Forma dwuliniowa

Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym). Uogólnieniem form dwuliniowych są formy wieloliniowe.

Artykuł traktuje o formach, której argumenty należą do jednej przestrzeni; formy określone na dowolnej ich parze opisano w artykule o parze dualnej.

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K.}$

Przekształcenie ${\displaystyle B\colon V\times V\to K}$ nazywa się formą dwuliniową (funkcjonałem dwuliniowym) na ${\displaystyle V,}$ jeżeli jest:

• liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu

  ${\displaystyle B(\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+B(\mathbf {y} ,\mathbf {z} )}$

  oraz

  ${\displaystyle B(c\,\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=c\,B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$

• liniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i jednorodne względem drugiej współrzędnej

  ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} +\mathbf {z} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )+B(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )}$

  oraz

  ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,c\,\mathbf {y} )=c\,B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$

Na formy dwuliniowe nakłada się dodatkowe warunki.

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\Leftrightarrow B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )=0}$

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=0}$

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )}$

Forma zwana też formą symplektyczną

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=-B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )}$

(1) Dwuliniowa forma antysymetryczna – to inna nazwa dwuliniowej formy symetrycznej lub alternującej: alternacyjność pociąga antysymetryczność w ciele dowolnej charakterystyki^[a].

(2) W przypadku ciała liczb rzeczywistych pojęcia alternacyjności i antysymetryczności pokrywają się, jednak i w tym kontekście nazwa „antysymetryczna” jest nadal używana.

(3) Pojęcia te rozważa się także w modułach nad pierścieniami, gdzie żadne z nich nie musi pociągać pozostałych^[b].

Tw. 1: Forma dwuliniowa jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna albo alternująca^[c].

Tw. 2: W ciele charakterystyki różnej od 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest alternująca, a w ciele charakterystyki 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna^[d].

W ciele charakterystyki różnej od 2 każdą formę dwuliniową ${\displaystyle B}$ można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy ${\displaystyle B_{\mathrm {s} }+B_{\mathrm {a} }}$ formy symetrycznej ${\displaystyle B_{\mathrm {s} }}$ i formy alternującej (antysymetrycznej) ${\displaystyle B_{\mathrm {a} }}$^[e]; w przypadku ciała charakterystyki 2 alternujące formy dwuliniowe są podzbiorem symetrycznych form dwuliniowych^[f] W ciele charakterystyki różnej od 2 symetryczna forma dwuliniowa ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ wyznaczona jest całkowicie przez wartości ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )}$ „na przekątnej”^[g] – własność tę nazywa się polaryzacją (w szczególności ${\displaystyle B\equiv 0\Leftrightarrow B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=0)}$). Oznacza to, że badanie tego rodzaju form dwuliniowych sprowadza się do badania form kwadratowych.

Z formą dwuliniową ${\displaystyle B}$ można związać dwa przekształcenia liniowe ${\displaystyle B_{\mathrm {L} },B_{\mathrm {R} }}$ z przestrzeni ${\displaystyle V}$ w przestrzeń dualną ${\displaystyle V^{*}}$ dane wzorami

${\displaystyle B_{\mathrm {L} }(\mathbf {x} )(\mathbf {y} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\quad {\mbox{ oraz }}\quad B_{\mathrm {R} }(\mathbf {y} )(\mathbf {x} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),}$

oznaczane często odpowiednio ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\cdot )}$ oraz ${\displaystyle B(\cdot ,\mathbf {y} ),}$ gdzie kropka oznacza miejsce przyłożenia argumentu dla powstałej formy liniowej (por. currying w rachunku lambda).

Przekształcenie ${\displaystyle B_{\mathrm {R} }}$ jest transpozycją (sprzężeniem) ${\displaystyle B_{\mathrm {L} }}$ na obrazie ${\displaystyle V}$ w drugiej przestrzeni dualnej ${\displaystyle V^{**}}$ (i na odwrót). Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest skończeniewymiarowa, to istnieje naturalny izomorfizm między ${\displaystyle V,}$ a jej drugą dualną ${\displaystyle V^{**},}$ dzięki czemu ${\displaystyle B_{\mathrm {R} }}$ można uważać za transpozycję ${\displaystyle B_{\mathrm {L} }}$ na ${\displaystyle V.}$ W ten sposób dla danej formy dwuliniowej ${\displaystyle B}$ można zdefiniować jej transpozycję (sprzężenie) ${\displaystyle B^{*}}$ wzorem

