JP5388956B2 - 振動抑制方法 - Google Patents

Description

本発明は、加速または減速運動に伴って運動体に生じる振動を抑制する振動抑制方法に関するものであり、特に、上記運動中に運動体自体の姿勢が変化する場合に、運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法に関する。

様々な作業を行うために運動動作を行うロボットアームは、モータとアームの間に減速機を用いている。減速機はねじりばねとして振る舞うため、モータ停止後もアームの振動が残留する。その結果、振動が収まるまで次の作業に移ることができず、作業効率を向上させることができない。

このような残留振動に伴う課題は、ロボットアームだけに限られず、加速または減速運動を含む運動動作を行う運動体、例えば、工作機械やクレーン等についても共通する。

フィードバック制御で振動を抑える場合は検出器が必要となるため、検出器が不要なフィードフォワード制御で振動を抑える方法が求められている。

フィードフォワード制御での振動抑制方法としては、インプットシェイピング法が知られている（例えば、非特許文献１参照）。このインプットシェイピング法は、工作機械などのように、固有振動数が変化しない場合に有効な振動抑制方法であり、様々な提案がなされている。

特開２００９−２９６１７号公報

Neil C. Singer and Warren P. Seering : Preshaping Command Inputs to Reduce System Vibration, Trans.ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Vol.112, No.1, 76-82 (1990) Pyung Hun Chang and Hyung-Soon Park : Time-varying input shaping technique applied to vibration reduction of an industrial robot, Control Engineering Practice 13 (2005) 121-130

ロボットアームは、様々な作業に対応可能とするために、一般に多関節および多自由度を有している。そのため、ロボットアームにおいて、一の関節が駆動された運動動作を行っている間に他の関節が駆動されると、運動動作を行っているアーム自体の姿勢が変化する。そのため、アームの固有振動数が時間によって変化することになる。このような場合にあっては時変の振動系となるため、時不変の振動系を対象として従来のインプットシェイピング法を単に適用するだけでは、振動抑制に対応することができない。

このような時変の振動系において振動を抑制する方法としては、いくつかの提案がなされている（例えば、特許文献１および非特許文献２参照）。しかしながら、時変の振動抑制に対して、インプットシェイピング法を効果的に適用できる振動抑制方法が求められている。

従って、本発明の目的は、上記課題を解決することにあって、加速または減速運動に伴って運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を、インプットシェイピング法を効果的に適用して抑制する振動抑制方法を提供することにある。

上記目的を達成するために、本発明は以下のように構成する。

本発明の一態様によれば、加速または減速運動が行われる運動体において、加速または減速運動に伴って運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法において、運動体に付加された第１のインパルス入力によって運動体に生じる第１のインパルス応答に、第１のインパルス応答の変位が０となる時刻において、第２のインパルス入力を運動体に付加して生じる第２のインパルス応答を重ね合わせて、互いに打ち消し合うインプットシェイピング法を適用する場合に、加速または減速運動を行っている間に運動体自体の姿勢が変化することにより生じるコリオリの力がした仕事を考慮して、第１のインパルス入力に対する第２のインパルス入力の大きさを決定する、振動抑制方法を提供する。

本発明によれば、加速または減速運動に伴って運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を、インプットシェイピング法を用いて抑制する場合に、運動体自体の姿勢変化に伴って生じるコリオリの力がする仕事を考慮して、第２のインパルス入力の大きさを決定しているため、時間によって第１のインパルス応答の振幅が変化する時変の振動系に対して、第２のインパルス応答を重ね合わせることで効果的に振動を抑制することができる。

本発明の実施の形態１にかかる振動抑制方法が適用されるロボットアームの模式図 ロボットアームの運動における加速度変化を示す図 ロボットアームの運動における速度変化を示す図 時不変におけるインパルス応答の変位と時間の関係図 時変におけるインパルス応答の変位と時間の関係図 時変におけるインパルス応答の変位と時間の関係図 時変におけるインパルス応答の変位と時間の関係図 実施例１の振動抑制方法を適用するモデルの模式図 アームの面内方向の運転パターンの図 慣性モーメントの変化を示す図 モデルに生じるインパルス応答を示す図 インパルス入力の大きさの割合αの算出結果を示す図 固有周期の変化による補正を考慮してインパルス入力の大きさの割合γの算出結果を示す図 インパルス応答の重ね合わせ結果を示す図 強制加振力の継続時間と振動レベルとの関係を示す図 振動抑制を行うための加速度パターンを示す図 振動抑制を行うための強制加振力パターンを示す図 強制加振力の継続時間と振動レベルとの関係を示す図 振動抑制方法を適用して駆動装置により運動体の運転を行う手順のフローチャート 本発明の実施の形態２にかかる振動抑制方法において、インパルス入力の大きさの割合α（ｔ）の算出結果を示す図 インパルス入力の時間幅の割合β（ｔ）について、１／β（ｔ）の算出結果を示す図 インパルス入力の大きさの割合γ（ｔ）の算出結果を示す図 アームの動作の全継続時間における運転パターンを示す図であり、（ａ）は外力パターンを示す図、（ｂ）は加速度パターンを示す図、（ｃ）は速度パターンを示す図

以下に、本発明にかかる実施の形態を図面に基づいて詳細に説明する。

（実施の形態１）
本発明の実施の形態１にかかる運動体の振動抑制方法について、運動体の一例であるロボットアーム１０を用いて説明する。また、このロボットアームの模式図を図１に示す。

図１に示すように、ロボットアーム１０は、複数のアームと、それぞれのアームを回転運動可能に連結する複数の関節と、先端のアームに取り付けられたハンドツールとを備えている。具体的には、ロボットアーム１０には、関節１１ａ、１１ｂ、１１ｃと、アーム１２ａ、１２ｂと、アーム１２ｂの先端に取り付けられたハンドツール１３とが備えられている。さらに、それぞれの関節１１ａ〜１１ｃにおいて、アーム１２ａ、１２ｂを回転駆動させる駆動装置（例えば、モータ等、図示せず）と、この駆動装置からの駆動力をそれぞれの関節に伝達させる減速機（図示せず）とが備えられている。

