KR20180041147A

KR20180041147A - 상이한 점 확산 함수들을 이용한 일련의 이미지 내 가변 방출 강도를 갖는 점원들의 검출

Info

Publication number: KR20180041147A
Application number: KR1020187006057A
Authority: KR
Inventors: 아비세이 갈-얌; 바락 자캐이; 에란 오펙
Original assignee: 예다 리서치 앤드 디벨럽먼트 캄파니 리미티드
Priority date: 2015-08-12
Filing date: 2016-08-11
Publication date: 2018-04-23
Also published as: EP3335139A1; WO2017025970A1; JP2018527667A; US20180232596A1; US10776653B2; EP3335139A4

Abstract

적어도 하나의 프로세서 및 적어도 하나의 메모리 소자를 사용하여, 복잡한 일정 배경 데이터 측정(DM)에서, 하나 이상의 새로운 객체 및/또는 하나 이상의 알려진 객체의 천이를 검출하기 위한 물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 DM을 프로세싱하기 위한 시스템 및 방법은: 기준 DM의 임펄스 응답에 대해, 새로운 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 새로운 DM을 생성하는 단계; 상기 새로운 DM의 임펄스 응답에 대해, 상기 기준 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 기준 DM을 생성하는 단계; 상기 필터링된 새로운 DM에서 상기 필터링된 기준 DM을 차감함으로써 또는 그 반대로 M-차원 객체 표시자(OI)를 생성하는 단계; 및 상기 M-차원 OI로부터 M-차원 데이터 스코어(DS)를 생성하는 단계로서, 상기 스코어들의 각각은 특정 M-차원 위치에서, 객체의 존재를 찾는 프로브인, 상기 M-차원 DS를 생성하는 단계를 포함한다.

Description

상이한 점 확산 함수들을 이용한 일련의 이미지 내 가변 방출 강도를 갖는 점원들의 검출

본 발명은 일반적으로 천문학 이미징 분야 특히 이미지들을 프로세싱 및 비교하는 분야에 관한 것이다.

천이 검출 및 플럭스 측정은 시간 도메인 천문학의 기초이다. 보는 상태를 변경하는 것에 기인하여, 복잡한 일정 배경 상에서 새로운 소스들을 검출하는 것은 고도의 단순하지 않은 문제이다. 이러한 문제들에 대한 기존의 해결책들은 수많은 이미지 차감 왜곡이 실제 천이들을 수적으로 압도함에 따라, 크고 중요한 문제들을 경험한다. 이러한 문제에 대한 기존의 개선책은 방대한 후보를 좁히기 위한 기계 학습 알고리즘들을 사용하는 고도의 복잡한 해결책들을 사용한다. 마지막으로, 사람 판독자들은 후보 더미에서 실제 천이 신호들을 추출하기 위한 나머지 후보들을 가려낸다.

이전에 알려지지 않은 천이원들의 검출은 많은 천문학 분야의 기초이다. 그러한 것에 대한 예들은 초신성 및 미소 렌즈화 이벤트들에 대한 탐색이다. 이미지 차감의 문제는 많은 제안된 해결책들, 예를 들어, [Phillips & Davis 1995, Astronomical Data Analysis Software and Systems IV, 77, 297; Alard, & Lupton,1998, ApJ, 503, 325; Bramich, 2008, MNRAS, 386, L77; Gal-Yam, Maoz, Guhathakurta,& Filippenko, 2008, ApJ, 680, 550]를 들어, 다루기 어려운 것으로 밝혀졌다. 이미지들을 차감하는 것이 어려운 이유는 이미지들의 바탕에서 취해지는 점 확산 함수(PSF)가 다양하다는 것이다. 관측의 PSF의 이러한 변화는 이미지들의 이미지들의 원시적인 차감에서 많은 차감 왜곡을 발생시킬 수 있다.

대부분 측량에 의해 사용되는 해결책은 이미지 차감 그 자체를 위한 Alard & Lupton알고리즘에 기반한다. 그 후, 이를테면 정합 필터를 적용하고 새로운 소스들을 탐색하는 것과 같은, 검출 프로세스가 발생한다. 이러한 해결책은 결코 완벽하지 않고 그 동작 후 이른바 많은 "차감 왜곡(subtraction artifacts)"가 남는다.

일반적으로 보급되어 있는 이미지 차감 방법들 이를테면 Alard & Luptonand Bramich 2008]에 의해 초래되는 이러한 차감 왜곡은 복잡한 반전 문제를 해결해야하는 필요에 의해 야기된다. 이러한 반전 문제는 Phillips & Davis에 의해 수행되는 불완전한 디컨볼루션에 대한 조직화 작업으로 여겨질 수 있다. 더딘 것은 제쳐두고, 디컨볼루션 프로세스의 수치적 불안전성이 감춰질 수 없음에 따라, 반전 문제는 그 자체가 유력한 디컨볼루션이다. 새로운 이미지의 PSF가 기준 PSF와 실질적으로 상이한 경우들에서, 상기한 알고리즘들은 푸리에 면에서의 유력한 분열에 기인하여 차감 이미지에 링잉 왜곡이 나타나게 할 수 있거나, 또는 기준 이미지의 PSF를새로운 이미지 PSF의 형태로 형성하지 못할 수 있어, 정합되지 않은 PSF가 나타남에 따라 원시적인 차감의 많은 차감 왜곡을 남긴다.

이러한 왜곡은 많은 긍정 오류 신호를 야기함으로써 천이들의 자동 검출을 막는다. 이러한 문제에 대한 해당 기술 해결책의 현재 상태는 대부분의 왜곡을 필터링하고 긍정 오류의 수를 최소로 감소시키기 위해 기계 학습 알고리즘, 예를 들어, [Bloom, Richards, Nugent,외 2012, PASP, 124, 1175; Goldstein, D'Andrea, Fischer 외 2015, arXiv:1504.02936; Wright, Smartt, Smith, 외 2015, MNRAS]을 훈련하는 것이다. 후에, 사람 판독자들은 모든 나머지 후보 검출을 가려내고 실제인지 아닌지를 결정한다.

이러한 상술왼 프로세스는 여러모로 천이 검출 측량의 성공적인 운용을 약화시킬 수 있다. 첫번째는 많은 사람 판독자는 매우 다루기 어렵고 돈이 많이 들 수 있다는 것이다. 현재의 많은 측량은 후보 선별에 많은 인력을 들이고 있다, 그러한 측량의 예들은 PTF [Law, Kulkarni,Dekany, 외 2009, PASP, 121, 1395] 및 PANSTARRS [Kaiser, Aussel,Burke,외 2002, Proc.SPIE, 4836, 154]이다. 이러한 사람 판독자들의 활용은 확장될 수 없고, LSST [Ivezic, Tyson, Abel, 외 2008, arXiv: 0805.2366]와 같은 미래 측량에 실시하기 어렵다.

두번째는 사람 판독자들이 실시간으로 천이를 검출하는 것은 매우 힘들기 때문에, 그것이 천이 검출에 시간 지연을 초래한다는 것이다. 이는 새로운 천이를 빠르게 추적 관측하는 것이 가장 중요한 많은 과학 사례에 피해가 클 수 있다. 또한, 적어도 몇몇 기계 학습 알고리즘은 실제 명백한 천이를 놓친다. 마지막으로, 사람 판독자들은 그들의 의사 결정 프로세스에서 완고할 수 없기 때문에 사람 판독 단계는 완전한 천이 측량을 추정하는 것을 매우 어렵게 만든다. 그러한 과학 사례에 대한 예는 초신성 원종의 별 주위 환경의 특성화이며, 이는 단지 수시간의 기간 동안 빠른 추적으로 가능하다 Gal-Yam 외.

다른 문제는 사람 판독자들은 천이가 실제인지 아닌지를 확신할 수 조차 없다는 것, 그리고 많은 측량이 단지 두 번 이상의 연속적인 관측 동안 지속되는 후보들을 수용하는 방법론을 응용한다는 것이다. 말할 필요도 없이, 이러한 방법론은 측량 속도를 후보들의 신뢰성과 맞바꾼다.

마지막으로, 이러한 판독 방법론은 최소한 한계의 천이 검출을 막는데, 이는 그것이 검출의 통계를 수량화하기 힘들게 만들기 때문이며, 그리고 명백한 이유들로 통계적인 검출 한도로 천이를 검출할 수 없는 사람 판독자들의 육안 검사에 의존한다.

이미지 차감을 위한 기존 방법들의 간단한 개요

이미지 차감을 위해 제안되는 해법들은 자연스럽게 두 변체로 나뉜다. 제 1의, 그리고 보다 일반적으로 보급되어 있는 변체는 일반적으로 부분적인 디컨볼루션으로 지칭될 수 있다. 이러한 과의 해법들은 제2 변체를 제안한, Phillips & Davis; Alard & Lupton;및 Bramich 2008.Gal-Yam 외이며, 이는 본원에서 "대칭 정합 필터링"으로 불리운다.

새로운 이미지를 N으로 그리고 그것의 PSF를 P_N으로, 기준 이미지를 R로 그리고 그것의 PSF를 P_R로 표기하면, 제1 접근법은 컨볼루션 커널(k)을 찾으려고 시도하며, 그에 따라 다음이 된다:

그러한 커널(k)을 찾기 위해 제안되는 제1 해법은 Phillips & Davis에 의해 제공된다. 그들은 다음과 같이 단순히 푸리에 공간에서 디컨볼루션 해법을 수행하는 것을 제안했다:

여기서 ^는 푸리에 변환을 나타낸다. 그러나, 이러한 해법은 디컨볼루션 연산이 그 작은 수들로의 나눗셈을 수반할 수 있기(그리고 여러 번 그렇기) 때문에 수치적으로 불안정하다.

Alard & Lupton온 수치적 불안전성 문제를 해결하기 위한 실제적인 방법을 제안했다. k를 기저 함수의 집합으로 나타내고, 식 1이 선형이라는 것에 주의하여, 그것들은 선형 최소 제곱법을 사용하여 k를 푸는 것을 제안했다. Alard & Lupton은 낮은 차수의 다항식들로 곱해지는 가우시안의 일차 결합들인, 기저 함수들의 집합을 사용하는 것을 제안했다. 후에, Bramich2008은 픽셀화된 커널의 값들을 푸는 것을 제안했다. Alard & Lupton방법 및 Bramich 2008 방법 양자는Phillips & Davis의 디컨볼루션 방법의 조직화, 즉 커널(k)에 대한 해법들을 "논리적인" 해법들의 일부 집합으로 한정하는 것으로 여겨질 수 있다.

이러한 알고리즘들의 수치적 안정성이 식 2의 수치적 안정성보다 양호하더라도, 그것들은 여전히 다음의 몇몇 문제를 갖는다: 첫째로, 0으로 나누기가 여전히 있고 그것은 특히 기준 이미지와 비교되는 새로운 이미지가 보다 좁은 PSF(실제로, 그것은 그것이 몇몇 축에서 보다 좁아지기에 충분하다)를 가질 때 분명해질 수 있다(흥미롭게도, 이러한 방법들은 새로운 이미지 및 기준 이미지에 대해 비대칭적인 한편, 문제는 R 및 N의 교환에 대해 대칭적이다). 둘째로, 이러한 방법들 중 어떤 방법에 대해서도 통계에 근거한 타당한 이유가 없고, 그것들이 정보를 잃지 않는다는 정확한 증명이 없으며, 어떤 추가 이미지 프로세싱이 적용되어야 하는지가 불분명하다. 예를 들어, 차감된 이미지에 대해 다른 정합 필터를 적용해야 하는가? 그렇다면, 어떤 필터를 사용해야 하는가? 셋째로, 새로운 소스 검출에 대한 검출 임계치를 설정하는 방법 및 검출된 소스가 실제인지 또는 왜곡인지를 결정하거나, 또는 그것이 긍정 오류일 확률을 수량화하는 방법에 대한 분명한 방안이 없다.

Gal-Yam 외에 의해 제안된 대칭 정합 필터링 해법은 새로운 이미지를 기준 이미지의 PSF와, 그 반대로 정합 필터링하는 것, 그리고 차감하는 것이다. 즉:

이러한 해법은 항상 수치적으로 안정하고, 어떠한 차감 왜곡을 남기지 않는다. 이러한 해법에 갖는 문제는 다시, 상식 외에는 어떠한 통계적 타당한 이유가 없다는 것이다. 이러한 해법은 일반적으로 주로 그것이 감도를 잃는다는 우려에 기인하여 해당 계에서 도외시되었다. 이러한 주장은 또한 그것을 동일한 PSF를 갖는 두 개의 이미지에 적용할 경우, 차감 이미지는 원래의 이미지보다 두 배만큼 넓은 유력한 PSF를 가져, 감도의 손실로 이어진다는 상식을 이용하여 추론될 수 있다.

두 개의 이미지를 차감하고, 최소 제곱법 의미에서 그 결과로 생긴 차 이미지를 최소화하는 것의 문제는 무한수의 해를 갖는다는 것이 언급되어야 한다. (또한 [Yuan & Akerlof, 2008, , 677, 808]에). 예를 들어, 다음의 일차 방정식:

여기서 K_r 및 K_n은 임의의 커널들이고, 무한수의 해를 갖는다. 이는 어떠한 K_r에 대해서든, 최소 제곱법 의미에서 식 4를 만족하는 K_n을 찾을 수 있기 때문이다. 이러한 단순한 분석은 모든 언급된 차감 방법이 이미지들 중 하나에 나타나는 천이원의 신호 대 잡음 비(S/N)의 극대화에 거의 주의를 기울이지 않고, 두 개의 동일한 이미지의 PSF를 만드는 것에 중점을 둔다는 것을 보인다. 어떤 의미에서, 이러한 방법들은 천이 검출 문제는 해결하지 않으나, 컨볼루션을 사용하여, 두 개의 이미지를 가능한 유사하게 만드는 방법인 다른 문제는 해결한다.

따라서, 수치적으로 안정적이고 최대한 민감하며 계산하기 빠를 수 있는 방법에 대해 오랫동안 느꼈던 요구가 있다.

이하의 신규한 방법들 및 시스템들은 시간 불변 이미지를 캔슬하는 동시에 천이원의 S/N을 최대화하는 것에 대해 설명된다.

몇몇 실시예에 따르면, 폐쇄 방법은 일반적으로 이미지 차감, 그리고 특히 천이 검출을 위해 제공된다. 이는 불변 하늘 이미지의 캔슬 및 천이 검출에 요구되는 추가 통계 분석 양자를 함께 분석함으로써 이루어진다. 상기 방법은 배경 제한 잡음의 상황에서 최상의 선형 해법을 제공한다. 발광 소스들 부근 제공된 방법의 통계적 거동은 자명하게 특징지어져, 발광 객체 부근 차감 왜곡의 방지로 이어질 수 있다. 뿐만 아니라, 제공된 방법은 항상 수치적으로 안정적이고, 구현, 분석하기 자명하며 일반적으로 보급되어 있는 방법들 또는 알고리즘들보다 상당히 빠르다.

이하에서, 데이터에 대한 임의의 통계 평가 또는 결정이 동일한 차감 이미지에 대해 최적으로 그리고 직관적으로 수행될 수 있다는 것이 설명되며, 이는 본원에서 "적절한 이미지 차감" 통계로 언급된다. 이러한 이미지는 매우 양호하고 직관적인 품질을 갖는다 이를테면: 기준 및 새로운 이미지 간에 어떠한 차이도 없는 경우, 그것은 어디서든 기대 수량 0을 갖고, 모든 픽섹들의 쌍은 상관되지 않으며, 모든 픽셀이 등분산을 갖는다. 또한, 그것은 폐쇄식의 유력한 PSF를 갖고, 정합 필터링에 의해 그것은 최적의 천이 검출 통계를 재현한다. 이러한 이미지는 기준 및 새로운 이미지 양자에서 극소 히트들(particle hits)을 검출 및 필터링하기 위해 사용되어, 그것들을 실제 소스들에서 분리할 수 있다.

상기 방법은 Palomar Transient Factory PTF; Law 외 자료 배포 1의 부분으로 여겨지는, 모의 이미지들 및 실제 이미지들에 대해 설명된다.

몇몇 실시예에 따르면, 적어도 하나의 프로세서 및 적어도 하나의 메모리 소자를 사용하여, 복잡한 일정 배경 데이터 측정(DM)에서, 하나 이상의 새로운 객체 및/또는 하나 이상의 알려진 객체의 천이를 검출하기 위한 물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 DM을 프로세싱하기 위한 신규한 방법이 제공되며, 상기 방법은:

기준 DM의 임펄스 응답에 대해, 새로운 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 새로운 DM을 생성하는 단계;

상기 새로운 DM의 임펄스 응답에 대해, 상기 기준 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 기준 DM을 생성하는 단계;

상기 필터링된 새로운 DM에서 상기 필터링된 기준 DM을 차감함으로써 또는 그 반대로 M-차원 객체 표시자(OI)를 생성하는 단계; 및

상기 M-차원 OI로부터 M-차원 데이터 스코어(DS)를 생성하는 단계로서, 상기 스코어들의 각각은 특정 M-차원 위치에서, 객체의 존재를 찾는 프로브인, 상기 M-차원 DS를 생성하는 단계를 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 DS를 생성하는 단계는 상기 OI 내 상기 물리적 속성의 공간 또는 시간 주파수들을 표준화하는 단계를 더 포함하되, 상기 주파수들의 각각은 그 자체 잡음의 표준 편차(STD)에 의해 표준화되고; 그렇게 함으로써 상기 표준화된 OI의 분석 성분들이 등분산의 물리적 속성 잡음을 갖고 또한 상기 물리적 속성 잡음이 상기 분석 성분들 간에 상관되지 않는다.

몇몇 실시예에서, 상기 DS를 생성하는 단계는 상기 OI 또는 상기 표준화된 OI의 각 주파수를, 상기 주파수의 잡음 분산으로 나눠지는 그것의 컨쥬게이트 주파수 응답으로 곱하는 단계를 더 포함하고; 그렇게 함으로써 상기 DS의 각 주파수가 그것의 잡음 분산과 동일한 주파수 응답을 갖는다.

몇몇 실시예에서, 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 물리적 속성을 측정하는 단계를 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 적어도 하나의 새로운 객체 및/또는 적어도 하나의 알려진 객체에 대한 천이를 검출하는 단계를 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 검출하는 단계는 상기 물리적 속성에 대해 미리 결정된 양 및/또는 음의 임계치들에 반응한다.

몇몇 실시예에서, 복수의 정합 필터링된 원래의 기준 DM을 누산함으로써 상기 기준 DM을 생성하는 단계 및/또는 복수의 정합 필터링된 원래의 새로운 DM을 누산함으로써 상기 새로운 DM을 생성하는 단계를 더 포함하되, 상기 필터링하는 단계는 그것들의 임펄스 응답들의 각각에 대한 것이다.