${\displaystyle B^{*}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} ).}$

Rząd ${\displaystyle B_{\mathrm {L} }}$ jest równy rzędowi ${\displaystyle B_{\mathrm {R} };}$ nazywa się go rzędem formy dwuliniowej ${\displaystyle B.}$ Jeśli rząd tych przekształceń jest pełny (tzn. równy wymiarowi przestrzeni), to ${\displaystyle B_{\mathrm {L} }}$ i ${\displaystyle B_{\mathrm {R} }}$ są izomorfizmami liniowymi ${\displaystyle V\to V^{*}.}$ Wówczas formę dwuliniową ${\displaystyle B}$ nazywa się niezdegenerowaną lub nieosobliwą (w przeciwnym przypadku nazywa się ją zdegenerowaną lub osobliwą); podobnie nazywa się wtedy samą przestrzeń dwuliniową ${\displaystyle (V,B).}$ Gdy ${\displaystyle V}$ jest skończeniewymiarowa, na mocy twierdzenia o rzędzie jest to równoważne trywialności jądra ${\displaystyle B_{\mathrm {L} }.}$ Wówczas ${\displaystyle B}$ jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich ${\displaystyle \mathbf {y} }$ zachodzi

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\Rightarrow \mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$

bądź (na mocy kontrapozycji) gdy dla każdego niezerowego wektora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ istnieje taki wektor ${\displaystyle \mathbf {y} ,}$ dla którego ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0.}$ Własność tę przyjmuje się często jako definicję niezdegenerowania w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru^[h].

Dla dowolnego przekształcenia ${\displaystyle \mathrm {A} \colon V\to V^{*}}$ wzór

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} )(\mathbf {y} ).}$

definiuje formę dwuliniową ${\displaystyle B}$ na przestrzeni ${\displaystyle V.}$ Jest ona niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \mathrm {A} }$ jest izomorfizmem.

Formy dwuliniowe ${\displaystyle B_{1}}$ oraz ${\displaystyle B_{2}}$ określone odpowiednio na ${\displaystyle V_{1}}$ i ${\displaystyle V_{2}}$ nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm ${\displaystyle \mathrm {C} \colon V_{1}\to V_{2},}$ który spełniałby

${\displaystyle B_{2}{\big (}\mathrm {C} (\mathbf {x} ),\mathrm {C} (\mathbf {y} ){\big )}=B_{1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

Zapisanie obu form dwuliniowych we współrzędnych oznacza przejście do przestrzeni współrzędnych; powyższa definicja mówi wtedy, że za równoważne uważa się te formy dwuliniowe, dla których istnieje liniowa zamiana zmiennych między ich przedstawieniami (w przypadku form symetrycznych wystarczy zadbać o przejście wartości „na przekątnych”; zob. kolejną sekcję).

Przestrzeń liniową ${\displaystyle V}$ z formą dwuliniową ${\displaystyle B}$ tworzy przestrzeń dwuliniową ${\displaystyle (V,B);}$ przestrzeń liniowa z symetryczną formą dwuliniową (tzw. „uogólnionym iloczynem skalarnym”) nazywa się przestrzenią ortogonalną, jeśli jest ona dodatkowo niezdegenerowana, to nazywa się ją przestrzenią unitarną; zaś przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą to przestrzeń symplektyczna. Z kolei dwie przestrzenie liniowe związane (zwykle niezdegenerowaną) formą dwuliniową tworzą parę dwoistą.

W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru ${\displaystyle n}$ powyższe własności można przetłumaczyć na język macierzy. Ustalenie bazy ${\displaystyle E=\{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ w ${\displaystyle V}$ oznacza wybranie izomorfizmu ${\displaystyle V\to K^{n}}$ odwzorowującego wektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ w wektor współrzędnych ${\displaystyle \mathbf {x} _{E},}$ którego współrzędne można zapisać w macierzy jednokolumnowej (tzw. wektorze kolumnowym) ${\displaystyle \mathbf {X} .}$ Dzięki temu w zupełnie analogiczny sposób jak ma to miejsce dla przekształceń liniowych i ich macierzy działanie formy dwuliniowej ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ można zapisać w standardowej notacji macierzowej jako ${\displaystyle \mathbf {X} \cdot \mathbf {BY} =\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {BY} ,}$ gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych ${\displaystyle K^{n}.}$ Macierz kwadratową

${\displaystyle \mathbf {B} ={\big [}B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}){\big ]}_{ij}}$

stopnia ${\displaystyle n}$ nazywa się wtedy macierzą formy dwuliniowej (macierzą funkcjonału dwuliniowego) ${\displaystyle B}$ w bazie ${\displaystyle E}$ (w przypadku przestrzeni unitarnej jest to odpowiednik macierzy Grama iloczynu skalarnego wyrażonego w tej bazie)^[i]. Jest ona macierzą przekształcenia ${\displaystyle B_{\mathrm {R} }}$ przy czym wybór ten jest arbitralny: macierz ${\displaystyle \mathbf {B} }$ jest macierzą ${\displaystyle B_{\mathrm {L} }}$ przy wyborze działania ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {BX} \cdot \mathbf {Y} =(\mathbf {BX} )^{\mathrm {T} }\mathbf {Y} .}$ Przekształceń ${\displaystyle B_{\mathrm {L} },B_{\mathrm {R} }\colon V\to V^{*},}$ w przeciwieństwie do ich macierzy, nie można składać – podejście tłumaczące wynik złożenia macierzy na przekształcenia, a przy tym niewyróżniające żadnego z nich opisano dalej.

