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KR20080066443A - 컴퓨터 프로그래밍을 이용한 거미그물 구조 모델링 방법 - Google Patents

컴퓨터 프로그래밍을 이용한 거미그물 구조 모델링 방법 Download PDF

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KR20080066443A
KR20080066443A KR1020070003909A KR20070003909A KR20080066443A KR 20080066443 A KR20080066443 A KR 20080066443A KR 1020070003909 A KR1020070003909 A KR 1020070003909A KR 20070003909 A KR20070003909 A KR 20070003909A KR 20080066443 A KR20080066443 A KR 20080066443A
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KR
South Korea
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spider web
radiation
spider
chambers
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Application number
KR1020070003909A
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English (en)
Inventor
이두영
Original Assignee
이두영
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Publication date
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Abstract

좌표를 이용하여 거미그물 구조를 수학적으로 분석하고 방사선 식과 타원방정식 및 매개변수 방정식으로 표현된 나선식을 도입하여 거미그물을 구성하고 있는 방사실과 나선실을 수학 함수식으로 표현하여 컴퓨터 프로그래밍에 적용함으로써 거미그물 구조를 모델링하는 방법에 관하여 개시한다. 본 발명의 거미그물 구조를 모델링하는 방법은 모델링 하고자 하는 거미그물의 방사실 수, 나선실 수, 바퀴통 장축, 바퀴통 단축, 최외곽타원 장축, 최외곽타원 단축 및 장축의 기울기(X축 기준) 등 모델링 대상의 데이터 값을 입력하는 단계와 상기 입력한 데이터 값에 기초하여 상기 방사실의 수만큼 각각의 방사실 식과 상기 나선실의 수만큼 각각의 타원방정식을 구하는 단계와 상기 방사실 식들과 상기 타원 방정식들을 이용하여 각각의 방사실과 각각의 타원의 교점 좌표값을 구하는 단계 및 상기 교점 좌표값을 이용하여 방사실의 교점을 연결하여 각각의 방사실을 그리고, 타원형태의 나선실의 교점을 연결하여 각각의 나선실을 그리는 단계를 포함한다. 또한, 본 발명의 거미그물 구조를 모델링하는 방법은 모델링 하고자 하는 거미그물의 방사실 수, 나선이 감기는 방향(시계방향/반시계방향), 좌우확장비율, 상하확장비율, 나선실의 감긴 횟수, 회전 이동 각도(X축 기준) 등 모델링 대상의 데이터 값을 입력하는 단계와 상기 입력한 데이터 값에 기초하여 방사실의 수만큼 각각의 방사실 식과 매개변수 방정식을 이용한 나선식을 구하는 단계와 상기 방사실 식들과 상기 나선식을 이용하여 각각의 방사실과 각각의 나선실의 교점 좌표값을 구하는 단계 및 상기 교점 좌표값을 이용하여 각각의 방사실의 교점을 연결하여 방사실을 그리고, 나선식으로 표현된 각각의 나선실의 교점을 연결하여 나선실을 그리는 단계를 포함한다. 따라서, 거미그물을 컴퓨터 프로그래밍을 이용하여 모델링 함으로써 설계자가 원하는 어떠한 모양, 크기의 거미그물도 모델링 할 수 있고, 안전하고 탄력적인 거미그물 모델링을 이용하여 안전망, 테니스와 배드민턴 라켓, 큰 건물의 기초공사, 도로망과 운동기구 등의 실생활에 용이하게 적용할 수 있다.

Description

컴퓨터 프로그래밍을 이용한 거미그물 구조 모델링 방법{Method for Modeling a Structure of a Spider Web using Computer Programing}
도 1은 기본 거미그물 구조의 모식도 및 구조의 세부명칭을 정의한 도면이다.
도 2는 실제 거미그물(꼬마호랑거미그물)을 나타낸 도면이다.
도 3은 거미그물 방사실의 함수식을 거미그물에 표현한 도면이다.
도 4는 타원의 정의를 설명하는 도면이다.
도 5는 회전이동된 타원을 나타낸 도면이다.
도 6은 중심이 이동된 타원을 나타낸 도면이다.
도 7은 실제 거미그물의 타원방정식을 나타낸 도면이다.
도 8은 모델링한 거미그물의 타원을 도시한 도면이다.
도 9는 실제 거미그물의 타원을 도시한 도면이다.
도 10은 다각형에 외접하는 타원형 나선실의 함수를 표현한 도면이다.
도 11은 실제 나선형태의 나선실을 나타낸 도면이다.
도 12는 아르키메데스 나선을 나타낸 도면이다.
도 13은 일반적인 나선으로 표현된 나선형 그물을 나타낸 도면이다.
도 14는 회전 및 중심이 이동된 나선식으로 표현된 나선형 그물을 나타낸 도 면이다.
도 15는 나선형 거미그물의 교점 좌표를 연결하여 모델링(기본-반시계 방향)한 도면이다.
도 16은 본 발명의 실시예에 따른 방사실 식과 타원방정식을 이용한 거미그물을 모델링하기 위한 방법을 나타낸 순서도이다.
도 17은 타원형 거미그물 모델링을 위한 데이터 값이 입력되는 화면을 나타낸 도면이다.
도 18a 내지 도 18d는 표 7에 나타난 좌표들을 이용하여 컴퓨터상에서 모델링되는 타원형 거미그물의 시뮬레이션이다.
도 19는 본 발명의 또 다른 실시예에 따른 방사실 식과 나선식을 이용한 거미그물을 모델링하기 위한 방법을 나타낸 순서도이다.
도 20은 나선형 거미그물 모델링을 위한 데이터 값이 입력되는 화면을 나타낸 도면이다.
도 21a 내지 도 21d는 표 9에 나타난 좌표들을 이용하여 컴퓨터상에서 모델링되는 나선형 거미그물의 시뮬레이션이다.
도 22는 거미그물을 컴퓨터 모델링하기 위해 입력 데이터 값을 추출하기 위한 실제 거미그물의 도면이다.
