TWI480113B - 變齒厚蝸桿型刀具及其加工方法 - Google Patents

Description

變齒厚蝸桿型刀具及其加工方法

本發明是有關於一種加工齒輪的刀具，且特別是有關於一種蝸桿型刀具。

請參考第1圖，第1圖是習知之蝸桿型刀具的結構示意圖。這種蝸桿型刀具是用在創成式齒輪加工機上，以創成各種圓柱齒輪。具體而言，圓柱齒輪在車輛業、機械設備業、機電產業乃至於航太業都是不可或缺的重要零件；為了對圓柱齒輪進行隆齒修形(Crowning)與導程推拔修形(Taper)等進一步精密的加工，現行產業界將蝸桿型刀具組裝在創成式齒輪加工機上，利用改變刀具與被加工齒輪中心距的方式來實現需要導程隆齒之圓柱齒輪的。然而，使用這種方式加工時，如果沒有配合進行複雜的刀具與被加工齒輪軸交角改變，會使加工後的齒面產生扭曲現象。

舉例來說，美國專利公告號第0,311,063號，由歐洲菲特與利勃公司提出改變刀具壓力角形式的技術，即如第1圖所示。其係配合加工機台在刀具軸向運動和改變刀具與被加工齒輪中心距方法，達成降低隆齒加工之齒面扭曲的目的；但是此種方式係沿刀具導程修整刀具壓力角傾斜的方向，因而必須使刀具修整方式多一個可以改變壓力角傾斜方向的自由度，使得刀具製造成本較高，而且刀具修整與齒輪加工的計算與設定相當複雜。

另一方面，以美國專利公告號第5,338,134號所揭露的技術來說，其係將蝸桿造型的精切刀具透過左右壓力 角不同的形式，配合加工機台軸向及徑向執行進給加工。然而，此方式只對齒面單邊作精加工，刀具刃口的另一邊並沒有參與加工；因此，其雖提高了刀具的強度及壽命，但相對降低了加工的效率，也沒有解決齒面扭曲的問題。

再者，在美國公告號第7,937,182號中揭露了一種利用對角線比率及中心距變化之刀具和工件，以進行齒輪加工的方法；其係通過協調刀具隆齒的量和路線及對角比率，以產生工件所需的齒形扭曲。綜上所述，目前這些技術實皆以改變壓力角及加工進給的方式來達成，但刀具的製造成本相對提高，且未必能降低齒面扭曲的現象發生。

由此觀之，現行產業界製造需要導程隆齒之圓柱齒輪，一般利用改變刀具與被加工齒輪中心距的方式達成此一目的，然而使用這種方式加工如果沒有配合刀具與被加工齒輪軸交角改變，會使加工後的齒面產生扭曲現象。目前齒輪加工機台在加工時為了顧及機台剛性，加工時會固定工件與刀具軸交角，因此容易產生所加工齒輪齒面扭曲現象，降低原本所設計的齒輪組裝公差。

因此，本發明之一目的是在提供一種變齒厚蝸桿型刀具，以抑制前述齒面扭曲的問題，且不需要增加自由度控制上的複雜度。

根據本發明之一實施方式，提出一種變齒厚蝸桿型刀 具，係用將一齒胚加工成一齒輪，變齒厚蝸桿型刀具包括一蝸桿本體及至少一螺旋刃口部。螺旋刃口部分布於蝸桿本體上，且螺旋刃口部具有變齒厚分布的結構特徵。

具體來說，根據本發明其他實施方式，螺旋刃口部之變齒厚分佈的結構特徵，可以是由厚變薄從蝸桿本體一端漸次分布到蝸桿本體另一端；其亦可以是由厚變薄從蝸桿本體一端漸次分布到蝸桿本體中央，再由薄變厚從蝸桿本體中央漸次分布到蝸桿本體另一端。從另一個角度觀之，螺旋刃口部之變齒厚分佈的結構特徵可以是線性分布的，也可以是非線性分布的。