図１のロボットアーム１０において、関節１１ａは、鉛直方向の回転軸１４ａ周りにアーム１２ａを旋回（旋回角度θ）させることができ、関節１１ｂは、水平方向の回転軸１４ｂ周りにアーム１２ａを回転運動（回転角度ψ_１）させることができ、関節１１ｃは、水平方向の回転軸１４ｃ周りにアーム１２ｂを回転運動（回転角度ψ_２）させることができる。

そのため、ロボットアーム１０の動きは、垂直方向の回転軸１４ａ周りの旋回運動（以降、「旋回方向の動き」とする。）と、水平方向の回転軸１４ｂおよび１４ｃ周りの回転運動（以降、「面内（垂直面内）方向の動き」とする。）に分けることができる。ロボットアーム１０において、旋回方向の動きと面内方向の動きとが同時に行われて、加速または減速運動が行われると、その後、旋回方向と面内方向に自由振動が生じることになる。本実施の形態１では、説明の理解を容易にするために、一例として、旋回方向における振動について取り扱うものとする。

本実施の形態１の振動抑制方法を説明するにあたって、このようなロボットアーム１０をモデルとして、旋回方向に対するアーム（アーム１２ａ、１２ｂ）の運動方程式についてまず説明する。

時間をｔ、旋回方向の慣性モーメントをＪ（ただし、Ｊは時間の関数とする。）、減速機の回転ばね定数をｋ、減速機の目標角度をθ_０、回転軸１４ａの回転角度をθとすると、旋回方向における角運動量の変化は外力のモーメントに等しいので、式（１）のように表すことができる。ここで、式（１）中の「・」は時間による微分を表す。

この式（１）より、式（２）に示す運動方程式を導くことができる。

さらに、式（２）にて、相対角変位を式（３）のようにおいて整理すると、式（４）を導くことができる。

なお、式（４）における左辺の第２項はコリオリの力であり、詳細については後述する。

このようなロボットアーム１０において、図２に示すようにアームの加速運動、等速運動、その後減速運動が行われるような場合、駆動装置（モータ等）は図３に示すような台形速度則に沿って運転される。なお、図２は、加速度（縦軸）と時間（横軸）との関係を示すグラフであり、図３は、速度（縦軸）と時間（横軸）との関係を示すグラフである。
駆動装置の動きによって生じる強制加振力（モーメント）Ｆを式（５）とすれば、式（４）にて表される運動方程式は、式（６）に示すように駆動装置の動きによって生じる強制加振力Ｆが加わる振動系に相当することが分かる。

さらに、このように台形速度則を前提にすると強制加振力Ｆが既知関数となり、インパルス応答との積分で相対角度変位を次の式（７）のように表すことができる。

ここで、Ｈ（ｔ，τ）は、時変のインパルス応答関数であり、時刻τにインパルス入力を与えた特の時刻ｔにおける応答の値である。

次に、インプットシェイピング法の考え方について説明する。

インプットシェイピング法は、工作機械のように係数が定数となる１自由度の振動系に対して、一定外力を有限時間与えた場合の自由振動を抑制する方法である。上述した式（４）において、旋回方向の慣性モーメントＪを定数、すなわち時間によって変化しないものとすると、次の式（８）を導くことができる。

ここで、インプットシェイピング法におけるインパルス応答の重ね合わせの考え方を図４に示す。なお、図４はインパルス応答の変位（振動量：縦軸）と時間（横軸）との関係を表している。

図４に示すように、ある時刻ｔ_１にロボットアームなどの運動体が受けた外力（強制加振力、第１のインパルス入力Ｐ_１）により生じた自由振動（第１のインパルス応答Ｑ_１：実線にて示す。）を、この第１のインパルス応答Ｐ_１の固有周期Ｔの半周期（Ｔ／２）後である時刻ｔ_２に運動体に対して外力（強制加振力、第２のインパルス入力Ｑ_２）を与えることにより生じた第２のインパルス応答Ｑ_２（破線にて示す。）を重ね合わせる。この重ね合わせにより、時刻ｔ_２以降において、第１のインパルス応答Ｑ_１と第２のインパルス応答Ｑ_２とが互いに打ち消し合って、インパルス応答を０にすることができる。

また、式（８）よりこのような振動を生じさせる外力である加振力は、駆動装置による運動体の加速運動または減速運動が行われる際に生じることが分かる。さらに、この振動系において短い時間系を考えて実質的な減衰がないものとした場合において、第１のインパルス応答Ｑ_１を、第２のインパルス応答Ｑ_２により打ち消し合うようにするためには、第１のインパルス応答Ｑ_１の半周期後に、第１のインパルス入力Ｐ_１と同じ大きさの第２のインパルス入力Ｐ_２を与え続ければ良い。したがって、駆動装置による運動体の加速運動または減速運動が行われる際に、第２のインパルス入力Ｐ_２を付加するような一定加速度を、固有周期Ｔの区間に渡って運動体に対し与えることにより、自由振動を抑えることができる。なお、このような考え方は、固有周期Ｔの整数倍についても同じことが言える。

次に、本実施の形態１の振動抑制方法、すなわち、時変の振動系に対する制御則について詳細に説明する。

ロボットアームの旋回方向の動きが行われる際に、面内方向の動きも行われてロボットアームの姿勢が変化すると慣性モーメントＪも変化する。すなわち、ロボットアーム１０において、アーム１２ａ、１２ｂが旋回方向に運動される際に、例えば、アーム１２ａが面内方向に運動されると、アーム１２ｂに対するアーム１２ａの相対的な姿勢が変化することになり、それに伴ってロボットアーム１０の慣性モーメントＪも変化することになる。このロボットアーム、すなわち運動体に対して、時刻ｔ_ｉに大きさＡ_ｉのインパルス入力を与えるとすると、式（６）に示す運動方程式を、デルタ関数δ（ｔ）を用いて、式（９）のように表すことができる。

慣性モーメントが時間とともに増加するとして、インパルス応答を計算したものを図５に示す。なお、図５では、インパルス応答の変位（振動量：縦軸）と時間（横軸）との関係を表している。図５においては、時刻ｔ＝０に第１のインパルス入力Ｐ_１を運動体に対して与えることにより生じる第１のインパルス応答Ｑ_１（実線）と、この第１のインパルス応答Ｑ_１が変位０となる時刻をｔ_ｊ（ｊ＝１，２．．．）とおき、時刻ｔ＝ｔ_１に第２のインパルス入力Ｐ_２を運動体に対して与えることにより生じる第２のインパルス応答Ｑ_２（破線）とを示している。図５に示すように、第１のインパルス応答Ｑ_１と第２のインパルス応答Ｑ_２は、変位が０となる時刻は同じであるが、変位の振幅が異なっている。