W przestrzeni z ustaloną bazą równoważność przedstawień (macierzy) form dwuliniowych wyraża się następująco: jeśli ${\displaystyle E,F}$ są dwiema bazami ${\displaystyle V,}$ to macierze ${\displaystyle \mathbf {B} _{E}}$ i ${\displaystyle \mathbf {B} _{F}}$ przekształcenia dwuliniowego ${\displaystyle B}$ są przystające, tzn.

${\displaystyle \mathbf {B} _{F}=\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} _{E}\mathbf {C} ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {C} }$ oznacza macierz zamiany współrzędnych ${\displaystyle \mathrm {M} (\mathrm {id} )_{E}^{F}}$ od ${\displaystyle E}$ do ${\displaystyle F.}$ Ogólniej: macierze ${\displaystyle \mathbf {A} }$ i ${\displaystyle \mathbf {B} }$ są przystające, tzn.

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {C} ,}$

dla pewnej macierzy odwracalnej ${\displaystyle \mathbf {C} ,}$ gdy są macierzami tej samej formy dwuliniowej.

Wprost z definicji wynika, że forma dwuliniowa jest symetryczna bądź antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest macierz symetryczna bądź antysymetryczna. Forma dwuliniowa jest alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest antysymetryczna i wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe zeru (co wynika z antysymetryczności dla ciał o charakterystyce różnej od 2).

Jeśli macierz ${\displaystyle \mathbf {B} }$ formy dwuliniowej ${\displaystyle B}$ jest nieosobliwa (odwracalna), to samą formę ${\displaystyle B}$ nazywa się niezdegenerowaną lub także nieosobliwą (podobnie mówi się wtedy o samej przestrzeni ${\displaystyle (V,B)}$); w przeciwnym przypadku formę (lub przestrzeń dwuliniową) nazywa się zdegenerowaną lub osobliwą. Rzędem formy dwuliniowej ${\displaystyle B}$ bądź przestrzeni ${\displaystyle (V,B)}$ nazywa się rząd macierzy ${\displaystyle \mathbf {B} }$ tej formy (jest on dobrze określony, gdyż nie zależy od wyboru bazy ze względu na fakt, iż macierze przystające mają równe rzędy).

• Przestrzeń trywialna (zerowymiarowa) ma jedną formę dwuliniową, która nie ma macierzy (ma macierz pustą, tzn. typu ${\displaystyle 0\times 0}$).
• Jeśli ${\displaystyle K^{n}}$ jest przestrzenią współrzędnych z bazą standardową ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},}$ to każda forma dwuliniowa ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ na tej przestrzeni liniowej jest postaci

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}x_{i}y_{j}b_{ij},}$

gdzie ${\displaystyle b_{ij}=B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}).}$

• Jeśli ${\displaystyle x_{0}}$ jest ustalonym punktem przestrzeni liniowej ${\displaystyle X^{*}}$ form (funkcjonałów) na ${\displaystyle X,}$ to wzór

${\displaystyle B(f,g)=f(x_{0})g(x_{0})}$

zadaje formę dwuliniową na tej przestrzeni.

• Jeśli ${\displaystyle (V,B)}$ jest przestrzenią dwuliniową, zaś ${\displaystyle W}$ jest podprzestrzenią ${\displaystyle V,}$ to zawężenie ${\displaystyle B}$ do ${\displaystyle W}$ daje podprzestrzeń dwuliniową ${\displaystyle (W,B|_{W}),}$ oznaczaną też po prostu ${\displaystyle (W,B)}$ (konstrukcję tę można również przeprowadzić za pomocą przestrzeni ilorazowej); podprzestrzeń dziedziczy własności refleksywności, alternacyjności, symetryczności i antysymetryczności z przestrzeni wyjściowej, lecz niekoniecznie jej niezdegenerowania^[j]; jeśli ${\displaystyle K=\mathbb {R} ,}$ zaś ${\displaystyle B}$ jest dodatnio określona (tzn. ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0}$ dla dowolnego ${\displaystyle \mathbf {x} \neq 0}$), to własność ta zachodzi dla dowolnej niezerowej podprzestrzeni ${\displaystyle W\subseteq V,}$ skąd ${\displaystyle B|_{W}}$ jest również dodatnio określona, a zatem niezdegenerowana.
• Jeżeli ${\displaystyle (V_{1},B_{1})}$ i ${\displaystyle (V_{2},B_{2})}$ są przestrzeniami dwuliniowymi na tym samym ciałem, to suma prosta ${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}$ wraz z formą dwuliniową ${\displaystyle (B_{1}\oplus B_{2})((\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}),(\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2}))=B_{1}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1})+B_{2}(\mathbf {x} _{2},\mathbf {y} _{2})}$ staje się podprzestrzenią dwuliniową; jeśli obie formy ${\displaystyle B_{1}}$ oraz ${\displaystyle B_{2}}$ są jednocześnie symetryczne, alternujące, antysymetryczne bądź refleksywne, to ${\displaystyle B_{1}\oplus B_{2}}$ również ma tę samą własność. Konstrukcję tę nazywa się ortogonalną sumą prostą przestrzeni ${\displaystyle V_{1}}$ oraz ${\displaystyle V_{2}.}$^[k]
• Jeśli ${\displaystyle \mathrm {C} [a,b]}$ oznacza przestrzeń liniową funkcji ciągłych ${\displaystyle [a,b]\to \mathbb {R} ,}$ to funkcja ${\displaystyle \mathrm {I} \colon \mathrm {C} [a,b]\times \mathrm {C} [a,b]\to \mathbb {R} }$ dana wzorem