更進一步的來說，在本發明另一實施方式中，變齒厚蝸桿型刀具可應用於一創成式齒輪加工機上；其整體包括一刀頭座、一自由度控制機構，以及一工件主軸。刀頭座是用來安裝前述之變齒厚蝸桿型刀具的蝸桿本體。自由度控制機構係用以控制刀頭座，產生一軸向進給自由度、一切向進給自由度與一設定傾角自由度。工件主軸則係用以安裝一齒胚，以受變齒厚蝸桿型刀具加工。值得注意的是，螺旋刃口部因導程出變齒厚分佈的結構特徵，使齒胚被加工時，刀頭座與工件主軸間的中心距離得以固定，進而省略加工過程中用以改變中心距離的徑向進給自由度，且仍能對齒面進行隆齒修整並抑制齒胚的齒面扭曲。

本發明之另一目的是在提供一種變齒厚蝸桿型刀具的加工方法，以提供低成本高效率的隆齒加工方式。

根據本發明之又一實施方式，提出一種變齒厚蝸桿型刀具的加工方法，係利用如前所述之變齒厚蝸桿型刀具將 一齒胚加工成一齒輪，包括下列步驟：首先，以一齒條刀座標系統來描述一蝸桿本體；以及，以一刀具座標系統來描述分布於蝸桿本體上的螺旋刃口部。接下來，將齒條刀座標系統的向量參數，轉換成刀具座標系統的向量參數，使蝸桿本體可以被假想成齒條刀，進而將螺旋刃口部之形狀導程出變齒厚分佈的結構特徵。最後，利用螺旋刃口部之變齒厚分佈的結構特徵，設定加工齒胚所需的軸向進給自由度、切向進給自由度與設定傾角自由度，進而省略徑向進給自由度，且仍能對齒面進行隆齒修整並抑制齒胚的齒面扭曲。

更進一步的來說，在本發明其他實施方式中，齒條刀座標系統S ₇ 具有兩兩垂直的三軸x ₇ 、y ₇ 與z ₇ ，蝸桿本體以齒條刀座標系統S ₇ 表示的位置向量為： 蝸桿本體以齒條刀座標系統S ₇ 表示的法向量為：n ₇ =[n _{x 7} ,n_y7 ,n_z7 ] ^T =[sinα _on ,cosα _on ,-bv ₁ cosα _on ] ^T 其中，u ₁ 、v ₁ 為齒條刀座標系統S ₇ 的虛擬齒條刀參數，用以將蝸桿本體假想成齒條刀；α _on 為法向壓力角；r _{o 1} 為刀具節圓半徑。藉此，齒條刀座標系統S ₇ 描述的蝸桿本體可以經由座標系轉換，改寫如下：以刀具座標系統S ₃ 表示的位置向量為：r ₃ =[x ₃ (v ₁ ,φ₁ ),y ₃ (v ₁ ,φ₁ ),z ₃ (v ₁ ,φ₁ ),1] ^T 以刀具座標系統S ₃ 表示的法向量為：n ₃ =[n _{x 3} (v ₁ ,φ₁ ),n _{y 3} (v ₁ ,φ1),n _{z 3} (v ₁ ,φ₁ )] ^T 其中，各參數亦轉換如下：

x ₃ =(r _{o 1} +u ₁ cosα _on )cosφ₁ +[2r _{o 1} φ₁ -cosβ _{o 1} (s _on (v ₁ )-2u ₁ sinα _on )-2v ₁ sinβ _{o 1} ]sinφ₁ /2

y ₃ =(r _{o 1} +u ₁ cosα _on )sinφ₁ +[cosβ _{o 1} (s _on (v ₁ )-2u ₁ sinα _on )+2v ₁ sinβ _{o 1} -2r _{o 1} φ₁ ]cosφ₁ /2

z ₃ =v ₁ cosβ _{o 1} +u ₁ sinα _on sinβ _{o 1}

n _{x 3} =sinα _on cosφ₁ +cosα _on (bv ₁ sinβ _{o 1} -cosβ _{o 1} )sinφ₁

n _{y 3} =cosβ _{o 1} (cosα _on -bv ₁ sinβ _{o 1} )cosφ₁ +sinα _on sinφ₁

n _{z 3} =-cosα _on (sinβ _{o 1} +bv ₁ cosβ _{o 1} )。 如此一來，一般刀具控制參數之軸向進給量z _a (t )，切向進給量Z _s (t )，中心距離E _o ，以及徑向進給量，即可被轉換為固定值之徑向進給量，且軸向進給量與切向進給量互動關係為z _s (t )=cz _a (t )。

