tensorowe.

Rozważmy przestrzeń funkcji ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m},}$ klasy ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{N},}$ gdzie ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ jest zbiorem otwartym. Wówczas operatorem różniczkowym rzędu ${\displaystyle N}$ określonym na tej przestrzeni nazwiemy operator liniowy

${\displaystyle P(x)=\sum _{|\alpha |\leqslant N}c_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

gdzie ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ jest wielowskaźnikiem, a ${\displaystyle c_{\alpha }:U\to \mathbb {R} }$ są pewnymi funkcjami^[1]. Przez ${\displaystyle D^{\alpha }}$ rozumie się operatory pochodnych cząstkowych dane przez

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}}}\ldots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}}}.}$

Operator różniczkowy ${\displaystyle T\colon C^{2}((0,1),\mathbb {R} )\to C((0,1),\mathbb {R} )}$ dany jest wzorem:

${\displaystyle Tf={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dx}}.}$

Funkcje, na które można działać operatorem ${\displaystyle T,}$ muszą być klasy ${\displaystyle C^{2},}$ tj. muszą to być funkcje różniczkowalne co najmniej dwukrotnie. Dziedziną operatora jest więc zbiór funkcji klasy ${\displaystyle C^{2}.}$

Np. działając operatorem ${\displaystyle T}$ na funkcję

${\displaystyle f(x)=e^{-x}(x^{2}+x+1),}$

otrzyma się

${\displaystyle Tf(x)=\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d}{dx}}\right)\left(e^{-x}(x^{2}+x+1)\right),}$

czyli

${\displaystyle Tf(x)=e^{-x}(1-2x).}$

Tw. 1 Operator różniczkowy jest operatorem liniowym, tj.

${\displaystyle T(f_{1}+f_{2})=T(f_{1})+T(f_{2}),}$

${\displaystyle T(\alpha f)=\alpha \,T(f),}$

gdzie:

${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ – dane funkcje,

${\displaystyle \alpha }$ – stała liczba.

Tw. 2 Dowolny wielomian utworzony z operatora różniczkowego ${\displaystyle T}$ też jest operatorem różniczkowym.

Operator nabla ${\displaystyle \nabla }$ we współrzędnych kartezjańskich ma postać

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}.}$

Wynik działania operatora nabla zależy od tego, na jaką funkcję działa i w jaki sposób:

• dywergencja – to operacja tworzona przy pomocy operatora ${\displaystyle \nabla }$ mnożonego skalarnie przez funkcję wektorową ${\displaystyle \mathbf {F} =[f_{1},f_{2},f_{3}]}$; w wyniku powstaje funkcja skalarna

  ${\displaystyle {\text{div}}\,\mathbf {F} \equiv \nabla \cdot \mathbf {F} }$

• gradient – to operacja tworzona przy pomocy operatora ${\displaystyle \nabla }$ mnożonego przez funkcję skalarną; w wyniku powstaje funkcja wektorowa

  ${\displaystyle \operatorname {grad} (f)\equiv \nabla f}$

• rotacja – to operacja tworzona przy pomocy operatora ${\displaystyle \nabla }$ mnożonego wektorowo przez funkcję wektorową; w wyniku powstaje funkcja wektorowa

  ${\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {F} )\equiv \nabla \times \mathbf {F} }$

Operator nabla zapisany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma 4 współrzędne – analogicznie jak czterowektory czasoprzestrzeni

${\displaystyle \partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\equiv \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right).}$

Operator nabla jest jednym z najpowszechniejszych operatorów różniczkowych fizyki: występuje np. w równaniach Maxwella (fundamentalne równania elektrodynamiki), w równaniu Schrödingera (fundamentalne równanie mechaniki kwantowej), w równaniu dyfuzji (fundamentalne równanie fizyki transportu). W postaci czterowymiarowej występuje w równaniach fizyki relatywistycznej, np. w równaniu Diraca mechaniki kwantowej, w równaniach Einsteina ogólnej teorii względności.

• laplasjan – to iloczyn skalarny operatora nabla przez siebie

  ${\displaystyle \triangle \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

• dalambercjan – to iloczyn skalarny operatora nabla 4-wymiarowego

  ${\displaystyle \square =\triangle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$

  lub

  ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\nu }=\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$

Typy operatorów:

• operator liniowy
• operator rzutowy
• operator samosprzężony (hermitowski)
• operator sprzężony hermitowsko
• operator unitarny