JP7430127B2 - 予測装置、予測方法、及びプログラム - Google Patents

Description

本開示は、予測装置、予測方法、及びプログラムに関する。

電力事業、そして、ガス事業等のエネルギー事業分野、通信事業分野、タクシー、そして、配送業等の運送事業分野では、消費者の需要に合わせて設備を稼働させること、さらに、資源を配分するために将来の需要量を予測することが行われている。将来の需要量の予測には，予測対象の数値モデル（予測モデル）が使われる。

しかしながら、予測対象の特性は一定ではなく、経時的に変動する。したがって、ある時点で定めた数値モデルを使って算出した予測値と、実際に観測された値との間には乖離が生じてしまう。乖離を小さくする、すなわち予測の精度を向上するには、予測モデルを時間の経過と共に更新することが重要である（例えば、特許文献１を参照）。

予測モデルの更新は、過去の実際の観測値に基づいて行われる。予測モデルの更新に使うデータは、実用上は、より少ないことが望まれる。少ないデータでモデルを更新することができれば、予測対象の特性が短期間のうちに変動したとしても、予測モデルで変動を捕えることができるからである。例えば、予測対象の特性が、１０分間かけて変動したとしよう。このとき、過去１分間分の観測値からモデル更新できるなら、変動に合わせて予測モデルを更新することができる。しかし、モデル更新に過去６０分間分の観測値が要るなら、予測モデルが更新できるのは、予測対象の変動が済んで何十分も経った後である。そうすると、予測は現実と違ったものとなり、役に立たない可能性がある。

最近、少ないデータで予測を可能とする技術として、カーネル型システム同定法が注目されている（例えば、非特許文献１及び非特許文献２を参照）。同定とは予測モデルを推定する技術であり、カーネル型システム同定法では、対象のインパルス応答をベイズ推定により同定する。すなわち、まず、予測対象の入力信号をｕ_ｉ（ｉ＝ｔ，ｔ－１，ｔ－２，…）、出力信号をｙ_ｉ（ｉ＝ｔ，ｔ－１，ｔ－２，…）とすると、出力ｙを、入力ｕの荷重付きの移動平均と、計測雑音との和で表現する。荷重付きの移動平均の荷重係数｛ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｎ｝（以下、「第１係数」とも記載する。）は、予測対象の有限インパルス応答を有限長ｎで打ち切って近似したものに相当する。予測対象の入力をインパルス的に変えてその応答を正確に取得できれば、それが第１係数の値となる。しかしながら、例えば発電所の出力をインパルス的に変えると電力系統に対する擾乱となるので、実行は難しい。したがって、入力と出力の計測値から第１係数を推定する、すなわち同定することにはやはり意味がある。

カーネル型システム同定法では、対象のインパルス応答ａと計測雑音ｗとを正規分布で表現するところに特徴がある。インパルス応答ａは、サイズがｎ×１の列ベクトルであり、平均が「０」、共分散行列が「Ｋ」の多変量正規分布に従う。計測雑音ｗは、サイズが１×１のスカラであり、平均が「０」、分散が「σ_ｗ ^２」の正規分布に従う。カーネル型システム同定法では、第１係数に対し、平均が「０」、共分散行列Ｋ（ｎ×ｎ）の事前分布を指定する。この「Ｋ」はカーネル行列と呼ばれている。

特開２０１８－１６３５１５号公報

藤本悠介，杉江俊治：カーネル型システム同定のための入力設計に関する一考察，第59回自動制御連合講演会，北九州，2016.11.10-12, pp. 448--449 (2016.11.10) G. Pillonetto, A. Chiuso and G. De Nicolao, "Prediction error identification of linear systems: A nonparametric Gaussian regression approach," Automatica, 47(2), 291-305, 2011.

しかしながら、従来技術では、カーネル行列Ｋは、事前に定めたものに固定されており、更新されない。このため、荷重係数の推定精度は、事前に定めたカーネル行列Ｋの精度に依存する。このため、カーネル行列Ｋを更新するような仕組みを備えることが望まれていた。

本開示は、このような課題に鑑みてなされたものであって、カーネル行列を更新して、カーネル型システム同定法における係数の推定精度を向上させることができる予測装置、予測方法、及びプログラムを提供する。

本開示の一態様によれば、予測対象の将来における出力を予測する予測装置は、プロセッサと、前記プロセッサに接続され、前記予測対象の入力の計測値である入力計測値、及び出力の計測値である出力計測値を記憶する記録装置と、を備える。前記プロセッサは、前記予測対象の運転中に、過去に記憶された複数の前記入力計測値、及び複数の前記出力計測値から、予測対象を移動平均フィルタを用いて表すための前記入力に対する第１係数を同定する同定処理と、前記入力計測値、及び前記第１係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、を実行する。前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数に係るカーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数を同定する。

本開示の一態様によれば、予測対象の将来における出力を予測する予測装置は、プロセッサと、前記プロセッサに接続され、前記予測対象の入力の計測値である入力計測値、及び出力の計測値である出力計測値を記憶する記録装置と、を備える。前記プロセッサは、前記予測対象の運転中に、過去に記憶された複数の前記入力計測値、及び複数の前記出力計測値から、予測対象を移動平均フィルタを用いて表すための前記入力に対する第１係数を同定する同定処理と、前記入力計測値、及び前記第１係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、を実行する。前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本の共分散行列を近似した一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）を用いて更新した第１係数に係るカーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数を同定する。

本開示の一態様によれば、予測対象の将来における出力を予測する予測装置は、プロセッサと、前記プロセッサに接続され、前記予測対象の入力の計測値である入力計測値、及び出力の計測値である出力計測値を記憶する記録装置と、を備える。前記プロセッサは、前記予測対象の運転中に、過去に記憶された複数の前記入力計測値、及び複数の前記出力計測値から、予測対象を自己回帰移動平均フィルタを用いて表すための前記入力に対する第１係数と、前記出力に対する第２係数とを同定する同定処理と、前記入力計測値、前記出力計測値、前記第１係数、及び前記第２係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、を実行する。前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数に係る第１カーネル行列と、過去に同定された第２係数群を標本として更新した第２係数に係る第２カーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数及び前記第２係数を同定する。