藉此，本發明利用變齒厚的蝸桿式刀具，例如滾齒刀或蝸桿式磨輪，配合加工機台軸向及切向進給達到齒輪導程隆齒修形的目的；其係以改變刀具齒厚的方式來降低隆齒加工之齒面扭曲，且並不需要增加刀具修整的自由度，在齒輪加工時只需要增加加工機台在刀具軸向運動上的控制，而不需要改變刀具與被加工齒輪的中心距離，誠為一低成本且高效率的隆齒加工技法。

本發明於一實施方式中提出一種變齒厚蝸桿式刀具，例如滾齒刀、刃口型刀具或蝸桿式磨輪，其係用以配合加工機台軸向進給和切向進給，來達到齒輪導程隆齒修形的目的。換句話說，本實施方式透過改變刀具齒厚的方式來 降低隆齒加工過程中經常出現的齒面扭曲現象；而且，本實施方式主要是在齒輪加工時，控制加工機台在刀具軸向的運動，因而不需要改變刀具與被加工齒輪之中心距。易言之，本實施方式之變齒厚蝸桿式刀具在使用上，同時解決了習知之自由度變數設定複雜與加工後齒面彎曲的問題。因此，本發明透過諸實施方式之揭示，實現了對圓柱齒輪進行低成本且高效率隆齒加工的目的。

請參考第2圖，第2圖是本實施方式之變齒厚蝸桿式刀具的結構示意圖。第2圖中，本實施方式舉例蝸桿本體係為變齒厚蝸桿式刀具20，在螺旋線方向上，具有螺旋刃口部22，可以看出刀具上前端齒到後端齒有變齒厚的特徵存在，迥異於以虛線表示的一般標準刀具10。具體的說，在第2圖中，本實施方式之變齒厚蝸桿式刀具20的齒厚變化是由一端朝中央處變薄，再漸次變厚到另一端。

本發明於另一實施方式中提出一種創成式齒輪加工機，以配合使用前述之變齒厚蝸桿式刀具20。請參考第3圖，第3圖是本實施方式之創成式齒輪加工機之加工自由度的操作示意圖。第3圖中，創成式齒輪加工機一端為用以安裝變齒厚蝸桿式刀具20的刀頭座32及提供軸向進給、切向進給與傾角改變，三種自由度控制機構34；創成式齒輪加工機另一端為待加工的齒胚21與用以安置齒胚21的工件主軸30。變齒厚蝸桿式刀具20於加工機上對齒 胚21加工時，齒胚21被安置在工件主軸30上，且受控於工件主軸30而轉動，以使待切銷加工的部位朝向刀頭座32。具體來說，刀頭座32轉到齒胚21與變齒厚蝸桿式刀具20之設定傾角40，移動齒胚21與變齒厚蝸桿式刀具20之中心距離50，使變齒厚蝸桿式刀具20接觸齒胚21上待切銷或以其他方式加工的部位。開始進行加工時，變齒厚蝸桿式刀具20沿軸向進給方向51作動，同時由變齒厚蝸桿式刀具20的一側開始沿切向進給方向52移動到變齒厚蝸桿式刀具20的另一側，直至完成加工。

接下來，具體說明本實施方式之變齒厚蝸桿型刀具及其相配合的創成式齒輪加工機，何以能夠提供較精簡的機台自由度設定，卻又能達到避免齒面扭曲的高精密度加工需求。首先須從本實施分式之變齒厚蝸桿式刀具20的製造與設計流程說明起。

請參考第4圖，第4圖是以一般加工工具製作本發明之變齒厚蝸桿式刀具時，加工工具本身的座標系統圖；其係以諸法線參數描述一般加工工具的座標。具體來說，本實施方式之變齒厚蝸桿式刀具20的理論齒形可以假想為由一個齒條刀11，所創成出來的。而齒條刀11之齒厚設計則沿著導程方向以一個二階的方程式來描述，齒厚變化量表示如下：s _on (v ₁ )=bv ₁ ² ......式(1)