도 23은 실제 거미그물에서 추출한 입력 데이터 값을 이용하여 타원형 거미그물을 모델링한 도면이다.
도 24는 실제 거미그물에서 추출한 입력 데이터 값을 이용하여 나선형 거미 그물을 모델링한 도면이다.
도 25는 타원방정식을 이용한 거미그물 모델링을 적용할 배드민턴 라켓의 도면이다.
도 26은 표 12에 기록된 입력 데이터 값을 타원방정식을 이용한 거미그물 컴퓨터 프로그램에 입력한 후 모델링되는 타원형 거미그물 시뮬레이션이다.
도 27은 도 26에서 모델링된 거미그물을 도 25에 도시된 배드민턴 라켓에 실제 적용한 배드민턴 라켓의 도면이다.
도 28은 나선식을 이용한 거미그물 모델링을 적용할 배드민턴 라켓의 도면이다.
도 29는 표 13에 기록된 입력 데이터 값을 나선식을 이용한 거미그물 컴퓨터 프로그램에 입력한 후 모델링되는 나선형 거미그물의 시뮬레이션이다.
도 30은 도 29에서 모델링된 거미그물을 도 28에 도시된 배드민턴 라켓에 실제 적용한 배드민턴 라켓의 도면이다.
본 발명은 컴퓨터 프로그래밍을 이용한 거미그물 구조 모델링 방법에 관한 것으로서, 구체적으로 좌표를 이용하여 거미그물 구조를 수학적으로 분석하고 방사선 식과 타원방정식 및 매개변수 방정식으로 표현된 나선식을 도입하여 거미그물을 구성하고 있는 방사실과 나선실을 수학 함수식으로 표현하여 컴퓨터 프로그래밍에 적용함으로써 거미그물 구조를 모델링하는 방법에 관한 것이다.
거미줄의 탄력성과 안정성에 대해서는 이미 잘 알려져 있다. 이러한 탄력성과 안정성은 구성 성분뿐 아니라 거미그물 구조 자체에 의해서도 영향을 받는 것으로 알려지고 있다. 그물에 가해지는 충격을 효과적으로 배분하고 또 강한 바람에도 그물을 유지할 수 있는 거미그물 구조를 우리 실생활에 적용할 수 있다면 건축, 스포츠용품, 안전망 등 여러 분야에 큰 도움이 될 것이다.
현재 거미그물 구조에 대해 그물을 짓는 과정, 그물 각 부위의 구조, 각 부위와 그물 내에서의 기능과의 관계 등을 다루는 연구는 많이 진행이 되고 있다.
그러나 거미그물 구조의 실생활 응용을 위해 반드시 선행되어야 할 거미그물 구조의 컴퓨터 모델링이나 시뮬레이션과 이를 위한 거미그물 구조의 수학적 분석 연구는 아직까지 미미한 상태이다.
본 발명의 목적은 좌표를 이용하여 거미그물을 수학적으로 표현할 수 있는 함수식을 구하고, 이를 토대로 컴퓨터 프로그래밍에 적용함으로써 거미그물의 구조를 모델링하며, 이를 실생활에 적용하는데 있다.
상기 목적을 달성하기 위한 본 발명의 본 발명의 거미그물 구조를 모델링하 는 방법은 모델링 하고자 하는 거미그물의 방사실 수, 나선실 수, 바퀴통 장축, 바퀴통 단축, 최외곽타원 장축, 최외곽타원 단축 및 장축의 기울기(X축 기준) 등 모델링 대상의 데이터 값을 입력하는 단계와 상기 입력한 데이터 값에 기초하여 상기 방사실의 수만큼 각각의 방사실 식과 상기 나선실의 수만큼 각각의 타원방정식을 구하는 단계와 상기 방사실 식들과 상기 타원 방정식들을 이용하여 각각의 방사실과 각각의 타원의 교점 좌표값을 구하는 단계 및 상기 교점 좌표값을 이용하여 방사실의 교점을 연결하여 각각의 방사실을 그리고, 타원형태의 나선실의 교점을 연결하여 각각의 나선실을 그리는 단계를 포함한다.
또한, 상기 목적은 모델링 하고자 하는 거미그물의 방사실 수, 나선이 감기는 방향(시계방향/반시계방향), 좌우확장비율, 상하확장비율, 나선실의 감긴 횟수, 회전 이동 각도(X축 기준) 등 모델링 대상의 데이터 값을 입력하는 단계와 상기 입력한 데이터 값에 기초하여 방사실의 수만큼 각각의 방사실 식과 매개변수 방정식을 이용한 나선식을 구하는 단계와 상기 방사실 식들과 상기 나선식을 이용하여 각각의 방사실과 각각의 나선실의 교점 좌표값을 구하는 단계 및 상기 교점 좌표값을 이용하여 각각의 방사실의 교점을 연결하여 방사실을 그리고, 나선식으로 표현된 각각의 나선실의 교점을 연결하여 나선실을 그리는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 거미그물 구조 모델링 방법에 의해서도 달성될 수 있다.
이하, 본 발명의 바람직한 실시예를 첨부한 도면을 참조하여 상세히 설명한다.
거미가 그물을 짓는 기술이 진화되어 온 것처럼, 그물 모양도 먹이를 잡는 효용성을 높이는 쪽으로 발전되어 왔다. 그러나 대부분의 원형그물에서 서로 구분되는 몇 가지 특성을 제외하고는 기본 그물 구조는 비슷하다.
도 1은 기본 거미그물 구조의 모식도 및 구조의 세부명칭을 정의한 도면으로서, 본 발명에서 사용하는 거미그물 구조에서 바퀴통(hub), 나선실(spiral), 방사실(radius) 등과 같이 세부 명칭을 정의한 것이다.
실제 거미그물을 수학적으로 표현하고, 컴퓨터 프로그래밍으로 모델링하기 위해 도 2와 같은 실제 거미그물(꼬마호랑거미그물)을 사진 찍어 이를 거미그물의 분석방법의 자료로 활용한다.