本開示の一態様によれば、予測対象の将来における出力を予測する予測方法は、前記予測対象の運転中に、過去の予測対象の複数の入力計測値、及び過去の予測対象の複数の出力計測値から、予測対象を移動平均フィルタを用いて表すための入力に対する第１係数を同定する同定処理と、前記入力計測値、及び前記第１係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、を実行する。前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数に係るカーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数を同定する。

本開示の一態様によれば、プロセッサと、前記プロセッサに接続され、予測対象の入力の計測値である入力計測値、及び出力の計測値である出力計測値を記憶する記録装置と、を備える予測装置のコンピュータを機能させるプログラムは、予測対象の運転中に前記コンピュータに、過去の予測対象の複数の入力計測値、及び過去の予測対象の複数の出力計測値から、予測対象を移動平均フィルタを用いて表すための入力に対する第１係数を同定する同定処理と、
前記入力計測値、及び前記第１係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、を実行させる。前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数に係るカーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数を同定する。

本開示に係る予測装置、予測方法、及びプログラムによれば、カーネル行列を更新して、カーネル型システム同定法における同定精度を向上させることができる。

本開示の第１の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。 本開示の第２の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。 本開示の第３の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。 本開示の第４の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。 本開示の第４の実施形態に係る予測装置の機能を説明するための図である。 本開示の第４の実施形態に係る次数の更新処理の一例を示すフローチャートである。 本開示の第５の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。 本発明の少なくとも一実施形態に係る予測装置のハードウェア構成の一例を示す図である。

＜第１の実施形態＞
以下、本開示の第１の実施形態に係る予測システム１について、図１を参照しながら説明する。

（機能構成）
図１は、本開示の第１の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。
図１に示すように、予測システム１は、予測対象２の将来における出力を予測する予測装置３を備えている。

本実施形態に係る予測装置３は、カーネル型システム同定法の技術を利用して、将来の出力を予測する。また、予測装置３は、サーバ、パーソナルコンピュータ等のコンピュータを用いて構成され、記録装置３０と、プロセッサ３１とを備えている。

記録装置３０は、プロセッサ３１に接続され、予測対象２から所定周期ごとに受信する入力の計測値（以下、「入力計測値ｕ」とも記載する。）、及び出力の計測値（以下、「出力計測値ｙ」とも記載する。）を記憶する。

プロセッサ３１は、予測装置３の動作全体を司る。プロセッサ３１は、所定のプログラムに従って動作することにより、同定部３１０、予測部３１１としての機能を発揮する。

同定部３１０は、過去に記憶された複数の入力計測値ｕ、及び複数の出力計測値ｙから、予測対象２を移動平均フィルタ（ＭＡフィルタ）を用いて表すための予測対象２の入力に対する第１係数ａ（荷重係数）を同定する同定処理Ｓ１を実行する。

また、同定部３１０による同定処理Ｓ１は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数に係るカーネル行列と、計測雑音ｗの共分散と、第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力ｕの共分散行列と、を用いて第１係数ａを同定する。

予測部３１１は、入力計測値ｕ、及び第１係数ａからなる予測モデルに基づいて、予測対象２の将来における出力を予測する予測処理Ｓ２を実行する。

（カーネル型システム同定法について）
ここで、従来のカーネル型システム同定法における同定処理について説明する。従来のカーネル型システム同定法において、予測対象の時刻毎の入力計測値をｕ_ｉ（ｉ＝ｔ，ｔ－１，ｔ－２，…）、出力計測値をｙ_ｉ（ｉ＝ｔ，ｔ－１，ｔ－２，…）とすると、予測対象の１ステップ先（時刻ｔ＋１）における出力ｙ_ｔ＋１は、以下の式（１Ａ）、式（１Ｂ）のように、ＭＡフィルタの形式で表現される。なお、明細書中における「＾ｙ」との表記は、以下に示す図、式中において「ｙ」にハット記号「＾」が付された表記に対応する。同様に、明細書中における「＾Ｋ」、「＾ａ」との表記は、以下に示す図、式中において「Ｋ」、「ａ」にハット記号「＾」が付された表記に対応する。

式（１Ａ）は、予測対象の出力ｙを、入力ｕの荷重付きの移動平均と、計測雑音ｗとの和でモデル化することを表している。モデルの良否は荷重付きの移動平均の荷重係数である第１係数ａ｛ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｎ｝に係っている。第１係数ａは、入力計測値ｕ_ｉ及び出力計測値ｙ_ｉから推定する。第１係数ａを同定すると、式（１Ｂ）から「ｙ_ｔ」の推定値として「＾ｙ_ｔ」を求めることができる。

カーネル型システム同定法では、対象のインパルス応答ａ及び計測雑音ｗを、次の式（２）、式（３）のように正規分布で表現するところに特徴がある。

ここに、式（２）の右辺の記号Ｎは正規分布（含、多変量正規分布）を、それに続く括弧内の第１項は平均値を、第２項は共分散（行列）を表している。具体的には、式（２）は、サイズが「ｎ×１」の列ベクトルａは平均が「０」、共分散行列が「Ｋ」の多変量正規分布に従うことを表している。式（３）は、サイズが「１×１」のスカラｗは平均が「０」、分散が「σ_ｗ ^２」の正規分布に従うことを意味している。

カーネル型システム同定法では、式（１Ａ）のように、第１係数｛ａ_１，ａ_２，…，ａｎ｝に対し、平均「０」、共分散行列Ｋ（ｎ×ｎ）の事前分布を指定する。このＫはカーネル行列と呼ばれている。例えば、一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）では、対象のインパルス応答が指数的に収束するという事前情報を指定することができる。一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）を用いると、Ｋのｉ行ｊ列要素は以下の式（４）で与えられる。

式（４）において、「λ」はインパルス応答の振幅を、「β」は所定ステップ毎（例えば、１時間ステップ毎）のインパルス応答の減衰率を表している。説明の簡単のために、計測値の時系列値を式（５）で表現する。Ｎは計測値の点数である。