次に、式（９）の運動方程式に「φの時間による微分」を乗じて時間で積分することにより、次の式（１０）のエネルギの関係式が得られる。

ここで、式（１０）のエネルギの関係式における右辺の項は、時刻ｔ_ｉでのインパルス入力により運動体に与えられたエネルギであり、一定値となる。ただし、この値はインパルス入力を与える時刻ｔ_ｉによって異なるため、右辺の項を次の式（１１）のようにおく。

また、式（１０）のエネルギの関係式における左辺の３つの項の和は一定となり、左辺の第２項はコリオリの力がする仕事に相当し、時間によりその値が変化するため、次の式（１２）のようにおいて式（１０）を整理すると、式（１３）のようになる。

この式（１３）より、運動エネルギとポテンシャルエネルギの和は、時間によって変化することが分かる。

ここで、時刻０に大きさＡ_０の第１のインパルス入力を与えた時の第１のインパルス応答をφ_０（ｔ）、時刻ｔ_１に大きさＡ_１の第２のインパルス入力を与えた時の第２のインパルス応答をφ_１（ｔ）とする。第１および第２のインパルス応答において、変位が０となる時刻ではポテンシャルエネルギｋφ^２／２は０となるため、式（１４）、式（１５）、式（１６）を導くことができる。

また、第２のインパルス入力は、時刻ｔ_１で変位が０である運動体に対して、式（１７）にて示す初期速度を与えることに等しく、また、第１のインパルス応答は、時刻ｔ_１で変位が０である運動体に対して、式（１８）にて示す初期速度を与えることに等しい。したがって、式（１９）に示すような関係が成り立つことで、第１のインパルス応答と第２のインパルス応答とが互いに打ち消し合うことが可能となる。

そこで、第１のインパルス入力の大きさＡ_０と、第２のインパルス入力の大きさＡ_１との関係を、Ａ_１＝αＡ_０とし、２つのインパルス応答が互いに打ち消し合うような入力の割合αを設定する。具体的には、式（１６）は、式（１４）より、αを用いて、次の式（２０）のように表すことができる。

式（１５）および式（２０）より、第１のインパルス入力の大きさＡ_０に対する第２のインパルス入力の大きさＡ_１の割合（比）αは、次の式（２１）のように表すことができる。

ここで、Ｅ（０）は、時刻ｔ＝０にて第１のインパルス入力により運動体に与えられるエネルギであり、Ｊ（０）は、時刻ｔ＝０にて運動体が有する運動エネルギであり、Ｊ（ｔ_１）は、時刻ｔ＝ｔ_１にて運動体が有する運動エネルギであり、Ｃ（ｔ_１）は、時刻ｔ＝ｔ_１にて運動体においてコリオリの力がする仕事である。

このように、式（２１）を用いることで、第１のインパルス入力の大きさＡ_０に対する第２のインパルス入力の大きさＡ_１の割合αを算出することができる。その結果、算出された割合αを用いて、第２のインパルス入力の大きさＡ_１を決定して、時刻ｔ＝ｔ_１において、予め決定された大きさＡ_１の第２のインパルス入力を運動体に付加することで、第１のインパルス応答と第２のインパルス応答とを互いに打ち消し合うことができる。したがって、時変の振動系において、インパルス応答の振幅が時変する場合であっても、第２のインパルス入力の大きさを適切に設定することで、振動を効果的に抑制することができる。

次に、本実施の形態１の振動抑制方法において、固有周期が変化した場合に補正する方法について説明する。

図５において、強制加振力が時刻０から時刻ｔ_２まで運動体に対して働いたとすると、運動体に生じる振動は、式（７）を用いて、次の式（２２）のように表すことができる。

これまでは半周期遅れたインパルス応答の重ね合わせによる打ち消しを考えてきたが、時変の振動系のインパルス応答では固有周期が変化する場合が考えられる。そのため、図６に示すように、所定の時間だけ一定の外力を連続的に運動体に対して与え続けた時のインパルス応答の重ね合わせを考える。

具体的には、図６に示すように、時刻０から時間幅ΔＴの間に大きさＡ_０の第１のインパルス入力Ｐ_１を運動体に対して連続的に与えることによって、運動体に生じる第１のインパルス応答Ｑ_１を、時刻ｔ_１から時間幅（β_１・ΔＴ）の間に、適切な大きさ（Ａ_０・γ_１）の第２のインパルス入力Ｐ_２を運動体に対して連続的に与えることによって、運動体に生じる第２のインパルス応答Ｑ_２で、打ち消すことを考える。分かり易く簡略化して表現すれば、図６において、時刻０から時間幅ΔＴの間に大きさＡ_０の第１のインパルス入力Ｐ_１が連続的に付加されることにより、運動体が受け取るエネルギ（ここでは、インパルス入力の大きさと時間との積とする。）（Ａ_０・ΔＴ）と、時刻ｔ_１から時間幅（β_１・ΔＴ）の間に大きさ（Ａ_０・γ１）の第２のインパルス入力Ｐ_２が連続的に付加されることにより、運動体が受け取るエネルギ｛（Ａ_０・γ_１）×（β_１・ΔＴ）｝とが略同じとなるように、時間幅の割合（比）β_１とインパルス入力の大きさの割合（比）γ_１とを設定する、という考え方である。すなわち、上述のそれぞれのエネルギのブロック同士を互いに相殺するという考え方を用いている。この考え方を式で示すと、次の式（２３）のように表すことができる。

このような考え方に基づくインパルス応答の打ち消しを時刻０から時刻ｔ_２までにわたって考えると、ｔ＞ｔ_１（すなわち、時刻ｔ_１以降の時間帯）で式（２２）の値を０にすることができる。なお、時間幅ΔＴは、インパルス応答の周期に比して十分に小さいものと仮定することができ、さらに、インパルス入力を発生させる駆動装置（モータ等）の駆動を制御するサンプリング時間は、インパルス応答の周期に比して十分に短い時間である。したがって、時間幅ΔＴを過大に長くとらない限り、上述のようなブロック同士を相殺するという考え方を適用することができる。