실제 거미그물의 분석방법은 도 2와 같은 거미그물 사진자료를 컴퓨터상에서 불러와 거미그물을 따라 안쪽부터 바깥쪽으로 7개의 다각형을 표시한다. 눈금이 소수점 첫째 자리까지 표시된 모눈종이를 만들어 일정좌표(45.4. 34.0)에 거미그물 사진자료의 중심을 맞추고 나선실과 방사실의 교점좌표들을 읽은 다음 이를 표에 입력하고, 그 후 다각형에 외접하는 타원을 그리고 타원과 타원의 장, 단축과의 교점을 구하는 것이다.
각 거미그물의 교점 좌표를 구한 후에 거미그물을 분석하기 위해 여러 수학공식 및 함수식(예를 들어, 방사실의 함수식, 타원의 방정식, 매개변수 방정식으로 표현된 나선식, 방사실, 타원 및 나선의 기울기 구하는 식) 등을 사용 또는 유도하였고, 통계적인 기법으로는 회귀분석과 T-test를 이용한다.
직선함수와 타원함수 및 나선식으로 표현된 거미그물을 컴퓨터로 프로그래밍 한다. 컴퓨터 프로그래밍(예를 들어, Visual C++ 등)을 이용하여 수학적으로 표현된 거미그물을 프로그램 처리하여 일정 값만 대입하면 그에 해당하는 타원함수와 방사실함수 또는 나선식과 방사실함수를 이용하여 모든 형태의 거미그물 다각형과 방사실을 모델링할 수 있다.
이하, 거미그물의 수학적 표현과 컴퓨터 프로그래밍을 통한 거미그물의 모델링에 대하여 상세히 살펴본다.
1. 거미그물의 수학적 표현
1) 방사실의 함수화
도 3은 거미그물 방사실의 함수식을 거미그물에 표현한 도면이다.
도 3을 참조하면, X축에서 가장 가까운 방사실(Radius)부터 일련번호를 매기고 거미그물의 방사실과 7개의 다각형과의 교점좌표를 회귀분석하여 각 방사실에 대한 회귀선을 구한다. 예를 들면, 회귀분석을 통해 방사선1의 7개의 점의 편차를 최소화하는 회귀선을 구한다.
방사실의 함수 : y = αx + β,
단, 각 = θ이면, 기울기(α) = tan(θ)
이와 같은 방법으로 총 28개의 방사실의 함수화를 표 1에 나타내었다.
Figure 112007003428570-PAT00001
표 1에 나타낸 바와 같이, 도 3에 도시된 거미그물의 방사실 28개의 좌표를 이용하여 각각의 기울기(α)와 y절편(β), 결정계수(R2), X축 기준 각도 및 방사실 사이각을 나타낸 것이다. 표 1을 살펴보면, 28개의 방사실 중 20개의 결정계수 값이 90% 이상이고, 4개가 80% 이상으로 보인다. 이는 방사실을 회귀선으로 표현하는 것이 신뢰할 수 있음을 의미한다.
2)타원형 나선실의 함수화
가) 거미그물 구조
거미그물의 나선실은 타원형, 연속적인 나선형, 끊어진 나선형, 끊어진 타원형 등 여러 가지 모양이 있으며 본 발명의 실시예에서는 이들 중 타원형과 나선형 거미그물을 분석한다.
나) 타원의 정의
도 4는 타원의 정의를 설명하는 도면이다.
도 4를 참조하면, 좌표평면 위의 두 정점 F와 F'로 부터의 거리의 합이 일정한 점 P 전체의 집합
Figure 112007003428570-PAT00002
을 타원이라고 한다. 이때의 두 정점 F와 F'을 타원의 초점이라고 한다.
초점을 포함하는 선분 A1A2를 장축이라 하고 선분 A1A2의 중점을 타원의 중심이라 한다. 중심을 지나면서 장축과 직각을 이루는 선분 B1B2를 단축이라고 한다.
P의 좌표를 (x,y)라 하고, F, F′와 P 사이의 거리의 합이 2a가 되는 두개의 초점을 F(c,0), F′(-c,0)라고 하면
Figure 112007003428570-PAT00003
Figure 112007003428570-PAT00004
양변을 제곱하여 방정식을 단순화하면 a2 - c2 = b2 이므로
방정식은 b2x2 + a2y2 = a2b2
양변을 a2b2 로 나누면 타원방정식은 아래와 같다.
Figure 112007003428570-PAT00005
다) 회전이동된 타원의 표현
도 5는 회전이동된 타원을 나타낸 도면이다.
도 5를 참조하면, 장축이 X축으로부터 θ만큼 회전된 타원방정식의 수학적 유도과정은 다음과 같다.
Figure 112007003428570-PAT00006
x = x′cosθ+ y′sinθ
y = -x′sinθ + y′cosθ
Figure 112007003428570-PAT00007
이므로
Figure 112007003428570-PAT00008
양변에 a2b2을 곱하고 (x', y')를 (x, y)로 대치하면, 타원방정식은 다음과 같다.
(a2sin2θ+b2cos2θ)x2-2xy(a2-b2)sinθcosθ+(a2cos2θ+b2sin2θ)y2-a2b2 = 0
이를 단순화하면,
Ax2 + Bxy + Gy2 + K = 0
여기서, A = a2sin2θ+b2cos2θ, B = 2(a2-b2)sinθcosθ,
G = a2cos2θ+b2sin2θ, K = - a2b2
라) 중심이 이동된 타원방정식
도 6은 중심이 이동된 타원을 나타낸 도면이다.
도 6을 참조하면, 각도가 θ이고 중심이 (0,0)인 타원의 중심이 (DX,DY)로 이동되었을 때, 타원방정식은 다음과 같다.
(a2sin2θ+b2cos2θ)(x-DX)2 - 2(x - DX)(y - DY)(a2-b2)sinθcosθ + (a2cos2θ+b2sin2θ)(y - DY)2 - a2b2 = 0
도 7은 실제 거미그물의 타원방정식을 나타낸 도면으로서, 상기 수학식을 참고로 6번째 타원의 방정식을 나타내면 다음과 같이,
31.10(X+0.318)2+0.04(X+0.318)(Y+0.532)+31.05(Y+0.531)2-965.86=0 로 나타낼 수 있다.