すると、対象物のインパルス応答の（すなわち第１係数ａの）事前情報として式（２）が、計測雑音ｗの事前情報として式（３）が、そして、過去の入力｛ｕ_０，ｕ_１、…，ｕ_Ｎ－１｝が計測されているならば、第１係数ａと出力Ｙの同時分布は、式（６）のように多変量正規分布で表される。式（６）の変数の右肩の記号Ｔは、行列やベクトルの転置を表している。「Ｕ^Ｔ」は行列Ｕの転置行列である。

そして、出力Ｙの計測値が得られたとすると、出力Ｙを計測した条件下での第１係数ａの条件付き分布は式（７）で与えられる。

第１係数ａの最適推定値は「ａ｜Ｙ」の期待値であり、式（８）となる。

これを、式（１Ｂ）に適用して出力ｙを推定する。

（予測装置の処理）
上述のように、従来技術では、カーネル行列Ｋは、例えば式（３）の形式で事前に定めたものに固定されており、更新されない。このため、第１係数ａの推定精度が、事前に定めたカーネル行列Ｋの精度に依存する点が課題であった。

カーネル行列Ｋとして、事前に何らかの値を指定することは良いとして、何らかの値を指定して推定した結果に基づき、カーネル行列Ｋを更新するような仕組みを備えることが望まれる。そのようにすれば、たとえ事前情報が不正確であったとしても、同定の度に事前情報を更新することにより、最終的には同定精度は改善するだろう。本実施形態は、それを行うものである。

第１係数ａのカーネル行列Ｋは、式（９）のように第１係数ａの共分散行列である。これを、今回を「ｋ」（ｋ回目の同定処理）として直近のｍ回の同定の結果である第１係数群｛ａ_{（ｋ－１）}，ａ_{（ｋ－２）}，…，ａ_{（ｋ－ｍ）}｝からなる標本から推定したものが、例えば式（９）である（カーネル行列の推定処理Ｓ１０１）。ｍはモデルの次数ｎと等しいか、それより大きな値に設定する。標準的には、ｍはｎの５倍以上の値にして、急変を防ぐ。

式（９）の場合分けは、同定処理Ｓ１において、第１係数の標本数が少ないときに対応するためである。少なくとも、モデル次数ｎと同じ数だけ第１係数の標本が蓄積するまでは、カーネル行列は更新しない。ｎ回以降の同定処理Ｓ１では、標本点数の増加に応じた重みでカーネル行列を更新する（カーネル行列の更新処理Ｓ１０２）。式（１０Ａ）において「Φ」が重み係数である。Φは、原理的には「０」から「１」の範囲に設定されるが、事前情報の寄与を維持するために、例えば、「０．９９」などを上限にする。式（１０Ｂ）において「Φ_ＭＡＸ」は上限の設定値である。式（１０Ｂ）は、回数ｋがｎを超えたあとは、ｋに比例して重みΦを増やしている。これは、一例である。これ以外にも、重み係数Φをｋのロジスティック関数に設定しもよい。

そして、ＭＡフィルタ同定処理Ｓ１０３では、更新されたカーネル行列Ｋ_（ｋ）と、計測雑音ｗの共分散σ_ｗ ^２と、第１係数ａに係るカーネル行列で重み付けした入力ｕの共分散行列とを用いて、第１係数ａを同定する。ｋ回目の同定処理Ｓ１による第１係数ａ_（ｋ）は、式（１１）のように表される。

予測部３１１は、式（１Ｂ）で表される予測モデルに、同定部３１０の同定処理Ｓ１により同定された第１係数ａを用いることにより、出力の推定値「＾ｙ」を求める（予測処理Ｓ２）。出力の推定値「＾ｙ」は、例えば予測対象２の制御装置２１０に出力される。制御装置２１０は、この出力の推定値に基づいて予測対象２の制御を行う。

（作用効果）
以上のように、本実施形態に係る予測装置３は、同定処理Ｓ１において、過去に同定された第１係数群を標本として第１係数ａに係るカーネル行列Ｋを更新する。このようにすることで、予測装置３の運用開始前にカーネル行列として指定された値が不正確であったとしても、予測装置３の運用を継続して同定処理Ｓ１を行う毎にカーネル行列Ｋが更新される。更新されたカーネル行列Ｋを用いて同定処理（ＭＡフィルタ同定処理Ｓ１０３）を行うことにより、第１係数ａの推定精度を向上させることができる。

＜第２の実施形態＞
次に、本開示の第２の実施形態に係る予測システム１について図２を参照しながら説明する。第１の実施形態と共通の構成要素には同一の符号を付して詳細説明を省略する。

（予測装置の処理）
図２は、本開示の第２の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。
第１の実施形態は、第１係数ａのカーネル行列Ｋについて、過去ｍ回の同定の結果である第１係数群｛ａ_（１），ａ_（２），…，ａ_（ｍ）｝を標本として式（９）でカーネル行列Ｋ_{ｓａｍｐｌｅ}を算出した。しかしながら、第１係数の計算値は計算の度に変動し、カーネル行列が一定しない恐れがある。その一方で、第１係数の共分散行列として一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）を指定すると、第１係数が発散しにくいことが知られている。そこで、第２の実施形態では、図２に示すように、式（９）のＫ_{ｓａｍｐｌｅ}に代えて、Ｋ_{ｓａｍｐｌｅ}をＴＣカーネルで近似したものを利用する。

第１の実施形態は、第１係数ａのカーネル行列Ｋを、過去ｍ回の同定処理の結果である第１係数群｛ａ_（１），ａ_（２），…，ａ_（ｍ）｝を標本として式（９）でカーネル行列Ｋ_{ｓａｍｐｌｅ}を算出した（図１のカーネル行列の推定処理Ｓ１０１）。本実施形態は、カーネル行列Ｋ_{ｓａｍｐｌｅ}をＴＣカーネルに変換する処理（図２の一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）による近似処理Ｓ１１２）を行った上で、同定処理Ｓ１（図２のＭＡフィルタ同定処理Ｓ１１４）に使うことにより、一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）の特長を享受する。

ＴＣカーネルには、式（４）のように「λ」、「β」の２個のパラメータがある。一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）の対角要素は、式（１２）のように表される。

