JPH0429021A - 温度計算法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は内部に多数の発熱源をもち、境界条件が温度規
定、あるいは、熱流束規定、あるいは両者の混合したも
ので与えられる熱伝導問題の温度分布解析の計算法に係
り、特に、半導体集積回路装置でチップ内部の発熱分布
、あるいは、チップを多数搭載したモジュール内のチッ
プごとの発熱量が多様に変化する場合や、境界温度、境
界熱流束が種々に変化する場合に対して、効率良く所定
の位置の温度分布を計算する場合に好適な温度計算法に
関する。

〔従来の技術〕

半導体集積回路装置のように内部に多数の発熱源を持つ
系の温度分布予測は、従来、有限要素法を用いたり、等
価熱抵抗回路網を用いて行われてきた（　Ｉ　Ｂ　Ｍ　
　Ｊ、Ｒｅｓ、ＤｅＶｅｌｏｐ、、νＯ（＋、２６．Ｎ
（１１゜ｐ、５５−５６）。また、発熱源の発熱量にば
らつきがある場合には、等価熱回路網を用い、多数の発
熱源の発熱量に対してモンテカルロ法により、温度の期
待値とばらつきを求めることが行われている（Ｅｌｅｃ
ｔｒｏｎｉｃ　Ｐａｃｋａｇｉｎｇ　ａｎｄ　Ｐｒｏｄ
ｕｃｔｉｏｎ。

ｖｏＱ　１９．Ｎｎ３．Ｐ　ｐ、５５−６２）。一方、
構造力学を中心に、ばらつきや不確かさを含んで不確定
構造の解析のために感度解析、あるいは、確率有限要素
法といった手法も提唱されてきている（確率有限要素法
入門、培風館、ｌ　９８５）。

〔発明が解決しようとする課題〕

近年、チップの発熱量が増大し、回路特性を保証する上
でチップの温度管理が非常に重要な課題となってきた。

さらに、モジュールの構成材料の温度分布を詳細に求め
、熱応力を評価することも、強度信頼性を確保する上で
不可欠となってきている。モジュール内に発熱量が互い
に相異なる数種類のチップを配列する実装方式が採用さ
れるなど。

実装方式も複雑化してきており、多様な実装形態に対し
てモジュール内のチップ温度を詳細に知ることが熱設計
を行う上で非常に重要となってきている。従来、これら
の問題に対処するには、チップ、あるいは、モジュール
を要素分割したり、等価熱抵抗回路網に組んで、境界条
件や、チップの発熱量分布を与えて、計算を行ってきた
。熱解析の信頼化を図るには、多様な境界条件と発熱量
について計算する必要があるが、従来の方法では境界条
件や、発熱量の組合せについて、いちいち大規模の逆行
列演算、あるいは、反復法を主とじた計算を行わなけれ
ばならず、大量の時間ならびに費用がかかるという欠点
があった。

また解に対して必要な精度を確保するには、詳細な有限
要素、あるいは、差分分割を行う必要があるが、通常計
算機の記憶容量や計算時間の制限により、実用的に使用
できる分割数の上限が存在する。このような場合、計算
領域を実用的に計算可能なより小さな領域に分割する方
法が考えられる。しかるに、この方法では、新たに生じ
た境界面での境界条件は一般に明確ではなく、温度と熱
流束の連続性を確保するのが困難である。

本発明の目的は、チップやモジュールなどの半導体集積
回路装置を対象として、発熱量分布、境界温度、あるい
は、境界熱流束が多様に変化する場合の熱伝導問題の温
度分布を効率良く計算する計算方式を提供することにあ
る。

また、本発明の他の目的は、大規模な有限要素分割、あ
るいは、差分分割、もしくは等価熱抵抗回路網の計算を
行う場合に、計算領域をいくつかのより小さい領域に分
割し、かつ、分割によって生じた境界面での温度と熱流
束の連続性を保証した温度分溜を求めるのに、効率の良
い計算法を提供することにある。

〔課題を解決するための手段〕

本発明は、上記目的を達成するために、熱伝導方程式で
記述される系に対して、有限要素法や差分法、あるいは
等価熱抵抗回路網による分割を形成し、節点における温
度について、発熱量と境界条件をパラメータとして連立
−次方程式を構成し。