3) 타원과 방사실의 교점
가) 타원과 방사실의 교점 계산
장축의 기울기 각도가 θ이고 중심이 (DX,DY)인 타원과 방사실의 교점 계산 절차는 다음과 같다.
타원 방정식 A(x-DX)2 + B(x-DX)(y-DY) + G(y-DY)2 + K = 0 ---- ①
방사실 방정식 y = αx + β ---- ②
① 과 ② 를 연립방정식으로 풀면
A(x-DX)2 + B(x-DX)(αx + β-DY) + G(αx + β-DY)2 + K = 0
(A+Bα+Gα2)x2+{B(β-DY-αㆍDx)-2AㆍDX+2Gα(β-DY)}x+AㆍDX 2-BㆍDX(β-DY)+G(β-DY)2+K = 0
방정식을 단순화하면,
A′x2+B′x+K′ = 0
A′ = A+Bα+Gα2, B′ = B(β-DY-αㆍDx)-2AㆍDX+2Gαㆍ(β-DY),
K′ = AㆍDX 2-BㆍDX(β-DY)+G(β-DY)2+K
X =
Figure 112007003428570-PAT00009
나) 모델링한 거미그물과 실제그물과의 비교
본 발명의 실시예에서는 나선실(타원형)과 방사실의 교점을 이용해서 거미그물을 모델링한다.
회귀분석을 통해 방사실 함수식을 구하고 앞서 언급한 방법을 통해 타원의 함수식을 구한 뒤 2차 방정식을 풀어서 교점을 구한다.
모든 방사실이 타원의 두점에서 교차하기 때문에 두개의 교점이 구해진다. 두 교점은 부호가 다른데 두 교점 중 어떤 점이 옳은지를 결정하는 기준으로서 X값을 사용했다. 네개의 분면에 대한 X와 Y값은 다음과 같다. 1사분면에서는 x>0, y>0, 2사분면은 x<0, y>0 , 3사분면은 x<0, y<0, 4사분면은 x>0, y<0이다.
모델링한 거미그물의 교점을 연결했을 때(도 8 참조) 실제 거미그물(도 9 참조)과 유사했고 실제 거미그물의 교점과 모델링한 거미그물의 교점(타원과 방사실의 교점)을 비교할 때 오차는 허용범위 내에 있다(표 4 참조). 거미그물 사이의 오차를 비교하기 위해서 실제 교점과 모델링한 교점의 차이를 장축길이의 1/2로 나눈다.
표 3에서 타원방정식은 A(x-DX)2+B(x-DX)(y-DY)+G(y-DY)2+K = 0
타원 E6의 함수식 : 31.10(x+0.318)2+0.04(x+0.318)(y+0.532)+ 31.05(y+0.531)2-965.86 = 0
방사실 함수식 : y = αx + β
방사실1의 함수식 : y = 0.0083x + 0.1569
두개의 연립방정식을 풀어서 타원과 방사실과의 교점을 계산했다. x에 대해 연립방정식을 풀면 방정식은 A'x2+B'x+K' = 0이 된다. 2차 방정식을 풀어 x값을 구하고, 이 x값을 방사실 식에 대입하여 y값을 구할 수 있다.
방사실이 1사분면에 있다면 두개의 근 중에서 x>0, y>0인 근을, 2사분면에 있으면 x<0, y>0, 3사분면인 경우는 x<0, y<0, 4사분면은 x>0, y<0인 근을 선택한다.
표2는 타원과 방사실 함수식이고, 표3은 타원과 방사실과의 교점좌표 및 교점 방정식을 나타낸 것으로, 표 2와 표 3을 통해 28개의 방사실과 타원의 교점을 계산하고 표4에서 실제 교점과 계산된 교점을 비교했다.
Figure 112007003428570-PAT00010
Figure 112007003428570-PAT00011
Figure 112007003428570-PAT00012
상기 표 4에서 보듯이 D/a의 평균값(모델링한 거미그물의 교점과 실제 교점의 거리/장축의 길이의 1/2)은 0.0428, D/a의 표준편차는 0.0305이다. 따라서 수학적으로 모델링한 거미그물은 실제 거미그물과 유사하다. 특히 이 결과는 타원과 타원의 중심에서 시작되는 방사실이 교차하는 교점을 연결하여 거미그물의 나선실을 표현할 수 있음을 의미한다.
4) 나선형 나선실의 함수화
가) 나선형 거미그물의 표현
거미그물의 나선실이 나선형을 띌 때는 분면별로 장단축을 달리하는 타원형의 일부를 적용하여 실제의 거미그물 다각형과 유사하게 나선형 나선실을 구현할 수 있다.
도 10은 다각형에 외접하는 타원형 나선실의 함수를 표현한 도면이고, 도 11은 실제 나선형태의 나선실을 나타낸 도면이다.
도 10은 장축이 X축에 나란하고 중심점이 원점인 기본형이며, 장축의 기울기가 θ이고, 중심점이 (Dx,Dy)일 때는 앞서 제시한 방법을 사용해서 수학적 표현이 가능하다. 거미줄 다각형에 외접하는 타원은 도 10과 같이 4 개의 분면으로 나누어 장단축의 길이를 조건별로 정하여 표현할 수 있으며, 보다 정교하게 표현하기 위해서는 4 개 이상의 분면으로 나누어 표현할 수 있고(예를 들면 8 개나 12개 등), 일반 나선형을 함수로 표현할 수 있는 극방정식으로 표현하는 방법도 가능할 것으로 보인다.
연속적인 나선을 갖는 거미그물을 표현하기 위해서는 아르키메데스 나선(Archmedes spiral)을 사용할 수 있다. Archimedes spiral의 vector 함수는 r(t)=(tcost)i+(tsint)j, t≥0이고, 그것은 x=tcost, y=tsint, t≥0인 곡선과 같다. t가 증가함에 따라 점(x,y)는 원점(0,0)에서 시작해서 원점에서 점점 멀리 감기면서 나아간다(도 12 참조). 본 발명의 실시예에서는 우선 Archimedes Spiral을 적용하기 위해서 그 공식을 일반화 하였다.