更具體地來說，請一併參考第5圖與第6圖，第5圖是第4圖之一般加工工具在加工製作本發明之變齒厚蝸桿式刀具時的結構示意圖，第6圖是第4圖之一般加工工具在加工製作本發明之變齒厚蝸桿式刀具時，作動方式的座標系統圖。第6圖中，S ₇ 為齒條刀座標系統，其原點即為圖上所標示的O ₇ ；S ₃ 為刀具座標系統，其原點即為圖上所標示的O ₃ ；S ₄ 為固定座標系統，其原點即為圖上所標示的O ₄ ，且兩座標系統的原點重疊。當齒條刀11平移一個距離r _{o 1} φ₁ 時，刀具對著固定座標系統S ₄ 的Z 軸Z ₄ 旋轉一個角度φ₁ ；因此，刀具之位置向量及法向量分別如下式所示：以齒條刀座標系統S ₇ 表示的位置向量： 以齒條刀座標系統S ₇ 表示的法向量：n ₇ =[n _{x 7} ,n_y7 ,n_z7 ] ^T =[sinα _on ,cosα_on ,-bv ₁ cosα _on ] ^T ......式(3)其中，u ₁ 、v ₁ 為齒條刀參數；α _on 為法向壓力角；r _{o 1} 為刀具節圓半徑。

經過兩座標系統間的轉換計算後，可以得到變齒厚蝸桿式刀具20之位置向量及法向量分別表示如下：以刀具座標系統S ₃ 表示的位置向量：r ₃ =[x ₃ (v ₁ ,φ₁ ),y ₃ (v ₁ ,φ₁ ),z ₃ (v ₁ ,φ₁ ),1] ^T ......式(4) 以刀具座標系統S ₃ 表示的法向量：n ₃ =[n _{x 3} (v ₁ ,φ₁ ),n _{y 3} (v ₁ ,φ₁ ),n _{z 3} (v ₁ ,φ₁ )] ^T ......式(5)其中，各參數亦轉換如下：

承上所述，請再參考第7圖，第7圖是本發明之變齒厚蝸桿式刀具20進行加工齒胚時的座標系統圖。變齒厚蝸桿式刀具20對齒胚21(即工件)作對角進給的加工動作時，可描述如第7圖所示。第7圖中，S ₁ 為刀具座標系統(圖中x ₁ 軸與y ₁ 軸所代表的座標)，S ₂ 為工件座標系統，S _a 為齒輪加工機固定座標系統。一般刀具在加工機上需要以三個進給量來實現加工程序，亦即沿著齒輪軸的軸向進給量Z _a (t )，沿著刀具軸的切向進給量Z _s (t )，以及刀具與工件的中心距E _o 。此外，γ為刀具與工件之機械設定傾角。在傳統式的滾齒加工下，需要作齒輪導程方向修整時，要同時沿著第3圖所示的軸向進給方向51進行軸向進給，且設定中心距離50以進行徑向進給；徑向進給量需設定為： 但加工出來的齒面容易發生曲面扭曲的問題。

本實施方式所提供之變齒厚蝸桿型刀具及其相配合的創成式齒輪加工機，其之所以能解決了曲面扭曲的問題又可達到齒面修整的目的，係先將中心距離50設為一個定值，並設計刀具使其具有變齒厚的特徵，同時佐以軸向進給方向51及切向進給方向52的控制，亦即設定其進給關係式如下：z _s (t )=cz _a (t )......式(8)此時，利用齒輪原理及微分幾何理論，帶入上述方程式(1)~(8)，我們即可求得齒面的齒形，以賦予變齒厚蝸桿型刀具20變齒厚的特徵來達到所需的效果。

實施例

請一併參考第8圖與第9圖，第8圖是標準刀具加工之齒面拓樸圖，第9圖是變齒厚蝸桿式刀具加工之齒面拓樸圖。

這裡提供一般傳統的標準刀具與變齒厚蝸桿式刀具加工齒輪的修整範例。下列為齒輪及刀具的基本參數：

齒輪資料如下：

齒數=50齒

法向模數=3mm

法向弧齒厚=4.712mm

法向壓力角=20度 右旋

螺旋角=20度

面寬=15mm

刀具資料如下：

牙口數=1

螺旋角=87.888度 右旋

法向弧齒厚=4.712mm

機械設定如下：

刀頭座32傾角=17.888度

齒胚與刀具標準中心距=120.510mm

在標準刀具加工下，機台作軸向及徑向進給，設定進給關係參數a=1.34×10^-3 ；b=0；c=0。其中，a為中心距變化係數，b為變齒厚係數，c為刀具切向進給係數。其齒面拓樸圖如第8圖所示，由圖可看出左右齒面上有扭曲情況發生；反之，在變齒厚蝸桿式刀具加工下，機台作軸向及切向進給，設定進給關係參數a=0；b=1.46×10^-7 ；c=-3.256。其齒面拓樸圖如第9圖所示，由圖上可看出本實施方式之變齒厚蝸桿式刀具，能有效抑制了齒面上扭曲的情形，並達到導程修整的目的。