몇몇 실시예에서, 상기 누산하는 단계는 조합하는 단계, 코어디션(coaddition)하는 단계, 및 중첩하는 단계로 이루어진 군으로부터 선택되는 적어도 하나를 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 모든 상기 DM은 동일한 측정 필드를 갖는다.

몇몇 실시예에서, 각각의 상기 DM들은 단일 타임 스탬프에서 획득된다.

몇몇 실시예에서, M은 양의 정수이다.

몇몇 실시예에서, 상기 기준 DM 및 상기 새로운 DM은 각각 상이한 측정 디바이스에 의해 측정된다.

몇몇 실시예에서, 기준 DM 및 상기 새로운 DM은 각각 상이한 물리적 속성을 측정한다.

몇몇 실시예에서, 상기 기준 DM 및 상기 새로운 DM은 동시에 또는 상이한 시간 간격들로 측정된, 동일한 측정 필드를 커버하되, 각각은 상이한 파장으로 측정된다.

몇몇 실시예에서, 상기 기준 DM 및 상기 새로운 DM은: 동일한 측정 필드를 커버하고, 동일한 측정 디바이스에 의해 측정되며, 상이한 PSF를 갖는다 - 그것들의 측정들 간 객체의 변형에 기인하여; 즉 객체가 보통 의학/과학 이미지들에 있음에 따라 이동하거나, 또는 보통 위성 이미지들에 있음에 따라 매우 상이한 각도에서 보인다.

몇몇 실시예에서, 상기 방법은 움직임 검출 커널을 이용하여 상기 표준화된 OI를 컨볼빙(convolving)하는 단계를 더 포함하며; 상기 PSF는 (Sh(dx,dy) - ＼delta(0,0))(여기서 Sh는 이미지를 픽셀의 작은 부분들인 (dx,dy)만큼 이동시키는 시프트 연산자이고, ＼delta(0,0)은 원점에서 1을 그리고 그 밖의 다른 곳에서는 0을 갖는 이미지이다)으로 컨볼빙되고, 그렇게 함으로써 움직임 지표를 생성한다.

몇몇 실시예에서, 상기 방법은 임의의 잡음 모델을 사용하여 상기 DS를 표준화하는 단계를 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 방법은 정합 잡음 보정을 사용하여 상기 DS를 표준화하는 단계를 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 방법은 원 잡음 보정을 사용하여 상기 DS를 표준화하는 단계를 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 물리적 속성은 플럭스이고, 상기 DM들은 이미지들이며, 상기 분석 성분들은 픽섹들이다.

몇몇 실시예에서, 상기 물리적 속성은 전압이고, 상기 DM들은 무선 신호들이다.

몇몇 실시예에서, 상기 물리적 속성은 불투명도이고, 상기 DM들은 단층 촬영 측정이다.

몇몇 실시예에 따르면, 컴퓨팅 디바이스의 메모리로 로딩되고 상기 컴퓨팅 디바이스의 적어도 하나의 프로세서에 의해 실행될 때, 복잡한 일정 배경 데이터 측정(DM)에서, 하나 이상의 새로운 객체 및/또는 하나 이상의 알려진 객체의 천이를 검출하기 위한 물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 DM을 프로세싱하기 위한 컴퓨터 구현 방법의 상기 단계들을 실행하도록 구성된, 새로운 천이 또는 비-천이 신규한 컴퓨터 판독가능한 매체(CRM)가 제공되며, 상기 방법은:

몇몇 실시예에 따르면, 적어도 하나의 프로세서 및 적어도 하나의 메모리소자를 갖는 신규한 컴퓨터 시스템이 제공되며, 상기 시스템은 복잡한 일정 배경 데이터 측정(DM)에서, 하나 이상의 새로운 객체 및/또는 하나 이상의 알려진 객체의 천이를 검출하기 위한 물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 DM을 프로세싱하도록 구성되며, 상기 시스템은:

상기 메모리에 저장되는 필터링 모듈로서,

기준 DM의 임펄스 응답에 대해, 새로운 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 새로운 DM을 생성하도록; 그리고

상기 새로운 DM의 임펄스 응답에 대해, 상기 기준 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 기준 DM을 생성하도록 구성된, 상기 필터링 모듈;

상기 메모리에 저장되는 프로세싱 모듈로서,

상기 필터링된 새로운 DM에서 상기 필터링된 기준 DM을 차감함으로써 또는 그 반대로 M-차원 객체 표시자(OI)를 생성하도록; 그리고

상기 M-차원 OI로부터 M-차원 데이터 스코어(DS)를 생성하도록 구성되되, 상기 스코어들의 각각은 특정 M-차원 위치에서, 객체의 존재를 찾는 프로브인, 상기 프로세싱 모듈을 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 프로세싱 모듈은 상기 OI 내 상기 물리적 속성의 공간 또는 시간 주파수들을 표준화함으로써, 표준화된 M-차원 OI를 생성하도록 더 구성되되, 상기 주파수들의 각각은 그 자체 잡음의표준 편차(STD)에 의해 표준화되고; 그렇게 함으로써 상기 표준화된 OI의 분석 성분들이 등분산의 물리적 속성 잡음을 갖고 또한 상기 물리적 속성 잡음이 상기 분석 성분들 간에 상관되지 않는다.

몇몇 실시예에서, 상기 프로세싱 모듈은 상기 OI 또는 상기 표준화된 OI의 각 주파수를, 상기 주파수의 잡음 분산으로 나눠지는 그것의 컨쥬게이트 주파수 응답으로 곱하도록 더 구성되고; 그렇게 함으로써 상기 DS의 각 주파수가 그것의 잡음 분산과 동일한 주파수 응답을 갖는다.

몇몇 실시예에서, 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 상기 물리적 속성을 측정하도록 구성된, 상기 메모리에 저장되는, 측정 모듈을 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 시스템은 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 적어도 하나의 새로운 객체 및/또는 적어도 하나의 알려진 객체에 대한 천이 검출하도록 구성된, 상기 메모리에 저장되는, 검출 모듈을 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 시스템은 복수의 정합 필터링된 원래의 기준 DM을 누산함으로써 상기 기준 DM을 생성하도록 그리고/또는 복수의 정합 필터링된 원래의 새로운 DM을 누산함으로써 상기 새로운 DM을 생성하도록 구성된, 상기 메모리에 저장되는, 누산 모듈을 더 포함하되, 상기 정합 필터링은 그것들의 임펄스 응답들의 각각에 대한 것이다.

몇몇 실시예에 따르면, 적어도 하나의 프로세서 및 적어도 하나의 메모리 소자를 사용하여, 적어도 두 개의 M-차원 데이터 측정(DM)을 프로세싱하기 위한 신규한 방법이 제공되며, 상기 방법은:

제2 DM의 임펄스 응답에 대해, 제1 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 제1 DM을 생성하는 단계;

상기 제1 DM의 임펄스 응답에 대해, 상기 제2 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 제2 DM을 생성하는 단계;

상기 필터링된 제1 DM에서 상기 필터링된 제2 DM을 차감함으로써 또는 그 반대로 M-차원 제3 DM을 생성하는 단계; 및

상기 제3 DM 내 상기 물리적 속성의 공간 또는 시간 주파수들을 표준화함으로써, 표준화된 M-차원 DM을 생성하는 단계로서, 상기 주파수들의 각각은 그 자체 잡음의 표준 편차(STD)에 의해 표준화되는, 상기 표준화된 M-차원 DM을 생성하는 단계를 포함하고;

그렇게 함으로써 상기 표준화된 DM의 분석 성분들이 등분산의 물리적 속성 잡음을 갖고 또한 상기 물리적 속성 잡음이 상기 분석 성분들 간에 상관되지 않는다.

몇몇 실시예에서, 상기 시스템은 상기 M-차원 데이터 스코어(DS)를 생성하는 단계를 더 포함하며, 상기 스코어들의 각각은 특정 M-차원 위치에서 객체의 존재를 찾는 프로브이고; 상기 DS는 상기 표준화된 DM의 각 주파수를, 상기 주파수의 잡음 분산으로 나눠지는 그것의 컨쥬게이트 주파수 응답으로 곱함으로써 생성되며; 그렇게 함으로써 상기 DS의 각 주파수가 그것의 잡음 분산과 동일한 주파수 응답을 갖는다.

개시된 주제는 다음의 첨부 도면들과 읽을 때 이하의 상세한 설명을 참조하여 가장 잘 이해될 수 있다.
도 1은 본 발명의 실시예들에 따른 방법을 개념적으로 예시한다.
도 2는 본 발명의 실시예들에 따른 시스템을 개념적으로 예시한다.
도 3a, 3b, 3c, 3d, 3e, 3f, 3g, 3h 및 3i는 새로운 이미지(P_n) 및 기준 이미지(P_r)의 점 확산 함수들(PSF들), 및 다음 세 경우에 대해 대응하는 차 이미지(D)의 PSF P_D를 개념적으로 설명한다: 대칭 가우시안(도 3a-3c), 비대칭 가우시안(도 3d-3f), 및 스펙클(도 3g-3i) 이미지들;
도 4a, 4b, 4c, 4d, 4e 및 4f는 각각, 기준 및 새로운 이미지들에 대해, 2 및 3 픽셀의 시그마 폭을 갖는 대칭 가우시안 PSF를 갖는 모의 이미지들의 차감을 개념적으로 설명한다;
도 5a, 5b, 5c, 5d, 5e 및 5f는 새로운 이미지에서 2 x 4 pix 그리고 기준 이미지에서 4 x 2 pix의 시그마 폭을 갖는 비대칭 가우시안 PSF를 갖는 모의 이미지들의 차감에 대해, 도 4a-4f에서와 같이 유사한 특징들을 개념적으로 설명한다;
도 6a, 6b, 6c, 6d, 6e 및 6f는 각각, 기준 및 새로운 이미지들에 대해, 2 및 3 픽셀의 시그마 폭을 갖는 0.3 pix(RMS) 측성 잡음 및 대칭 가우시안 PSF를 갖는 모의 이미지들의 차감을 개념적으로 설명한다;
도 7a, 7b, 7c, 7d, 7e 및 7f는 테스트 1 이미지들에 대한(표 2), 이미지 차감 결과들을 개념적으로 설명한다;
도 8은 적절한 차감 이미지(D)(흑색 선) 및 Alard & Lupton차감(N-R; 회색 선)에서, 도 7a에서와 같은, 적색 선의 위치에서, 프로파일 컷을 설명한다;
도 9a, 9b, 9c, 9d, 9e 및 9f는 테스트 2 이미지들에 대한(표 2), 이미지 차감 결과들을 개념적으로 설명한다;
도 10a 및 10b는 도 9a-9f에 도시된 차감에 대응하는 스코어 맵(S)(도 10a) 및 보정된 스코어 맵(S_corr)(도 10b)을 개념적으로 설명한다;
도 11은 차동 대기 굴절을 개념적으로 설명한다(고도 방향에서); 그리고
도 12는 상이한 대역들에서의, 색 굴절의 상대 진폭을 상이한 고도의 함수로서 개념적으로 설명한다;
예시의 간단함 및 명확성을 위해, 도시된 요소들은 반드시 일정 축적으로 그려진 것으로 아니고, 몇몇 요소의 치수들은 다른 요소들에 관해 확대될 수 있다. 또한, 참조 부호들은 대응하는 또는 유사한 요소들을 나타내기 위해 반복될 수 있다.

이하의 설명은 본 발명의 모든 챕터와 함께, 해당 기술분야에서의 통상의 기술자가 본 발명을 활용할 수 있게 하기 위해 제공되고 본 발명을 수행하는 본 발명자에 의해 고려되는 최상의 모드들을 제시한다. 그러나, 복잡한 M-차원 데이터 측정 및 특히 천문학 이미지들을 프로세싱하기 위한 컴퓨터 구현 방법 및 시스템을 제공하기 위한 본 발명의 포괄적인 원리들이 구체적으로 정의되었기 때문에, 다양한 변형이 해당 기술분야에서의 통상의 기술자들에게 여전히 명백하도록 응용된다.

1. 용어 소개

본원에서 사용되는 용어 "코어디션(coaddition), "코어디션하는 것(coadding" 또는 이의 유의어들은 입력 그리드로부터의 이미지들, 또는 M-차원 측정들이 샘플링되고 공통의 출력 그리드에 추가되는 프로세스를 지칭한다.

본원에 사용되는 용어 "정합 필터" 또는 "정합 필터링"은 알려지지 않은 신호에서 템플릿의 존재를 검출하기 위해 알려지지 않은 신호와, 알려진 신호, 또는 템플릿을 상관시키는 것을 지칭한다. 이는 알려지지 않은 신호를 템플릿의 컨쥬게이트 역전 버전으로 컨볼빙/컨볼루팅(컨볼루션)하는 것과 동등하다.　

본원에서 사용되는 용어 "컨볼루션", "컨볼빙", "컨볼루팅", 또는 이의 유사어들은 두 개의 함수 간 영역 중첩을 원래의 함수들 중 하나가 변환되는 양의 함수로서 제공하여, 통상적으로 원래 함수들 중 하나의 변형된 버전으로 여겨지는 3차 함수를 생성하는, 두 개의 함수(f 및 g)에 대한 수학적 연산을 지칭한다.

본원에서 사용되는 용어 "소스"는 관측되는 임의의 객체, 그리고 천문학 이미징의 적용 시 광을 방출 또는 반사하는 객체를 지칭한다.

본원에서 사용되는 용어 "플럭스"는 측정되는 물리적 속성, 그리고 천문학 이미징의 적용 시 공간, 예를 들어 광의 물리적 속성의 흐름을 지칭한다.

본원에서 사용되는 용어 "점 확산 함수(PSF)"는 점원 또는 점 객체에 대한 이미징 시스템의 응답을 지칭한다. PSF의 보다 일반적인 용어는 시스템의 임펄스 응답이며, PSF는 집중된 광학 시스템의 임펄스 응답이다.

본원에서 사용되는 용어 "임펄스 응답"은 짧은 입력 신호가 제공될 때, 동적 시스템의 출력을 지칭한다. 보다 일반적으로, 임펄스 응답은 일정한 외부 변화에 응답하여 임의의 동적 시스템의 반응을 지칭한다.

본원에서 사용되는 용어 "주파수 응답"은 자극에 응답하여, 시스템 또는 디바이스의 출력 스펙트럼의 측정량을 지칭하고, 시스템의 역학을 특징짓기 위해 사용된다. 그것은 입력과 비교할 때, 주파수의 함수로서 출력의 크기 및 위상의 측정치이다.

용어 "불량 픽셀/들"은 픽셀들의 값이 그것들에 충돌하는 참 광에 대한 표시를 거의 갖지 않거나 전혀 갖지 않는 픽셀들을 지칭한다. 불량 픽셀들은 검출기에서의 영구적인 제조 결함들에 의해 또는 갑작스런/일정치 않은 전기 현상에 의해 야기될 수 있다.

본원에서 사용되는 용어 "고스트 반사(reflection ghost)"는 실제 씬, 또는 목적하는 이미지 상에 덮어씌워지는 초점이 맞지 않는 중복 이미지에 존재하지 않는 카메라 또는 다른 광학 기구의 초점면에서의 특징 또는 형상을 지칭한다. 고스트 이미지들, 또는 고스트 반사는 렌즈들 또는 창들의 표면들로부터의 반사에 의해 야기된다. 각 유리 표면은 들어오는 광을 다음의 두 부분으로 나눈다: 표면을 통과하는 투과 부분, 및 되돌아오는 반사 부분. 반사된 광이 다른 유리 표면 또는 거울로부터의 반사에 의해 다시 되돌아오는 경우, 그것은 초점면으로 이동하여 고스트 이미지를 형성할 수 있다. 고스트 이미지들은 초점이 맞지 않은 블러 또는 스머지, 카메라 홍채 또는 다른 조리개의 형상을 갖는 날카로운 원형 또는 다각형, 또는 씬 내 객체의 거짓 이미지로 보일 수 있다.

2. 바람직한 실시예들

몇몇 실시예에 따르면, 본 발명은 복잡한 일정 배경 데이터 측정(DM)에서, 하나 이상의 새로운 객체 및/또는 하나 이상의 알려진 객체의 천이를 검출하기 위한 물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 DM을 프로세싱하기 위한 신규한 방법 및 시스템을 제공한다.

도 1은 몇몇 실시예에 따르면, 본 발명은 복잡한 일정 배경 데이터 측정(DM)에서, 하나 이상의 새로운 객체 및/또는 하나 이상의 알려진 객체의 천이를 검출하기 위한 물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 DM을 프로세싱하기 위한 방법(100)에 대한 본 발명의 실시예들을 개념적으로 예시하며, 상기 방법은:

물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 데이터 측정(DM)을 수집하는 단계(110);

기준 DM의 역 임펄스 응답에 의해, 새로운 DM을 컨볼루팅함으로써 컨볼루팅된 새로운 DM을 생성하는 단계(120);

새로운 DM의 역 임펄스 응답에 의해 기준 DM을 컨볼루팅함으로써 컨볼루팅된 기준 DM을 생성하는 단계(130);

컨볼루팅된 새로운 DM에서 컨볼루팅된 기준 DM을 차감함으로써 또는 그 반대로 M-차원 객체 표시자(OI)를 생성하는 단계(140); 및

M-차원 OI로부터 M-차원 데이터 스코어(DS)를 생성하는 단계(150), 여기서 스코어들의 각각은 특정 M-차원 위치에서 객체의 존재를 찾는 프로브이다.

몇몇 실시예에서, 상기 방법(100)의 상기 DS를 생성하는 단계는 상기 OI 내 상기 물리적 속성의 공간 또는 시간 주파수들을 표준화하는 단계(151)를 더 포함하되, 상기 주파수들의 각각은 그 자체 잡음의 표준 편차(STD)에 의해 표준화되고; 그렇게 함으로써 상기 표준화된 OI의 분석 성분들이 등분산의 물리적 속성 잡음을 갖고 또한 상기 물리적 속성 잡음이 상기 분석 성분들 간에 상관되지 않는다.

몇몇 실시예에서, 상기 방법(100)의 상기 DS를 생성하는 단계는 상기 OI 또는 상기 표준화된 OI의 각 주파수를, 상기 주파수의 잡음 분산으로 나눠지는 그것의 컨쥬게이트 주파수 응답으로 곱하는 단계(152)를 더 포함하고; 그렇게 함으로써 상기 DS의 각 주파수가 그것의 잡음 분산과 동일한 주파수 응답을 갖는다.

몇몇 실시예에서, 상기 방법(100)은 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 물리적 속성을 측정하는 단계(160)를 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 방법(100)은 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 적어도 하나의 새로운 객체 및/또는 적어도 하나의 알려진 객체에 대한 천이를 검출하는 단계(170)를 더 포함한다. 몇몇 실시예에에 따르면, 상기 검출하는 단계는 상기 물리적 속성에 대해 미리 결정된 양 및/또는 음의 임계치들에 반응한다.