Ｋ_{ｓａｍｐｌｅ}の対角要素を、式（１３）のように表記する。

「ｋ_１，ｋ_２，…，ｋ_ｎ」の値は既知だから、一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）の２個のパラメータの最適値「λ_＊」及び「β_＊」は次式（１４）を解いて求めることができる。解法としては、一般化線形モデル（ＧＬＭ）などが考えられる。

そして、「λ_＊」及び「β_＊」によるＫ_{ｓａｍｐｌｅ}の近似は式（１５）となる。

そうすると、本実施形態における更新後のカーネル行列Ｋ_（ｋ）として式（１６）を得る（カーネル行列の更新処理Ｓ１１３）。Φは、式（１０Ｂ）と同じである。

そして、ＭＡフィルタ同定処理Ｓ１１４では、第１の実施形態（図１の処理Ｓ１０３）と同様に、更新されたカーネル行列Ｋ_（ｋ）と、計測雑音ｗの共分散σ_ｗ ^２と、第１係数ａに係るカーネル行列で重み付けした入力ｕの共分散行列とを用いて、第１係数ａを同定する。

予測部３１１による予測処理Ｓ２は、第１の実施形態と同じである。

（作用効果）
以上のように、本実施形態に係る予測装置３は、同定処理Ｓ１において、過去に同定された第１係数群の標本の共分散行列を近似した一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）を用いて、第１係数ａに係るカーネル行列Ｋを更新する。このようにすることで、第１係数ａの値が計算の度に変動（発散）して、カーネル行列Ｋが一定しなくなることを抑制することができる。

＜第３の実施形態＞
次に、本開示の第３の実施形態に係る予測システム１について図３を参照しながら説明する。第１～第２の実施形態と共通の構成要素には同一の符号を付して詳細説明を省略する。

（予測装置の処理）
図３は、本開示の第３の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。
第１及び第２の実施形態では、カーネル行列Ｋに注目した。これに対し、第３の実施形態では、計測雑音ｗに注目する。式（８）のように、第１係数ａは、カーネル行列Ｋと同様に計測雑音の共分散行列σ_ｗ ^２Ｉにも依存するので、「σ_ｗ ^２」の値の精度は重要である。

本願のカーネル型システム同定法は、これまでに述べたように、式（１Ａ）の予測モデルを前提として、入力ｕ及び出力ｙの計測データを標本として、標本の入力と出力の関係を表すよう第１係数ａを決定する。式（１Ａ）は、第１係数ａにはカーネルＫと計測雑音の共分散σ_ｗ ^２が影響することを表している。本実施形態では、図３の処理Ｓ１２１のように、計測雑音の共分散σ_ｗ ^２について事前情報を予測対象２の運転中に変更し、同定精度を改善する技術を述べる。

計測雑音の共分散σ_ｗ ^２については、事前情報があるので、事前情報を中心として｛１０倍，３倍，１倍，１／３倍，１／１０倍｝のように複数の候補値を準備する。なお、これら候補値は一例であり、他の実施形態では候補値の数を増減させてもよいし、各候補値についてσ_ｗ ^２の変更度合いを任意に変更してもよい。そして、候補値の一つ一つに対して式（８）を用いた第１係数ａの同定処理（第１係数候補の算出処理Ｓ１２１）を行う。この同定処理は、第１の実施形態に係る同定処理Ｓ１（図１の処理Ｓ１０１～Ｓ１０３）と、第２の実施形態に係る同定処理Ｓ１（図２の処理Ｓ１０１、Ｓ１１２～Ｓ１１４）の何れを用いてもよい。

また、本実施形態では、同定結果が最良となる候補値で算出した第１係数の値を最良値ａ_＊として採用する（最良値選択処理Ｓ１２２）。その時に、同定の良さを計る指標として、たとえば予測誤差の二乗和が考えられる。すなわち、計測データの長さをＮとすると、二乗誤差は式（１７）により求められる。

この場合、各候補値で算出した第１係数について、式（１７）で求めた二乗誤差が最小のものを、最良値ａ_＊とする。また、別の指標として、クロスバリデーション誤差がある。これは、次式（１８）で表される。

ここに、式（１８）の「［Ｈ］ｉ，ｉ」は、式（１９）で定まる行列のｉ行ｉ列要素である。

また、式（１７）と式（１８）の「＾ｙ」は式（２０）により計算される。

また、予測部３１１による予測処理Ｓ２は、第１の実施形態と同じである。

（作用効果）
以上のように、本実施形態に係る予測装置３は、同定処理Ｓ１において、計測雑音の共分散σ_ｗ ^２の複数の候補値それぞれについて第１係数ａを算出し、算出された第１係数ａを用いた予測結果（出力の推定値「＾ｙ」）が最良となる候補値から算出された値を第１係数ａ_＊として採用する。このようにすることで、同定処理Ｓ１において、より予測誤差が小さくなるような最適な計測雑音の共分散σ_ｗ ^２の値が用いられるので、第１係数ａの推定精度を更に向上させることができる。

＜第４の実施形態＞
次に、本開示の第４の実施形態に係る予測システム１について図４～図６を参照しながら説明する。第１～第３の実施形態と共通の構成要素には同一の符号を付して詳細説明を省略する。

（予測装置の処理）
図４は、本開示の第４の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。
第１の実施形態において、予測モデルの次数ｎ、すなわち式（１Ａ）及び式（１Ｂ）のＭＡフィルタの長さ「ｎ」は予め定めた固定値であった。しかし、事前情報から予め定めたｎの値が真に必要なｎの値よりも短い、又は長い場合には、モデルを正しく表すことができない。例えば、予測対象２のインパルス応答が収束するまでに時間ステップとして「５０」を要するならば、予測モデルの次数は「ｎ＝５０」と同じか、それより大きいことが必要である。次数が「ｎ＜５０」の予測モデルでは誤差が避けられない。

一方、同じ状況において、「ｎ＝１０００」を指定したならば、明らかに次数が過剰である。このような場合、原理的には第１係数の「ａ_１」～「ａ_５０」はゼロ以外の値になり、「ａ_５１」～「ａ_１０００」は値がゼロになるよう計算される。しかしながら、モデル同定には、式（８）のような逆行列の計算があるので、数値誤差の発生や、計算機資源の点で好ましいことではない。