${\displaystyle \mathrm {I} (f,g)=\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\ \mathrm {d} x}$

definiuje zdegenerowaną formę dwuliniową na tej przestrzeni: nie jest ona surjektywna, gdyż np. forma delta Diraca należy do jej przestrzeni sprzężonej (topologicznie), ale nie ma wymaganej postaci; z drugiej strony forma ${\displaystyle \mathrm {I} }$ spełnia skończeniewymiarową definicję niezdegenerowania.

• Każdy iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej jest niezdegenerowaną formą dwuliniową, gdyż jego macierz w dowolnej bazie (macierz Grama) jest odwracalna: wyznacznik układu liniowo niezależnego jest różny od zera bądź wynika to wprost z dodatniej określoności iloczynu skalarnego. Z definicji jest on także symetryczny.
• Niech dla przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dobrane będą nieujemne liczby całkowite ${\displaystyle p,q}$ spełniające ${\displaystyle p+q=n.}$ Wzór

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\ldots -x_{n}y_{n},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n}),}$ dany jest w notacji macierzowej jako

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {X} {\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{p}&{\boldsymbol {\Theta }}\\{\boldsymbol {\Theta }}&-\mathbf {I} _{q}\end{bmatrix}}\mathbf {Y} ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {X} =[x_{1}\ \dots \ x_{n}]}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {Y} =[y_{1}\ \dots \ y_{n}]^{\mathrm {T} },}$ zaś ${\displaystyle \mathbf {I} _{k}}$ oznacza kwadratową podmacierz jednostkową stopnia ${\displaystyle k,}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {\Theta }}}$ oznacza podmacierz zerową, definiuje formę dwuliniową, która czyni z przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tzw. przestrzeń pseudoeuklidesową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}.}$ Przypadki ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ oraz ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$ to modele przestrzeni Minkowskiego^[l]. Z twierdzenia Sylvestera o bezwładności form kwadratowych wynika, że każda niezdegenerowana (rezygnując z nieosobliwości dopuszcza się zera na przekątnej), symetryczna forma dwuliniowa ma w pewnej bazie (przestrzeni liniowej nad ciałem charakterystyki różnej od 2) powyższą postać.

Za pomocą formy dwuliniowej można wprowadzić pojęcie (uogólnionej) ortogonalności: wektory ${\displaystyle \mathbf {x} }$ i ${\displaystyle \mathbf {y} }$ są ortogonalne, co zapisuje się ${\displaystyle \mathbf {x} \perp \mathbf {y} ,}$ względem dwuliniowej formy ${\displaystyle B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}$

Dla podprzestrzeni ${\displaystyle W}$ oraz wektora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ pisze się ${\displaystyle \mathbf {x} \perp W,}$ jeżeli ${\displaystyle \mathbf {x} \perp \mathbf {w} }$ dla wszystkich ${\displaystyle \mathbf {w} }$ z przestrzeni ${\displaystyle W;}$ podobnie ${\displaystyle W\perp \mathbf {x} }$ oraz ${\displaystyle U\perp W,}$ gdzie ${\displaystyle U}$ jest pewną podprzestrzenią liniową (definicje te rozszerza się często na dowolne podzbiory). Relacja ${\displaystyle \mathbf {x} \perp \mathbf {y} }$ nie musi pociągać, ani być pociągana przez ${\displaystyle \mathbf {y} \perp \mathbf {x} .}$ Najważniejszymi formami dwuliniowymi są te, dla których relacja ${\displaystyle \perp }$ jest symetryczna, tzn.