몇몇 실시예에서, 상기 방법(100)은 복수의 정합 필터링된 원래의 기준 DM을 누산함으로써 상기 기준 DM을 생성하는 단계(180) 및/또는 복수의 정합 필터링된 원래의 새로운 DM을 누산함으로써 상기 새로운 DM을 생성하는 단계를 더 포함하되, 상기 정합 필터링하는 단계는 그것들의 임펄스 응답들의 각각에 대한 것이다. 몇몇 실시예에 따르면, 상기 누산하는 단계는 조합하는 단계, 코어디션하는 단계, 및 중첩하는 단계로 이루어진 군으로부터 선택되는 적어도 하나를 더 포함한다.

도 2는 적어도 하나의 프로세서(230) 및 적어도 하나의 메모리 소자(240)를 갖고, 상기 시스템은 복잡한 일정 배경 데이터 측정(DM)에서, 하나 이상의 새로운 객체 및/또는 하나 이상의 알려진 객체의 천이를 검출하기 위한 물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 DM을 프로세싱하기 위한 시스템(200)에 대한 본 발명의 실시예들을 개념적으로 예시하며, 상기 시스템은:

적어도 두 개의 M-차원 DM(215)을 수집하도록 구성된 입력 인터페이스(210);

상기 메모리에 저장되는 필터링 모듈(231)로서,

기준 DM(215R)의 역 임펄스 응답에 의해 새로운 DM(215N)을 컨볼루팅함으로써 컨볼루팅된 새로운 DM을 생성하도록;

새로운 DM(215N)의 역 임펄스 응답에 의해 기준 DM(215R)을 컨볼루팅함으로써 컨볼루팅된 컨볼루팅된 기준 DM을 생성하도록 구성된, 상기 필터링 모듈;

상기 메모리에 저장되는 차감 모듈(232)로서, 컨볼루팅된 새로운 DM에서 컨볼루팅된 기준 DM을 차감함으로써 또는 그 반대로 M-차원 객체 표시자(OI)를 생성하도록 구성되는, 상기 차감 모듈; 및

상기 메모리에 저장되는 프로세싱 모듈(233)로서, 상기 OI 내 상기 물리적 속성의 공간 또는 시간 주파수들을 표준화함으로써, 표준화된 M-차원 OI를 생성하도록 구성되되, 상기 주파수들의 각각은 그 자체 잡음의 표준 편차(STD)에 의해 표준화되는, 상기 프로세싱 모듈을 포함하고;

그렇게 함으로써 상기 표준화된 OI의 분석 성분들이 등분산의 물리적 속성 잡음을 갖고 또한 상기 물리적 속성 잡음이 상기 분석 성분들 간에 상관되지 않는다.

몇몇 실시예에서, 상기 프로세싱 모듈(233)은 상기 OI 내 상기 물리적 속성의 공간 또는 시간 주파수들을 표준화함으로써, 표준화된 M-차원 OI를 생성하도록 더 구성되되, 상기 주파수들의 각각은 그 자체 잡음의표준 편차(STD)에 의해 표준화되고; 그렇게 함으로써 상기 표준화된 OI의 분석 성분들이 등분산의 물리적 속성 잡음을 갖고 또한 상기 물리적 속성 잡음이 상기 분석 성분들 간에 상관되지 않는다.

몇몇 실시예에서, 상기 프로세싱 모듈(233)은 상기 OI 또는 상기 표준화된 OI의 각 주파수를, 상기 주파수의 잡음 분산으로 나눠지는 그것의 컨쥬게이트 주파수 응답으로 곱하도록 더 구성되고; 그렇게 함으로써 상기 DS의 각 주파수가 그것의 잡음 분산과 동일한 주파수 응답을 갖는다.

몇몇 실시예에서, 상기 시스템(200)은 상기 표준화된 OI에서 또는 상기 DS에서 상기 물리적 속성을 측정하도록 구성된, 상기 메모리에 저장되는, 측정 모듈(234)을 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 시스템(200)은 상기 메모리에 저장되고, 상기 표준화된 OI에서 또는 상기 DS에서 적어도 하나의 새로운 객체 및/또는 적어도 하나의 알려진 객체에 대한 천이 검출하도록 구성된 검출 모듈(235)을 더 포함한다. 몇몇 실시예에에 따르면, 상기 검출은 상기 물리적 속성에 대해 미리 결정된 양 및/또는 음의 임계치들에 반응한다.

몇몇 실시예에서, 상기 시스템(200)은 상기 메모리에 저장되고, 복수의 정합 필터링된 원래의 기준 DM을 누산함으로써 상기 기준 DM을 생성하도록 그리고/또는 복수의 정합 필터링된 원래의 새로운 DM을 누산함으로써 상기 새로운 DM을 생성하도록 구성된 누산 모듈(236)을 더 포함하되, 상기 정합 필터링은 그것들의 임펄스 응답들의 각각에 대한 것이다. 몇몇 실시예에 따르면, 상기 누산은 조합, 코어디션, 및 중첩으로 이루어진 군으로부터 선택되는 적어도 하나를 더 포함한다.

몇몇 실시예에서, 상기 시스템(200)은 다음 중 적어도 임의의 것을 디스플레이하도록 구성된 디스플레이 디바이스(290)를 더 포함한다: DM들(215,215R,215N), 그것들의 OI, 그것들의 표준화된 OI 및/또는 그것들의 DS.

몇몇 실시예에 따르면, 본 발명은 적어도 하나의 프로세서 및 적어도 하나의 메모리 소자를 사용하여, 적어도 두 개의 M-차원 데이터 측정(DM)을 프로세싱하기 위한 프로세싱 방법을 더 제공하며, 상기 방법은:

몇몇 실시예에서, 상기 프로세싱 방법은 상기 M-차원 데이터 스코어(DS)를 생성하는 단계를 더 포함하며, 상기 스코어들의 각각은 특정 M-차원 위치에서 객체의 존재를 찾는 프로브이고; 상기 DS는 상기 표준화된 DM의 각 주파수를, 상기 주파수의 잡음 분산으로 나눠지는 그것의 컨쥬게이트 주파수 응답으로 곱함으로써 생성되며; 그렇게 함으로써 상기 DS의 각 주파수가 그것의 잡음 분산과 동일한 주파수 응답을 갖는다.

몇몇 실시예에서, 모든 상기 DM은 동일한 측정 필드를 갖는다. 몇몇 실시예에 따르면, 각각의 상기 DM들은 단일 타임 스탬프에서 획득된다.

몇몇 실시예에서, M은 양의 정수이다.

이하의 섹션들 §3-§13에서, 본 발명의 상세한 실시예들 및 예들이 개시되며, 이들은 주로 이미지 프로세싱 특히 천문학 이미지들의 프로세싱, 비-제한적인 예로, 천문학 검출 및/또는 우주 쓰레기 또는 지구 근접 소행성의 추적과 관련된다. 그러나, 본 발명은 다음으로 제한되지 않지만 다음을 포함하여, 다양한 데이터 프로세싱 응용에 적용될 수 있다:

임의의 유형의 관통하는 파장의 사용을 통한, 섹션들 또는 섹셔닝에 의한 이미징을 지칭하는 단층 촬영 이미징. 따라서 제공된 방법의 응용들은 방사선학, 고고학, 생물학, 대기 과학, 지구 물리학, 해양학, 플라즈마 물리학, 재료 과학, 천체 물리학, 양자 정보, 및 다른 과학들에서 사용될 수 있다. 대부분 경우, 그것은 단층 촬영 재구성이라 불리우는 수학적 절차에 기반한다.

의학적 응용들은 비-제한적인 예로, 새로운 종양을 발견하고/거나, 그것들의 진행을 추적하는 것과 같이, 의학적 결과들을 탐색 하고 이러한 의학적 결과들의 변화를 추적하는 것을 포함할 수 있다.

또한 새롭게 제공된 방법에 대한 다른 응용들은 다음에 제한되지 않지만 다음을 포함하여, 지오-이미징, 지구 이미징, 및 원격 감지를 포함한다: 항공기들 또는 위성들 중 어느 하나로부터의 지표면 이미징; 다양한 감지 디바이스를 사용한 날씨, 해양 또는 지면 측정; 또는 다른 수역들로부터의 해양을 구변하는 공간 특성들- 그것의 염분 농도 또는 염도 -로부터의 측정.

다른 응용들은 비-백색 잡음을 조건으로 한, 시계열 분석을 포함할 수 있으며, 여기서 데이터는 다음으로부터 수신될 수 있다: 마이크로폰들, 지오폰들, 하이드로폰들 등.

3. 통계적 도출

이전의 이미지 차감 방법들이 갖는 많은 문제들을 고려해 볼 때, 이제 천이 검출 문제가 확실한 통계적 사실에 입각하여 놓인다. 섹션 §3.1에서는 도출은 간단히 서술되고 이미지 차감 통계치로 공식화된다. 완전한 도출은 장황하다는 점을 고려하여, 그것은 섹션 §9(이미지 차감 통계치의 완전한 도출)에서 논의되고 상술된다. 섹션 §3.2에서는 이미지 차감을 위해 기준 이미지를 구축하는 최상의 방법은 [Zackay & Ofek, 2015a, arXiv:1512.06872 및 Zackay & Ofek ,2015b, arXiv:1512.06879]의 이미지 코어디션 알고리즘을 사용하는 것이라는 것이 설명된다. 섹션 §3.1에서의 도출은 이미지들이 배경 잡음 우세형(즉, 객체들은 배경 잡음보다 적은 원 잡음을 가질 수 있다)이라고 가정한다 이는 잡음 부근 발광 소스들의 과소 추정을 야기한다. 섹션 §3.3에서는 원 잡음 및 정합 잡음과 같은 다른 오차를 다루는 이미지 차감 공식에 대한 단순 보정이 제시된다. 섹션 §3.3에서는 측성 이동, 잡음 및 색 굴절 오차의 정확한 처리가 제시된다. 섹션 §3.5에서는 새로운 및 기준 이미지의 플럭스 영점들을 균등하게 하기 위해 제안된 방법이 간단히 서술된다. 섹션 §3.6에서는 차감 이미지에서의 최적의 PSF 측광에 대한 알고리즘이 제공되는 한편, 섹션 §3.7에서는 이러한 방법이 우주선, "불량" 픽셀들 및 고스트 반사 식별을 위해 어떻게 사용될 수 있는지가 설명된다.

3.1. 이미지 차감을 이용한 천이원 검출

제1 원리들에서, 최적의 방법은 이미지들이 배경 잡음 우세형이고, 잡음은 가우시안 및 독립적(실제로 픽셀들은 CCD에서의 전하 반발 및 전하 확산에 기인하여 가볍게 상관될 수 있다)이라는 가정들 하에서, 천이원 검출을 위해 유도된다.

R 및 N을 각각, 배경 차감 기준 이미지 및 배경 차감 새로운 이미지라 하자. 배경 차감 참 불변 하늘 이미지는 T로 표기된다. 기준 이미지 및 새로운 이미지의 점 확산 함수들(PSF들)은 각각, P_r 및 P_n으로 표기된다. P_r 및 P_n은 단위 합을 갖도록 표준화된다. P_r, P_n 및 새로운 이미지의 플럭스 기반 영점들(F_n) 및 기준 이미지의 플럭스 기반 영점들(F_r)은 알려져 있다고 가정된다; Zackay & Ofek (2015a, 2015b)를 따라 이러한 요인은 대기 투명도, 망원경 및 검출기 전도 및 전분 상수의 곱을 나타낸다. F_n 및 F_r을 찾기 위한 방법은 섹션 §3.5에 제시되고, PSF 측정은 섹션 §7.2에 제시된다.

기준 이미지에 대한 식은 다음과 같다:

여기서 ε_r은 이미지(R)의 상가성 잡음 성분이다.

새로운 이미지에 어떠한 새로운 소스도 없다는 것을 제시하는 널 가설(

)을 고려해 볼 때, 그것은 다음과 같이 쓰여질 수 있다:

새로운 이미지에서 플럭스(α)를 갖는 위치(q)에 새로운 점원이 있다는 것을 제시하는 대체 가설(

)을 고려해 볼 때, 그것은 다음과 같이 쓰여질 수 있다:

여기서

는 위치(q)에서 1이고 그 외에서는 0인 2차원 이미지를 나타낸다. 우세한 잡음원은 배경 잡음이고 ε_r 및 ε_n 양자는 모든 픽셀들의 쌍이 상관되지 않는다- 즉, x₁ ≠ x₂인 모든 픽셀들의 쌍(x₁, x₂)에 대해 다음과 같다는 것을 충족한다:

그리고 모든 픽셀은 공간적으로 균일한 분산을 갖는다고 가정된다; 컨볼루션은 국소 연산이기 때문에, 이러한 가정은 다음과 같이 완화될 수 있다(Zackay & Ofek 2015a):

양자의 가설은 단순하기 때문에(여기서 단순 가설은 어떠한 알려지지 않은 파라미터도 갖지 않는다; 가설 검증을 α 및 q의 각 값에 별도로 적용함으로써; 섹션 §9에서 추가 논의됨), 두 개의 단순 가설의 어느 하나로 결정하기 위한 가장 강력한 통계치는 우도 비 검정이라는 것(쌍성설 검정력은 대체 가설이 참일 때, 검정이 널 가설을 올바로 기각할 확률이다)을 제시하는 Neyman-Pearson 부명제 [Neyman & Pearson 1933 Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences]가 사용될 수 있다:

여기서

는 확률을 나타낸다.

한계점은 T에 대한 어떠한 사전 정보 또는 가정도 없다는 것이다. 따라서, 확률들(

및

)은 직접 계산될 수 없다. 그러나, 그것들의 비가 조건부 확률의 법칙을 사용하여, 다음 식을 전개함으로써 계산될 수 있다:

다음으로

및

이 기준에 대해 동일한 가능성을 예측한다는 사실이 사용될 수 있고 분자 및 분모에서 마지막 곱셈 항들을 상쇄할 수 있다. 섹션 §9에서 상세하게 설명되는 몇몇 대수학 후, 소스 검출에 대한 최적의 통계치가 다음과 같이 찾아질 수 있다:

여기서 "오버 라인" 기호는 복소 컨쥬게이트 연산을 나타낸다. "오버 라인" 기호를 "모자" 기호 위에 씀으로써, 푸리에 변환 연산 후에 복소 컨쥬게이트 연산을 나타낸다. 이러한 통계치(또는 스코어 이미지)는 간단히 두 개의 가설 간 로그 확률 비 검정이다. 이러한 스코어는 모든 α 값에 대해 동시에 계산되는 한편, 스코어 이미지에서의 각 픽셀은 상이한 q 위치를 나타낸다. 식 12는 정합 필터 이미지이고 어떠한 추가 필터링도 요구되지 않는다는 것을 주의하는 것이 중요하다. 천이를 찾기 위해 이루어져야 하는 모든 것은 S에서 극댓값(또는 극솟값)을 식별하는 것이다. 시그마 단위의 극댓값의 유의성은 이미지(S)의 표준 편차로 나눠지는 그것의 값에 의해 주어진다.

식 12가 정합 필터 이미지이기 때문에, 그것의 픽셀들이 상관되고, 천이 검출 및 측광(섹션 §3.6) 외, 임의의 가설 검정 또는 측정은 픽셀들 간 공분산에 대한 지식을 필요로 한다. 그러한 가설 검정에 대한 예는 이미지 차감을 통한 우주선 식별, 또는 가변 성운상(예를 들어, 광의 메아리)을 찾는 것이다. 모든 목적에 대해 최적이고 사용하기 쉬운 이미지 차감 방법을 갖기 위해, 픽셀 잡음이 상관되지 않은 이미지가 식별되어야 하고, 그 자체의 PSF를 갖는 이러한 이미지를 교차 상관시키는 것은 식 12를 돌려준다. 섹션 §9에서는 그러한 이미지가 다음과 같이 식별된다:

단위 합을 갖도록 표준화되는 이러한 이미지의 PSF는 다음으로 주어진다:

여기서 F_D는 차감 이미지의 플럭스 기반 영점이며, 이는 다음으로 주어진다:

이러한 차 이미지(D) 및 그것의 PSF를 사용함으로써, P_D와 D의 교차 상관이 다음을 돌려준다는 것이 입증될 수 있다:

여기서 뒤쪽으로의 화살표 부호는 좌표 반전(즉,

)을 나타낸다. 대안적으로 푸리에 공간에서는 다음과 같다:

배경 우세 잡음 한계에서, D는 적절한 이미지고, 그로 인해 본원에서 "적절한 차감 이미지"로 지칭된다는 것을 주의하는 것이 중요하다. Zackay & Ofek (2015b)에서와 같이, 적절한 이미지는 잡음이 독립적이고 동일하게 분산되는(i.i.d) 이미지로 정의된다(실제로 컨볼루션이 국소 연산이기 때문에, 잡음 수준은 PSF 크기의 두 배인 규모 상에서 단지 국소적으로 동일해야 한다; 발광 별들(D) 부근은 적절하지 않다). 이는 D가 픽셀들 간 공분산을 필요로 하지 않고, 임의의 가설 검정 또는 측정을 위해 사용될 수 있다는 것을 의미한다. 뿐만 아니라, 섹션 §13에서는 D 및 P_D가 어떠한 가설 검정 또는 측정을 위해서든 사실상 충분한 통계치들이라는(통계학에서, 통계치는 동일한 샘플로부터 계산될 수 있는 어떠한 다른 통계치도 파라미터의 값에 관한 임의의 추가 정보를 제공할 수 없을 경우, 통계적 모델 및 그것의 연관된 알려지지 않은 파라미터에 대해 충분하다) 증명이 제시된다.

식 13 및 그것의 PSF(식 14)는 원래의 형상이 망원경 및 대기 PSF와 컨볼빙된 객체들의 검출에 적절하다. 그러나, 극소 히트 이벤트들은 이러한 PSF를 공유하지 않는다. 섹션 §13에서는 PSF가 N 또는 R에서 δ-함수의 차 이미지(D)에서 유도된다. N에서의 δ-함수의 차 이미지(D)에서의 PSF는 다음과 같다:

한편 R에서의 δ-함수의 차 이미지(D)에서의 PSF는 다음과 같다:

또한 PSF들은 대응하는 영점들(

)을 동반하며, 이는 섹션 §13에서 찾아질 수 있다. 이러한 식들은 델타 함수와 유사한 이벤트들을 찾기 원할 경우 유용하다(예를 들어, "불량" 픽셀들). 많은 경우

및

은 델타 함수에 의해 근사치를 낼 수 있다는 것이 주의되어야 한다. 요약하면, 기준 또는 새로운 이미지 중 어느 하나에서 천이 소스를 찾기 위해, D(식 13)이 계산될 수 있고 그것의 PSF(식 14)와 교차 상관될 수 있다. 대안적으로, 통계치(S)를 직접 계산할 수 있다(식 12).