綜上所述，本發明諸實施方式之變齒厚蝸桿式刀具及其配合的加工機台，能以軸向及切向進給的方式實現低成本、高效率的隆齒加工方法，並有效降低齒面扭曲的現象發生，進而對產業界帶來龐大的經濟利益而深具產業之利 用價值。更具體地來說，本發明諸實施方式至少具有下列之特點及優勢：

1.變齒厚蝸桿式刀具(如滾齒刀或蝸桿式磨輪)配合加工機台軸向及切向進給即可達到齒輪導程隆齒修形。

2.透過改變刀具齒厚的方式抑制隆齒加工之齒面扭曲現象。

3.變齒厚蝸桿式刀具在製造與使用上，不需增加現有機台之加工自由度及機構的改變。

4.齒輪加工時只需配合加工機台的軸向及切向進給，不需要改變刀具與被加工齒輪之中心距離。

雖然本發明已以諸實施方式揭露如上，然其並非用以限定本發明，任何熟習此技藝者，在不脫離本發明之精神和範圍內，當可作各種之更動與潤飾，因此本發明之保護範圍當視後附之申請專利範圍所界定者為準。

10‧‧‧標準刀具

11‧‧‧齒條刀

20‧‧‧變齒厚蝸桿式刀具

21‧‧‧齒胚

22‧‧‧螺旋刃口部

32‧‧‧刀頭座

34‧‧‧自由度控制機構

30‧‧‧工件主軸

40‧‧‧設定傾角

50‧‧‧中心距離

51‧‧‧軸向進給方向

52‧‧‧切向進給方向

為讓本揭示內容之上述和其他目的、特徵、優點與實施例能更明顯易懂，所附圖式之說明如下：第1圖是習知之蝸桿型刀具的結構示意圖。

第2圖是本發明一實施方式之變齒厚蝸桿式刀具的結構示意圖。

第3圖是本發明一實施方式之創成式齒輪加工機之加工自由度的操作示意圖。

第4圖是以一般加工工具製作本發明之變齒厚蝸桿式刀具時，加工工具本身的座標系統圖。

第5圖是第4圖之一般加工工具在加工製作本發明之變齒厚蝸桿式刀具時的結構示意圖。

第6圖是第4圖之一般加工工具在加工製作本發明之變齒厚蝸桿式刀具時，作動方式的座標系統圖。

第7圖是本發明之變齒厚蝸桿式刀具20進行加工齒胚時的座標系統圖。

第8圖是標準刀具加工之齒面拓樸圖。

第9圖是變齒厚蝸桿式刀具加工之齒面拓樸圖。

10‧‧‧標準刀具

20‧‧‧變齒厚蝸桿式刀具

Claims (7)