${\displaystyle \mathbf {x} \perp \mathbf {y} \Leftrightarrow \mathbf {y} \perp \mathbf {x} ,}$

co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy forma ją definiująca jest refleksywna (tzn. symetryczna bądź alternująca^[c]). Wówczas dla dowolnej podprzestrzeni ${\displaystyle W}$ można zdefiniować zbiór

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {x} \colon \mathbf {x} \perp \mathbf {y} \mathrm {\;dla\;ka{\dot {z}}dego\;} \mathbf {y} \in W\}}$^[m]

tworzący przestrzeń liniową (gdyż jest to jądro ${\displaystyle B_{\mathrm {L} },}$ bądź ${\displaystyle B_{\mathrm {R} }}$ na mocy symetryczności) nazywaną dalej podprzestrzenią ortogonalną do ${\displaystyle W}$^[n]; w literaturze częściej spotyka się nazwę „dopełnienie ortogonalne”, choć w ogólnym przypadku wcale nie musi być dopełnieniem, gdyż może się zdarzyć, iż ${\displaystyle W+W^{\perp }\neq V.}$ Wektory należące do tej części wspólnej (tzw. podprzestrzeni izotropowej), tzn. wektory ${\displaystyle \mathbf {x} }$ spełniające ${\displaystyle \mathbf {x} \perp \mathbf {x} }$ (prostopadłe do samych siebie), nazywa się izotropowymi; wektory niespełniające tego warunku nazywane są czasem nieizotropowymi bądź anizotropowymi. Zachodzi wzór ${\displaystyle \dim W+\dim W^{\perp }=\dim V}$^[o]. Podprzestrzeń ortogonalna jest trywialna (czyli dana przestrzeń nie ma niezerowych wektorów izotropowych), tzn. przestrzeń ${\displaystyle V}$ jest sumą prostą ${\displaystyle W\oplus W^{\perp },}$ wtedy i tylko wtedy, gdy forma dwuliniowa jest niezdegenerowana (jedynym anizotropowym wektorem przestrzeni unitarnej jest zero, gdyż dodatnia określoność iloczynu skalarnego pociąga jego niezdegenerowanie, zob. przedostatni przykład). Wówczas dla dowolnych podprzestrzeni ${\displaystyle W_{1},W_{2}}$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ jest ${\displaystyle (W_{1}+W_{2})^{\perp }=W_{1}^{\perp }\cap W_{2}^{\perp }}$ oraz ${\displaystyle (W_{1}\cap W_{2})^{\perp }=W_{1}^{\perp }+W_{2}^{\perp }}$ i zachodzi również ${\displaystyle \left(W^{\perp }\right)^{\perp }=W,}$ zaś podprzestrzeń ${\displaystyle W}$ jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle W^{\perp }}$ jest niezdegenerowana. Warunki ${\displaystyle V=W\oplus W^{\perp }}$ oraz ${\displaystyle \dim V=\dim W+\dim W^{\perp }}$ nie są równoważne – pierwszy pociąga drugi, lecz implikacja odwrotna jest fałszywa: podprzestrzenie ${\displaystyle W}$ i ${\displaystyle W^{\perp }}$ mogą mieć nietrywialne przecięcie, choć suma ich wymiarów może uzupełniać się do wymiaru przestrzeni^[p]; zgodnie z powyższymi obserwacjami wspomniana równość dotycząca wymiarów jest prawdziwa, gdy ${\displaystyle V}$ jest niezdegenerowana, a ${\displaystyle W}$ jest dowolna albo gdy ${\displaystyle V}$ jest dowolna, a ${\displaystyle W}$ jest niezdegenerowana.

Układ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{i})_{i}}$ wektorów przestrzeni ${\displaystyle V}$ nazywa się ortogonalnym, jeżeli dla dowolnych ${\displaystyle i\neq j}$ zachodzi ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}\perp \mathbf {x} _{j}.}$ Dowolny układ ortogonalny wektorów anizotropowych jest liniowo niezależny^[q]. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru wyposażonej w symetryczną formę dwuliniową jej bazę nazywa się ortogonalną, jeżeli tworzy ona układ ortogonalny; niech ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ oznacza bazę ortogonalną przestrzeni ${\displaystyle V.}$ Geometrycznie stanowi ona rozkład ${\displaystyle V}$ na ortogonalną sumę prostą ${\displaystyle W_{1}\oplus \ldots \oplus W_{n}}$ prostych ${\displaystyle W_{i}=K\mathbf {e} _{i}.}$ Pojęcie bazy ortonormalnej, czyli takiej bazy ortogonalnej, dla której ${\displaystyle B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{i})=1}$ (znanej z przestrzeni euklidesowych) nie znajduje właściwie zastosowań w ogólnej sytuacji, gdyż może ona po prostu nie istnieć^[r]. Każda skończeniewymiarowa przestrzeń ortogonalna nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę ortogonalną (wynika stąd, że każda macierz symetryczna przystaje do macierzy diagonalnej, zob. ostatni przykład; ponadto ${\displaystyle V}$ jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\not \perp \mathbf {e} _{i}}$ dane wzorem ${\displaystyle W\mapsto W^{\perp },}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {PG} (V)}$ oznacza zbiór wszystkich podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle V}$ tworzący przestrzeń rzutową, nazywa się biegunowością ortogonalną na przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {PG} (W).}$ W ten sposób powstają wszystkie biegunowości ortogonalne, a dwie symetryczne formy dwuliniowe indukują tę samą biegunowość wtedy i tylko wtedy, gdy są równe co do mnożenia przez skalar.