3.2. 기준 이미지의 구성

[02]통상적으로, 기준 이미지은 다수의 이미지를 코어디션함으로써 만들어진다. 이하에서 차감을 위한 기준 이미지를 생성하기 위한 최상의 방법은 Zackay & Ofek (2015b)에서 설명된 방법을 사용하는 것이라는 것이 제시된다.

다수의 기준 이미지의 경우, 식 5는 다음과 같이 제j 기준 이미지에 대한 모델로 대체되어야 한다:

여기서 F_j는 제j 기준 이미지의 플럭스 기반 영점이고, P_j는 제j 기준 이미지의 PSF이며, ε_j는 제j 기준 이미지의 잡음이다. 이전과 같이, 널 가설(

)을 가정하여 N에 대한 모델은 식 6으로 주어지는 한편, 제1 가설(

)이 참이면 N은 식 로 주어진다.

이전 섹션에서와 같이, 두 개의 단순 가정이 검정된다. 따라서, 최적의 검정 통계치는 우도 비 검정이다[Neyman & Pearson]

이전과 같이, 조건부 확률의 법칙, 및

및

이 모든 기준에 대해 동일한 확률을 예측한다는 사실을 사용할 수 있다. 완전한 도출은 섹션 §10에 제시되고, 몇몇 대수학 후, 최적의 기준 이미지는 다음으로 주어진다:

기준 이미지의 PSF(단위 합을 갖도록 표준화되는)는 다음으로 주어진다:

여기서 F_r은 다음과 같이 기준의 플럭스 기반 영점이다:

이는 Zackay & Ofek (2015b)에서 유래된, 최적의 코어디션 방법과 유사하다.

개별적인 기준들로부터의 모든 정보를 보호하는 근거(R)는 R에서 각 주파수의 계산에서, 확률 변수들이 가산되고, 그것들의 (컨쥬게이트) 기댓값으로 조정되며, 분산으로 나눠지기 때문이다. 이러한 연산은 확률 변수들의 최대 S/N 가산으로 식별될 수 있다(Zackay & Ofek, 2015a의 부록 A에서; 그리고 Zackay & Ofek 2015b가 이러한 소위 "적절한 코어디션" 방법의 충분성의 분석 및 증명을 설명하는 경우와 같이).

3.3. 원 잡음, 측성 잡음 및 색 굴절 잡음에 대한 단순, 차선의 보정

식 12는 원 잡음을 무시하고, 그로 인해 잡음 수준은 밝을 별들 부근에서 과소 추정된다. 이의 결과는 발광 소스들이 가능한 천이들 또는 변수들로 플래깅될 수 있다는 것일 수 있다. 뿐만 아니라, 이러한 식은 측성 잡음, 측성 섬광 잡음, 색 굴절 잠음, 플럭스 섬광 잡음, 및 위치 의존적인 태양 전면 관측 오차와 같이 임의의 중요한 추가 잡음원들을 무시한다.

이러한 문제를 위한 단순 보정은 빌고 차선일지라도, S를 추가 잡음의 국소 추정 분산을 고려하는 보정 계수로 나누는 것이다. 이러한 보정 계수의 도출은 섹션 §11에서 증명된다. 이미지 공간에서, 보정된 S에 대한 식은 다음과 같다

여기서 분모에서의 항들은 분산에 대한 임의의 위치 의존 기여를 포함할 수 있으며, 이는

및

계수들에는 포함되지 않는다.

이러한 예에서 두 구체적인 기여는 원 잡음 및 측성 잡음으로부터 나열된다. 분모에서 처음 두 개의 항은 각각, 새로운 및 기준 이미지들로부터의 분산인 한편, 다음 두 개의 항은 측성 잡음에 기인한 분산이다. 색 굴절과 같은 다음 잡은원들도 유사한 방식으로 추가될 수 있다.

여기서

는 다음으로 주어지는 N을 포함하는 S의 부분의 분산이다:

그리고

는 다음으로 주어지는 R을 포함하는 S의 부분의 분산이다:

그리고 k_r의 푸리에 변환은 다음으로 주어진다:

한편 k_n의 푸리에 변환은 다음과 같다:

ε_n 및 ε_r의 분산은 간단히 변동 이미지들이다. 단일 이미지에 대해, 분산 맵(V(ε_n))은 간단히 각 픽셀(배경을 포함하여)에서의 전자들의 수이며, 판독 잡음이 제곱되어 함께 가산된다. 그러나, 다수의 이미지의 경우, 구성을 위한 보정 방법은 각 기준 이미지에 대한 k_r, V(ε_r), 및 V(S_R)를 계산하는 것 그리고 모든 각각의 V(S_R) 값을 총합하는 것이다(섹션 §10에서와 같이). 그러나, 많은 경우 적정한 근사치는 적절하게 코어디션된 이미지로부터 k_r를 계산하는 것, 그리고 총 판독 잡음이 제곱되어 함께 가산되는 기준이 구성된 모든 이미지의 단순 추가를 사용하여 V(ε_r)(즉, 배경을 포함하여 각 픽셀에서의 전자들의 수)를 계산하는 것이다.

다음으로, 측성 분산 항들은 다음으로 주어진다:

여기서 σx 및 σy는 각각, x 및 y축들에서의 측성 정합 잡음인 한편,

및

는 각각, x 및 y 방향들에서 S_N의 기울기들이다. 여기서 S_N의 푸리에 변환은 다음으로 주어진다:

유사한 방식으로:

여기서 S_R의 푸리에 변환은 다음으로 주어진다:

이러한 항들의 유래는 각각의 측성 잡음이 PSF들에서 이동을 야기한다는 것이다. 이들 이동에 의해 유발되는 잡음은 인접 픽셀들 간 차(즉, 기울기)에 비례한다.

실제로 측성 정합 잡음은 정합 피팅 프로세스의 실효치(RMS)이다. 이러한 항은 정합 오차 및 측성 섬광 잡음 양자를 포함한다. 몇몇 경우, 정합의 질은 위치 의존적이다. 이러한 경우, 스칼라들(σx 및 σy)을 위치 의존 잡음의 행렬들로 대체하는 것이 가능하다. 섹션 §3.4에서는 측성 잡음 성분의 보다 정확한 처리가 제공된다.

3.4. 측성 잡음 및 플럭스 변동의 정확한 처리

측성 오차 및 이동은 이미지 차감에 대한 주요 문제이다. 예를 들어, 104개의 전자 및 2 픽셀의 반치전폭(FWHM)을 갖는 발광 소스에 대해, 푸아송 잡음에 의해 유발되는 측성 오차는 약 수십 밀리 픽셀일 수 있다. 이는 지구 소용돌이 대기에 의해 유발되는 전형적인 측성 섬광과 동일하다(섹션 §7.5에서와 같이). 따라서, 고 품질 정합의 경우에도, 측성 섬광 잡음에 기인하여, 모든 발광 별이 차감 잔여분을 가질 수 있다고 예상될 수 있다.

다행히, 설명된 방법들의 폐쇄 형태 및 수치적 안정성에 기인하여, 그것이 기준에서 보일 때 그리고 그것이 새로운 이미지에서 보일 때 별 간 측성 이동 및 플럭스 차를 고려해볼 때, 차감 잔여분의 형상은 충분히 예측가능하다. 따라서, 그것은 각 별에 대한 측성 이동 및 플럭스 변동을 측정하기 위해 사용될 수 있다.

적절하게 샘플링된 이미지들에 대해(적절하게 샘플링된 이미지들에 의해, PSF 폭은 적어도 2 픽셀로 샘플링된다; 이는 카메라에 의한 PSF의 나이퀴스트 샘플링으로 지칭될 수 있다), 이러한 제안된 메커니즘을 정확하고, 그것은 매우 복잡한 영역에서의 측성 이동 및 변동을 측정하게 한다. 여기서 세부사항은 간단한 개요에 제공된다. 움직임 및 휘도 변경 검출 커널은 다음과 같다:

여기서 α_n은 N에서의 소스의 플럭스이고 α_r은 R에서의 그것의 플럭스이며,

는 푸리에 공간에서의 시프트 연산자(부분 픽셀 이동을 포함하는)이다. 이러한 연산자는 시프트(Δx 및 Δy)의 함수이다. 식 34를 사용하면, 섹션 §3.3에서보다 더 면밀하게 S에서 검출되는 잔여분을 처리할 수 있다. 구체적으로, 이제 예를 들어, H₀(: 변화가 정적이고 비-가변적인 소스와 일치한다; 또는 H₁(: 별이 이동되거나 그것의 플럭스가 변경된다)의 어느 하나로 결정하기 위해 가설 검정을 수행할 수 있다. 이러한 기법은 D의 어떠한 부분에든 적용될 수 있으며, 이에 대해 S에서의 유의한 피크가 식별된다(예를 들어, 상기한 3σ). 긍정 오류를 제거하기 위해 이를 사용하는 것 외에, 이제 새로운 유형들의 신호들을 검출 및 측정하기 위해 이를 사용할 수 있다. 예를 들어, 그것은 배경에 복잡한, 시간 불변 구조가 존재하더라도, 맹목적으로 이동하는 객체들을 찾기 위해 사용할 수 있다.

3.5. 국소 영점들, 배경 플럭스 및 측성 이동 정합

지금까지 해법은 플럭스 기반 영점들(F_n 및 F_r)의 값들, 배경 수준(Bn 및 Br), 및 상대적인 측성 이동(

x 및

y)이 알려져 있는 것을 가정했다. 식 13의 면밀한 분석 실제로, 그것이 다음과 같이 단지 플럭스 영점들 비를 다룬다는 것을 보인다:

배경 차는,

그리고 평행 이동(Δx, Δy).

식 35 및 식 36을 D(식 13)로 치환하고, 시프트 연산자를 대입함으로써,

, γ,

x, 및

y를 찾기 위해 최소화하는 데 요구되는 목적하는 식을 얻을 수 있다. 간단함을 위해, 그리고 섹션 §3.4에서와 같이, 여기서 평행 이동은 도외시될 수 있고, 이하에서 이것이 어떻게 편입될 수 있는지가 증명된다.

β 및

를 찾기 위해,

의 다음 두 부분이 비교될 수 있다:

그리고

F_n 및 F_r이 β로 대체된다는 것을 주의하자. 요구되는 모든 것은 푸리에 변환(

및

)을 역으로 취하는 것, 그리고 β 및

(그리고 임의로 Δx 및 Δy)에 대한 이하의 비-선형 방정식을 푸는 것이다:

여기서

해법은 이미지 도메인에서 수행되어야 한다는 것을 주의하자. 작은 평행 이동을 해결하기 위해, β 및

가 시프트 연산자로 곱해져야 한다. 이미지들이 배경 차감되었고 정확하게 정렬되었다는 것을 믿는다면,

=0, Δx=0, Δy=0가 설정될 수 있고 단지 β의 값을 풀기 위한 동일한 식을 이용할 수 있다.

식 39는 β에서 비-선형이다. 따라서 반복 해법들이 요구된다. 예를 들어, 제1 반복 세트에서

β=1이라고 설정하고 β의 새로운 값을 풀며, 수렴할 때까지(일반적으로 β는 2-3회 반복 시 수렴한다는 것이 밝혀졌다), β의 새로운 값을 찾기 위해 다음 반복에서 그것을 사용한다. 뿐만 아니라, 식 39를 풀기 위해 강력한 피팅 방법들을 사용해야 한다는 것을 주의하는 것이 중요하다. 근거는 이미지들에 불량 픽셀들, 극소 히트들, 측성 잡음, 및 포화 픽셀들이 있다는 것이다. 또한 β를 피팅하기 전 이미지 간선 픽셀들을 제거하는 것이 추천된다.

3.6. 차 이미지에서의 PSF 측광

본 섹션에서는 차 이미지에서 소스의 PSF 측광을 측정하기 위한 통계치가 설명된다(PSF 측광은 소스를 PSF와 효과적으로 피팅하는 것을 지칭한다). 이러한 측정 통계치는 편향되지 않고 모든 추정치 중 최대 S/N을 가지며, 이들은 입력 이미지들의 일차 결합들이다. 또한, 이러한 측정 통계치는 또한 점원 천이의 플럭스에 대한 최우 추정이다. 그러나, 이러한 통계치는 단지 배경 우세 잡음 한계에 대해서만 최선이다. 이러한 통계치의 완전한 도출은 섹션 §12에서 증명된다.

위치(q)에서의 소스의 PSF 측광에 대한 최상의 선형 추정치는 다음과 같다:

여기서 FS는 S의 플럭스 표준화이다:

여기서 f는 공간 주파수들을 나타낸다.

이러한 추정치의 표준 편차는 다음과 같다:

여기서 V(S_N) 및 V(S_R)는 식 26-27에서 정의된다. 식 41은 동시에 이미지에서의 모든 천이의 PSF 플럭스를 측정하기 위해 사용될 수 있다는 것을 주의하자.

3.7. 우주선, "불량" 픽셀 및 고스트 식별

이미지 차감 통계치(D)가 우주선 및 "불량" 픽셀들을 식별하기 위해 사용될 수 있다. 다른 이미지 대차 기술들에 비한 적절한 이미지 차감를 사용하는 것의 주요한 이점은 그것의 픽셀들의 잡음이 상관되고 일반적으로 그것은 소스들의 형상을 거의 보존한다는 것이며, 이들은 δ-함수들과 유사하다. 이는 대부분 경우 어떠한 변형 없이, D에 대해 직접적으로, 간선 검출 알고리즘들(예를 들어, van-Dokkum 2001, PASP, 113, 1420)을 적용함으로써 극소 히트들을 식별할 수 있다는 것을 의미한다.

대안적인 접근법은 극소 히트들 및 "불량" 픽셀들의 형상들에 대한 대략적인 모델을 사용하는 것, 그리고 복합 가설 검정을 수행하는 것이다. D를 관측하는 것의 로그 확률은 위치(q)에서의 객체가 플럭스(α)를 갖는 점원 천이(

가설)인 경우, 다음으로 주어진다:

한편 D의 로그 확률은 위치(q)에서의 객체가 플럭스(α)를 갖고 N에서 형상(P_cr)을 갖는 우주선인 경우(

가설), 다음과 같다:

여기서 x는 관심 소스를 포함하는 픽셀들의 서브세트이다(예를 들어, 소스 주위 PSF 폭의 두 배인 폭을 갖는 영역). 식 44 및 45(적절한 사전 확률들, 이를테면 특정 크기의 천이를 볼 수 있는 확률 및 이러한 플럭스를 갖는 우주선을 볼 수 있는 확률을 사용하는) 간 차이는 검출된 천이가 우주선인지, 또는 천문 천이인지를 결정하기 위해 나타낼 수 있는(적절한 임계치를 설정한 후) 통계이다. 이 경우, 소스의 플럭스, 및 우주선의 세기 및 형상은 모델의 자유 파라미터들이다. 따라서, 이는 복합 가설 검정의 전형적인 경우이다.

동일한 접근법이 내부 반사 고스트들은 식별하기 위해 사용될 수 있다. 이 경우, 형상(Pcr)은 반사 고스트의 형상으로 대체된다. 예를 들어, 확장된 커널(예를 들어, 탑 햇 필터), 이는 항성의 PSF보다 넓다.

4. 새로운 이미지 차감 방법의 속성들

이제, 차감 문제에 대한 최적의 해법과 함께, 직관적인 이해를 추구하기 위해, 속성들이 분석되고 다른 방법들과 비교될 것이다.

4.1. 최적성

이미지 차감 및 천이 검출 공식은 Neyman & Pearson의 부명제를 사용하여 유도된다. 이는 가정들이 정확할 때는 언제든, 방법이 최적이라는 것을 보장한다. 가정들은 다음과 같다: 이미지들이 정합되고, 비상관 가우시안 배경 잡음이 우세하며, PSF들, 배경, 분산 및 플럭스 기반 영점들이 알려져 있다는 것.

4.2. 시간 불변 이미지(T) 캔슬

완벽하게 정합된 이미지들에 대해, 최적의 적절한 차 이미지(D) 및 천이 검출 이미지(S) 양자는 시간 불변 이미지로부터의 차감 잔여분이 없다. 이는 시간 불변 이미지(T)가 대수적으로 없어지기 때문이다.

이는 Alard & Lupton및 Bramich 2008에 의해 제안된 차감 방법에서 실제로는 그렇지 않다. 이러한 방법들에서, 이미지 잡음을 확대하는 것 그리고 T의 시간 불변 잔여분을 최소화하는 것 사이 균형 유지를 위한 최적이 분석되었다.

4.3. 수치적 안정성

식 12, 13 및 14를 면밀하게 살핌으로써, 분모가 0에 가까워지면 분자가 훨씬 더 빠르게 0에 가까워진다는 것이 분명해진다. 따라서, 이미지 차감 방법은 새로운 및 기준 이미지들에 대한 모든 PSF들의 조합에 대해 수치적으로 안정적이다.

Alard & Lupton및 Bramich 2008의 방법들은 이러한 방법들이 디컨볼루션을 효과적으로 수행하기 때문에, 일반적인 경우 수치적으로 불안정하다는 것이 주의되어야 한다. 기준 이미지의 PSF가 모든 축에서 새로운 이미지의 PSF보다 좁다면, 방법들의 Alard & Lupton과는 안정적이라는 것은 참이다.

그러나, 이 경우에도 이러한 방법들에 의해 찾아지는 해는 차선이다(즉, 그것은 천이의 S/N을 최대화하지 않는다). 나아가, 식 12, 13 및 14는 그것들의 참 값과 비교하여 큰(차수 통일에도) 오차를 갖더라도 수치적으로 안정적이다. 따라서, 푸리에 면에서의 분열로 인해 PSF들을 측정 시 어떠한 특수한 정확성도 여구되지 않는다; 섹션 §6에서 더 설명됨.

4.4. 집약성

S 및 D를 계산할 때, 단지 수행되는 연산들은 R 및 N의 작은 커널들과의 컨볼루션이다. 따라서, S 및 D는 모든 작은 이미지 패치에 대해 독립적으로 계산될 수 있다, (PSF 크기의 몇 배까지). 이는 차감을 위해 사용된 PSF들이 이미지에 걸쳐 고르게 달라지게 한다. 또한, 국조 왜곡 이를테면 "불량" 픽셀들, 극소 히트들 또는 포화도에 달한 별들은 단지 그것들의 부근에만 영향을 미칠 수 있다.

4.5. 적절한 이미지 차감(D)은 백색 잡음을 갖는다

에 대한 식(식 13)에서, 배경 잡음 우세 한계에서, 분자의 분산은 분모의 제곱과 동일한다, 즉 다음과 같다:

이는

의 모든 공간 주파수가 등분산을 갖는다는 것을 의미한다. 뿐만 아니라, 이미지들이 백색 잡음을 갖는다는 것이 가정되기 때문에, 그것들의 푸리에 변환은 백색 잡음을 갖는다. 이는

의 공간 주파수들이

의 일차 결합으로서, 비상관 잡음을 갖는다는 것을 의미한다. 이와 함께, 속성들 양자는

가 백색 잡음을 갖는다는 것을 의미하며, 이는 D도 또한 백색 잡음을 갖는다는 것을 의미한다. 다시 말해, 차 이미지는 Zackay & Ofek 2015b에서와 같이, 적절한 이미지이다. 이러한 속성은 이미지 차감을 위한 다른 모든 방법에 의해 훼손된다.