この方程式よりパラメータに関する温度の変化率ベクト
ルを求め、温度がその変化率ベクトルとパラメータから
なるベクトルの内積により厳密に表されることを用いて
、種々のパラータに対して温度分布を計算することを特
徴としている。さらに、本発明は、より一層の計算効率
化を達成するために、全体の温度を解くことなく、特定
の位置の温度のみを求める手段を提供することを特徴と
している。また、本発明は、大規模な要素分割を行い、
実用的な計算時間と記憶容量で処理できない場合、計算
領域をいくつかの計算可能な大きさのより小さな領域に
分割し、それによって生じた新たな境界面における熱流
束に対する境界面上の温度の変化率を求め、その熱流束
ベクトルと温度の変化率のベクトルとの内積より求めら
れる境界面上の温度が、それぞれの境界で等しいという
条件を用いて、熱流束を決定し、必要な位置の温度を求
めることを特徴とする。

〔作用〕

これにより、多様に変化する発熱量や境界条件が与えら
れる熱伝導問題の温度分布に対して、必要な位置の温度
のみを効率的に求めることができ、計算時間ならびに経
費が大幅に節減でき、また、従来実用的には計算が困難
な大規模な節点数を持つ問題に対しても解析が可能とな
る。

〔実施例〕

以下、本発明の実施例を図を用いて説明する。

第１図は一実施例の温度分布計算の流れ図である。

第２図は、第二の実施例の領域分割による温度計算法の
流れ図である。第３図は本発明の計算対象とする半導体
集積回路モジュールの横断面図の−例である。第４図は
第３図の要素分割例である。

第５図は境界条件、内部発熱の例、第６図は第３図の熱
抵抗回路網の一例である。第７図ないし第９図は本発明
の一実施例の効率化を例示した図である。さらに、第１
０図は第２図相当の領域分割による温度計算法の説明図
であり、第１１図は領域分割の具体例である。

さて、第３図において、１は半導体集積回路を形成した
チップであり、半田粒２によりモジュール基板３上に多
数実装されている。４はチップ背面に接続した伝熱素子
であり、チップからの発熱をモジュールキャップ５．さ
らに、冷却体６に輸送するためのものである。７はモジ
ュール側壁部、８はＩＯピンでありモジュール基板をさ
らにプリント基板に電気的および機械的に接続する。第
４図は本発明を実装するために行った有限要素分割の一
例であり、全体を適当な大きさの要素１１に分割し、各
節点１２の温度１４を求めるためのものである。このよ
うにして形成された節点上の未知温度の個数をＮとする
と、良く知られているように熱伝導方程式より未知温度
について次の連立−次方程式が得られる。

［ＫＩｋ］［ＴＪコ＝［Ｂ４コ　　　　　　　　　　　
　　　　　　　・・・（１）ただし［ＫＩｋ］は剛性マ
トリクス、［Ｔａｌは未知温度ベクトル、［Ｂ、］は荷
重ヘクトルである。剛性マトリクスの成分Ｋ　Ｉ　Ｊは
構成材料の熱伝導率、および節点間距離によって決定さ
れる。また、荷重ベクトルの成分Ｂ、は、第５図に示し
た境界条件となる規定境界温度Ｔｂ、露、Ｂ＝ｏ、　Ｑ
ｂ）１５、規定境界熱流束ｑｂ、、（ｍ＝ｏ、ｍｂ）１
６およびチップの発熱量Ｑｎ（ｎ＝ｏ、ｎ　ｃ）１７の
関数となる。ただし、Ｑｂ、ｍｂ、ｎｃはそれぞれ規定
境界温度、規定境界熱流束、および、チップなどの内部
発熱体の数である。モジュールの寸法形状や、構成材料
が定まっているとき、未知温度Ｔ、１４は規定境界温度
、規定境界熱流束、および、発熱体の発熱量の合計ｋｂ
＝Ｑｂ＋ｍｂ＋ｎｃ個の量によって一意的に決定される
。これらの量をまとめてパラメータＰｋ＝（Ｔｂ、史・
’Ｔ　ｈｅｌｌｒＱｎ）と置く。パラメータＰｋに対す
る未知温度ＴＪ（１）変化率、すなわち、感度（ａ　Ｔ
　Ｊ／　ａ　Ｐ　ｋ）を考える。ＴＪ　を基準値ＴＪ０
の周りでＰｉ、に関してＴａｙｌｏｒ展開することによ
り次式が得られる。

ここに、Ｈ２Ｃ，Ｔ、は二次以上の微分項をまとめたも
のであり、ＰｋＯはＴ　Ｊ　＝　Ｔ　Ｊ　Ｏを与えるパ
ラメータの分布である。式（２）はパラメータの変化に
よって引き起こされる温度の変化を記述しており、構造
力学で感度解析、あるいは、確率有限要素法の一つとし
て知られている（確率有限要素法入門。