Zamieniając warunek symetryczności formy dwuliniowej na alternacyjność można wprowadzić analogon baz ortogonalnych w postaci tzw. baz symplektycznych. Niech dana będzie przestrzeń ${\displaystyle (V,B)}$ z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą. Wówczas jej wymiar ${\displaystyle \dim V=2m}$ jest dodatnią liczbą parzystą. Bazą symplektyczną przestrzeni ${\displaystyle V}$ nazywa się układ wektorów ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{m},\mathbf {f} _{m},}$ który spełnia ${\displaystyle B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {f} _{i})=1}$ oraz dla której płaszczyzny ${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{i}\rangle +\langle \mathbf {f} _{i}\rangle }$ są ortogonalne. Ponadto z alternacyjności wynika ${\displaystyle B(\mathbf {f} _{i},\mathbf {e} _{i})=-1.}$ Dowolne dwie przestrzenie z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą są równoważne; w szczególności w przestrzeni ustalonego parzystego wymiaru istnieje tylko jedna niezdegenerowana, alternująca forma dwuliniowa. Formę dwuliniową na ${\displaystyle K^{2m},}$ która ma w bazie standardowej ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{m},\mathbf {f} _{m}}$ macierz złożoną z klatek postaci ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right]}$^[s] na głównej przekątnej i podmacierzy zerowych ${\displaystyle {\boldsymbol {\Theta }}}$ w pozostałych miejscach, nazywa się standardową formą alternującą bądź formą objętości na tej przestrzeni. W bazie Darboux ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{m},\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{m}}$ ma ona postać

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Theta }}&\mathbf {I} _{m}\\\mathbf {-I} _{m}&{\boldsymbol {\Theta }}\end{bmatrix}},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {I} _{m}}$ jest podmacierzą jednostkową stopnia ${\displaystyle m.}$

Jak wspomniano wyżej, pojęcie podprzestrzeni ortogonalnej można również zdefiniować dla form alternujących; podprzestrzeń ${\displaystyle W}$ nazywa się

• symplektyczną, jeżeli ${\displaystyle W^{\perp }\cap W=\{\mathbf {0} \},}$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle B}$ zawężona do ${\displaystyle W}$ jest niezdegenerowana.
• izotropową, jeśli ${\displaystyle W\subseteq W^{\perp },}$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle B}$ zawężona do ${\displaystyle W}$ jest tożsamościowo równa zeru (każda podprzedstrzeń jednowymiarowa jest izotropowa).
• koizotropową, gdy ${\displaystyle W^{\perp }\subseteq W,}$ czyli wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle B}$ przeniesiona na przestrzeń ilorazową ${\displaystyle W/W^{\perp }}$ jest niezdegenerowana, co jest równoważne izotropowości ${\displaystyle W^{\perp }}$ (każda podprzestrzeń kowymiaru 1 jest koizotropowa).
• Lagrange’a, jeżeli ${\displaystyle W=W^{\perp },}$ tzn. gdy jest zarazem izotropowa i koizotropowa; w przestrzeniach skończonego wymiaru podprzestrzenie te mają wymiar równy połowie wymiaru ${\displaystyle V;}$ każdą podprzestrzeń izotropową można rozszerzyć tak, by była Lagrange’a (zob. grassmannian Lagrange'a).

Wyznacznik dowolnej nieosobliwej macierzy alternującej (antysymetrycznej) ${\displaystyle \mathbf {M} }$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ jest kwadratem pewnej liczby z ${\displaystyle K}$^[t], nazywa się go pfaffianem ${\displaystyle \mathrm {Pf} (\mathbf {M} )}$ tej macierzy – jest to zatem uniwersalna konstrukcja pierwiastka wyznacznika odwracalnych macierzy alternujących (z dokładnością do znaku^[u]). Dla dowolnych macierzy kwadratowych ${\displaystyle \mathbf {M} }$ i ${\displaystyle \mathbf {C} }$ parzystego stopnia ${\displaystyle n}$ zachodzi ponadto