したがって、式（２３）および図６にて示すような所定の時間幅を考慮したインパルス応答の重ね合わせの考え方を用いて、まず時間幅ΔＴを設定することで、時間幅の割合β_１とインパルス入力の大きさの割合γ_１とを設定することができ、さらに設定された割合β_１、γ_１を用いて、運動体に対して第２のインパルス入力Ｐ_２の大きさおよび付加する時間幅を決定して、インパルス応答の重ね合わせを行うことで、時変の振動系のインパルス応答において固有周期が変化する場合であっても、確実に振動を抑制することができる。

また、このように時変の振動系のインパルス応答において、固有周期の変化に加えて、振幅の変化を伴うような場合には、式（２３）で示す考え方に式（２１）にて示す割合αを併用することが望ましい。具体的には、図６に示すように、時刻０にて第１のインパルス入力Ｐ_１を運動体に対して与えた時の第１のインパルス応答Ｑ_１は、時刻ｔ_１にて変位が０となるのに対して、時刻ΔＴ（すなわち、０＋ΔＴ）にて第１のインパルス入力Ｐ_１’を運動体に対して与えた時の第１のインパルス応答Ｑ_１’は、時刻（ｔ_１＋β_１・ΔＴ）で変位が０となる。これらより、時刻ｔ_１における割合α（ｔ_１）と、割合β_１、γ_１とは、次の式（２４）のような関係となる。

インパルス応答の周期だけが変化する場合には、式（２４）において、β_１＝１と置けば良く、また、インパルス応答の振幅だけが変化する場合には、式（２４）において、α（ｔ_１）＝１と置けば良い。なお、β_１およびγ_１は、式（２３）および式（２４）を満たす範囲で適切に設定すれば良い。このようにして、α（ｔ_１）、β_１、γ_１を設定することができる。

上述の説明では、図５および図６に主に示すように、時間の経過に伴って、インパルス応答の振幅が減少し、かつ、固有周期が長くなるような場合を例として説明したが、本実施の形態１の振動抑制方法は、このような場合についてのみ限定されるものではない。このような場合に代えて、例えば、図７に示すように、時間の経過に伴って、インパルス応答の振幅が増大し、かつ、固有周期が短くなるような場合であっても、本実施の形態１の振動抑制方法を適用することができる。

具体的には、図７において、時刻ｔ＝０において、第１のインパルス入力Ｐ_１を運動体に対して与えることにより生じた第１のインパルス応答Ｑ_１において、時間の経過に伴って、振幅が減少し、かつ、固有周期が短くなるような場合であっても、時刻ｔ＝ｔ_１において、第２のインパルス入力Ｐ_２を運動体に対して与えることにより生じた第２のインパルス応答Ｑ_２を重ね合わせることで、インパルス応答を互いに打ち消すことができる。また、このインパルス応答の重ね合わせを行う際に、式（２１）、式（２３）、および式（２４）を適用することができる。

（実施例１）
次に、本実施の形態１のインプットシェイピング法を利用した時変の振動系の振動抑制方法を、適用した実施例について説明する。

本実施例１では、図８に示すようなロボットアームを模擬した長さＬ、重さｍのアーム２１の先端に重さｍ_１の搬送物２２があるモデル２０を用いる。モデル２０において、駆動装置２４により垂直方向の回転軸２３ａ周りにアーム２１および搬送物２２が一体的に旋回方向の動作（旋回角度θ）が行われる際に、駆動装置２５により水平方向の回転軸２３ｂ周りにアーム２１および搬送物２２が一体的に面内方向の動作（回転角度ψ）が行われる場合を考える。なお、本実施例１のモデル２０の動作は、図１に示すロボットアーム１０において、面内方向の動きのうちの回転角度ψ_２は変化せずに、回転角度ψ_１だけが変化する場合に相当する。また、モデル２０では、アーム２１および搬送物２２が運動体の一例となっている。

具体的には、図８のモデル２０において、アーム２１の旋回方向の動きにより生じる慣性モーメントが大きく変化する場合を想定して、アーム２１の面内方向の回転角度ψ_１が、１０°から９０°に０．２秒で変化する運転パターンを考える。ただし、加速運動および減速運動を行う時間をそれぞれ０．０５秒、定速運動を行う時間を０．１秒とする。ここで、図９にアーム２１の面内方向の運転パターンを示し、図１０に慣性モーメントの変化を示す。また、振動抑制方法を適用するにあたって、計算に用いた各種パラメータを表１に示す。

このモデル２０において、図９および図１０に示す運転パターンにしたがって、旋回方向の動きおよび面内方向の動きを行った場合に、アーム２１に生じるインパルス応答（第１のインパルス応答）を図１１に示す。図１１では、インパルス応答における変位が０となる時刻をｔ_ｊ（ｊ＝１，２，３．．．）としている。アーム２１の面内方向の運転は０．２秒で終了するため、旋回方向の運転もそれに合わせて０．２秒前後で終了させる。旋回方向の運転は、加速、定速、減速の３区間に分類され、それぞれの区間において自由振動が発生するが、本実施例１では、実際の運動において最も問題となる減速区間のみを対象として自由振動を考える。具体的には、減速時間をｔ_４≦ｔ≦ｔ_６とし、初期条件としてｔ＝ｔ_４の時点で振動が生じていないものとして減速終了後の自由振動を扱う。

まず、１自由度かつ時変のインパルス応答における振幅の変化による補正を考える。図１１に示すインパルス応答に重ね合わせるべきインパルス応答を生じさせる入力の大きさの割合α（ｔ）（ただし、減速時間ｔ_４≦ｔ≦ｔ_６について）を、式（２１）を用いて求めた結果を図１２に示す。ここで、インパルス応答の重ね合わせにより打ち消し合うために考えなければならない区間は、ｔ_５≦ｔ≦ｔ_６の区間であるので、ｔ_４≦ｔ≦ｔ_５の区間についてはα（ｔ）＝１としている。

次に、１自由度かつ時変系のインパルス応答における固有周期の変化による補正を考える。ΔＴが有限の値であるため、インパルス入力の大きさの割合γ（ｔ）は近似となる。ΔＴ＝０．００５秒で計算して、時間幅の割合β_ｉを求め、式（２４）にて表すγ_ｉ＝α（ｔ_ｉ）／β_ｉからγ（ｔ）を求めたものを図１３に示す。