발광 별들의 부근, 원 잡음 분산이 우세한 경우, 적절한 차감 이미지(D)는 상관 잡음을 보인다는 것이 주의되어야 한다. 모의 실험들은 소스 분산이 적어도 배경 분산보다 높은 차수의 크기이면, 그러한 소스들의 부근에서 상관 잡음이 육안으로 검출가능하다는 것을 제시한다. 그러나, 이전에 언급한 바와 같이, 이러한 방법을 사용하면, 원 잡음은 분산 보정을 통해 제어가능하다.

4.6. D 및 P_D가 이미지들 간 차에 대한 임의의 측정 또는 결정을 위해 충분하다.

섹션 §13은 D 및 P_D가 이미지들 간 차에 대한 임의의 측정 또는 가설 검정을 위해 충분한 통계치인 것으로 여겨진다는 증명을 제공한다. 이러한 증명의 핵심 요소들은 이미지들 간 차에 대한 임의의 생성 모델에 대한 임의의 확률 계산이 단지 이러한 양들을 사용함으로써, 그리고 Fisher-Neyman 인수 분해 정리[Fisher 1922 "On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics Fisher Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 1922, 222, 309-368, DOI: 10.1098/rsta.1922.0009. 1 Jan. 발생; Neyman 1935 Neyman,J. (1935) "Sur un teorema concernente le cosidette statistiche sufficienti". Giorn. Ist. Ital. Att., 6:320-334. ]를 사용함으로써 계산될 수 있다는 것이다. 이미지 차감 문제에 대해 무한수의 충분한 통계치가 있다는 것이 주의된다. 여기서 적절한 차감 이미지(D)는 그것의 유용한 속성들에 기인하여, 바람직하다(예를 들어, S보다는).

충분한 속성은 중요한 실제적 결과들을 갖는다. 그것은 배경 잡음 우세 한계에서, D 및 P_D가 이미지들 간 차와 관련된 임의의 추가 측정 또는 가설 검정을 위해 필요로 하는 모든 정보를 포함한다는 것을 의미한다. 다른 응용들에 대해 다른 유형들의 차 이미지들은 필요하지 않다. 실제 응용을 위한 예들은 검출기 상에서의 극소 히트들의 식별 및 제거(섹션 §3.7); 적절한 모션에 대한 최적의 탐색, 측성 이동(섹션 §3.4) 및 소행성 광선을 포함한다.

4.7. 새로운 이미지 및 기준 이미지 간 대칭성

이미지 차감의 문제는 기준 및 새로운 이미지의 교환(천이의 플럭스의 정반대까지)에 대한 대칭이다. 따라서, 최적의 이미지 차감 통계치들(D 또는 S)은 R 및 N의 교환(마이너스 부호까지)에 대해 대칭적이다. 이러한 속성은 Phillips & Davis, Alard & Lupton,및 Bramich 2008에 의해 제안된 해법들에 의해 훼손된다.

4.8. 잡음이 없는 기준 이미지의 한계

식 12의 한계에서 다음이 된다:

항

은 Phillips & Davis; Alard & Lupton;및 Bramich 2008의 방법들에 의해 풀어지는 컨볼루션 커널로 식별될 수 있다. 따라서, 이러한 한계에서, S는 Alard & Lupton과의 방법들로, 그 다음 이미지들의 각각을 새로운 이미지의 PSF를 갖고 필터링하는 것으로 집중된다.

이러한 단순 분석은 Alard & Lupton과의 방법들이 정확한 정합 필터링이 뒤따르는 경우, 현재 해(S)의 특별한 경우라는 것을 설명한다. 뿐만 아니라, 식 48은

의 한계에서 정확한 정합 필터링(만)에 대한 방안을 제공한다.

기준 이미지(R)에서의 잡음을 정확하게 처리하는 것의 중요성을 강조하기 위해, 몇몇 숫자가 공식으로 치환된다. 매우 양호한 기준 이미지들에 대해,

이다(이는 ~ 100개의 이미지의 코어디션으로 이루어지는 기준 이미지를 나타낸다).

비(

)가

보다 훨씬 더 크기 때문에(예를 들어, P_n이 P_r보다 좁은 경우, 높은 공간 주파수들에서 이러한 비는 쉽게 10⁶에 이를 수 있다), σ_r는 무시가능할 정도로 충분히 작지 않다. 이는 Alard & Lupton과의 해법들이 단지

인 경우에만 정확한 통계치에 질적으로 가깝다는 것을 의미한다. 임의의 다른 경우, 이러한 해법들은 디컨볼루션 왜곡을 야기할 수 있거나, 또는 시간 불변 이미지(T)를 캔슬하는 데 실패할 수 있다.

4.9. 차 이미지의 PSF

적절한 차감 이미지의 PSF, P_D는 P_n 및 P_r의 조합이다. 도 3a-3i는 대칭 가우시안(도 3a-3c), 비대칭 가우시안(도 3d-3f), 및 스펙클(도 3g-3i) 이미지들의 세 경우에 대한 P_n, P_r 및 대응하는 P_D를 설명한다. 세 경우에 대해 P_n(좌측 컬럼), P_r(중간 컬럼) 및 대응하는 P_D(우측 컬럼). 제1 로우(도 3a-3c)는 각각, 새로운 및 기준에 대한 2 및 3 pix의 시그마 폭을 갖는 대칭 가우시안 PSF들의 경우에 대한 것이다. 제2 로우(도 3d-3f)는 각각, 새로운 및 기준에 대한 2x4 pix 및 4x2 pix의 시그마 폭을 갖는 비대칭 가우시안 PSF들의 경우에 대한 것이다. 제3 로우(도 3g-3i)에서 P_n 및 P_r은 모의 스펙클 이미지들이다([Ofek 2014 Astrophysics Source Code Library, ascl:1407.005]에서와 같은 툴들을 사용한). 스펙클 모의 실험들에서 그것은 Dtel / r0 =20으로 설정되며, 여기서 Dtel은 망원경 직경이고 r0은 프라이드 길이(Fried length)이다.

4.10. PSF들에 대한 지식

제공된 방법들 중 몇몇에 따르면, 이미지들의 PSF들은 알려져 있는 한편, Alard & Lupton과의 방법들은 PSF들을 측정하지 않고 컨볼루션 커널(

)을 푼다.

(약간 변경된) D에 대한 식을

로 기록할 수 있어, PSF들에 대한 지식에 관해 통합하는 것을 가능하게 할 수 있다.

이러한 경우,

는 다음 PSF를 갖는다:

이러한 약간 변형된 정의들의 D 및 P_D를 면밀히 살피면 여전히

을 산출하고, 그에 따라 원래 정의(식 13)와 동등하다. 천이 검출을 수행하기 위해

의 추정이 여전히 요구된다(그에 따라, 사실상 P_n 및 P_r의 것)는 것을 중의하는 것이 중요하다,

를 추정 시 요구되는 정밀도는 PSF 비의 추정 시 요구되는 정밀도보다 훨씬 더 적게 요구된다. 실제로, 단지 무시해도 될 정도의 감도 손실 시

의 일반적인 형태의 2차원 가우시안으로서의 원시 추정이 발생할 수 있다. 따라서, 각각의 PSF들이 이미지들로부터 추정될 수 없으나, 그것들의 비가 추정될 수 있는 경우(예를 들어, 단지 확장된 경우, 또는 시야각에 복잡합 소스들이 있는 경우), 최적으로 이미지들을 차감하고 최대 감도로 천이를 검출하는 것은 여전히 가능하다. 따라서, PSF들에 대한 지식에 대한 현재 요건은 그것이 우회될 수 있음에 따라, 단점으로 여겨지지 않아야 한다.

를 푸는 것의 문제는 측성 섬광 잡음이 새로운 및 기준 이미지들에서의 소스들의 상대 위치를 이리저리 바꾸어,

에 대한 해를 보다 넓게, 그리고 그에 따라 덜 정확하게 치우치게 한다는 것이다. 이러한 효과는 T의 캔슬 품질을 저하시킬 수 있고, 그에 따라 T 및 검출가능한 천이 간 이룰 수 있는 대비를 감소시킬 수 있다. 이러한 효과는 측성 잡음이 국소적으로 일관되기 때문에 P_r 및 P_n을 별도로 추정할 때 회피되며, 섹션 §3.4에서 설명된 접근법을 가능하게 한다.

4.11. 정합 및 색 굴절 오차

이미지 차감은 대차 프로세스 이전에 취해지는 많은 단계에 의존적이다. 전처리 단계들에 의해 도입되는 임의의 잡음은 최종 차감 이미지로 전파될 수 있다. 그러한 문제들에 대한 예들은 다음을 포함한다: 정합 오차, 색 굴절 계통 오차, 및 소규모 태양 전면 관측 오차

그러한 잡음에 대한 두 가지 유형의 처리/해법이 여기에 제공된다:

(1) 이러한 추가 잡음원들을 S의 분산 이미지로 도입하고 그것을 S_corr를 계산하기 위해 사용하는 것은 복잡하지 않다(예를 들어 섹션 §6.1). 이러한 보정은 차선이나, 그것은 전처리 오차에 탄력적이다.

(2) 문제의 정확한 처리는 차 이미지(D)에서 검출된 각 왜곡에 대해 임의의 측성 이동 및 플럭스 변동을 피팅하는 것이다(섹션 §3.4). 이것이 계산적으로 비용이 많이 들더라도, 이러한 유형의 해법은 천문학에서 매우 통상적이다(예를 들어, DAOPHOT, Stetson 1987 PASP, 99, 191; DOPHOT, Schechter 외 1993, PASP, 105, 1342).

4.12. 자유 파라미터들

몇몇 실시예에서, 상기 방법은 사용자가 설정할 필요가 있는 임의의 자유 파라미터들을 갖지 않는다. Alard & Lupton,, Bramich 2008, and Yuan& Akerlof의 방법들은 사용자가 정의할 필요가 있고 최종 결과에 영향을 미칠 수 있는 내부 자유도를 갖는다. 예를 들어, Bramich 2008 방법은 커널 크기에 민감한 한편, Alard & Lupton방법은 컨볼루션 커널을 나타내기 위해 선택하는 기저 함수들에 의존적이다(예를 들어, Becker [Becker, Homrighausen, Connolly, 외 2012, , 425, 1341] 및 Bramich 외 2015 [Bramich, Horne, Alsubai, 외 2015, arXiv:1512.04655]).

4.13. 계산 복잡도

계산 복잡도의 면에서, 차감 방법의 몇몇 실시예는 이미지 차감 방법에서 가장 많이 요구되는 연산이 FFT 연산(또는 대안적으로 작은 커널과의 컨볼루션)이기 때문에, 빠르다. 테스트들은 현재 알고리즘이 Alard & Lupton및 Bramich 2008에 의한 반전 알고리즘들보다 적어도 몇 자릿수 더 빠르다는 것을 나타내는데, 이는 그것들이 기본적으로 다수의 방정식 및 수십 내지 수백 개의 미지수를 갖는, 선형 최소 제곱 문제를 푸는 것이기 때문이다.

5. 알고리즘의 개요

몇몇 실시예에서, 나머지 측성 이동, 비균질의 투명도 및 배경을 최소화하기 위해, 작은 이미지 패치들에 대한 차감을 수행하는 것이 추천된다. 또한, 그것은 위치 의존 PSF들을 사용하는 것을 가능하게 한다. 컨볼루션 프로세스의 선단 효과를 회피하기 위해, 이미지 패치들은 각 차원에서, 적어도 2의 PSF 길이만큼 중첩되고 있다.

여기서 제안된 알고리즘의 단계별 개요가 설명된다.

입력 인자들:

N - 배경 차감 새로운 이미지(R에 정합됨).

R - 배경 차감 기준 이미지.

N_b - 전자 단위들로 배경을 포함하는 새로운 이미지.

R_b - 전자 단위들로 배경을 포함하는 기준 이미지.

P_n - 단위 합을 갖도록 표준화되는 새로운 이미지의 PSF.

P_r - 단위 합을 갖도록 표준화되는 기준 이미지의 PSF.

σ_n - 새로운 이미지의 배경의 STD.

σ_r - 새로운 이미지의 배경의 STD.

r_n - 전자의 새로운 이미지의 판독 잡음.

r_r - 전자의 기준 이미지의 판독 잡음.

σ_x - X-축에서 측성 정합 해법의 RMS(픽셀들에서의); 스칼라 또는 행렬.

σ_y - Y-축에서 측성 정합 해법의 RMS(픽셀들에서의); 스칼라 또는 행렬.

출력:

D - 적절한 차 이미지.

P_D - 적절한 차 이미지의 PSF.

S_corr - 원 잡음 및 측성 잡음에 대해 보정된 정합 필터 차 이미지.

- The PSF of a delta functionin N as it appears in D.

- The PSF of a delta functionin R as it appears in D.

알고리즘:

1. 임의로 Zackay & Ofek 2015b의 적절한 코어디션 방법을 사용하여 기준 이미지(R; 식 22), 그것의 PSF(; 식 23) 및 플럭스(; 식 24)를 구성.

2. β 그리고 임의로 γ, Δx, 및 Δy의 최적값을 위해 식 39를 품(식 37 및 38을 사용해야 함); 이는 이러한 방정식이 β 사용 반복 시 비-선형이기 때문이며; ; 제1 반복에서 β=1로 설정, β의 값을 업데이트하고 수렴할 때까지 지속됨; 강력한 피팅을 사용(강력한 피팅은 가외치들에 덜 민감하고; 강력한 피터에 대한 예는 MATLAB.에서의 robustfit.m 함수이다); 대안적으로, 다른 방법들(예를 들어, 상대적인 측광)을 사용하여 β를 찾음.

3. 적용가능한 경우 γ를 계산(식 40) 그리고 N에서 γ를 차감.

4. 적용가능한 경우, P_n을 Δx 및 Δy만큼 이동.

5. F_r=1 및 F_n=β로 설정.

6.

을 계산(식 13).

7.

을 계산(식 14).

8.

을 계산.

9.

을 계산(식 18 및 130).

10.

을 계산(식 19 및 134).

11. K_r을 계산(식 28).

12. K_n을 계산(식 29).

13.

로 설정 그리고

를 계산(식 26).

14.

로 설정 그리고

를 계산(식 27); R이 다수의 이미지로 이루어지는 경우, 각각의 기준 이미지들의

를 총합하는 것이 양호하다(섹션 §11 및 식 101).

15.

를 계산(식 30 및 31).

14.

를 계산(식 33 및 33).

17. S_corr를 계산(식 25); 온전성 검사로서, S_corr의 (강력한) STD는

1이어야 한다.

18. S_corr에서 극댓값을 찾음 - 피크값이 시그마 단위에서 천이의 유의도에 대응한다.

19. 단계들 15 및 16에 대안으로서, PS(식 34)를 사용하여, 점원들을 이동시키기하기 위해 (측성 기여 없이) S_corr에서의 통계적으로 유의한 소스들에 대응하고, 그것들의 플럭스 및 측성 변동을 측정하며 그것들을 차감하는 D에서의 모든 위치를 찾음.

20. 목적하는 거짓 경보 확률로부터 결정되는, 일정한 임계치보다 큰 유의도를 갖는 나머지 소스들을 선택.

21. 식 41, 42, 및 43을 사용하여, 천이 후보들의 플럭스를 계산.

본원에서의 모든 푸리에 변환은 원형이고, 임의의 통계적 계산은 단지 이미지의 경계들에서 충분히(즉, 통상적으로 PSF의 몇 배) 떨어진 위치들에 관한 것으로 여겨져야 한다.

6. 테스트 1 및 2

임의의 이미지 대차 알고리즘을 테스트하는 데 몇 가지 중요한 과제가 있다. 이미지 차감은 일반적으로 많은 요인에 의해 영향을 받는다. 따라서, 외부 문제들(예를 들어, 완벽하지 않은 정합) 및 차감 그 자체에 관한 이슈들(예를 들어, 수치적 안정성)을 구분하는 것이 바람직하다. 따라서, 이미지 대차 알고리즘을 테스트하기 위해 모의 실험들 및 실제 데이터 양자가 사용된다.

새로운 알고리즘을 기존의 방법들과 비교하는 것은 가치가 있다. 그러나, 그러한 비교는 문제가 많은데, 이는 다른 방법들이 소스 검출을 위한 정합 필터를 명시하지 않기 때문이다. 뿐만 아니라, 이러한 방법들 중 몇몇은 기저 함수들 및 커널 크기의 선택에 의존적이다. 또한, 일차 방정식들의 계통(예를 들어, SVD)을 풀기 위한 몇 가지 방법이 있고 이들은 최종 결과에 영향을 미칠 수 있다. 따라서, 여기서 다른 방법들과의 비교가 제한된다.

섹션 §6.1은 모의 데이터에 기초하여 테스트들을 설명하는 한편, 섹션 §6.2는 실제 이미지들을 논의한다.

6.1. 모의 실험들

알고리즘의 중요한 특징은 그것의 수치적 안정성이다. 이를 테스트하기 위한 최상의 방법은 모의 실험들 상에 있는데, 이는 입력이 충분히 제어되기 때문이다.

300 전자의 배경 수준을 갖고, 푸아송 잡음을 갖는, 512 x 512 픽셀 크기의 이미지들을 모의 실험하였다. 각 이미지에서 0 내지 10⁵ 전자 및 푸아송 잡음 사이 평평한 분포에서 취해지는 적분 플럭스를 갖는, 100개의 별을 모의 실험하였다. 또한, 9개의 천이원을 표 1에 나열된 바와 같은 위치 및 플럭스를 갖는 새로운 이미지에 추가하였다. 모의 이미지들의 제1 세트에서, 이미지들 내 소스들의 PSF는 각각, 기준 및 새로운 이미지들에 대해, 2 및 3 픽셀의 시그마 폭을 갖는 대칭 가우시안이다.