${\displaystyle \mathrm {Pf} \left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {MC} \right)=\det \mathbf {C} \ \mathrm {Pf} \,\mathbf {M} ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {M} }$ jest macierzą alternującą^[v]. Dodatkowo ${\displaystyle \mathrm {Pf} \left(\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\right)=(-1)^{n/2}\mathrm {Pf} \,\mathbf {M} .}$ Jeżeli ${\displaystyle \mathbf {M} }$ jest nieodwracalna, to ${\displaystyle \mathrm {Pf} \,\mathbf {M} =0;}$ jeśli ${\displaystyle \mathbf {C} }$ jest macierzą zamiany współrzędnych do bazy standardowej odwracalnej macierzy ${\displaystyle \mathbf {M} }$ (tzn. ${\displaystyle \mathbf {M} }$ i ${\displaystyle \mathbf {C} }$ są takimi macierzami odwracalnymi, że ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {MC} }$ jest standardową formą alternującą na przestrzeni), to ${\displaystyle \mathrm {Pf} \,\mathbf {M} =1/\det \mathbf {C} .}$

O formach dwuliniowych na przestrzeni liniowej można myśleć jak o przekształceniach liniowych danej przestrzeni w przestrzeń dualną, co opisano w sekcji o macierzy formy; konstrukcja iloczynu tensorowego umożliwia traktowanie form dwuliniowych jako przekształceń liniowych: na mocy własności uniwersalnej iloczynu tensorowego forma dwuliniowa ${\displaystyle B}$ na przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ pozostaje we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z formą liniową ${\displaystyle V\otimes _{K}V\to K}$ daną wzorem

${\displaystyle \mathbf {x} \otimes \mathbf {y} \mapsto B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

Z definicji formy liniowe tworzą przestrzeń dualną; w ten sposób przestrzeń ${\displaystyle \mathrm {Bil} (V)}$ form dwuliniowych na ${\displaystyle V}$ jest naturalnie izomorficzna z ${\displaystyle (V\otimes _{K}V)^{*},}$ którą można z kolei w naturalny sposób utożsamiać z ${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}=\left(V^{*}\right)^{\otimes 2}}$ poprzez odwzorowanie ${\displaystyle (\varphi \otimes \psi )(\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )\psi (\mathbf {y} ).}$ Spojrzenie to tłumaczy zatem, złożeniem których przekształceń liniowych jest mnożenie macierzy form dwuliniowych.

Niech ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(V,W)}$ oznacza przestrzeń liniową przekształceń liniowych ${\displaystyle V\to W.}$ Przekształceniu dwuliniowemu ${\displaystyle V\times W\to U,}$ gdzie ${\displaystyle U,V,W}$ są dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem ${\displaystyle K}$ odpowiada przekształcenie liniowe ${\displaystyle V\otimes _{K}W\to U,}$ przy czym zachodzą następujące izomorfizmy naturalne:

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(V\otimes _{K}W,U)\simeq \mathrm {Hom} _{K}{\big (}V,\mathrm {Hom} _{K}(W,U){\big )}}$

oraz

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(V\otimes _{K}W,U)\simeq \mathrm {Hom} _{K}{\big (}W,\mathrm {Hom} _{K}(V,U){\big )}.}$

Pierwszy z nich przekształca ${\displaystyle \mathrm {A} \in \mathrm {Hom} _{K}(V\otimes _{K}W,U)}$ w ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto [\mathbf {y} \mapsto \mathrm {A} (\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} )],}$ drugi zaś w ${\displaystyle \mathbf {y} \mapsto [\mathbf {x} \mapsto \mathrm {A} (\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} )].}$ Jeśli ${\displaystyle V=W,}$ a ${\displaystyle U=K}$ (ciało taktowane jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa nad sobą), to stają się one dwoma różnymi izomorfizmami ${\displaystyle (V\otimes _{K}V)^{*}}$ na ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(V,V^{*}),}$ mianowicie ${\displaystyle B\mapsto B_{\mathrm {L} }}$ oraz ${\displaystyle B\mapsto B_{\mathrm {R} }.}$

Dwie szczególne klasy form dwuliniowych, formy symetryczne oraz alternujące, można opisać w języku potęg symetrycznej i zewnętrznej. Forma symetryczna postrzegana jako forma liniowa ${\displaystyle V\otimes _{K}V\to K}$ jest symetryczna, jeżeli znikają dla niej wszystkie tensory postaci ${\displaystyle \mathbf {x} \otimes \mathbf {y} -\mathbf {y} \otimes \mathbf {x} }$ i alternująca, jeśli znikają dla niej tensory postaci ${\displaystyle \mathbf {x} \otimes \mathbf {x} .}$ W ten sposób forma dwuliniowa symetryczna może być traktowana jako forma liniowa ${\displaystyle \mathrm {Sym} ^{2}(V)\to K}$ odwzorowująca ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \mapsto B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),}$ gdzie kropka oznacza iloczyn symetryczny (wewnętrzny) w ${\displaystyle \mathrm {Sym} ^{2}(V);}$ formy alternujące utożsamia się z kolei z przekształceniami ${\displaystyle \mathrm {Alt} ^{2}(V)\to K}$ danymi wzorem ${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {y} \mapsto B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),}$ gdzie ${\displaystyle \wedge }$ oznacza iloczyn alternujący (zewnętrzny). Ponieważ formy liniowe tworzą przestrzeń dualną, to symetryczne formy dwuliniowe są elementami ${\displaystyle \mathrm {Sym} ^{2}(V)^{*},}$ zaś alternujące formy dwuliniowe to elementy ${\displaystyle \mathrm {Alt} ^{2}(V)^{*},}$ przy czym można utożsamić te przestrzenie odpowiednio z drugą potęgą symetryczną ${\displaystyle \mathrm {Sym} ^{2}(V^{*})}$ i drugą potęgą zewnętrzną ${\displaystyle \mathrm {Alt} ^{2}(V^{*})}$ przestrzeni ${\displaystyle V^{*}.}$