図１２および図１３にて求めたそれぞれの割合αおよびγ（ｔ）を用いて、旋回方向の減速時間ｔ_４≦ｔ≦ｔ_６で、Ｆ（ｔ）＝Ａγ（ｔ）の強制加振力をアーム２１に対して与えた時の応答、すなわち、残留振動を抑制するように、第１のインパルス応答に対して、第２のインパルス応答の重ね合わせを行った結果を図１４に示す。なお、図１４では、縦軸に相対角変位（φ［ｒａｄ］：振幅）、横軸に時間（ｓ）を示している。

図１４に示すように、減速時間ｔ_４≦ｔ≦ｔ_６の区間で生じる振幅の最大値（すなわち、振動の最大角変位）Ｒ_１に対して、減速運動終了後の時間ｔ_６≦ｔの区間で生じる残留振動の振幅Ｒ_２はかなり低く抑えられていることが分かる。図１４において、最大変位は、時刻ｔ＝ｔ_５まで増大し、時刻ｔ＝ｔ_５以降で減少に転じ、時刻ｔ＝ｔ_６では理想的に減少されている。

次に減速時間ｔ_４≦ｔ≦ｔ_６で、このようなＦ（ｔ）＝Ａγ（ｔ）の強制加振力をアーム２１に対して与えた時に残留振動が抑えられることをさらにデータ解析を行うことにより確認する。

加振力の継続時間をＴｉとして、ｔ_４≦ｔ≦Ｔ_ｉで強制加振力をアーム２１に対して与えた場合の残留振動の振幅を比較したものを、図１５に示す。ただし、ｔ_４≦ｔ≦Ｔ_ｉの区間でＦ（ｔ）＝Ａγ（ｔ）、ｔ６＜ｔの区間でＦ（ｔ）＝Ａ、Ｔｉ＜ｔの区間でＦ（ｔ）＝０とする。また、図１５の横軸は強制加振力の継続時間Ｔｉを表し、縦軸は強制加振力の入力終了後の相対角変位φ（ｔ）の最大値を、入力終了後の相対角変位φ（ｔ）の最大値が一番大きい時（Ｔ_ｉ＝ｔ_５の時）の値を基準としたデシベルで表したもの（振動レベル）である。図１５から明らかなように、Ｔ_ｉ＝ｔ_６付近でよく振動が抑制されていることが分かる。

上述の式（５）にて示したように、このような強制加振力は次の式（２５）のように表すことができる。

そこで、図１３に示すインパルス入力の大きさの割合γに基づいて、振動を抑えることができる強制加振力を求め、求められた強制加振力を発生できるように駆動装置（モータ）による加速度パターンを計算したものと図１６に示す。なお、図１６では、縦軸が加速度（ｒａｄ／ｓ^２）、横軸が時間（ｓ）となっている。また、この図１６に示す加速度パターンに基づいて駆動装置が駆動された時に、アーム２１に対して付加される強制加振力を図１７に示す。なお、図１７では、縦軸が強制加振力Ｆ（ｔ）、横軸が時間（ｓ）となっている。さらに、図１５と同様に外力の継続時間Ｔ_ｉを変化させて入力終了後の相対角変位（残留振動）の大きさを比較したもの（振動レベル：デシベル表示）を図１８に示す。

図１６、図１７、および図１８に示すように、減速時間ｔ_４≦ｔ≦ｔ_６の区間に、図１６にて示す加速度パターンに沿った加速度を与えることにより、減速運動終了後における旋回方向の残留振動を効果的に抑制できることが分かる。

ここで、本実施の形態１および実施例１にて説明した振動抑制方法を、加速または減速運動を行う運動体に生じる、１自由度かつ時変の振動を抑制するように適用して、駆動装置を用いて運動体の運転を行うための手順について、図１９に示すフローチャートを用いて説明する。

まず、図１９のフローチャートのステップＳ１において、駆動装置を用いて運転される運動体の運転条件の設定を行う。このような運転条件としては、例えば、運動体の運転開始位置および目標位置の空間座標、動作に要する時間的な制約条件、ならびに搬送物の有無などの条件がある。さらに、運動体の自重や駆動装置の駆動力を運動体に伝達するための減速機の仕様（回転ばね定数）なども運転条件として設定する。

次に、ステップＳ２において、運動体の運転パターンを設定する。この運転パターンの設定は、ステップＳ１にて設定された運転条件に基づいて行われる。具体的には、運動体の運転開始位置、目標位置、動作時間、および重量などの運転条件から、運動体の加速、定速、減速の運転区間や時間を設定するとともに、２つの異なる運動体の動作、例えば、旋回方向の動きと面内方向の動きとのそれぞれの運転パターンを設定する。

次に、ステップＳ３において、設定された運動体の運転パターンに基づいて、残留振動を抑制するような駆動装置による運動体の加速度パターンの計算を行う。この加速度パターンの計算は、運動体における慣性モーメントの変化に伴う、コリオリの力がした仕事を考慮して、上述した式（２１）、式（２３）、および式（２４）などを用いて、α（ｔ_ｉ）、β_ｉ、γ_ｉなどを算出することにより行う。また、この加速度パターンの計算は、特に自由振動が問題となる可能性が高い減速区間において行うことが望ましい。

その後、ステップＳ４において、計算された加速度パターンの情報に基づいて、駆動装置を駆動して、運動体の加速、定速、減速運転を実施する。運動体において、残留振動が抑制された運転を実施することができる。

なお、ステップＳ１〜Ｓ４までの条件設定や計算処理は、例えば、駆動装置の駆動動作を制御する制御装置において実施することができる。また、このような場合に代えて、上述の計算処理を行うプログラムがインストールされたコンピュータ装置を用いて、ステップＳ１〜Ｓ３の条件設定や計算処理を行い、計算された加速度パターンの情報を、駆動装置の制御装置に入力して、駆動装置の駆動動作が制御装置により制御されても良い。

また、運動体が複数の運転パターンを有するような場合にあっては、個々の運転パターン毎に、残留振動を抑制するような駆動装置による加速度パターンを計算して、制御装置に入力しておき、選択された運転パターンに対応する加速度パターンにて駆動装置の駆動動作を制御することもできる。この運転パターンの選択の際には、適切な運転パターンを選択する手段（例えば、センサなどを用いた手段など）を用いることもできる。