나) 아르키메데스 나선의 일반화
도 13은 일반적인 나선으로 표현된 나선형 그물을 나타낸 도면이다.
도 13을 참조하면, Archimedes Spiral은 감겨 나가는 방향에 따라 크게 시계방향, 반시계방향으로 나타낼 수 있다.
반시계방향의 Archimedes Spiral을 매개변수 방정식(Parametric equation)으로 표현하면 x=tcost, y=tsint의 값을 가지고, 시계방향의 Archimedes Spiral은 x=tsint, y=tcost의 값을 가진다(단, t는 radian으로 표현된 각도이며 t>=0라는 조건하에서 위의 식이 성립함). 본 발명의 실시예에서는 반시계방향의 나선실 위주로 설명을 하고 시계방향의 나선실에 대한 결과는 뒤에서 제시한다.
기본적인 Spiral식은 반시계 또는 시계방향 으로 감겨나가며 중심은 원점이다. 이 Spiral 함수를 좀더 일반화해서 상하나 좌우로 늘어난 (확장된) 것까지 고려할 수 있게 만들면 반시계 방향의 나선실은 x=atcost, y=btcost 식이 되며 a,b는 임의의 상수가 된다. 이때, a<b이면 상하로 늘어나서(확장되어) Spiral의 수직축(y축)이 장축이 되고 b<a이면 좌우로 늘어나서(확장되어) Spiral의 수평축(x축)이 장축이 된다.
구체적으로 a, b값을 구하기 위해서는 타원형 에서 타원과 타원의 장, 단축의 교점을 구하였던 것처럼 Spiral과 축과의 교점좌표를 구해야 하는데 Spiral이 x축과 만나는 점을 A(x,y), B(x', y') 이라고 한다면 두 점의 관계를 통해서 t,a 값을 구할 수 있다. 또 Spiral이 y축과 만나는 점을 C(x,y), D(x',y') 이라고 한다면 두 점의 관계를 통해서 t,b 값을 구할 수 있다. 그래서 Spiral의 식을 모르더라도 x,y축(또는 임의의 축)과 Spiral과의 각각의 두 개 교점을 이용하여 그 Sprial의 일반함수를 유도할 수 있다.
방사실과 나선실의 교점의 t값을 구하는 방법은, 기울기가 α인 한 방사실 즉, y=αx 와 x=atcost, y=btsint 으로 표현된 Spiral의 교점을 구할 때 aα/b=tan (t) 형태로 나오기 때문에 α,a,b 값만 주면 t값을 얻을 수 있다(단, t 값은 radian 값).
다) 회전 및 중심이 이동된 나선의 수학적 표현
도 14는 회전 및 중심이 이동된 나선식으로 표현된 나선형 그물을 나타낸 도면이다.
도 14를 참조하면, Spiral도 타원함수 처럼 장축이 θ만큼 회전되었을 때와 중심이 원점에서 (Cx,Cy)로 이동되 었을 때의 함수를 표현할 수 있다.
Archimedes Sprial은 감겨나가는 방향, 장단축의 늘어난 정도, 중심의 위치, 장단축의 기울어진 정도에 따라서 다양한 모양을 띄게 된다. 어떤 거미그물이든지 표현할 수 있게 하기 위해서 중심이동과 회전이동 및 장, 단축이 늘어난 Archimedes Spiral을 수학적 함수로 표현해 보았다.
5) 아르키메데스 나선실과 방사실의 교점
가) 방사실의 식
원점을 통과하는 직선으로 보고(즉, 거미그물의 허브(바퀴통)와 좌표의 원점이 일치한다고 보고) y = αx로 표시하였다(β=0로 봄).
나) 나선 형태로 표현된 나선실과 방사실의 교점
방사실을 직선함수로 함수화한 뒤 방사실과 Spiral로 표현된 나선실의 교점을 구하여 연결, 거미그물을 모델링 해 보았다. 본 발명의 실시예에서는 기본반시계 방향의 Spiral과 방사실의 교점을 이용하여 표현한 거미그물을 예로 들어 설명하였다. 이에 대한 순서 및 모식도는 다음과 같다.
① 방사실과 나선의 교점을 구함
② 이 교점을 연결함
다) 나선형 거미그물 모델링(기본-반시계 방향)
y = αx …………………… ①
x = atcos(t) …………………… ②
y = btsin(t) ……………… ③
①, ③에서 αx = btsin(t) ……… ④
②, ④에서 (즉, ②를 ④에 대입하면)
α(atcos(t)) = btsin(t)
aαcos(t) = bsin(t)
Figure 112007003428570-PAT00013
위의 식에서 여러 개의 t값을 구할 수 있다. 이중 A1의 경우 t값이 0보다 크고 90보다 작으므로(1/4분면 이므로) 하나의 t값이 결정된다(이 값을 t1이라 하면 아래와 같음).
방사선 식의 t값이 미리 주어지면, 즉 θ 값이 주어지면 위의 절차는 생략이 가능하다. 예를 들어 방사선실이 18 개이고 사이각이 균일하다고 하면 각도는 20, 40, 60… 등이 된다(물론 이것을 함수값으로 넣기 위해서는 라디안으로 변경해야 함).
Figure 112007003428570-PAT00014
B1, B2, B3, B4…도 위와 동일한 방법으로 구할 수 있으며 그 다음 교점A1, B1, C1, D1, E1, F1, G1, H1, A2, B2, C2, …을 연결하면 도 15에서 보는 것처럼 나선형 거미줄이 된다.
나선형의 총 감긴 횟수는 최종 t 값이 t+n*(2*π)라고 하면 n 회가 된다. 위 그림의 경우 감긴 회수가 4 번이므로 t+8π가 될 것이다.