Ponieważ ${\displaystyle \mathrm {Sym} ^{2}(V)}$ i ${\displaystyle \mathrm {Alt} ^{2}(V)}$ są dobrze określone jako przestrzenie ilorazowe ${\displaystyle V^{\otimes 2},}$ to poza ciałem charakterystyki 2 można je utożsamiać z odpowiednimi podprzestrzeniami ${\displaystyle V^{\otimes 2},}$ mianowicie pisząc ${\displaystyle \mathbf {x} \otimes \mathbf {y} +\mathbf {y} \otimes \mathbf {x} }$ zamiast ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \in \mathrm {Sym} ^{2}(V)}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {x} \otimes \mathbf {y} -\mathbf {y} \otimes \mathbf {x} }$ w miejsce ${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {y} \in \mathrm {Alt} ^{2}(V).}$ W ten sposób ${\displaystyle V^{\otimes 2}=\mathrm {Sym} ^{2}(V)\oplus \mathrm {Alt} ^{2}(V)}$ na mocy wzoru ${\displaystyle \mathbf {x} \otimes \mathbf {y} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} +\mathbf {y} \otimes \mathbf {x} )+{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} -\mathbf {y} \otimes \mathbf {x} ).}$ Zamieniając ${\displaystyle V}$ na ${\displaystyle V^{*}}$ otrzymuje się ${\displaystyle \left(V^{*}\right)^{\otimes 2}=\mathrm {Sym} ^{2}(V^{*})\oplus \mathrm {Alt} ^{2}(V^{*})}$ poza ciałem charakterystyki 2, czyli przedstawienie ogólnej formy dwuliniowej w postaci jednoznacznej sumy form dwuliniowych symetrycznej i antysymetrycznej (zob. własności)^[e].

Teoria form dwuliniowych znajduje zastosowanie w wielu działach matematyki:

• w analizie wielowymiarowej formą dwuliniową jest druga pochodna w przestrzeni euklidesowej – przy odpowiednich założeniach (twierdzenie Clairaut bądź Schwarza) jest ona symetryczna (a jej macierzą w ustalonej bazie jest macierz Hessego)
• w rachunku wariacyjnym określoność tej formy dwuliniowej mówi o kształcie hiperpowierzchni (ekstremum, siodło) wokół punktu krytycznego danej formy (funkcjonału)
• w geometrii rzutowej formy dwuliniowe służą ustaleniu dualności i umożliwiają zdefiniowanie kolineacji, a przede wszystkim korelacji (konstrukcja dopełnienia ortogonalnego dla niezdegenerowanej formy dwuliniowej stanowi jej uogólnienie), dodanie warunku inwolutywności korelacji pozwala na badanie biegunowości
• w analizie funkcjonalnej ograniczone i eliptyczne (koercywne) formy dwuliniowe na przestrzeni Hilberta występujące w twierdzeniu Laxa-Milgrama mówią o jednoznaczności słabych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), w tym równania Poissona pojawiającego się m.in. w elektrostatyce czy w problemach mechaniki ośrodków ciągłych;
• rzeczywiste przestrzenie liniowe wyposażone w niezdegenerowane dwuliniowe formy alternujące są lokalnymi modelami dla przestrzeni fazowych w mechanice hamiltonowskiej.
• dodatnio określone, symetryczne formy dwuliniowe odgrywają istotną rolę w analizie (rzeczywiste przestrzenie Hilberta), jak i w geometrii (rozmaitości riemannowskie);
• niezdegenerowane symetryczne formy dwuliniowe pojawiają się w szczególnej teorii względności, gdzie bada się przestrzenie pseudoeuklidesowe (zob. ostatni przykład)
• niezdegenerowane symetryczne formy dwuliniowe pojawiają się w ogólnej teorii względności, gdzie bada się rozmaitości pseudoriemannowskie

Typy form

• forma
• forma kwadratowa
• forma liniowa
• forma półtoraliniowa
• forma wieloliniowa

Własności

• określoność formy

Przykłady form w geometrii

• metryka euklidesowa
• metryka pseudoriemannowska
• metryka riemannowska

• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce
• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.

• Bilinear form (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].