このように、次数ｎの値は、事前情報のとおりにはならないことがあり、その結果、予測誤差が低下してしまう可能性がある。そこで、第４の実施形態では、図４に示すように、実データで同定した結果に応じて、モデルの次数ｎを更新する処理Ｓ１３１を更に実行する。具体的には、カーネル行列を用いて適切な次数ｎの値を判定する。式（１１）のカーネル行列Ｋから、次の式（２１）のように値を求める。

図５は、本開示の第４の実施形態に係る予測装置の機能を説明するための図である。
上式（２１）は、式（１０Ａ）のカーネル行列Ｋ_（ｋ）について、図５に示すように、左上隅からｍ行ｍ列分の要素（図５の斜線部分）を取り出して、その絶対値の和に相当する。

例えば、Ｊ_１は、Ｋ_（ｋ）の１行１列要素の絶対値である。Ｊ_ｎは、Ｋ_（ｋ）の全要素の絶対値の和である。前述の例のように、予測対象が５０次で表されるならば、カーネル行列Ｋ_（ｋ）は１行から５０行、かつ、１列から５０列までの、「５０×５０」の要素に非ゼロの値となり、それ以外の要素の値はゼロとなる。つまり、「０＜Ｊ_１＜Ｊ_２＜Ｊ_３＜…＜Ｊ_５０」であり、「Ｊ_５０≒Ｊ_５１≒…≒Ｊ_１０００」である。したがって、Ｊ_１０００に対する比率で、次数を定めることが考えられる。式（２１）は一例であり、このほかにも式（２２）のように対角要素だけで評価するなど、さまざまな実施例が考えられる。

式（２３）は次数の目安ｎ_＊の計算例である。式中の「ε」は、例えば、「０．０００１」などの微小値である。

理想的には現在の次数ｎの８割程度が前述の目安ｎ_＊であると良い。このため、次数ｎの更新処理は、例えば図６に示すフローチャートに従って実行される。

図６は、本開示の第４の実施形態に係る次数の更新処理の一例を示すフローチャートである。
次数の目安ｎ_＊が、現在の次数ｎに略一致すれば次数を変更する必要はない。例えば、図６に示すように、次数の目安ｎ_＊が、現在の次数ｎに基づく第１基準値以上、第２基準値以下の範囲に含まれる場合（ステップＳ１３１０：ＮＯ、かつ、ステップＳ１３１２：ＮＯ）、現在の次数ｎに略一致すると判断する。例えば、第１基準値は現在の次数ｎの０．６５倍、第２基準値は現在の次数ｎの０．９５倍である。

また、目安ｎ_＊が第１基準値よりも小さい場合（ステップＳ１３１０：ＹＥＳ）、式（２４）のように次数ｎの値を更新する（ステップＳ１３１１）。

一方、目安ｎ*が第１基準値よりも大きく（ステップＳ１３１０：ＮＯ）、かつ、第２基準値よりも大きい場合（ステップＳ１３１２：ＹＥＳ）、式（２５）のように次数ｎの値を更新する（ステップＳ１３１３）。

そして、このようにして求めた次数ｎをＭＡフィルタに適用して、第１の実施形態と同様の同定処理Ｓ１（ＭＡフィルタ同定処理Ｓ１０３）を行う。なお、式（２４）又は式（２５）で算出された値を丸めて、次数ｎが所定数ずつ（例えば１０ずつ）階段状に増減するようにしてもよい。例えば、算出された値が「５１～６０」の場合は次数ｎを「６０」に設定し、算出された値が「６１～７０」の場合は次数ｎを「７０」に設定するようにしてもよい。

なお、図４には、次数の更新処理Ｓ１３１を、第１の実施形態に係る同定処理Ｓ１に追加した例が示されているが、これに限られることはない。次数の更新処理Ｓ１３１は、第２の実施形態に係る同定処理Ｓ１に追加してもよい。

（作用効果）
以上のように、本実施形態に係る予測装置３は、第１係数ａに係るカーネル行列Ｋ_（ｋ）に基づき、ＭＡフィルタの第１係数ａの次数ｎを更新する更新処理を更に実行する。このようにすることで、予測対象２の過渡的な変化に追随して、次数ｎの値を適切に設定することができる。例えば、次数が少なく設定されていた場合には、適切な次数に増やす調整を行うことにより、予測誤差を低減させることが可能となる。また、次数が多く設定されていた場合には、適切な次数に減らす調整を行うことにより、逆行列の計算にゼロが含まれてしまうことを抑制し、計算精度の低下を抑制することができる。

＜第５の実施形態＞
次に、本開示の第５の実施形態に係る予測システム１について図７を参照しながら説明する。第１～第４の実施形態と共通の構成要素には同一の符号を付して詳細説明を省略する。

（予測装置の処理）
図７は、本開示の第５の実施形態に係る予測システムの機能構成を示す図である。
第１～第４の実施形態では、予測対象２を移動平均フィルタ（ＭＡフィルタ）を用いて表すための同定処理Ｓ１を実行する態様について説明した。第４の実施形態では、図７に示すように、移動平均フィルタに代えて、自己回帰移動平均フィルタ（ＡＲＭＡフィルタ）を用いて表すための同定処理Ｓ１を実行する態様について説明する。

ＡＲＭＡフィルタは、予測対象２を式（２６Ａ）で表し、第１係数ａ｛ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｎ｝の他に、第２係数ｂ｛ｂ_１，ｂ_２，…，ｂ｝を有する。第２係数ｂは、予測対象２の次のタイムステップの出力値ｙ_ｔ＋１への、予測対象２の出力値の現在値、及び過去値からの寄与を表している。ＡＲＭＡフィルタによると、式（２６Ｂ）のように、出力の過去値も予測に利用できるので、予測精度が向上する。

本実施形態では、説明の簡単のため、第２係数ｂの次数を第１係数ａの次数と等しく「ｎ」として説明するが、これは必須ではない。第１係数ａと第２係数ｂとで次数を違えてもよい。違えた例の一つは、ＭＡフィルタである。ＭＡフィルタはＡＲＭＡフィルタにおいて第２係数ｂの次数を「０」としたものである。同様に、ＡＲＭＡフィルタで第１係数ａの次数をゼロとすれば、第２係数ｂのみで予測することになる。これは自己回帰フィルタ（ＡＲフィルタ）と呼ばれるものである。本実施形態で述べるＡＲＭＡフィルタは、このようにＭＡフィルタやＡＲフィルタを含む一般的なものである。