이렇게 함으로써 거미그물을 Spiral함수와 방사실함수의 교점으로 표현할 수 있다. 그리고 이 절차를 통해 얻어낸 함수를 바탕으로 컴퓨터 모델링의 기반을 마련하였다.
이하, 상술한 거미그물의 방사실 함수식 및 나선실의 타원방정식 또는 나선식을 이용하여 컴퓨터 프로그래밍을 통해 거미그물을 모델링하는 방법 및 실제 컴퓨터 모델링하기 위한 프로그래밍과 이를 적용한 거미그물 컴퓨터 모델링을 예시해보기로 한다.
2. 컴퓨터 프로그래밍을 통한 거미그물 모델링
1) 방사실 식과 타원방정식을 이용한 거미그물 모델링
가) 타원형 거미그물 모델링을 위한 순서도
도 16은 본 발명의 실시예에 따른 방사실 식과 타원방정식을 이용한 거미그물을 모델링하기 위한 방법을 나타낸 순서도이다.
참고로, 본 순서도에서 설명하는 함수식은 앞서 거미그물의 수학적 표현부분에서 자세히 설명하였기 때문에 그 자세한 설명은 생략하기로 한다.
도 16을 참조하면, 먼저, 모델링 하고자 하는 거미그물의 방사실 수, 나선실 수, 바퀴통 장축, 바퀴통 단축, 최외곽타원 장축, 최외곽타원 단축 및 장축의 기울기(X축 기준) 등 모델링 대상의 데이터 값을 입력한다(S10). 상기 데이터 값들은 모델링하고자 하는 거미그물의 크기, 모양 등을 고려하여 설계자가 자유롭게 입력할 수 있다. 도 17은 타원형 거미그물 모델링을 위한 데이터 값이 입력되는 화면을 나타낸 도면이다.
상기 입력한 데이터 값에 기초하여 방사실의 수만큼 각각의 방사실 식을 구한다(S11).
또한, 상기 입력한 데이터 값에 기초하여 나선실의 수만큼 각각의 타원방정식을 구한다(S12).
상기 방사실 식과 상기 타원 방정식을 이용하여 각각의 방사실과 각각의 타원의 교점 좌표값(X, Y)을 모두 구한다(S13).
위에서 구한 교점 좌표값을 이용하여 각각의 방사실의 교점을 연결하여 방사실을 그린다(S14).
위에서 구한 교점 좌표값을 이용하여 타원형태의 나선실의 교점을 연결하여 나선실을 그린다(S15).
위와 같은 순서에 따라 입력 데이터 값에 기초한 거미그물이 모델링된다.
마지막으로, 방사실의 총 길이, 나선실의 총 길이 및 거미그물의 넓이를 계산한다(S16). 이는, 모델링한 거미그물을 실제 제작하기 편하게 적용하기 위해서이다.
나) 교점 좌표를 구하기 위한 프로그램의 헤더 파일(header file)
#ifndef SPIDERWEB_H_
#define SPIDERWEB_H_
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>
#const double PI=3.14159265359 ;
#const int RADIUSBUF= 100 ; // 방사실 배열 개수 지정
#const int SPIRALBUF= 100 ; // 나선실 배열 개수 지정
////// class Radius 방사실관련 클래스
class Radius {
private:
double theta[RADIUSBUF]; // 방사선 각도 구하기
protected:
double slp[RADIUSBUF]; // 방사선의 기울기
int quad[RADIUSBUF]; // 방사선이 속한 분면
int Rcount; //방사선의갯수
public:
Radius();
Radius(int Rcnt); // 생성자
void ThetaCmpt(); // 방사선의 각도 구하기
void SlpCmpt(); // 방사선의 기울기값 구하기
};
////// class Ellipse 타원방정식관련 클래스
class Ellipse {
private:
double a_diff, b_diff; // 타원의 장축길이의 차이, 단축길이의 차이
protected:
double a_begin, b_begin, a_end, b_end; // 타원의 장축a(바퀴통 가장바깥쪽 // a_end)
int Ecount; //나선실의 갯수
double a[SPIRALBUF]; // 타원의 장축길이 배열
double b[SPIRALBUF];
double eangle; // 타원의 장축의 기울기
public:
Ellipse();
Ellipse(double a_b,double b_b,double a_e,double b_e,int Ecnt,double etheta);
void DiffCmpt();
void abCmpt();
};
////// class Intersection 교점의 x, y 좌표 구하는 클래스
class Intersection : public Radius, public Ellipse {
public:
double inter[SPIRALBUF][RADIUSBUF][2];
double etheta;
public:
Intersection();
Intersection(int Rcnt,int Ecnt, double a_b, double b_b,
double a_e, double b_e, double etheta);
double xIntersection(double rslp, int rquad, double ea, double eb, double etheta ); //교점의 x좌표 구하기
double yIntersection(double rslp, double x);//교점의 y좌표 구하기
void xyCmpt(); //교점의 xy좌표 구하기
};
////// class InputData 자료 입력 처리하는 클래스
class InputData {
public:
int Rcnt;
int Ecnt;
double a_b;
double b_b;
double a_e;
double b_e;
double angle;
double Adj,a,b; // adj → 화면표시조정비율
public:
InputData();
InputData(int Rcount, int Ecount, double a_beg,double b_beg,
double a_end, double b_end,double slope);
};
#endif
다) 모델링 사례
먼저, 교점좌표를 구하기 위한 데이터 입력 자료는 아래 표 6으로 나타낸다.
Figure 112007003428570-PAT00015
상기 데이터 값을 통해 구한 교점 좌표값은 아래 표 7에 나타나 있다.
Figure 112007003428570-PAT00016
상기 표 7에 나타난 좌표들을 이용하여 컴퓨터상에서 모델링되는 상태가 도 18a 내지 도 18d에 나타나 있다. 도 18a는 표 7에서의 교점 좌표값을 이용하여 방사실의 교점을 연결하여 방사실을 그린 도면이고, 도 18b 및 도 18c는 표 7에서의 교점 좌표값을 이용하여 나선실의 교점을 연결하여 타원을 그린 도면이다. 도 18d는 입력 데이터 값에 따라 모델링된 거미그물과 최종 방사실 길이, 나선실 길이 거미그물넓이 값을 나타낸 도면이다.