（実施の形態２）
上記実施の形態１では、時変の振動系において短い時間系を考えて実質的な減衰がないものとした場合の振動抑制方法について説明したが、減衰を考慮した場合の時変の振動系における振動抑制方法について、本実施の形態２にて説明する。例えば、ロボットアームにおいて減速機が用いられている場合には、減速機において摩擦などにより生じる熱エネルギがこのような減衰となる。

時変の振動系において減衰を考慮する場合には、実質的な減衰を考慮しない場合と比して、式（２１）のα、すなわち第１のインパルス入力の大きさＡ_０に対する第２のインパルス入力の大きさＡ_１の割合（比）αが相違することになる。ただし、固有周期の変化に対する補正する方法（式（２２）、式（２３）、式（２４）など）については、実質的な減衰を考慮しない場合と同様に考えることができる。したがって、本実施の形態２では、減衰を考慮した場合のαについてのみ説明する。

時変の振動系において減衰を考慮した場合、式（６）の運動方程式に減衰係数ｃの項を加えた運動方程式を考え、この運動方程式において時刻ｔ_ｉに大きさＡ_ｉのインパルス入力を与えるとすると、式（２６）のように表すことができる。

次に、この式（２６）の運動方程式に「φの時間による微分」を乗じて時間で積分すると次の式（２７）のように表すことができ、式（２８）のエネルギの関係式が得られる。

ここで、式（２８）のエネルギ関係式における左辺第２項は、減衰により損失するエネルギに相当し、時間により値が変化するため、同第２項を次の式（２９）のようにおく。

さらに、式（２９）を式（２８）に代入して整理すると、次の式（３０）のようになる。

ここで、変位が０となる時刻では、ポテンシャルエネルギ（式（３０）における左辺第２項）は０となるため、式（３０）は次の式（３１）のように表すことができる。

また、インパルス入力を与えた時刻では、コリオリの力がする仕事Ｃ（ｔ）および減衰による損失エネルギＤ（ｔ）も０となるため、次の式（３２）、式（３３）、式（３４）、式（３５）を導くことができる。

ここで、第１のインパルス入力の大きさＡ_０に対する第２のインパルス入力の大きさＡ_１の関係をＡ_１＝αＡ_０で表すときに、第１のインパルス応答と第２のインパルス応答とが互いに打ち消し合うような割合αは、式（３３）および式（３４）より、次の式（３６）のように表すことができる。

ここで、次の式（３７）の関係を満たせば、第１のインパルス応答と第２のインパルス応答とは互いに打ち消し合うことが可能となる。したがって、減衰を考慮した場合における第１のインパルス入力の大きさＡ_０に対する第２のインパルス入力の大きさＡ_１の割合αは、次の式（３８）のように表すことができる。

したがって、時変の振動系において減衰を考慮した場合には、式（３８）で表される割合αを用いることにより、インパルス応答の重ね合わせにより、振動を効果的に抑制することができる。

また、このような減衰の考慮は、例えば、運動体の駆動装置において、減速機などが用いられている場合に実施することが好ましい。一方、駆動装置において、直結モータなどが使用されて減速機が用いられていないような場合であり、かつ減衰が比較的小さいと判断できるような場合には、実質的な減衰は生じないものと判断して、上記実施の形態１の式（２１）を適用しても良い。

（実施の形態３）
次に本発明の実施の形態３は、上述した実施の形態１または２の時変の振動系における振動抑制方法を採用して振動を抑制することに加えて、さらに運動体を目的の位置に精度良く移動させることができる振動抑制方法である。

上述したそれぞれの実施の形態１または２におけるインプットシェイピング法を利用した時変の振動系の振動抑制方法では、例えば、半周期遅れたインパルス応答の重ね合わせによる打ち消しを行う場合に、コリオリの力がする仕事を考慮して、インパルス応答の振幅の変化および固有周期の変化に応じたインパルス入力を大きさおよび連続的な付加時間を決めて、振動の抑制を行うものである。しかしながら、時変系の場合は、インパルス応答の振幅と固有周期が変化することに加えて、外力（インパルス入力）の大きさも一定ではないため、大部分のインパルス応答を打ち消し合うことはできるものの、完全に打ち消し合うことは難しい。一方、このような運動体、例えば、ロボットアームの先端に取り付けられたハンドツールでは、目的の位置に精確に移動できるようにその動作制御を行う必要がある。

このような観点から、本実施の形態３では、時変の振動系においてインプットシェイピング法を利用して運動体に生じる振動を抑制しながら、運動体を目的の位置に精度良く移動させることができる振動抑制方法について説明する。なお、本実施の形態３では、上述の実施例１で用いた図８のロボットアームのモデル２０において、アーム２１および搬送物２２の一体的なの旋回方向の動作が行われるとともに、アーム２１および搬送物２２の一体的な面内方向の回転角度ψ_１が、１０°から９０°に０．２秒で変化する運転パターン（図９、図１０、図１１参照）を例として説明する。

アーム２１の旋回方向の動作の継続時間を、ｔ＝０からｔ＝ｔ_２、ｔ_４、ｔ_６などインパルス応答が０（ゼロ）になる偶数番目の時刻までに設定する（図１１参照）。図８のモデル２０の例では、アーム２１の旋回方向の動作の継続時間は、０≦ｔ≦ｔ_６となる。

次に、図１１に示す時変系のインパルス応答において、半周期ごとの一対の隣接する区間、すなわち、区間０≦ｔ≦ｔ_１と区間ｔ_１≦ｔ≦ｔ_２とが、区間ｔ_２≦ｔ≦ｔ_３と区間ｔ_３≦ｔ≦ｔ_４とが、区間ｔ_４≦ｔ≦ｔ_５と区間ｔ_５≦ｔ≦ｔ_６とが、それぞれ互いに打ち消し合うようにする。隣接せず離れた区間同士を打ち消し合わせるようにすることも可能ではあるが、隣接区間同士であれば、打ち消し合うインパルス応答の誤差の拡大量が少ないため、より効果的に打ち消し合うことができる。