カーネル型システム同定法では，ＡＲＭＡフィルタの第２係数ｂも第１係数ａと同様に、式（２７）のように多変量正規分布すると考える。第２係数ｂに係るカーネル行列Ｋ_Ｂはサイズが「ｎ×ｎ」の共分散行列であり、式（４）のように一次安定スプラインカーネル（ＴＣカーネル）に従って、予測対象２に対する事前情報に基づいて値が設定される。

予測モデルに第２係数ｂが追加されたことにより、同定処理Ｓ１において、式（５）に以下の式（２８）が追加される。

同じく、予測モデルに第２係数ｂが追加されたことにより、式（６）は式（２９）のように変更される。

そして、第１係数ａと第２係数ｂは式（３０）により計算できる（ＡＲＭＡフィルタ同定処理Ｓ１４７）。

このようにして、第１係数ａと第２係数ｂが得られると、第１係数ａに係るカーネル行列Ｋ（以下、「第１カーネル行列」とも記載する。）、及び第２係数ｂに係るカーネル行列Ｋ_Ｂ（以下、「第２カーネル行列」とも記載する。）は、図７に示すようにそれぞれ独立して実施することができる。同様に、第１係数ａに係る次数ｎ（以下、「第１次数」とも記載する。）、及び第２係数ｂに係る次数ｎ（以下、「第２次数」とも記載する。）の更新もそれぞれ独立して実施することができる。

第１係数ａについては、第４の実施形態で述べたとおりに第１係数ａを入力として、第１カーネル行列Ｋ_{ｓａｍｐｌｅ}の推定処理Ｓ１４１（図４のＳ１０１と同様）、第１カーネル行列Ｋ_（ｋ）の更新処理Ｓ１４３（図４のＳ１０２と同様）、および第１次数ｎの更新処理Ｓ１４５（図３のＳ１３１と同様）を実施する。

第２係数ｂについては、第２係数ｂを入力として、第２カーネル行列Ｋ_{Ｂｓａｍｐｌｅ}の推定処理Ｓ１４２、第２カーネル行列Ｋ_Ｂ（ｋ）の更新処理Ｓ１４４、第２次数ｎ_Ｂｎｅｗの更新処理Ｓ１４６を実施する。

なお、本実施形態では、第４の実施形態のＭＡフィルタ同定処理（図４のＳ１０３）に代えて、ＡＲＭＡフィルタ同定処理Ｓ１４７を実行する例について説明したが、これに限られることはない。本実施形態の変形例として、第１～第３の実施形態のＭＡフィルタ同定処理を、ＡＲＭＡフィルタ同定処理Ｓ１４７に置き換えてもよい。

（作用効果）
以上のように、本実施形態に係る予測装置３は、予測対象２を自己回帰移動平均フィルタを用いて表すための、入力に対する第１係数ａと、出力に対する第２係数ｂとを同定する同定処理Ｓ１を実行する。また、同定処理Ｓ１において、第１係数群を標本として第１係数ａに係る第１カーネル行列Ｋを更新し、第２係数群を標本として第２係数ｂに係る第２カーネル行列Ｋ_Ｂを更新する。このようにすることで、同定処理Ｓ１において出力の過去値も予測に利用できるので、予測精度を更に向上させることができる。

また、同定処理Ｓ１において、第１カーネル行列Ｋ_（ｋ）に基づきＡＲＭＡフィルタの第１係数ａの第１次数ｎを更新し、第２カーネル行列Ｋ_Ｂ（ｋ）に基づきＡＲＭＡフィルタの第２係数ｂの第２次数ｎを更新する。このようにすることで、各係数の次数を適切に設定することができるので、予測誤差を低減させることができるとともに、計算精度の低下を抑制することができる。

＜ハードウェア構成＞
図８は、本発明の少なくとも一実施形態に係る予測装置のハードウェア構成の一例を示す図である。
図８に示すように、コンピュータ９００は、プロセッサ９０１、メインメモリ９０２、ストレージ９０３、インタフェース９０４を備える。

上述の予測装置３は、コンピュータ９００に実装される。そして、上述した各処理部の動作は、プログラムの形式でストレージ９０３に記憶されている。プロセッサ９０１は、プログラムをストレージ９０３から読み出してメインメモリ９０２に展開し、当該プログラムに従って上記処理を実行する。また、プロセッサ９０１は、プログラムに従って、上述した各記憶部に対応する記憶領域をメインメモリ９０２に確保する。

プログラムは、コンピュータ９００に発揮させる機能の一部を実現するためのものであってもよい。たとえば、プログラムは、ストレージ９０３に既に記憶されている他のプログラムとの組み合わせ、または他の装置に実装された他のプログラムとの組み合わせによって機能を発揮させるものであってもよい。なお、他の実施形態においては、コンピュータ９００は、上記構成に加えて、または上記構成に代えてＰＬＤ（Programmable Logic Device）などのカスタムＬＳＩ（Large Scale Integrated Circuit）を備えてもよい。ＰＬＤの例としては、ＰＡＬ(Programmable Array Logic)、ＧＡＬ(Generic Array Logic)、ＣＰＬＤ(Complex Programmable Logic Device)、ＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）が挙げられる。この場合、プロセッサ９０１によって実現される機能の一部または全部が当該集積回路によって実現されてよい。

ストレージ９０３の例としては、磁気ディスク、光磁気ディスク、光ディスク、半導体メモリ等が挙げられる。ストレージ９０３は、コンピュータ９００のバスに直接接続された内部メディアであってもよいし、インタフェース９０４または通信回線を介してコンピュータ９００に接続される外部メディア９１０であってもよい。また、このプログラムが通信回線によってコンピュータ９００に配信される場合、配信を受けたコンピュータ９００が当該プログラムをメインメモリ９０２に展開し、上記処理を実行してもよい。少なくとも１つの実施形態において、ストレージ９０３は、一時的でない有形の記憶媒体である。