2) 방사실 식과 나선식(Spiral)을 이용한 거미그물 모델링
가) 나선형 거미그물 모델링을 위한 순서도
도 19는 본 발명의 또 다른 실시예에 따른 방사실 식과 나선식을 이용한 거미그물을 모델링하기 위한 방법을 나타낸 순서도이다.
참고로, 본 순서도에서 설명하는 함수식은 앞서 거미그물의 수학적 표현부분에서 자세히 설명하였기 때문에 그 자세한 설명은 생략하기로 한다.
도 19를 참조하면, 먼저, 모델링 하고자 하는 거미그물의 방사실 수, 나선이 감기는 방향(시계방향/반시계방향), 좌우확장비율, 상하확장비율, 나선실의 감긴 횟수, 회전 이동 각도(X축 기준) 등 모델링 대상의 데이터 값을 입력한다(S20). 상기 데이터 값들은 모델링하고자 하는 거미그물의 크기, 모양 등을 고려하여 설계자가 자유롭게 입력할 수 있다. 도 20은 나선형 거미그물 모델링을 위한 데이터 값이 입력되는 화면을 나타낸 도면이다.
상기 입력한 데이터 값에 기초하여 방사실의 수만큼 각각의 방사실 식을 구한다(S21).
또한, 상기 입력한 데이터 값에 기초하여 매개변수 방정식을 이용한 나선 식을 구한다(S22).
상기 방사실 식들과 상기 나선 식을 이용하여 각각의 방사실과 각각의 나선실의 교점 좌표값(X, Y)을 모두 구한다(S23).
위에서 구한 교점 좌표값을 이용하여 각각의 방사실의 교점을 연결하여 방사실을 그린다(S24).
위에서 구한 교점 좌표값을 이용하여 나선 식으로 표현된 나선실의 교점을 연결하여 나선실을 그린다(S25).
위와 같은 순서에 따라 입력 데이터 값에 기초한 나선형 거미그물이 모델링된다.
마지막으로, 방사실의 총 길이, 나선실의 총 길이, 거미그물의 넓이 및 중심- 끝거리(나선이 끝나는 점-나선이 시작하는 점)를 계산한다(S16). 이는, 모델링한 거미그물을 실제 제작하기 편하게 적용하기 위해서이다.
나) 교점좌표를 구하기 위한 프로그램의 헤더 파일(header file)
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <afx.h>
#ifndef SPIRAL_H_
#define SPIRAL_H_
const double PI = 3.14159265359;
class CSpiral
{
private:
int Direction; // 시계 방향 1 , 반시계 방향 2 , 그리기 마침 0
double a_sp; // 나선실의 좌우확장값(기본값= 1)
double b_sp; // 나선실의 상하확장값(기본값= 1)
double theta_sl; // 나선실의 X축에대한 기울기
public:
int Rcount; // 방사실 갯수
int n_sp; // 나선실의 감긴 횟수
double intersections_sp[100][100][2]; //교점을 배열로 저장
double adj1; //화면에 맞추어 크기 조정하는 계수
public:
CSpiral();
CSpiral(int rcnt, int dire, double a, double b, int ns, double theta);
void CmptInter(void); // 교점 좌표 구하는 함수
~CSpiral(void);
void Input(int rcnt, int dire, double a, double b, int ns, double theta); // 자료 입력
};
#endif
다) 모델링 실례
먼저, 교점 좌표를 구하기 위한 데이터 입력 자료는 아래 표 8으로 나타낸다.
Figure 112007003428570-PAT00017
상기 데이터 값을 통해 구한 교점 좌표값은 아래 표 9에 나타나 있다.
Figure 112007003428570-PAT00018
상기 표 9에 나타난 좌표들을 이용하여 컴퓨터상에서 모델링되는 상태가 도 21a 내지 도 21d에 나타나 있다. 도 21a는 표 9에서의 교점 좌표값을 이용하여 방사실의 교점을 연결하여 방사실을 그린 도면이고, 도 21b 및 도 21c는 표 9에서의 교점 좌표값을 이용하여 나선실의 교점을 연결하여 나선을 그린 도면이다. 도 21d는 입력 데이터 값에 따라 모델링된 거미그물과 최종 방사실 길이, 나선실 길이 거미그물넓이 값 및 중심-끝 거리값을 나타낸 도면이다.
위와 같이, 본 발명의 실시예에 따르면 실제 거미그물을 이용하여 방사실 및 나선실을 수학적으로 함수화 하고 이를 컴퓨터 프로그래밍으로 구현하여 원하는 거미그물을 모델링할 수 있다.
다음은 실제 거미그물의 데이터 입력값을 구하고, 이를 컴퓨터로 모델링한 거미그물이 실제 거미그물과 얼마나 유사한지 살펴보기로 한다.
도 22는 거미그물을 컴퓨터 모델링하기 위해 입력 데이터 값을 추출하기 위한 실제 거미그물의 도면이다.
먼저, 방사실 식과 타원방정식을 이용한 거미그물을 모델링하기 위해 도 22에 도시된 실제 거미그물의 방사실 수, 나선실 수 등 입력 데이터 값을 구한다. 이렇게 구한 입력 데이터 값은 표 10에 나타나 있다.
Figure 112007003428570-PAT00019
상기 표 10의 입력 데이터 값을 입력한 모델링 결과는 도 23에 나타난다.
도 23은 실제 거미그물에서 추출한 입력 데이터 값을 이용하여 타원형 거미그물을 모델링한 도면이다. 도 23에서 도시된 바와 같이, 실제 거미그물과 거의 유사함을 알 수 있다.
다음, 방사실 식과 나선식을 이용한 거미그물을 모델링하기 위해 도 22에 도시된 실제 거미그물의 방사실 수, 감기는 방향 등 입력 데이터 값을 구한다. 이렇게 구한 입력 데이터 값은 표 11에 나타나 있다.