また、隣接する一対の区間の前半または後半のいずれか一方の区間において、アーム２１が上述の運転パターンを実施するために必要な加速度をアーム２１に対して与え、他方の区間において付与する加速度は、重ね合わせるべきインパルス応答を生じさせる入力の大きさの割合γに基づいて決定する。通常は、隣接する一対の区間において、前半区間に運転パターン実施のための加速度を与え、重ねるべきインパルス応答を考慮して後半区間の加速度を計算により決定することが好ましい。

具体的には、まず、時変系のインパルス応答における振幅の変化による補正を考える。アーム２１の旋回方向の動作の継続時間０≦ｔ≦ｔ_６における３つの一対の区間において、図１１に示すインパルス応答に重ね合わせるべきインパルス応答を生じさせる入力の大きさの割合α（ｔ）、入力の時間幅の割合β（ｔ）について、図２０、図２１に示す。なお、図２１では、１／β（ｔ）について示している。

図２０、図２１に示すように、それぞれの一対の区間における前半区間において、α（ｔ）＝１、１／β（ｔ）＝１と設定し、後半区間においてインパルス応答の打ち消し合いを考慮したα（ｔ）、１／β（ｔ）を算出している。なお、このインパルス応答の打ち消し合いを考慮したα（ｔ）、１／β（ｔ）を算出は、上述の実施の形態１にて説明した手法により行うことができる。

次に、時変系のインパルス応答における固有周期の変化による補正を考える。図２０、図２１にて算出したα（ｔ）および１／β（ｔ）を用いて、インパルス入力の大きさの割合γ（ｔ）を算出すると、それぞれの一対の区間におけるγ（ｔ）は、図２２に示すようになる。なお、γ（ｔ）の算出は、式（２４）を用いて行うことができる。

ここで、それぞれの一対の区間におけるインパルス応答を打ち消し合うためのインパルス入力（強制加振力（外力））Ｆ（ｔ）の大きさは、前半区間と後半区間とにおいて図２２に示す割合γ（ｔ）の比を満たしていれば良く、必ずしも図２２に示すγ（ｔ）の形をした外力パターンに設定する必要はない。

図２２に示すそれぞれの一対の区間におけるインパルス入力の大きさの割合γ（ｔ）に基づいて算出されたアーム２１に対して付加する外力Ｆ（ｔ）のパターンを図２３（ａ）に示す。

さらに、図２３（ａ）の外力Ｆ（ｔ）に基づいて、次の式（３９）を用いて、それぞれの一対の区間における加速度を算出する。算出された加速度パターンを図２３（ｂ）に示す。

また、算出された加速度パターンから、次の式（４０）を用いて、その時刻における速度（駆動装置におけるモータの速度）を算出する。ただし、速度は１データ前、すなわち時間間隔Δｔ前のデータを用いる。速度の算出においては、時刻ｔ_２、ｔ_４において連続するように算出する。また、アーム２１の運動の開始時（ｔ＝０）は静止状態となるため速度ゼロとなり、アーム２１の動作の継続時間の最終時刻（ｔ＝ｔ_６）は停止状態となるため速度ゼロとなる。算出された速度パターンを図２３（ｃ）に示す。

このようにして、アーム２１の旋回方向の動作の全継続時間において、図２３（ｃ）に示すように速度パターンが算出されると、時間・速度の関係（すなわち、図２３（ｃ）のグラフの面積）よりアーム２１の移動距離を算出する。この算出された移動距離が、アーム２１の静止位置から目標の位置までの移動距離（すなわち制御指令値）に一致するように、それぞれの一対の区間で与えた加速度パターンを調節する。具体的には、算出された移動距離と制御指令値である移動距離との比を算出して、この比を相似比として用いて、図２３（ｂ）に示す全継続時間における加速度パターンおよび図２３（ａ）に示す全継続時間における外力パターンを相似変形させる（すなわち相似比を乗じる）ことで、加速度パターンの調整および外力パターンの調整を行う。

このように調整された加速度パターンおよび外力パターンを用いて、アーム２１の動作を行うことで、時変系の振動を抑制することができるとともに、アーム２１を精度良く目的の位置に移動させることができる。

なお、選定できる加速度の大きさは、駆動装置の能力（モータの能力など）により制限があるため、加速度パターンを相似変形させる限度は、駆動装置の能力の範囲内とする必要がある。そのため、駆動装置の能力を超えるような場合には、一対の区間の数を増大、すなわち動作の継続時間を増大させて、速度パターン、加速度パターンを再度算出する。

また、時変系では、運動体が一定速度で運動している場合でも加振力が生じるため、一対の隣接区間の前半区間において加速度をゼロと設定し、後半区間で前半区間の振動を打ち消すように加減速値を決めても良い。

本実施の形態３にて説明した条件設定や計算処理は、例えば、駆動装置の駆動動作を制御する制御装置において実施することができる。また、このような場合に代えて、これらの計算処理を行うプログラムがインストールされたコンピュータ装置を用いて、条件設定や計算処理を行い、計算された加速度パターンの情報を、駆動装置の制御装置に入力して、駆動装置の駆動動作が制御装置により制御されるようにしても良い。

上述の実施の形態の説明では、加速または減速運動を行う際に、運動体自体の姿勢の変化（例えば、慣性モーメントの変化）を伴う運動体において生じる、１自由度かつ時変の振動を、インプットシェイピング法を利用して抑制する方法について説明した。このような運動体の代表的な例であるロボットアームでは、その運動動作の自由度を高めるために、多関節の自由度の高い構造が採用されている。そのため、現実的には、ロボットアームが駆動される場合には、複数の自由度かつ時変の振動が発生する。一方、このような運動体において、最も問題となるのは低周波振動である。そのため、このように複数の自由度についての時変の振動が生じるような場合には、複数の自由度の振動の中で、最も低い周波数の振動に対して、本実施の形態の振動抑制方法を適用すれば良い。

また、本実施の形態の振動抑制方法は、運動体が加速運動または減速運動を行うことにより生じる振動に対して適用することができるが、定速運動中において運動体の姿勢が変化することによりコリオリの力が仕事を行うような場合には、このような定速運動を行うことにより生じる振動に対しても適用できる。

また、本実施の形態および実施例では、旋回方向の動きと面内方向の動きとが同時に行われる場合を例として、主に回転運動が行われる場合について説明したが、回転運動以外の運動にも適用することができる。