새로운 이미지에서의 모의 실험된 천이

X(pix)	Y(pix)	플럭스(전자)
100	100	1500
120	120	1600
140	140	1800
160	160	2000
180	180	2200
200	200	2400
220	220	2600
240	240	2800
260	260	3000

비고 : 도 4-6의 새로운 이미지들에서와 같이, 모의 실험된 천이원들의 위치 및 평균 플럭스

도 4a-4f는 각각, 기준 및 새로운 이미지들에 대해, 2 및 3 픽셀의 시그마 폭을 갖는 대칭 가우시안 PSF를 갖는 모의 이미지들의 차감을 개념적으로 설명한다, 위 로우(좌에서 우로): 새로운 이미지(도 4a), 기준 이미지(도 4b), 적절한 차감 이미지(D)(도 4c); 아래 로우(좌에서 우로): 5-σ를 초과하여 경계화된 정합 필터링된 이미지(S)(도 4d), 신규 마이너스 기준의 Alard & Lupton차감(도 4e), 및 기준 마이너스 신규의 Alard & Lupton차감(도 4f). 모의 실험된 천이원들의 위치들은 경계화 정합 필터링된 이미지에서, 적색 원들로 마킹된다. 모든 이미지는 반전된 회색 맵으로 설명된다. Alard & Lupton차감들은 ISIS 소프트웨어 Alard & Lupton에 기반한다. 이러한 도면은 이미지 차감 방법이 대칭적이나, Alard & Lupton 알고리즘은 대칭이 아니라는 점을 설명한다. 이 경우, 한 방향에서 양호하게 작용하나, 다른 방향에서는 차감 왜곡(디컨볼루션에 기인한 링잉)이 분명히 보인다. 뿐만 아니라, 5-σ 초과 정합 필터 이미지를 경계화하는 것은 단지 모의 실험된 천이를 보인다.

도 5a-5f에서 새로운 이미지에서 2 x 4 pix 그리고 기준 이미지에서 4 x 2 pix의 시그마 폭을 갖는 비대칭 가우시안 PSF를 갖는, 도 4a-4f에서와 동일한 파라미터들을 갖는, 이미지들이 모의 실험된다. 도 5a-5f의 특징들은 이러한 이미지들을 제외하고, 도 4a-4f와 유사하다. 다시, Alard & Lupton과의 방법들의 비대칭성이 보인다. 뿐만 아니라, 이 경우 디컨볼루션에 기인한 링잉이 N-R 및 R-N 차감들 양자에서 보인다.

신규한 방법의 가장 중요한 실제 특징들 중 하나는 다른 유형들의 잡음을 검출 프로세스로 통합시킬 수 있는 능력이다(예를 들어, 원 잡음, 측성 잡음, 색 굴정 잡음). 이를 실증하기 위해, 제1 모의 실험(도 4a-4f)이 반복되나, 이번은 정규 분포를 따르는 측성 잡음이 0.3 pix의 표준 편차를 갖는다.

도 6a-6f는 각각, 기준 및 새로운 이미지들에 대해, 2 및 3 픽셀의 시그마 폭을 갖는 0.3 pix(RMS) 측성 잡음 및 대칭 가우시안 PSF를 갖는 모의 이미지들의 차감을 개념적으로 설명한다. 위 로우(좌에서 우로): 새로운 이미지(도 6a), 기준 이미지(도 6b), 적절한 차감 이미지(D)(도 6c); 아래 로우(좌에서 우로): 5-σ를 초과하여 경계화된 정합 필터링된 이미지(S)(도 6d), 5-σ를 초과하여 경계화된 잡음원 보정되고 측성 잡음 보정된 정합 필터링된 이미지(S_corr)(도 6e) 및 신규 마이너스 기준의 Alard & Lupton차감(도 6f). 모의 실험된 천이원들의 위치들은 경계화 정합 필터링된 이미지에서, 적색 원들로 마킹된다. 이 경우, 차감은 다수의 양-음의 나머지를 포함하나, S_corr 이미지는 이러한 측성 잡음을 잘 다루고, 단지 모의 실험된 천이만 검출된다.

6.2. 실제 이미지들에 대한 테스트

신규한 방법들은 Palomar Transient Factory [PTF1¹⁷; Law 외 2009; Rau 외 2009] 자료 배포 2에서 이용가능한 이미징 데이터에 관해 더 테스트했다. 이미지 프로세싱은 [Laher 외 2014, PASP, 126, 674]에 설명되는 한편 광도 캘리브레이션은 [Ofek 외, 2012, PASP, 124, 62]에서 논의된다.

표 1은 알고리즘이 테스트된 다양한 이미지를 나열한다. 정합, 배경 감산 및 PSF 추정을 수행했다.

도 7a-7f는 테스트 1에 대한(표 2) 이미지 차감 결과들을 개념적으로 설명한다. 위 로우(좌에서 우로): 새로운 이미지(도 7a), 기준 이미지(도 7b), 적절한 차감 이미지(D)(도 7c); 아래 로우(좌에서 우로): 5-σ를 초과하여 필터링된 정합 보정된 차 이미지(S_corr)(도 7d), 신규 마이너스 기준의 Alard & Lupton ISIS 차감(도 7e), 및 기준 마이너스 신규의 ISIS 차감(도 7f).

모든 이미지는 반전된 회색 맵으로 제시된다. 적색선(새로운 패널에서)은 도 8에 제시된 프로파일 컷의 위치를 나타낸다. S_corr >5 맵에서, CR1-CR5는 현재 알고리즘에 의해 검출된 우주선의 위치는 나타내는 한편, 이미지의 오른쪽 부분 상의 두 개의 발광 잔여물이 포화도에 달한 별들에 기인한다. 왼쪽 위의 잔여물은 5.7-σ의 유의도를 갖고 그것은 두 개의 발광 별 사이 경계에 있다. 이러한 특정 잔여물을 생성하는 메커니즘은 섹션 §7.7에서 논의된다.

도 7a-7f는 Alard & Lupton차감이 R 및 N의 교환에 대해 대칭적이지 않은 한편, 현재 방법은 대칭적이라는 것을 더 설명한다. 구체적으로, Alard & Lupton의 R-N 이미지는 강하고, 높은 진폭, 상관 잡음을 갖는다.

실제 이미지들에 관한 테스트들의 리스트들

테스트	영역/CCD	크기(pix)	N	R	FWHM_N (arsec)	FWHM_R (arsec)
1	100031/04	560x560	2012-12-20.4134	적절함	5.4	2.9
2	100031/11	1000x1000	2011-08-08.1839	2011-04-12.1865	2.5	2.9

비고: 실제 이미지들에 관한 테스트들의 리스트; "적절한"은 적절한 코어디션 Zackay & Ofek(2015b)를 사용하여 구성된 기준 이미지를 나타낸다

처음에, Alard & LuptonN-R 이미지는 심미적으로 양호하게 보인다. 그러나, 보다 면밀하게 살펴보면 이러한 이미지가 큰 진폭을 갖는 차감 잔여물을 갖는다는 것에 주목할 수 있다. 예를 들어, 도 8은 적절한 차감 이미지(D) 및 Alard & Lupton차감(N-R)에서, 도 7a에서와 같은 적색 선의 위치에서, 프로파일 컷을 설명한다.

이미지들은 이미지들의 표준 편차가 일(1)이도록 표준화된다. 이는 발광 별들이 존재할 때, 현재 설명된 차감 이미지에서의 기복이 보통인 한편, Alard & Lupton차감에서의 잔여물은 크다는 것을 실증한다. D 이미지는 필터링되지 않은 한편 Alard & Lupton차감은 부분적으로 필터링되었다는 것에 주목하자. 따라서, Alard & Lupton차감에 관한, D의 잡음 속성들은 이러한 도표로부터 보이는 것보다 훨씬 더 양호하다. 따라서, 도 8은 현재 제시된 알고리즘이 별들이 존재할 때 매우 양호하게 거동하나, Alard & Lupton차감은 매우 큰 기복을 갖는다는 것을 분명히 실증한다. Alard & Lupton차감 이미지는 부분적으로 필터링되었다는 사실이 육안으로 보인다는 것(즉, 보다 평활한 잡음)에 주목하자.

도 9a-9f는 테스트 2 이미지들에 대한(표 2) 이미지 차감 결과들을 개념적으로 설명한다; 발광 은하(M51 및 SN 2011dh)를 포함하여, 테스트 2 이미지들(표 2)을 제외하고는, 도 7a-7f와 동일하다. S_corr >5 에서 검출된 소스들은 SN 2011dh, 극소 히트틀 및 "불량" 픽셀들이다.

이러한 이미지들은 발광 은하(M51, 및 SN 2011dh (Arcavi2011))를 포함한다. 이미지들의 오정렬에 기인하여, D에서 잔여물이 분명히 보인다는 것에 주목하자. 그러나, 이러한 잔여물은 S_corr가 제시될 때 사라지는데 여기서 그것이 원 잡음 및 측성 잡음(약 0.2''rms)을 고려하기 때문이다. 또한 측성 잔여물은 간단히 Alard & Lupton차감에서 덜 확연한데 이는 이러한 이미지들이 부분적으로 필터링되었고, 그에 따라 더 평활하게 되었기 때문이라는 것에 주의하자. 5-σ 임계치를 초과하는 S_corr 이미지에서 검출되는 천이 후보들은: SN 2011dh, 우주선들 및 "불량: 픽셀들이다. 천이를 검출하기 전 S를 보정하는 것의 중요성에 관한 인상을 주기 위해S 및 S_corr가 도 10a 및 10b에서 실증된다. S 및 S_corr은 상관 잡음을 포함하고, 사람의 눈을 오해시킬 수 있다는 것에 주의하자.

도 10a 및 10b는 도 9a-9f에 도시된 차감에 대응하는 스코어 맵(S)(도 10a) 및 보정된 스코어 맵(S_corr)(도 10b)을 개념적으로 설명한다. 상당한 정합 오차(보다 잘 이루어질 수 있는)이긴 하나, 상관 이미지는 거짓 경보를 포함하지 않는다는 것에 주의하자. 또한 S에서 이미지 왜곡을 실제 소스와 구분하는 것이 매우 어려운 한편, D에서는 거의 자명하다는 것에 주목하자. S 및 S_corr은 상관 잡음을 갖는 이미지들이라는 것에 주의하자. S 및 S_corr에서 소스들을 검출하는 것은 극댓값을 참고 그것들의 값을 판독함으로써 이루어져야 한다. (국소) 표준 편아로 나눠지는 극댓값은 시그마 단위의 검출 유의도에(또는 보다 공식적으로 정규 분포의 생존 함수를 통해 거짓 경보 확률에) 대응한다. 이미지들의 회색은 이미지들의 -7 내지 +7 표준 편차들이며, SN 2011dh(도 9A-9F)를 제외하고는, 모든 유의한 잔여물은 우주선들 및 불량 픽셀들에 기인한다.

7. 구현 세부사항

배경 차감 이미지들, 그것들의 분산, PSF 및 플럭스 기반 영점들 비를 고려해 볼 때, 개시된 이미지 차감 방법은 폐쇄형 공식을 사용하여 실증된다. 따라서, 이러한 방법의 구현은 간단하고 철저하며, 특별한 주의를 요구하지 않는다. 그러나, 이미지 차감을 위한 임의의 다른 방법과 같이, 이러한 기술은 이미지 차감 이전에 취해지는 단계들(예를 들어, 정합; 플럭스 정합)에 민감하다.

7.1. 배경 및 분산 추정

실제 광시야각 천문학 이미지들에서의 배경 및 분산은 전체 시야각에 걸쳐 일정한 것으로 취급될 수 없다. 따라서, 그것들을 국소적으로 추정하고 보간하는 것이 제안된다. 배경 및 분산을 추정하기 위해, 추정치들이 별들 또는 은하들에 의해 편향되지 않는다는 것을 보장할 것을 필요로 한다. Zackay & Ofek (2015a, 2015b)에 따라 가우시안을 작은 영역들에서의 이미지 픽셀들(현재 256 Х 256 arcsec2 블록들을 사용)의 히스토그램에 피팅하는 것, 그리고 높은 값들(예를 들어, 픽셀 값들의 상위 10%)을 갖는 피팅 프로세스 픽셀들을 불량 처리하는 것이 제안된다. 거대한 은하들 또는 복잡한 배경을 포함하는 영역들은 특수 처리를 필요로 할 수 있다.

7.2. PSF 추정 및 공간적 변형

식 12 및 13은 실제 PSF와 비교할 때, PSF에서의 섭동에 대략 선형이라는 것에 주의하자. PSF 측정에 영향을 미칠 수 있는 문제들은 픽셀화, 보간 및 재샘플링 그리드이다. 뿐만 아니라, PSF는 공간적으로 일정하지 않을 가능성이 있고 그것은 또한 전하 자체 반발에 기인하여 세기에 따라 변할 수 있다. 이는 특히 보다 밝은-보다 평평한 효과로 이어질 수 있다(예를 들어, Walter [＼bibitem[Walter(2015)]{2015JInst..10C5015W} Walter, C.~W.＼ 2015, Journal of Instrumentation, 10, C05015]).

몇몇 경우, PSF는 시야각에 따라 달라질 수 있다. 가장 단순한 접근법은 이미지를 PSF가 거의 일정한 보다 작은 이미지들로 나누는 것이다. 이러한 서브 이미지들은 PSF 크기보다 4배만큼 작을 수 있다. 컨볼루션 연산이 국소적이기 때문에, 공간 가변 PSF를 임의의 차감 방법(예를 들어, Alard 2000, A&AS, 144, 363)으로 통합하는 것은 복잡하지 않다.

7.3. 보간

정합 단계는 이미지들 중 하나를 새로운 좌표들의 그리드로 보간하는 것을 필요로 한다. PSF가 나이퀴스트 샘플링(대역 제한)된다면 보간 프로세스에 기인하여 정보를 잃지 않고 Whittaker-Shannon 보간 공식(때때로 "sinc" 보간으로 불리우는)을 사용할 수 있다.

그러나, PSF가 과소 샘플링되는 경우, 보간은 픽셀(픽셀 상) 내 소스의 위치에 의존적인 PSF 형상의 변형으로 이어질 수 있다. 그러한 효과는 임의의 차감 방법에 심각한 문제들을 야기할 수 있다. 하나의 간단한 방법은 픽셀 상 의존 PSF 변이에 의해 유발되는 추가 잡음을 고려하는 S_corr(식 25)의 분모에 잡음 항을 추가하는 것이다.

7.4. 정합

정합은 임의의 이미지 대차 기술에 대해 중요한 단계이다. 새로운 및 기준 이미지 간 임의의 남은 정합 결함 잔여물은 부적절한 차감, 차감 왜곡 그리고 궁극적으로 거짓 검출로 이어질 수 있다. 섹션들 §3.3 및 §3.4는 정합 오차, 색 굴절 및 측성 섬광이 어떻게 처리될 수 있는지를 논의한다. 그러나, 여전히 차감 이전에 임의의 정합 오차를 최소화하는 것이 바람직하다.

많은 경우, 아핀 변환은 두 개의 이미지 간을 맵핑하기에 충분하지 않다. 주요 이유들은 다음을 포함한다: 차동 대기 굴절, 차동 광행차, 및 고차 광 수차.

일반적으로 이미지들이 동일한 시스템 및 동일한 하늘 상의 지점으로 취해질 때, 광 수차는 두 개의 이미지 상의 그것들의 영향이 거의 동일하기 때문에 중요한 역할을 하지 않을 수 있다.

차동 대기 굴절의 진폭은 8" deg^-1만큼 높을 수 있다. 도 11은 5000

의 파장,

의 온도, 760 mm Hg의 압력 및 8 mm Hg의 부분 수증기 압력에 대해, Ofek 2014) 에서의 코드 및 Filippenko 외 [＼bibitem[Filippenko(1982)]{1982PASP...94..715F} Filippenko, A.~V.＼ 1982, ＼pasp, 94, 715]에서 제공되는 공식을 사용하여 계산된, arcsec/deg 단위의, 고도 함수로서, 차동 대기 굴절의 진폭을 설명한다. 대기 굴절의 방향이 매우 잘 알려져 있기 때문에, 대기에 의해 야기되는 수차를 다루는 최상의 방법은 그것의 알려진 방향(즉, 대시각)과 대기 굴절 진폭을 피팅하는 아핀 변환 항들에 추가하는 것이다.

유감스럽게도, 대부분 측성 및 정합 패키지는 이러한 형태의 수차를 지원하지 않고, 대신 그것들은 굴절 보정을 고차 다항식들로 흡수시킨다. 뿐만 아니라, 현재 WCS 헤더 키워드들은 이러한 유형의 변환을 지원하지 않는다.

대기 굴절 수차는 작은 각도의 규모상에서도 검출가능하다는 것에 주목하자. 예를 들어, 이러한 효과는 20 deg의 고도에서 0.1"arcmin^-1에 이를 수 있다. 어떠한 경우라도, 임의의 고차 수차를 최소화하기 위해, 이미지를 작은 섹션들로(약 10x10 arcmin) 나누는 것이 추천된다.

차동 광행차의 전형적인 진폭(지구 운동에 기인한)은 약 ~ 0.2" deg^-1를 갖는다. 이는 몇몇 경우 무시되기에 충분히 작은 것이다. 그러나, 광행차의 영향은 충분히 예측가능하기 때문에, 그것을 변환으로 통합시키는 것이 복잡하지 않다. 지금까지 알고 있는 바와 같이, 일반적으로 보급되어 있는(그리고 측성) 패키지들은 광행차를 무시한다.

7.5. 측성 섬광

지상 이미징의 측성 정합은 통상적으로 지구 대기에 의해 유발되는 측성 섬광에 의해 제한된다. 측성 섬광의 진폭에 대한 크기의 차수는 다음과 같다:

여기서 FWHM은 PSF FWHM이고, tint는 적분 시간이며, tscint는 대기 섬광의 tip/tilt 항의 상관 시간의 척도이다. 예를 들어, FWHM = 2", tint = 60s, 그리고 tscint = 0.03s라고 가정하면, σscint ~ 40mas를 얻는다. 이는 발광 별들의 푸아송 잡음에 의해 유발되는 측성 잡음보다 큰 차수의 크기일 수 있다. 실제로 이러한 잡음은 각도 규모에 의존적이다(예를 들어, Shao 외 1992, A&A, 262, 353).

이러한 유형의 측성 잡음은 제거하기 어렵고, 그에 따라 발광 별들은 차감 프로세스에서 몇몇 남은 잔여물을 가질 수 있다는 것이 예상된다. 그러나, 섹션들 §3.3 및 §3.4는 이러한 문제를 해결하기 위한 두 개의 방법을 설명한다.

7.6. 색 굴절

대기 굴절은 색상 의존적이도 그로 인해 상이한 스펙트럼들을 갖는 소스들이 동일한 기단에서 상이한 굴절을 받을 수 있다. 도 12는 O5V 별 및 M5V 별 간 그리고 A0V 별 및 M5V 별 간, 상이한 대역들에서의 색 굴절의 상대 진폭을, 고도의 함수로서 설명한다. 실선들은 O5V 별 및 M5V 별 간, 고도의 함수로서, arcsec의 색 굴절(고도 방향에서의)의 차이를 나타낸다. 다양한 색상은 상이한 필터들에 대응한다(범례). 파선들은 A0V 별 및 M5V 별 간 차를 제외하고는, 동일하게 보인다. 계산은 대기 소광(Kitt Peak에서의)을 포함하고, 항성 스펙트럼들(Pickles[＼bibitem[Pickles(1998)]{1998PASP..110..863P} Pickles, A.~J.＼ 1998, ＼pasp, 110, 863])을 사용한다. 대기 상태들은 도 11과 동일하다.