また、当該プログラムは、前述した機能の一部を実現するためのものであってもよい。さらに、当該プログラムは、前述した機能をストレージ９０３に既に記憶されている他のプログラムとの組み合わせで実現するもの、いわゆる差分ファイル（差分プログラム）であってもよい。

以上、本開示の実施形態について詳細に説明したが、本発明の技術的思想を逸脱しない限り、これらに限定されることはなく、多少の設計変更等も可能である。

＜付記＞
上述の実施形態に記載の予測装置、予測方法、及びプログラムは、例えば以下のように把握される。

本開示の第１の態様によれば、予測対象２の将来における出力を予測する予測装置３は、プロセッサ３１と、前記プロセッサ３１に接続され、前記予測対象２の入力の計測値である入力計測値ｕ、及び出力の計測値である出力計測値ｙを記憶する記録装置３０と、を備える。前記プロセッサ３１は、前記予測対象２の運転中に、過去に記憶された複数の前記入力計測値ｕ、及び複数の前記出力計測値ｙから、予測対象２を移動平均フィルタを用いて表すための前記入力に対する第１係数ａを同定する同定処理Ｓ１と、前記入力計測値ｕ、及び前記第１係数ａからなる予測モデルに基づいて、前記予測対象２の将来における出力ｙを予測する予測処理Ｓ２と、を実行する。前記同定処理Ｓ１は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数ａに係るカーネル行列Ｋと、計測雑音の共分散σ_ｗ ^２と、前記第１係数ａに係るカーネル行列Ｋで重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数ａを同定する。

このようにすることで、予測装置３の運用開始前にカーネル行列として指定された値が不正確であったとしても、予測装置３の運用を継続して同定処理Ｓ１を行う毎にカーネル行列Ｋが更新される。更新されたカーネル行列Ｋを用いて同定処理（ＭＡフィルタ同定処理Ｓ１０３）を行うことにより、第１係数ａの推定精度を向上させることができる。

本開示の第２の態様によれば、予測対象２の将来における出力を予測する予測装置３は、プロセッサ３１と、前記プロセッサ３１に接続され、前記予測対象２の入力の計測値である入力計測値ｕ、及び出力の計測値である出力計測値ｙを記憶する記録装置３０と、を備える。前記プロセッサ３１は、前記予測対象２の運転中に、過去に記憶された複数の前記入力計測値ｕ、及び複数の前記出力計測値ｙから、前記予測対象２を移動平均フィルタを用いて表すための前記入力に対する第１係数ａを同定する同定処理Ｓ１と、前記入力計測値ｕ、及び前記第１係数ａからなる予測モデルに基づいて、前記予測対象２の将来における出力ｙを予測する予測処理Ｓ２と、を実行する。前記同定処理Ｓ１は、過去に同定された第１係数群を標本の共分散行列を近似した一次安定スプラインカーネルを用いて更新した第１係数ａに係るカーネル行列Ｋと、計測雑音の共分散σ_ｗ ^２と、前記第１係数ａに係るカーネル行列Ｋで重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数ａを同定する。

このようにすることで、第１係数ａの値が計算の度に変動（発散）して、カーネル行列Ｋが一定しなくなることを抑制することができる。

本開示の第３の態様によれば、第１又は第２の態様に係る予測装置３において、前記同定処理Ｓ１は、前記計測雑音の共分散σ_ｗ ^２の複数の候補値それぞれについて第１係数ａを同定し、予測結果が最良となる候補値から算出された値（最良値ａ_＊）を前記第１係数ａとして採用する。

このようにすることで、同定処理Ｓ１において、より予測誤差が小さくなるような最適な計測雑音の共分散σ_ｗ ^２の値が用いられるので、第１係数ａの推定精度を更に向上させることができる。

本開示の第４の態様によれば、第１から第３の何れか一の態様に係る予測装置３は、前記第１係数ａに係るカーネル行列Ｋに基づき、前記移動平均フィルタの第１係数ａの次数ｎを更新する更新処理Ｓ１３１を更に実行する。

このようにすることで、予測対象２の過渡的な変化に追随して、次数ｎの値を適切に設定することができる。例えば、次数が少なく設定されていた場合には、適切な次数に増やす調整を行うことにより、予測誤差を低減させることが可能となる。また、次数が多く設定されていた場合には、適切な次数に減らす調整を行うことにより、逆行列の計算にゼロが含まれてしまうことを抑制し、計算精度の低下を抑制することができる。

本開示の第５の態様によれば、予測対象２の将来における出力を予測する予測装置３は、プロセッサ３１と、前記プロセッサ３１に接続され、前記予測対象２の入力の計測値である入力計測値ｕ、及び出力の計測値である出力計測値ｙを記憶する記録装置３０と、を備える。前記プロセッサ３１は、前記予測対象２の運転中に、過去に記憶された複数の前記入力計測値ｕ、及び複数の前記出力計測値ｙから、前記予測対象２を自己回帰移動平均フィルタを用いて表すための前記入力に対する第１係数ａと、前記出力に対する第２係数ｂとを同定する同定処理Ｓ１と、前記入力計測値ｕ、前記出力計測値ｙ、前記第１係数ａ、及び前記第２係数ｂからなる予測モデルに基づいて、前記予測対象２の将来における出力を予測する予測処理Ｓ２と、を実行する。前記同定処理Ｓ１は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数ａに係る第１カーネル行列Ｋと、過去に同定された第２係数群を標本として更新した第２係数ｂに係る第２カーネル行列Ｋ_Ｂと、計測雑音の共分散σ_ｗ ^２と、前記第１係数ａに係るカーネル行列Ｋで重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数ａ及び前記第２係数ｂを同定する。

このようにすることで、同定処理Ｓ１において出力の過去値も予測に利用できるので、予測精度を更に向上させることができる。

本開示の第６の態様によれば、第５の態様に係る予測装置は、前記第１カーネル行列に基づき前記自己回帰移動平均フィルタの第１係数の第１次数を更新し、前記第２カーネル行列に基づき前記自己回帰移動平均フィルタの第２係数の第２次数を更新する更新処理を更に実行する。