培風館、１９８５、ｐ、２３）。

さて、熱伝導問題に対する式（１）を参照すれば、パラ
メータＰｈ　を式（５）に限定する場合には式（２）の
Ｈ，Ｏ，Ｔ、はＯとなり、従来用いられてきた式（２）
に代わって次式が厳密に成立することが容易に証明でき
る。

Ｐｈ すなわち、予め感度＜ａ’ｌ／ａＰｋ）を計算しておく
ことにより、任意のパラメータＰｋの分布に対して式（
３）により簡便に温度Ｔ４を求める。

次に、この感度の計算法について説明する。式（３）中
の感度（ａ　ＴＪ／　ａ　Ｐｋ）を式（］）　ヲ偏微分
することによって次式のように求められる。

［ａ　　Ｔ　、＋　／　ａ　　Ｐ　ｋ］　＝　［Ｌ　１
−コ［ａ　　Ｂ　ｌ／　ａ　　ｐｈｌ−（Ｕここに［Ｌ
ＩＪ］＝［ＫＩＪ］−”は剛性マトリクスの逆行列であ
り、ＥａＢ＋／ａＰｈ］は感度に対する荷重マトリクス
である。

［Ｋ＋ａ］−”は式（１）からも明らかなように温度分
布を求める際の通常の解法で表れる行列演算であり、Ｌ
Ｕ分解等の良く知られた解法を用いて簡便に求めること
ができる。この演算はＮ３のオーダの演算量を必要とす
るが、−度［Ｌ　Ｉ　Ｊ　］を求めておけば式（４）よ
り感度（ａＴ、／ａＰｋ）は［ＬＩＪコの行ベクトルと
感度に対する荷重ベクトル（列ベクトル）の積和計算の
みで求められ、その演算量はＮのオーダであるため、多
数のパラメータについて行う場合も簡便に計算できる。

また１式（３）より明らかなように、温度Ｔｊもパラメ
ータの個数分の積和計算のみで求められ、式（１）を、
直接、解くことに比べて計算量は大幅に減少するのは明
らかである。さて、一般に熱設計でパラメータを種々変
化させて検討する場合、全ての点の温度を知る必要は少
なく、特定位置の温度のみわかれば十分であることが多
い。この場合、感度＜ａ　Ｔ＋／ａＰｋ）はｎｊ＜Ｎな
るｎｊ個の温度についてのみ求めておけば良く、計算は
さらに効率化される。

このために［Ｌｉａ］の対応する行ベクトルのみを保存
しておいてもよい。

１０１は要素分割を行うステップである。要素分割はモ
ジュールの構造に従い、温度分布が十分に把握できるよ
うに、かつ、計算機の記憶容量の実用的制限に基づいて
分割すれば良い。第４図は具体的な分割例である。１０
２は剛性マトリクス［ＫＩＪ］を作成するステップであ
り、式（１）の剛性マトリクスを作成する。これは通常
知られた有限要素法の手順に従えばよい。１０３は感度
に対する荷重マトリクス［ａＢＩ／ａＰｋ］を作成する
ステップである。感度に対する荷重マトリクスは、有限
要素法の残差式において、内部発熱量の体積積分項、規
定境界熱流束の表面積分項、および、剛性マトリクスで
規定境界温度を分離した項をパラメータで偏微分したも
のであり、未知数を痔に含まない形で与えられる。こ九
は、例えば、式（１）の温度に対する荷重ペクトを作成
する通常の手法と同様の手順で作成すればよい。１０４
は感度を計算するステップである。この計算は式（４）
に基づき、剛性マトリクスの逆行列［ＬＩＪ］にステッ
プ１０３で求めた感度に対する荷重ベクトルを乗じて求
めれば良い。［ＬＩＪ］を求めるには、既に述べたよう
に、ＬＵ分解などいくつかの良く知られた方法が用いら
れる。なお、特定の位置の感度のみを求める場合には、
その位置に対する［ＬＩＪ］の行ベクトルを予め選択し
ておき、それらについてのみ式（４）の計算を行えばよ
い。１０５は感度を記録、あるいは、保存するステップ
である。ここでは前のステップで求めた感度をディスク
ファイル等に出力して保存する。なお、感度を保存して
おく必要のない場合は、このステップは省略することが
できる。１０６はパラメータを読み込むためのステップ
であり、内部発熱量の分布、規定境界温度、規定境界熱
流束の分布を入力する。１０７は温度計算のステップで
あり、式（３）を用いて感度から温度を計算する。つい
で１０８は計算結果を出力するステップであり、温度の
計算結果を数値的、あるいは、グラフインク処理してデ
イスプレィ１１１．プリンタ１１２等に出力する。なお
、計算ステップで、１０１から感度を求める１０５の処
理と、温度を計算する１０６，１０７のステップとを切
り離して実行してもよい。この場合、１０７の処理のた
めに必要に応じて１１０のファイルから１１３により感
度を読み込めばよい。