1. 一種變齒厚蝸桿型刀具，係用將一齒胚加工成一齒輪，包括：一蝸桿本體；以及至少一螺旋刃口部，分布於該蝸桿本體上，且該螺旋刃口部具有變齒厚分布的結構特徵，且該螺旋刃口部之變齒厚分佈的結構特徵，係由厚變薄從該蝸桿本體一端漸次分布到該蝸桿本體中央，再由薄變厚從該蝸桿本體中央漸次分布到該蝸桿本體另一端。
2. 如請求項1所述之變齒厚蝸桿型刀具，其中該螺旋刃口部之變齒厚分佈的結構特徵係為非線性分布。
3. 如請求項1所述之變齒厚蝸桿型刀具，更包括：一刀頭座，用以安裝該蝸桿本體；一自由度控制機構，係用以控制該刀頭座，產生一軸向進給自由度、一切向進給自由度與一設定傾角自由度；以及一工件主軸，係用以安裝該齒胚，以受加工；其中，該螺旋刃口部因導程出變齒厚分佈的結構特徵，使該齒胚被加工時，該刀頭座與該工件主軸間的中心距離得以固定，進而省略加工過程中用以改變中心距離的徑向進給自由度，且仍能對齒面進行隆齒修整並抑制該齒胚的齒面扭曲。
4. 一種變齒厚蝸桿型刀具的加工方法，係利用如請求項1所述之變齒厚蝸桿型刀具將一齒胚加工成一齒輪，包括下列步驟： 以一齒條刀座標系統來描述該蝸桿本體；以一刀具座標系統來描述分布於該蝸桿本體上的該螺旋刃口部；將該齒條刀座標系統的向量參數，轉換成該刀具座標系統的向量參數，使該蝸桿本體可以被假想成齒條刀，進而將該螺旋刃口部之形狀導程出變齒厚分佈的結構特徵；以及利用該螺旋刃口部之變齒厚分佈的結構特徵，設定加工該齒胚所需的軸向進給自由度、切向進給自由度與設定傾角自由度，進而省略徑向進給自由度，且仍能對齒面進行隆齒修整並抑制該齒胚的齒面扭曲，其中該變齒厚分佈的結構特係由厚變薄從該蝸桿本體一端漸次分布到該蝸桿本體中央，再由薄變厚從該蝸桿本體中央漸次分布到該蝸桿本體另一端。
5. 如請求項4所述之變齒厚蝸桿型刀具的加工方法，其中該齒條刀座標系統係描述該蝸桿本體如下：該齒條刀座標系統S ₇ 具有兩兩垂直的三軸x ₇ 、y ₇ 與z ₇ ，該蝸桿本體以該齒條刀座標系統S ₇ 表示的位置向量為： 該蝸桿本體以該齒條刀座標系統S ₇ 表示的法向量為：n ₇ =[n _{x 7} ,n_y7 ,n_z7 ] ^T =[sinα _on ,cosα _on ,-bv ₁ cosα _pn ] ^T 其中，u ₁ 、v ₁ 為該齒條刀座標系統S ₇ 的虛擬齒條刀參數，用以將該蝸桿本體假想成齒條刀；α _on 為法向壓力角；r _{o 1} 為刀 具節圓半徑。
6. 如請求項5所述之變齒厚蝸桿型刀具的加工方法，該刀具座標系統係將該齒條刀座標系統轉換如下：該刀具座標系統S ₃ 具有兩兩垂直的三軸x ₃ 、y ₃ 與z ₃ ，該蝸桿本體以該刀具座標系統S ₃ 表示的位置向量為：r ₃ =[x ₃ (v ₁ ,φ₁ ),y ₃ (v ₁ ,φ₁ ),z ₃ (v ₁ ,φ₁ ),1] ^T 該蝸桿本體以刀具座標系統S ₃ 表示的法向量為：n ₃ =[n _{x 3} (v ₁ ,φ₁ ),n _{y 3} (v ₁ ,φ₁ ),n _{z 3} (v ₁ ,φ₁ )] ^T 其中，各參數亦轉換如下： x ₃ =(r _{o 1} +u ₁ cosα _on )cosφ₁ +[2r _{o 1} φ₁ -cosβ _{o 1} (s _on (v ₁ )-2u ₁ sinα _on )-2v ₁ sinβ _{o 1} ]sinφ₁ /2y ₃ =(r _{o 1} +u ₁ cosα _on )sinφ₁ +[cosβ _{o 1} (s _on (v ₁ )-2u ₁ sinα _on )+2v ₁ sinβ _{o 1} -2r _{o 1} φ₁ ]cosφ₁ /2z ₃ =v ₁ cosβ _{o 1} +u ₁ sinα _on sinβ _{o 1} n _{x 3} =sinα _on cosφ₁ +cosα _on (bv ₁ sinβ _{o 1} -cosβ _{o 1} )sinφ₁ n _{y 3} =cosβ _{o 1} (cosα _on -bv ₁ sinβ _{o 1} )cosφ₁ +sinα _on sinφ₁ n _{z 3} =-cosα _on (Sinβ _{o 1} +bv ₁ cosβ _{o 1} )。
7. 如請求項6所述之變齒厚蝸桿型刀具的加工方法，其中一般刀具控制參數之軸向進給量Z _a (t )，切向進給量Z _s (t )，中心距離E _o ，徑向進給量，係被轉換為固定值之徑向進給量，且軸向進給量與切向進給量互動關係為z _s (t )=cz _a (t )。