このようにすることで、各係数の次数を適切に設定することができるので、予測誤差を低減させることができるとともに、計算精度の低下を抑制することができる。

本開示の第７の態様によれば、予測対象２の将来における出力を予測する予測方法は、前記予測対象２の運転中に、過去の予測対象２の複数の入力計測値ｕ、及び過去の予測対象２の複数の出力計測値ｙから、前記予測対象２を移動平均フィルタを用いて表すための入力に対する第１係数ａを同定する同定処理Ｓ１と、前記入力計測値ｕ、及び前記第１係数ａからなる予測モデルに基づいて、前記予測対象２の将来における出力を予測する予測処理Ｓ２と、を実行する。前記同定処理Ｓ１は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数ａに係るカーネル行列Ｋと、計測雑音の共分散σ_ｗ ^２と、前記第１係数ａに係るカーネル行列Ｋで重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数ａを同定する。

本開示の第８の態様によれば、プロセッサ３１と、前記プロセッサ３１に接続され、予測対象２の入力の計測値である入力計測値ｕ、及び出力の計測値である出力計測値ｙを記憶する記録装置３０と、を備える予測装置３のコンピュータ９００を機能させるプログラムは、予測対象２の運転中に前記コンピュータ９００に、過去に記憶された複数の前記入力計測値ｕ、及び複数の前記出力計測値ｙから、前記予測対象２を移動平均フィルタを用いて表すための入力に対する第１係数ａを同定する同定処理Ｓ１と、前記入力計測値ｕ、及び前記第１係数ａからなる予測モデルに基づいて、前記予測対象２の将来における出力を予測する予測処理Ｓ２と、を実行させる。前記同定処理Ｓ１は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数ａに係るカーネル行列Ｋと、計測雑音の共分散σ_ｗ ^２と、前記第１係数ａに係るカーネル行列Ｋで重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数ａを同定する。

１ 予測システム
２ 予測対象
２１０ 制御装置
３ 予測装置
３０ 記録装置
３１ プロセッサ
３１０ 同定部
３１１ 予測部
９００ コンピュータ

Claims (8)

1. 予測対象の将来における出力を予測する予測装置であって、
   プロセッサと、
   前記プロセッサに接続され、前記予測対象の入力の計測値である入力計測値、及び出力の計測値である出力計測値を記憶する記録装置と、
   を備え、
   前記プロセッサは、前記予測対象の運転中に、
   過去に記憶された複数の前記入力計測値、及び複数の前記出力計測値から、前記予測対象を移動平均フィルタを用いて表すための前記入力に対する第１係数を同定する同定処理と、
   前記入力計測値、及び前記第１係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、
   を実行し、
   前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数に係るカーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数を同定する、
   予測装置。
2. 予測対象の将来における出力を予測する予測装置であって、
   プロセッサと、
   前記プロセッサに接続され、前記予測対象の入力の計測値である入力計測値、及び出力の計測値である出力計測値を記憶する記録装置と、
   を備え、
   前記プロセッサは、前記予測対象の運転中に、
   過去に記憶された複数の前記入力計測値、及び複数の前記出力計測値から、前記予測対象を移動平均フィルタを用いて表すための前記入力に対する第１係数を同定する同定処理と、
   前記入力計測値、及び前記第１係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、
   を実行し、
   前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本の共分散行列を近似した一次安定スプラインカーネルを用いて更新した第１係数に係るカーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数を同定する、
   予測装置。
3. 前記同定処理は、前記計測雑音の共分散の複数の候補値それぞれについて第１係数を同定し、予測結果が最良となる候補値から算出された値を前記第１係数として採用する、 請求項１又は２に記載の予測装置。
4. 前記第１係数に係るカーネル行列に基づき、前記移動平均フィルタの第１係数の次数を更新する更新処理を更に実行する、
   請求項１から３の何れか一項に記載の予測装置。
5. 予測対象の将来における出力を予測する予測装置であって、
   プロセッサと、
   前記プロセッサに接続され、前記予測対象の入力の計測値である入力計測値、及び出力の計測値である出力計測値を記憶する記録装置と、
   を備え、
   前記プロセッサは、前記予測対象の運転中に、
   過去に記憶された複数の前記入力計測値、及び複数の前記出力計測値から、前記予測対象を自己回帰移動平均フィルタを用いて表すための前記入力に対する第１係数と、前記出力に対する第２係数とを同定する同定処理と、
   前記入力計測値、前記出力計測値、前記第１係数、及び前記第２係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、
   を実行し、
   前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数に係る第１カーネル行列と、過去に同定された第２係数群を標本として更新した第２係数に係る第２カーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数及び前記第２係数を同定する、
   予測装置。
6. 前記第１カーネル行列に基づき前記自己回帰移動平均フィルタの第１係数の第１次数を更新し、前記第２カーネル行列に基づき前記自己回帰移動平均フィルタの第２係数の第２次数を更新する更新処理を更に実行する、
   請求項５に記載の予測装置。
7. 予測装置を用いて予測対象の将来における出力を予測する予測方法であって、
   前記予測対象の運転中に、
   前記予測装置が過去の予測対象の複数の入力計測値、及び過去の予測対象の複数の出力計測値から、前記予測対象を移動平均フィルタを用いて表すための入力に対する第１係数を同定する同定処理と、
   前記予測装置が前記入力計測値、及び前記第１係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、
   を実行し、
   前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数に係るカーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数を同定する、
   予測方法。
8. プロセッサと、前記プロセッサに接続され、予測対象の入力の計測値である入力計測値、及び出力の計測値である出力計測値を記憶する記録装置と、を備える予測装置のコンピュータを機能させるプログラムであって、予測対象の運転中に前記コンピュータに、
   過去の予測対象の複数の入力計測値、及び過去の予測対象の複数の出力計測値から、前記予測対象を移動平均フィルタを用いて表すための入力に対する第１係数を同定する同定処理と、
   前記入力計測値、及び前記第１係数からなる予測モデルに基づいて、前記予測対象の将来における出力を予測する予測処理と、
   を実行させ、
   前記同定処理は、過去に同定された第１係数群を標本として更新した第１係数に係るカーネル行列と、計測雑音の共分散と、前記第１係数に係るカーネル行列で重み付けした入力の共分散行列と、を用いて前記第１係数を同定する、
   プログラム。

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