다음의 세 개의 해법이 제안된다:

(1) 몇몇 기단 범위에 대해 기준 이미지들을 구성. 색 굴절이 자오선 주위에 대칭적이기 때문에, 자오선의 동 및 서에서 수행되는 관측에 대해 별도로 그러한 기준 이미지들을 구성해야 한다.

(2) 이러한 영향에 의해 유발되는 분산을 계산하고 그것을 S_corr(식 25)의 분모에서의 추가 항들로 도입;

(3) 섹션 §3.4에서 설명되는 기법을 사용하여, D에서의 각 잔여물에 대한 측성 이동을 피팅.

마지막 옵션이 바람직한 접근법이다.

7.7. 추가 잡음원들

이미지 차감에 영향을 미칠 수 있는 추가 잡음원들이 있을 수 있다. 희소 문제에 대한 예는 모의 실험들 및 실제 이미지들에서 마주칠 수 있고, 쌍성이 대기 잡음을 상관시키지 않은 경우(실제로 이는 정합 오차 및 측성 섬광 잡음 양자와 같이 드물지만, 푸아송 잡음은 그렇지 않고, 짧은 각도 규모상에서 상관된다); 이는 경사 영상의 계산에 영향을 미칠 수 있다(식 30-32; 그리고 예를 들어 도 7a-7f). 원리상 그러한 문제들은 S_corr에서 처리될 수 있으나, 이러한 이슈들을 확인해야 한다. 따라서, 이러한 방법의 성공적인 구현은 실제 데이터에 대한 대규모 테스트들을 필요로 한다.

8. 결론

현재 일반적으로 보급되어 있는 이미지 차감 방법들은 다음을 포함하여, 몇몇 중요한 제한을 갖는다: 비-최적성, 방법들 중 몇몇이 계산하는 데 느린 역행렬을 사용하는 몇몇 경우 수치적 불안전성. 가장 중요하게, 이러한 방법들은 천이 후보의 유의도의 계산을 위해 폐쇄형 공식을 제공하지 않는다. 또한, 몇몇 경우 방법들중 몇몇의 수치적 불안전성에 기인하여 천이 후보의 유의도를 더 정확히 말하면 수치적으로 계산하는 것이 가능하지 않다. 이는 임의의 자동 천이 검출 및 분류를 약화시키고, 미래 측량에 대한 상당한 장애물일 수 있다.

상기한 모든 문제를 가능한 해결하고, 이하의 속성들을 갖는 폐쇄형 천이 검출 및 이미지 차감 통계치들이 제공된다:

1. 천이 검출 통계치는 배경 우세 잡음 한계에서 최적인 것으로 수학적으로 증명된다;

2. 통계치들 양자는 임의의 입력 이미지들의 쌍에 대해 수치적으로 안정하다;

3. 정확하게 정합된, 적절하게 샘플링된 이미지들에 대해, 이러한 통계치들은 어떠한 차감 잔여물 또는 디컨볼루션 왜곡도 남기지 않는다;

4. 천이 검출 통계치를 정합 오차, 색 굴절 오차, 모델이 구성될 수 있는 임의의 잡음에 탄력적으로 보정하는 것이 가능하다;

5. 신뢰할 수 있는 검출 유의도가 새롭게 발견된 천이에 대해 부여될 수 있다;

6. 적절한 차감 이미지는 배경 우세 잡음 한계에서 백색 잡음을 갖는다. 이는 그것을 보다 복잡한 측정 및 시각화에 대해 흡인성이 있게 만든다;

7. 적절한 차감 통계치는 상이한 이미지에 관한 임의의 추가 통계적 테스트에 충분한 통계치이다. 특히, 그것은 실제 천이에서 극소 히트들 및 다른 이미지 왜곡을 구분하게 한다;

8. 양자의 통계치들은 새로운 및 기준 이미지들의 교환에 대해 대칭적이다;

9. 양자의 통계치들은 계산하는 데 빠르다 - 일반적으로 보급되어 있는 방법들보다 적어도 몇 자릿수 더 빠르다;

10. 양자의 통계치들은 폐쇄 형태로 주어지고 그것들은 구현하는 데 복잡하지 않다;

11. 적절한 차감 통계치는 제멋대로 복잡한 영역들에서도, 새로운 및 기준 이미지들 간 작은 측성 변화를 찾는 것을 가능하게 한다;

12. 동일한 통계치들은 또한 배경 잡음 우세 제한에서 플럭스 측정에 대해 최적이다;

13. 기준 이미지를 준비하기 위한 최적의 방법은 Zackay & Ofek 2015b에 제시된 적절한 이미지 코어디션 통계치라는 것이 실증된다.

상기한 내용에서 제시된/실증된 이미지 대차 알고리즘이 천문학 이미지 차감의 대부분 과제를 해결할 수 있다는 것으로 결론지어진다.

9. 이미지 차감 통계치들의 완전한 도출

R 및 N을 각각, 배경 차감 기준 이미지 및 배경 차감 새로운 이미지라 하자. 배경 차감 참 불변 하늘 이미지는 T로 표기하자. 기준 이미지 및 새로운 이미지의 점 확산 함수들(PSF들)은 각각 P_r 및 P_n으로 표기하자. P_r 및 P_n은 단위 합을 갖도록 표준화된다.

기준 이미지에 대한 식을 쓰면:

여기서 ε_r은 이미지(R)의 상가성 잡음 성분이다. 새로운 이미지에 어떠한 새로운 소스도 없다는 것을 제시하는 널 가설(

)을 고려해 볼 때, 다음과 같이 쓸 수 있다:

플럭스(α)를 갖는 위치(q)에 새로운 점원이 있다는 것을 제시하는 대체 가설(

)을 고려해 볼 때, 다음과 같이 쓸 수 있다:

여기서

는 위치(q)에서 1이고 그 외에서는 0인 2차원 이미지를 나타낸다. 이미지들이 배경 차감되고, 우세한 잡음원은 배경 잡음이라고 가정하면, ε_r 및 ε_n 양자는 모든 픽셀들의 쌍이 상관되지 않는다 - 즉, 모든 픽셀들의 쌍(x₁≠x₂인 x₁, x₂)에 대해 다음과 같다는 것을 충족한다:

그리고 모든 픽셀은 공간적으로 균일한 분산을 갖는다는 것을 충족한다(실제로 이러한 가정이 다음과 같이 완화될 수 있다):

양자의 가설이 단순하기 때문에, Neyman-Pearson 부명제를 사용할 수 있으며, 이는 두 개의 단순 가설의 어느 하나로 결정하기 위한 가장 강력한 통계는 다음과 같이 우도 비 검정이라고 제시한다:

여기서

는 확률을 나타낸다. 한계점은 T에 대한 어떠한 사전 정보 또는 가정도 없다는 것이다. 따라서, 확률들(

및

)을 직접 계산할 수 없다. 그러나, 그것들의 비를 조건부 확률의 법칙을 사용하여 다음 식을 전개함으로써 계산할 수 있다:

및

양자가 R에 대해 동일한 확률 모델을 제시한다(그리고 그에 따라 R을 관측하는 것에 대해 동일한 확률을 부여할 수 있다)는 사실을 이용하여, 다음과 같이 더 간략화할 수 있다:

을 계산하기 위해, N 및 R의 푸리에 변환의 통계적 거동은 양자의 가설을 고려하여 검토되고, 이미지들은 배경 잡음 우세형이라고 가정된다. 백색 잡음의 푸리에 변환이 그 자체로 백색 잡음이라는 사실을 이용하여, R, N 양자의 푸리에 변환의 정확한 잡음 속성들은 양자의 가설을 고려하여 다음과 같이 알려져 있다:

여기서 ^ 강조는 푸리에 변환을 나타내고

및

양자는 복합 백색 가우시안 잡음이다(백색 잡음을 갖는 이미지의 푸리에 변환에서의 잡음은 명백한 대칭을 제외하고는 백색이며, 여기서 오버 라인은 복소수 컨쥬게이션을 나타낸다. 이러한 대칭성은 입력 이미지들이 실제라는 사실에 기인한다).

가 측정된다는 사실을 이용하여, T에 대한 모델을 얻기 위해 그것의 확률 모델을 다음과 같이 도치시킬 수 있다:

에 대한 모델은 계산되지 않고, 단지 치환 단계로 사용될 수 있다는 것에 주의하자.

인 경우 이러한 단계는 유효하다. 실제로 이는

에 대한 모델이 절대 영점을 포함하지 않는다는 것을 보장함으로써, 또는 작은 수(즉, 컴퓨터 정밀도)를 식 13의 분모에 추가함으로써 검증될 수 있다.

에 대한 이러한 식을 이용하면, R 및

를 고려해 볼 때 N에 대한 확률 모델을 다음과 같이 쓸수 있다:

T에 대한 이러한 모델을 고려하고 잡음이 가우시안이라고 가정하면, N(이는 2 계수까지

이다)을 관측할 수 있는 확률을 다음과 같이 계산할 수 있다:

분산의 선형성 및 스칼라 곱 속성들을 이용하여 간략화하면 다음을 얻는다:

유사하게,

을 고려해 볼 때:

가설(

)이 자유 파라미터(α)를 갖기 때문에, Neyman-Pearson 부명제를 직접 이용할 수 없다. 테스트의 최적성을 보존하기 위해, α에 대해 균일하게 가장 강력한 테스트가 구성된다. 이렇게 하기 위한 절차는 다음과 같다: 모든 α에 대해 데이터(S(q))의 스칼라 충족 통계치를 식별. 그 다음, 이러한 통계치가 Karlin-Rubin theorem [Karlin & RubinAnn. Math. Statist. 27 (1956), no. 2, 272-299]에 대한 요건을 충족한다는 것을 보이면, 모든

에 대해, 그리고

의 모든 값에 대, 확률 비

이는 x의 감소하지 않는 함수이다. 그 다음, 테스트(

)의 긍정 오류율을 결정하는 일정한 임계치(η)에 대한 테스트는 모든 α에 대해

및

의 어느 하나의 결정 문제에 균일하게 가장 강력하다는 것이 보장된다. 통계치(

)를 구성하기 위해, 식 68의 괄호들이

(여기서

은 실수 연산자)을 이용하여, 그리고 그것들은 양자의 α 및 데이터에 의존적이지 않기 때문에

및

항들을 제거하여 쓰인다(이는 충족 통계치를 구성하기 위해 Fisher-Neyman 인수 분해법에 의해 가능해지며, 이는 섹션 §13에서 완전한 형태로 설명된다)

α는 단지 나머지 식에 스칼라 곱수로 들어간다는 것에 주의하면, 다음과 같이 충족 통계치를 식별할 수 있다:

식 70에 관한 식은 Karlin-Rubin 이론에 대한 단조성 요건을 충족하고, 그에 따라 S(q) 모든 α에 대한 테스트에 대하여 균일하게 가장 강력하고, 그에 따라 위치(q)에서의 천이를 검출하기 위한 최적의 천이 검출 통계치이다.

직관적인 양의 면에서 동일한 스코어를 표현하기 위해, "적절한 차감" 이미지는 다음과 같이 정의된다:

천이 검출을 위한 PSF는 다음과 같다:

그리고 표준화는 다음과 같다:

가

에 대한 식에서 l을

및

로 치환함으로써 유도될 수 있다는 것에 주의하자.

배경 잡음 우세 제한에서, D는 백색 잡음이다(섹션 §4.5). 스코어(S(q))는 다음과 같이 표현될 수 있다:

이를 컨볼루션 이론을 사용하여 실제 공간에서 표현하면 다음을 얻는다:

D 및 P_D 양자는 단지 실수만 포함한다는 것에 주의하면, 실수 연산자는 제거될 수 있다. 델타 함수와의 컨볼루션은 단지 시프트 연산자이고, 그에 따라 S(q)에 대한 식은 다음과 같이 훨씬 더 간략화될 수 있다:

그 다음 그것의 푸리에 변환에 대한 식은 다음으로 표현된다:

이는 최적의 천이 검출 통계치의 최종 형태이다. 이러한 식에 대한 대안 형태는 다음과 같이 쓰여질 수 있다:

10. 기준 이미지의 구성

통계적 프레임워크를 기준들의 세트가 주어지는 상황들로 확장하면, 모든 기준을 고려해 볼 때, 최적의 천이 검출 통계치가 찾아진다. 총 J개의 이미지에서 각 기준 이미지는 다음으로 주어진다:

특정 새로운 이미지(N)이 측정되고, 다음 중 어느 것이 참인지가 결정되어야 한다,

:

또는

:

이전 섹션 §9에서와 같이, 두 개의 단순 가정이 검정된다. 따라서, 최적의 검정 통계는 로그 확률 비 검정이다[Neyman & Pearson]

이전과 같이, 조건부 확률의 법칙, 및

및

이 모든 기준에 대해 동일한 확률을 예측한다는 사실을 사용할 수 있다.

조건부 확률을 계산하기 위해, T를 포함하지 않는 N에 대한 확률 모델이 요구된다. 이는 T에 대한 최상의 통계적 모델을 얻기 위해 모든 기준을 사용함으로써 이루어질 수 있다.

이전 섹션에서와 같이, 이는 푸리에 면에서 이미지들에 대한 가설들을 제시함으로써 보다 쉽게 다음과 같이 공식화될 수 있다:

섹션 §9에 따라, 계속해서 이를 지속적으로 정확한 차 이미지 및 정확한 천이 검출 통계치로 전개시킬 수 있다. 관찰 핵심은 기준 이미지들에서의 모든 정보를

에 대한 통계적 모델로 만들 수 있다는 것이다. Zackay & Ofek 2015a의 부록으로부터의 결과를 이용하면, S/N을 최대화하는 선택은

에 관한 모든 정보원의 가중 가산이다:

여기서 잡음 기여는 모든 기준 이미지로부터

로 표기된다.

그것의 분산을 계산하면 다음을 얻는다:

여기서 그것은 다음과 같이 정의된다:

이들 선택 및 식 63의 템플릿을 고려해 볼 때, 기준 이미지들의 코어디션에 대한 공식은 다음과 같이 찾아진다:

여기서

: R, P_r 및 T가 식 52를 충족하기 때문에, 통계적 모델의 요건을 따르는 단일 기준 이미지를 얻는다. 흥미롭게도, 식 92는 Zackay 및 Ofek (2015b; 코어디션 연작에서 논문 II)에 제시된 코어디션 이미지와 동일하다.

식 92를

로 치환하면 다음을 얻는다:

소스 검출 통계치를 명시적 형태로 쓰면 다음을 얻는다:

최적의 해법은 기준들의 세트를 고려해 볼 때, 최적의 천이 검출에 대한 폐쇄 공식으로 결론지어진다. R 대신 사용될 수 있는 다른 선택들이 있다는 것에 주의하자. 그러나, 적절한 코어디션 이미지가 그것의 비상관 잡음에 기인하여 바람직하다(Zackay & Ofek 2015b). 최종적으로, 또한 N은 다수의 이미지로 이루어질 수 있다. 이 경우, 차감에 대한 최적의 해법은 최적의 천이 검출을 수행하는 것이이며 N 및 R 양자는 그것들의 대응하는 세트들에서의 모든 이미지의 적절한 코어디션이다.

11. 발광 객체들의 원 잡음에 대한 보정

소음 분포는 위치에 독립적이고, 참 이미지 그 자체라는 가정은 물론 참이 아니다. 구체적으로, 발광 별들 부근에서 우세 잡음원은 소스 그 자체의 푸아송 기복이며, 이는 분명하게 위치 의존적이다. 따라서, 발광 소스의 부근에서 분산은 과소 추정되고, 잡음에서의 랜덤한 기복은 이러한 위치들에서의 거짓 천이 검출을 야기할 수 있다. 하늘의 무시가능한 부분이 그러한 식으로 거동하기 때문에, 발광 소스들에서 떨어진 곳에서의 통계치(S)를 변경하는 것은 의도되지 않는다.

따라서, 다음과 같이: 식 94의 두 부분을 별도로 계산하는 것이 추천된다:

그리고

다음으로, 이미지 도메인으로 얻기 위해 역 푸리에 변환을 적용하면 다음과 같다:

그 다음 천이 소스들의 존재에 대해 상관 스코어를 계산하면 다음과 같다:

여기서

및

은

및

의 분산 맵들이다. 기본적으로, 이들은 R_j 및 N에 대해 수행되는 모든 연산을 후속시킴으로써, 그리고 대응하는 보정들을

및

각각에 적용함으로써 분석적으로 계산될 수 있다.

제로 기댓값 잡음 소스(ε)에 대해 다음과 같은 사실을 사용하면,

및

에 대해 폐쇄 형식 해법이 다음과 같이 유도된다:

여기서 k_n 및 kj는 각각, 식 95 및 96에서 정의된다. 컨볼루션 커널을 제곱하는 것은 이미지 도메인에서 일어난다는 것에 주의하자.

잡음이 상관되는 발광 별들이 존재할 때, 각각의

를 저장하거나, 또는 총합해야 한다. 적절한 코어디션 이미지 및 그것의 유효한 k_r을 사용하면 모든 정보를 되찾을 수 없다. 그러나, R 및 k_r을 사용하는 것이 이러한 프로세스에 대한 근사치로서의 역할을 할 수 있다.

제안된 보정(식 98)은 발광 소스들에서 떨어진 스코어 이미지를 변경하지 않는다(검출 통계치를 표준 편차의 단위로 이동시키는 것 외에). 이에 대한 근거는 강력한 소스들에서 떨어진 곳들에서 분산 맵이 공간적으로 균일하다는 것이다. 이러한 보정은 발광 소스들 부근에서 차선이지만, 적어도 그것은 알려진 통계적 속성들을 갖는 스코어라는 것에 주의하면, 긍정 오류를 방지하기 위해 그리고 몇몇 감도를 유지하기 위해 사용할 수 있다.

분산에 의해 S를 보정하는 이러한 방법은 임의의 추가 잡음원들로 확장될 수 있으며, 이를 위해 모델을 구성할 수 있다. 예를 들어, 섹션 §3.3에서 측성 오차에 기인하는 분산이 설명된다.

12. 천이 점원들의 최적의 PSF 측광

일반적으로, 통계학계에, 최상의 측정을 유도하는 방법에 관한 합의는 없다. 따라서, 본 섹션에서는, 편향되지 않고 최대 S/N을 가지며, 입력 이미지들의 일차 함수인 측정 통계치가 찾아진다. 그 결과로 초래된 통계치는 간단히 몇몇 요인에 의해 표준화되는 S(식 12)이다. 이러한 분석은 또한 다른 형식 주의를 설명하며, 여기서 천이 검출 통계치가 최적이다 - 그것은 시간 불변 이미지(T)를 캔슬하는 R 및 N 외로 구성되는 최대 S/N 선형 통계치이다. 곁들이는 언급으로서, 식 68을 α에 대해 최대화함으로써 최우 추정치를 계산할 때, 동일한 해법이 발생함에 주의하자.