Figure 112007003428570-PAT00020
상기 표 11의 입력 데이터 값을 입력한 모델링 결과는 도 24에 나타난다.
도 24는 실제 거미그물에서 추출한 입력 데이터 값을 이용하여 나선형 거미그물을 모델링한 도면이다. 도 24에서 도시된 바와 같이, 실제 거미그물과 거의 유사함을 알 수 있다.
위와 같이, 컴퓨터 모델링이 가능한 거미그물은 실제 거미그물과 거의 유사하게 모델링되기 때문에 탄력성과 안정성이 요구되는 실생활에 응용가능할 것이다. 그 중 배드민턴 라켓의 줄을 거미그물로 모델링하여 실제 적용해 보기로 한다.
도 25는 타원방정식을 이용한 거미그물 모델링을 적용할 배드민턴 라켓의 도면이다.
도 25에 도시된 배드민턴 라켓의 머리 부분은 가로 23cm, 세로 18.5cm로서 이를 기초로 거미그물을 모델링할 입력 데이터 값을 표 12에 나타내었다.
Figure 112007003428570-PAT00021
상기 표 12에 기록된 입력 데이터 값을 타원방정식을 이용한 거미그물 컴퓨터 프로그램에 입력하면, 도 26과 같은 타원형 거미그물이 모델링된다.
도 26에 모델링된 거미그물을 도 25에 도시된 배드민턴 라켓에 실제 적용한 배드민턴 라켓은 도 27에 도시되었다.
도 28은 나선식을 이용한 거미그물 모델링을 적용할 배드민턴 라켓의 도면이다.
도 28에 도시된 배드민턴 라켓의 머리 부분은 가로 23cm, 세로 18.5cm로서 이를 기초로 거미그물을 모델링할 입력 데이터 값을 표 13에 나타내었다.
Figure 112007003428570-PAT00022
상기 표 13에 기록된 입력 데이터 값을 나선식을 이용한 거미그물 컴퓨터 프로그램에 입력하면, 도 29와 같은 나선형 거미그물이 모델링된다.
도 29에 모델링된 거미그물을 도 28에 도시된 배드민턴 라켓에 실제 적용한 배드민턴 라켓은 도 30에 도시되었다.
따라서, 일반적인 배드민턴 라켓보다 본 발명의 실시예에 따라 제작한 거미그물을 이용한 배드민턴 라켓이 탄력성과 견고함에서 우수한 것으로 나타났다.
본 발명은 거미그물의 모델링을 위해 거미그물의 방사실과 나선실을 수학적 으로 접근함으로써 방사실과 타원의 교점을 연결하는 타원형 거미그물과 방사실과 나선의 교점을 연결하는 나선형 거미그물을 모델링하고, 상기 함수식을 기초로 거미그물을 컴퓨터 프로그래밍을 이용하여 모델링 함으로써 설계자가 원하는 어떠한 모양, 크기의 거미그물도 모델링 할 수 있다는 효과가 있다.
또한, 본 발명은 안전하고 탄력적인 거미그물 모델링을 이용하여 안전망, 테니스와 배드민턴 라켓, 큰 건물의 기초공사, 도로망과 운동기구 등의 실생활에 용이하게 적용할 수 있다는 효과가 있다.

Claims (4)

  1. 컴퓨터 프로그래밍을 이용한 타원형 거미그물 구조 모델링 방법에 있어서,
    (a) 모델링 하고자 하는 거미그물의 방사실 수, 나선실 수, 바퀴통 장축, 바퀴통 단축, 최외곽타원 장축, 최외곽타원 단축 및 장축의 기울기(X축 기준) 등 모델링 대상의 데이터 값을 입력하는 단계;
    (b) 상기 입력한 데이터 값에 기초하여 상기 방사실의 수만큼 각각의 방사실 식과 상기 나선실의 수만큼 각각의 타원방정식을 구하는 단계;
    (c) 상기 방사실 식들과 상기 타원 방정식들을 이용하여 각각의 방사실과 각각의 타원의 교점 좌표값을 구하는 단계; 및
    (d) 상기 교점 좌표값을 이용하여 방사실의 교점을 연결하여 각각의 방사실을 그리고, 타원형태의 나선실의 교점을 연결하여 각각의 나선실을 그리는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 거미그물 구조 모델링 방법.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 (d) 단계 이후에,
    완성된 거미그물 구조의 방사실의 총 길이, 나선실의 총 길이 및 거미그물의 넓이를 계산하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 거미그물 구조 모델링 방법.
  3. 컴퓨터 프로그래밍을 이용한 나선형 거미그물 구조 모델링 방법에 있어서,
    (a) 모델링 하고자 하는 거미그물의 방사실 수, 나선이 감기는 방향(시계방향/반시계방향), 좌우확장비율, 상하확장비율, 나선실의 감긴 횟수, 회전 이동 각도(X축 기준) 등 모델링 대상의 데이터 값을 입력하는 단계;
    (b) 상기 입력한 데이터 값에 기초하여 방사실의 수만큼 각각의 방사실 식과 매개변수 방정식을 이용한 나선식을 구하는 단계;
    (c) 상기 방사실 식들과 상기 나선식을 이용하여 각각의 방사실과 각각의 나선실의 교점 좌표값을 구하는 단계; 및
    (d) 상기 교점 좌표값을 이용하여 각각의 방사실의 교점을 연결하여 방사실을 그리고, 나선식으로 표현된 각각의 나선실의 교점을 연결하여 나선실을 그리는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 거미그물 구조 모델링 방법.
  4. 제 3 항에 있어서,
    상기 (d) 단계 이후에,
    완성된 거미그물 구조의 방사실의 총 길이, 나선실의 총 길이, 거미그물의 넓이 및 중심- 끝거리(나선이 끝나는 점-나선이 시작하는 점)를 계산하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 거미그물 구조 모델링 방법.
KR1020070003909A 2007-01-12 2007-01-12 컴퓨터 프로그래밍을 이용한 거미그물 구조 모델링 방법 KR20080066443A (ko)

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