なお、以上の例では有限要素法を用いた場合について説
明を行ったが、差分法、あるいは第６図に示したように
、等伝熱抵抗１．９を用いた熱抵抗回路網を用いても同
様に成立する。

第７図ないし第９図はモジュールの温度分布解析に対し
て本発明を適用した場合の具体的な効率向上を示したも
のである。パラメータとしてチップの発熱量を用い、Ｗ
個の発熱量分布について計算しており、節点数は約−万
である。第７図は従来法による計算時間３１、第８図は
計算時間３２の実測値である。なお、計算時間は、従来
法による計算時間で無次元化して示した。第９図は計算
の個数（異なった発熱量の分布の数）Ｗと、計算時間３
１と３２の比Ｅ３３の関係を示したものである。二個以
上の計算の行う場合、従来の手法に比へてニないし二十
倍の効率化が達成されており、本手法の有効性は明らか
である。

さて、解析の規模が非常に大きく、従って、節点数Ｎか
非常１．−大きく、計算機の記憶容量、演算速度の制限
から剛性マトリクスの逆行列演算が困難になり、式（１
）より温度分布を求めたり、上述した方法が使えない場
合がある。そのような場合に全体領域をいくつかの部分
領域に分割し、個々の領域での解を接続して全体の解を
求める方法が考えられる。以下、この方法について第２
図、第１０図、第１１図を用いて詳細に説明する。第１
０図は第２図相当の温度計算法の概念を示したものであ
る。図では一例として、全体２００を二つの部分領域、
Ａ（記号２０１）、Ｂ（記号２０２）に分ける場合を示
しである。２１は分割によって生じた分割面Ωである。

Ω上の節点における未知温度をＴｒ　（ｒ＝１．ｒｌ）
（記号２２）、要素表面上の熱流束をｑｓ（ｓ＝１，５
ｌ）（記号２３）とする。式（３）を各部分領域に適用
することにより、次式が得られる。

（領域Ａについて） （領域Ｂについて） ただし、Ａｒ、＾、Ａｒ、ａは、それぞれ、領域Ａ。

Ｂにおける規定境界温度２５１，２５２、規定境界熱流
束２６１，２６２、ならびに内部発熱量２７１．２７２
がＴｒに及ぼす寄与をまとめたものである。境界面Ω上
で温度ならびに熱流束が等しいため、式（５）　（６）
よりｑｓに関して次の連立−次方程式が得られる。

［Ｄ　ｒ　　ｓ］［ｑ　　Ｓコニ［Ｅ　　ｒ］　　　　
　　　　　　　　−（７）ここに、Ｄｒｓ、Ｅｒはそれ
ぞれ次の関数形で表される。

Ｅｒ＝ｆ　ｎ（Ａｒ＋／ｎ　Ａｒ、Ｂ、　Ａｒ０＋＾、
Ａｒ０ｔＢ＋　ｑＳ＋Ａ＋　ｑｓ、ｓ）・・（９） ただし［ａＴ　ｒ／　ａ　ｑ　Ｓ］ＡＩ　［ａ　Ｔ　ｒ
／δｑｓ］Ｂはそれぞれ領域Ａ、Ｂて評価したｑｓに対
するＴｒの感度である。式（７）を解くことによりｑｓ
が計算される。

［Ｄｒｓ］行列の要素数はΩ上の有限要素分割数に等し
く、領域分割を行わないとして式（１）を解く場合に比
べて扱う行列の要素数は著しく小さい。

−例として、直方体領域を５０Ｘ５０Ｘ４０＝１０５に
有限要素分割する場合を考える。式（１）を直接的に解
こうとすると、約１０５の要素からなるマトリクスの行
列演算を行わねばならない。

しかるに、第１１図に示すように、これを２５Ｘ５０ｘ
４０＝５ｘｌＯ’の二つの領域に分割すると分割面Ω上
の要素数は５０Ｘ４０＝２０００にすぎず、式（７）よ
り簡便にｑｓが求められる。