다시 통계적 모델을 시작함으로써 시작하면:

여기서 α는 위치(q)에서의 새로운 소스의 플럭스이고,

은 그것의 값이 1인 위치 q를 제외한 모든 곳에서 0을 갖는 이미지이다. 계속해서 배경 잡음이 가장 유의한 잡음원이라는 가정 하에서 사용하면, 이는 다음을 가능하게 한다:

찾아진 통계치는 다음과 같이 그것의 가장 일반적인 선형 형태로 쓰인다:

여기서 k_n 및 k_r은 몇몇 커널이고, 다음을 필요로 한다:

C를 푸리에 공간에서 쓰면 다음을 얻는다:

여기서 ε_c은 양 이미지에서의 모든 잡은원을 흡수한다.

여기서, 통계치들의 세트(X_j)를 고려해 볼 때 파라미터(θ)의 최대 S/N 측정이 다음과 같이 되게 된다는 주지의 결과(Zackay & Ofek 2015a 부록 B)를 사용하자:

μ_j은 척도 인자들이고 ε_j는 분산(

)을 갖는 경우, 다음과 같다:

이 경우

. 이를

에 적용하면, α에 대한 최대 S/N 통계치를 다음과 같이 얻는다:

로 치환하고,

간략화하면(비에서의 k_n의 캔슬, 및

의 사용에 주의) 다음을 얻는다:

마지막으로,

에 대한 식에서의 분자가 이전에 정의된 천이 검출 이미지(S)(식 79)에서의 제q' 위치라는 것에 주목함으로써, 동시에 모든 천이원에 대한 모든 플럭스를 계산할 수 있다. 즉:

이는 동일한 통계치가 검출 및 측정 양자를 위해 계산될 수 있다는 것을 의미한다. 따라서, S로부터 플럭스 측정을 얻기 위해, 요구되는 모든 것은 FS에 의해 그것을 표준화하는 것 - 식 114의 분모이다.

검출에 대한 동일한 프로세스를 통해, 위치(q)에서의 플럭스 측정의 표준 편차(S)가 S_N 및 S_R의 검토를 통해 추정될 수 있다. F의 표준 편차는 다음으로 계산될 수 있다는 것이 밝혀진다:

기준 이미지가 많은 기준 이미지로 구성된다면

식 116은 희미한(즉, 배경 우세 잡음 영역들) 그리고 밝은 천이(소스 우세 잡음 영역) 양자에 대해 유효하다는 것에 주목하자. 또한 식 114가 각 픽셀이 PSF의 적절한 값에 의해 가중 적용됨에 따라 PSF 측광과 동일하다는 것에 주목하자.

13. D, P_D, F_D가 이미지들 간 차에 대한 임의의 통계적 측정 또는 결정을 위해 충분하다

D, P_D, F_D가 충족 통계치라는 것을 보이기 위해, Fisher-Neyman 인수 분해 이론을 사용할 수 있다. 이러한 이론은: 확률 밀도 함수가

이면, T는 파라미터(θ)에 대해 충족하고, 비음의 함수들(g 및 h)가 찾아질 수 있는 경우에만 다음이 된다는 것을 제시한다

이 경우, 파라미터(θ)를 갖는, 이미지들 간 임의의 생성 모델(

)에 대해, 데이터(R 및 N)를 관측할 수 있는 확률은 다음으로 인수 분해된다:

이는 D가 충족 통계치라는 것을 증명할 수 있다.

충족 통계치의 의미는 깊다 - 그것은 D에 대해 수행되는 임의의 측정 또는 결정이 그것이 모든 데이터를 사용하여 수행된 것처럼 동일한 수치값을 반환할 수 있다는 것을 의미한다. 그러한 측정 또는 결정에 대한 예들은: 임의 형상 측정, 또는 극소 히트들의 식별이다.

과 함께, D가 시간 불변 이미지(T)에 관계없이,

에 대한 생성 모델의 임의의 인스턴스에 대해 임의의 확률 계산(Fisher-Neyman법으로부터 가능해질 때 몇몇 곱셈의, 모델 독립적 요인)에 충분하다는 것이 보여진다. 통계적 모델들(

)의 과를 제시하면, 이에 대해 D는 다음과 같기에 충분하게 된다:

여기서

은 위치(q)에 위치되는, 새로운 이미지에서 이루어지는 변경이고, T는 시간 불변(알려지지 않은) 이미지이다. 이것이 우리가 PSF에 의해 컨볼빙되지 않았던 신호(예를 들어, "불량" 픽셀들, 작은 측성 이동)를 다루게 할 수 있음에 따라,

이 이미지들의 PSF와 컨볼루팅된다는 것에 주의하자. 그러나, 그러한 PSF는

에 포함될 수 있다.

조건부 확률의 법칙을 사용하면, 확률은 다음과 같다:

R의 확률이 모델 파라미터(θ)에 독립적이기 때문에(그것이 단지 N에 대한 모델에 영향을 미치기 때문에), 그것은 우리가

를 계산하기에 충분하다. 이전 섹션들에서와 같이, R에 대한 지식을 T에 대한 통계적 모델에 반영할 수 있다:

그것을 사용하여

을 고려해 볼 때 N을 관측할 수 있는 확률을 계산하면 다음과 같다:

절대값을 풀면, 세 항의 합을 얻는다. 첫번째 항(

)은

에 의존절이지 않고 그에 따라 제거될 수 있다(Fisher-Neyman h에 흡수될 수 있다). 두번째 항은 다음과 같다:

마지막 식에서, 적절한 차감 이미지(D) 간 정합 필터 연산을 식벼할 수 있다

그리고 N(A_n의 PSF)에서 델타 함수에 대한 PSF는 다음과 같으며:

영점은 다음과 같다:

최종적으로, 식 125에서의 세번째 항은 단지 D 및 그것의 PSF들의 세트 및 영점들을 사용하여 계산될 수 있다는 것이 보여진다.

대칭적으로, R에서의 모든 통계적 변경은 D 및

을 사용하여 동일한 방식으로 계산될 수 있다.

영점은 다음과 같다

참 이미지(예를 들어, 초신성, 변광성 또는 태양계 소천체)와 동일한 PSF(및 투명도)를 경험하는 N 또는 R 중 어느 하나의 변경은 유효한 PSF P_D, 및 영점 FD를 가질 수 있다.

이러한 분석은 차감 산물(D)이 데이터에 관해 수행하도록 요구되는 모든, 심지어 명시되지 않은, 측정 또는 가설 검증에 대해 최적의 통계치라는 것을 의미한다.

다양한 다른 변형이 본 발명의 범위 및 사상에서 벗어나지 않고 해당 기술분야의 통상의 기술자들에게 쉽게 명백할 수 있다는 것이 이해된다. 따라서, 첨부된 청구범위의 범위는 본원에 제시된 설명으로 제한되는 것이 아니라, 청구범위는 본 발명이 속하는 기술분야에서의 통상의 기술자들에 의해 그것의 균등물로서 취급될 수 있는 모든 특징을 포함하여, 본 발명에 존재하는 특허가능한 신규성의 모든 특징을 포함하는 것으로 간주되도록 의도된다.

Claims

적어도 하나의 프로세서 및 적어도 하나의 메모리 소자를 사용하여, 복잡한 일정 배경 데이터 측정(DM)에서, 하나 이상의 새로운 객체 및/또는 하나 이상의 알려진 객체의 천이를 검출하기 위한 물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 DM을 프로세싱하기 위한 방법으로서,
기준 DM의 임펄스 응답에 대해, 새로운 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 새로운 DM을 생성하는 단계;
상기 새로운 DM의 임펄스 응답에 대해, 상기 기준 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 기준 DM을 생성하는 단계;
상기 필터링된 새로운 DM에서 상기 필터링된 기준 DM을 차감함으로써 또는 그 반대로 M-차원 객체 표시자(OI)를 생성하는 단계; 및
상기 M-차원 OI로부터 M-차원 데이터 스코어(DS)를 생성하는 단계로서, 상기 스코어들의 각각은 특정 M-차원 위치에서, 객체의 존재를 찾는 프로브인, 상기 M-차원 DS를 생성하는 단계를 포함하는, 방법.
청구항 1에 있어서, 상기 DS를 생성하는 단계는 상기 OI 내 상기 물리적 속성의 공간 또는 시간 주파수들을 표준화하는 단계를 더 포함하되, 상기 주파수들의 각각은 그 자체 잡음의 표준 편차(STD)에 의해 표준화되고; 그렇게 함으로써 상기 표준화된 OI의 분석 성분들이 등분산의 물리적 속성 잡음을 갖고 또한 상기 물리적 속성 잡음이 상기 분석 성분들 간에 상관되지 않는, 방법.
청구항 1 또는 2에 있어서, 상기 DS를 생성하는 단계는 상기 OI 또는 상기 표준화된 OI의 각 주파수를, 상기 주파수의 잡음 분산으로 나눠지는 그것의 컨쥬게이트 주파수 응답으로 곱하는 단계를 더 포함하고; 그렇게 함으로써 상기 DS의 각 주파수가 그것의 잡음 분산과 동일한 주파수 응답을 갖는, 방법.
청구항 1 내지 3 중 어느 한 항에 있어서, 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 상기 물리적 속성을 측정하는 단계를 더 포함하는, 방법.
청구항 1 내지 4 중 어느 한 항에 있어서, 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 적어도 하나의 새로운 객체 및/또는 적어도 하나의 알려진 객체에 대한 천이를 검출하는 단계를 더 포함하는, 방법.
청구항 5에 있어서, 상기 검출하는 단계는 상기 물리적 속성에 대해 미리 결정된 양 및/또는 음의 임계치들에 반응하는, 방법.
청구항 1 내지 6 중 어느 한 항에 있어서, 복수의 정합 필터링된 원래의 기준 DM을 누산함으로써 상기 기준 DM을 생성하는 단계 및/또는 복수의 정합 필터링된 원래의 새로운 DM을 누산함으로써 상기 새로운 DM을 생성하는 단계를 더 포함하되, 상기 필터링하는 단계는 그것들의 임펄스 응답들의 각각에 대한 것인, 방법.
청구항 7에 있어서, 상기 누산하는 단계는 조합하는 단계, 코어디션(coaddition)하는 단계, 및 중첩하는 단계로 이루어진 군으로부터 선택되는 적어도 하나를 더 포함하는, 방법.
청구항 1 내지 8 중 어느 한 항에 있어서, 모든 상기 DM은 동일한 측정 필드를 갖는, 방법.
청구항 1 내지 9 중 어느 한 항에 있어서, 각각의 상기 DM들은 단일 타임 스탬프에서 획득되는, 방법.
청구항 1 내지 10 중 어느 한 항에 있어서, M은 양의 정수인, 방법.
청구항 1 내지 11 중 어느 한 항에 있어서, 상기 기준 DM 및 상기 새로운 DM은 각각 상이한 측정 디바이스에 의해 측정되는, 방법.
청구항 1 내지 12 중 어느 한 항에 있어서, 상기 기준 DM 및 상기 새로운 DM은 각각 상이한 물리적 속성을 측정한 것인, 방법.
청구항 1 내지 13 중 어느 한 항에 있어서, 상기 기준 DM 및 상기 새로운 DM은 동시에 또는 상이한 시간 간격들로 측정된, 동일한 측정 필드를 커버하되, 각각은 상이한 파장으로 측정되는, 방법.
청구항 1 내지 14 중 어느 한 항에 있어서, 상기 기준 DM 및 상기 새로운 DM은:
a. 동일한 측정 필드를 커버하고,
b. 동일한 측정 디바이스에 의해 측정되며, 그리고

c. 그것들의 측정들 간 상기 객체의 변형에 기인하여 - 상이한 PSF를 갖는, 방법.
청구항 1 내지 15 중 어느 한 항에 있어서, 움직임 검출 커널을 이용하여 상기 표준화된 OI를 컨볼빙(convolving)하는 단계를 더 포함하는, 방법.
청구항 1 내지 16 중 어느 한 항에 있어서, 정합 잡음 보정을 사용하여 상기 DS를 표준화하는 단계를 더 포함하는, 방법.
청구항 1 내지 16 중 어느 한 항에 있어서, 원 잡음 보정을 사용하여 상기 DS를 표준화하는 단계를 더 포함하는, 방법.
청구항 1 내지 18 중 어느 한 항에 있어서, 상기 물리적 속성은 플럭스이고, 상기 DM들은 이미지들이며, 상기 분석 성분들은 픽섹들인, 방법.
청구항 1 내지 18 중 어느 한 항에 있어서, 상기 물리적 속성은 전압이고, 상기 DM들은 무선 신호들인, 방법.
청구항 1 내지 18 중 어느 한 항에 있어서, 상기 물리적 속성은 불투명도이고, 상기 DM들은 단층 촬영 측정인, 방법.
컴퓨팅 디바이스의 메모리로 로딩되고 상기 컴퓨팅 디바이스의 적어도 하나의 프로세서에 의해 실행될 때, 청구항 1 내지 21 중 어느 한 항의 컴퓨터 구현 방법의 단계들을 실행하도록 구성된 컴퓨터 판독가능한 매체(CRM).
적어도 하나의 프로세서 및 적어도 하나의 메모리 소자를 갖는 컴퓨터 시스템으로서,
상기 시스템은 복잡한 일정 배경 데이터 측정(DM)에서, 하나 이상의 새로운 객체 및/또는 하나 이상의 알려진 객체의 천이를 검출하기 위한 물리적 속성의 적어도 두 개의 M-차원 DM을 프로세싱하도록 구성되며, 상기 시스템은:
상기 메모리에 저장되는 필터링 모듈로서,
기준 DM의 임펄스 응답에 대해, 새로운 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 새로운 DM을 생성하도록; 그리고
상기 새로운 DM의 임펄스 응답에 대해, 상기 기준 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 기준 DM을 생성하도록 구성된, 상기 필터링 모듈; 및
상기 메모리에 저장되는 프로세싱 모듈로서,
상기 필터링된 새로운 DM에서 상기 필터링된 기준 DM을 차감함으로써 또는 그 반대로 M-차원 객체 표시자(OI)를 생성하도록; 그리고
상기 M-차원 OI로부터 M-차원 데이터 스코어(DS)를 생성하도록 구성되되, 상기 스코어들의 각각은 특정 M-차원 위치에서, 객체의 존재를 찾는 프로브인, 상기 프로세싱 모듈을 포함하는, 컴퓨터 시스템.
청구항 16에 있어서, 상기 프로세싱 모듈은 상기 OI 내 상기 물리적 속성의 공간 또는 시간 주파수들을 표준화함으로써, 표준화된 M-차원 OI를 생성하도록 더 구성되되, 상기 주파수들의 각각은 그 자체 잡음의표준 편차(STD)에 의해 표준화되고; 그렇게 함으로써 상기 표준화된 OI의 분석 성분들이 등분산의 물리적 속성 잡음을 갖고 또한 상기 물리적 속성 잡음이 상기 분석 성분들 간에 상관되지 않는, 시스템.
청구항 16 또는 17에 있어서, 상기 프로세싱 모듈은 상기 OI 또는 상기 표준화된 OI의 각 주파수를, 상기 주파수의 잡음 분산으로 나눠지는 그것의 컨쥬게이트 주파수 응답으로 곱하도록 더 구성되고; 그렇게 함으로써 상기 DS의 각 주파수가 그것의 잡음 분산과 동일한 주파수 응답을 갖는, 시스템.
청구항 16 내지 18 중 어느 한 항에 있어서, 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 상기 물리적 속성을 측정하도록 구성된, 상기 메모리에 저장되는, 측정 모듈을 더 포함하는, 시스템.
청구항 16 내지 19 중 어느 한 항에 있어서, 상기 표준화된 OI에서 그리고/또는 상기 DS에서 적어도 하나의 새로운 객체 및/또는 적어도 하나의 알려진 객체에 대한 천이 검출하도록 구성된, 상기 메모리에 저장되는, 검출 모듈을 더 포함하는, 시스템.
청구항 27에 있어서, 상기 검출하는 단계는 상기 물리적 속성에 대해 미리 결정된 양 및/또는 음의 임계치들에 반응하는, 시스템.
청구항 16 내지 21 중 어느 한 항에 있어서, 복수의 정합 필터링된 원래의 기준 DM을 누산함으로써 상기 기준 DM을 생성하도록 그리고/또는 복수의 정합 필터링된 원래의 새로운 DM을 누산함으로써 상기 새로운 DM을 생성하도록 구성된, 상기 메모리에 저장되는, 누산 모듈을 더 포함하되, 상기 정합 필터링은 그것들의 임펄스 응답들의 각각에 대한 것인, 시스템.
청구항 29에 있어서, 상기 누산하는 단계는 조합하는 단계, 코어디션(coaddition)하는 단계, 및 중첩하는 단계로 이루어진 군으로부터 선택되는 적어도 하나를 더 포함하는, 시스템.
적어도 하나의 프로세서 및 적어도 하나의 메모리 소자를 사용하여, 적어도 두 개의 M-차원 데이터 측정(DM)을 프로세싱하기 위한 방법으로서,
제2 DM의 임펄스 응답에 대해, 제1 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 제1 DM을 생성하는 단계;
상기 제1 DM의 임펄스 응답에 대해, 상기 제2 DM을 정합 필터링함으로써 필터링된 제2 DM을 생성하는 단계;
상기 필터링된 제1 DM에서 상기 필터링된 제2 DM을 차감함으로써 또는 그 반대로 M-차원 제3 DM을 생성하는 단계; 및
상기 제3 DM 내 상기 물리적 속성의 공간 또는 시간 주파수들을 표준화함으로써, 표준화된 M-차원 DM을 생성하는 단계로서, 상기 주파수들의 각각은 그 자체 잡음의 표준 편차(STD)에 의해 표준화되는, 상기 표준화된 M-차원 DM을 생성하는 단계를 포함하고;
그렇게 함으로써 상기 표준화된 DM의 분석 성분들이 등분산의 물리적 속성 잡음을 갖고 또한 상기 물리적 속성 잡음이 상기 분석 성분들 간에 상관되지 않는, 방법.
청구항 31에 있어서, 상기 M-차원 데이터 스코어(DS)를 생성하는 단계를 더 포함하며, 상기 스코어들의 각각은 특정 M-차원 위치에서 객체의 존재를 찾는 프로브이고; 상기 DS는 상기 표준화된 DM의 각 주파수를, 상기 주파수의 잡음 분산으로 나눠지는 그것의 컨쥬게이트 주파수 응답으로 곱함으로써 생성되며; 그렇게 함으로써 상기 DS의 각 주파수가 그것의 잡음 분산과 동일한 주파수 응답을 갖는, 방법.