ｑｓが確定すれば、一実施例の方法に基づき、特定の位
置の温度が求められる。あるいは、部分領域は既に式（
１）を直接的に解ける規模にまで縮小していることを利
用すれば、ｑｓの値と従来知られている手法を用いて、
温度分布が求まることは明らかである。なお、この説明
は領域を二つの部分領域に分割した場合について示した
が、三つ以上に分割する場合も同様である。第２図は第
二の実施例の流れ図である。ここにおいて、３０１は全
領域を有限要素分割するステップ、３０２は部分領域に
分割するステップ、３０３は個々の部分領域について、
式（５）、あるいは、（６）で用いられる規定境界温度
、規定境界熱流束、内部発熱量。

および１分割面上の熱流束に対する分割面上温度の感度
を計算するステップである。３０４は特定の位置の温度
のみを求める場合に、規定境界温度。

規定境界熱流束、内部発熱量、および、分割面上の熱流
束に対するその特定位置の温度の感度を求めるステップ
であるさらに、３０５はそれぞれの分割面上で、温度な
らびに熱流束が等しい条件から、分割面上の熱流束を求
めるステップ、３０６は３０５で得られた分割面上の熱
流束を用いて領域全体、あるいは、ステップ３０４て求
めた感度を利用して特定位置の温度を計算するためのス
テップである。最後に３０７は温度、あるいは、感度を
出力するステップである。このようにして、通常計算か
困難な程度の大規模な熱伝導問題に対しても、本発明に
より解析可能であることが示される。

なお、本発明に係る式（２）において、パラメータとし
て構成材料の熱伝導率を選へば、半導体集積回路装置に
使用されている材料のばらつきや不確かさに起因する温
度のばらつきの程度や不確かさの範囲を推定することが
できる。この方法を用いれば、構成材料の熱伝導率が不
明確であったり、電子回路の微細構造、あるいは、複雑
さによって熱伝導率が不確定であるような場合、温度の
予測精度の信頼性を検討する上で、非常に有効な手段を
提供できるのは明らかである。さらに、チップの発熱量
や境界条件に不確かさやばらつきがある場合も、同様に
して式（３）よりそれらに起因する温度の不確かさやば
らつきを評価することができる。これらのことは、従来
の感度解析で提唱されてきたのと同様であるが、従来用
いられてきた式（２）では温度の不確かさやばらつきの
評価の高次微分項の項響が含まれていたのに比べ、本発
明による式（３）に従えば高次微分項の影響が除かれる
ため、温度のばらつきや不確かさが確定的に評価できる
という優れた特徴がある。このように本発明によれば、
従来の感度解析手法の利点を保存したまま、大幅な計算
の効率化を実現できることが明らかである。また５ここ
では半導体集積回路装置を対象として説明を行ったが、
モジュール以外にも内部の回路に複雑な発熱分布を有す
る単一のチップ、さらに半導体集積回路装置以外であっ
ても同様の熱伝導問題に対して適用できることは言うま
でもない。

〔発明の効果〕

本発明によれば、規定境界温度、規定境界熱流束、内部
発熱量が多様に変化する熱伝導問題に対して、全体の温
度分布を解くことなしに、必要な位置の温度のみを非常
に効率よく求めることができ、熱設計の効率化が図れる
。また従来の方法では解を求めるのが困難な程度の大規
模な問題に対しても、解析可能な程度の部分領域に分割
し、上述した方法を適用することにより、高精度の解析
が効率良く行える。これらにより、計算時間、費用の大
幅な削減が達成される。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例の温度分布計算のフローチャ
ート、第２図は本発明の第二の実施例の領域分割による
温度計算法のフローチャート、第３図は本発明を適用す
る主な対象である半導体集積回路モジュールの横断面図
、第４図は第３図の有限要素分割例の説明図、第５図は
境界条件、内部発熱の例の説明図、第６図は第３図の熱
抵抗回路網の一例の説明図、第７図ないし第９図は本発
明の計算効率化の一例の説明図、第１０図は、第２図相
当の領域分割による温度計算法の説明図、第１１図は具
体的な領域分割例の説明図である。 １・半導体集積回路チップ、２・・・半田粒、３・・モ
ジュール基板、４・・伝熱素子、５・・・モジュールキ
ャップ、６・・・冷却体、７・・・モジュール側壁部、
８・・ＩＯピン。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、内部に発熱源をもち、外部境界条件が温度規定、あ
   るいは熱流束規定、あるいは両者の混合したもので与え
   られる熱伝導問題を対象とした有限要素法、差分法、あ
   るいは、熱抵抗回路網による温度分布解析において、 前記内部発熱源の発熱量、前記外部境界における境界温
   度、あるいは境界熱流束に対する温度の変化率を用いる
   ことにより、任意の発熱量、境界温度、境界熱流束に対
   して、温度分布を求めることを特徴とする温度計算法。