本発明によれば、加速または減速運動に伴って運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を、インプットシェイピング法を用いて抑制する場合に、運動体の姿勢変化に伴って生じるコリオリの力がする仕事を考慮して、第２のインパルス入力の大きさを決定しているため、時間によって第１のインパルス応答の振幅または周期が変化する時変の振動系に対して、第２のインパルス応答を重ね合わせることで効果的に抑制することができる。したがって、ロボットアーム、工作機械、およびクレーンなど、その動作中に姿勢変化を伴うような動作を行う運動体に生じる振動を、フィードフォワード制御にて効果的に抑制することができる。

なお、上記様々な実施形態のうちの任意の実施形態を適宜組み合わせることにより、それぞれの有する効果を奏するようにすることができる。

１０ ロボットアーム（運動体）、１１ａ〜１１ｃ 関節、１２ａ〜１２ｂ アーム、１３ ハンドツール、１４ａ〜１４ｃ 回転軸、２０ モデル、２１ アーム、２２ 搬送物、２４ 駆動装置、Ｐ_１ 第１のインパルス入力、Ｐ_２ 第２のインパルス入力、Ｑ_１ 第１のインパルス応答、Ｑ_２ 第２のインパルス応答

Claims (9)

1. 加速または減速運動が行われる運動体において、加速または減速運動に伴って運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法において、
   運動体に付加された第１のインパルス入力によって運動体に生じる第１のインパルス応答に、第１のインパルス応答の変位が０となる時刻において、第２のインパルス入力を運動体に付加して生じる第２のインパルス応答を重ね合わせて、互いに打ち消し合うインプットシェイピング法を適用する場合に、加速または減速運動を行っている間に運動体自体の姿勢が変化することにより生じるコリオリの力がした仕事を考慮して、第１のインパルス入力に対する第２のインパルス入力の大きさを決定する、振動抑制方法。
2. 駆動装置による外力が付加されて、加速または減速運動が行われる運動体において、加速または減速運動に伴って運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法であって、
   時刻０において、運動体に付加された大きさＡ_０の第１のインパルス入力によって運動体に生じる第１のインパルス応答を、第１のインパルス応答の変位が０となる時刻ｔ_１において、第１のインパルス入力の大きさＡ_０とは異なる大きさＡ_１の第２のインパルス入力を運動体に付加して生じる第２のインパルス応答により、互いに打ち消し合う場合において、
   時刻０にて第１のインパルス入力により運動体に与えられるエネルギをＥ（０）とし、時刻０にて運動体が有する運動エネルギをＪ（０）とし、時刻ｔ_１にて運動体が有する運動エネルギをＪ（ｔ_１）とし、時刻ｔ_１にて運動体においてコリオリの力がする仕事をＣ（ｔ_１）として、第１のインパルス入力の大きさＡ_０に対する第２のインパルス入力の大きさＡ_１の割合αを数１により算出し、
   算出された割合αを用いて、第２のインパルス入力の大きさＡ_１を決定して、時刻ｔ_１において第２のインパルス入力が運動体に付加されるように、駆動装置により運動体に付加される外力を制御する、振動抑制方法。
   

   
3. 駆動装置による外力が付加されて、加速または減速運動が行われる運動体において、加速または減速運動に伴って運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法であって、
   時刻０から時間幅ΔＴの間に、連続的に付加された大きさＡ_０の第１のインパルス入力によって運動体に生じる第１のインパルス応答を、時刻ｔ_１から時間幅（β_１・ΔＴ）の間に、大きさ（Ａ_０・γ_１）の第２のインパルス入力を連続的に付加して生じる第２のインパルス応答により、互いに打ち消し合う場合において、
   時刻０にて第１のインパルス入力により運動体に与えられるエネルギをＥ（０）とし、時刻０にて運動体が有する運動エネルギをＪ（０）とし、時刻ｔ_１にて運動体が有する運動エネルギをＪ（ｔ_１）とし、時刻ｔ_１にて運動体においてコリオリの力がする仕事をＣ（ｔ_１）として、時間幅ΔＴの間における第１のインパルス入力の総入力（Ａ_０・ΔＴ）に対する時間幅（β_１・ΔＴ）における第２のインパルス入力の総入力（Ａ_０・γ_１・β_１・ΔＴ）の割合αを数２により算出するとともに、時間幅の割合β_１と、インパルス入力の大きさの割合γ_１とを、数３を満たすように設定し、
   設定された時間幅の割合β_１および大きさの割合γ_１を用いて、第２のインパルス入力の付加時間幅および大きさを決定して、第２のインパルス入力が運動体に連続的に付加されるように、駆動装置により運動体に付加される外力を制御する、振動抑制方法。
   

   

   
4. 駆動装置による外力が付加されて、加速または減速運動が行われる運動体において、加速または減速運動に伴って運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法であって、
   時刻０において、運動体に付加された大きさＡ_０の第１のインパルス入力によって運動体に生じる第１のインパルス応答を、第１のインパルス応答の変位が０となる時刻ｔ_１において、第１のインパルス入力の大きさＡ_０とは異なる大きさＡ_１の第２のインパルス入力を運動体に付加して生じる第２のインパルス応答により、互いに打ち消し合う場合において、
   時刻０にて第１のインパルス入力により運動体に与えられるエネルギをＥ（０）とし、時刻０にて運動体が有する運動エネルギをＪ（０）とし、時刻ｔ_１にて運動体が有する運動エネルギをＪ（ｔ_１）とし、時刻ｔ_１にて運動体においてコリオリの力がする仕事をＣ（ｔ_１）とし、時刻ｔ_１にて減衰による損失エネルギをＤ（ｔ_１）として、第１のインパルス入力の大きさＡ_０に対する第２のインパルス入力の大きさＡ_１の割合αを数４により算出し、
   算出された割合αを用いて、第２のインパルス入力の大きさＡ_１を決定して、時刻ｔ_１において第２のインパルス入力が運動体に付加されるように、駆動装置により運動体に付加される外力を制御する、振動抑制方法。
   

   
5. 駆動装置による外力が付加されて、加速または減速運動が行われる運動体において、加速または減速運動に伴って運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を抑制する振動抑制方法であって、
   時刻０から時間幅ΔＴの間に、連続的に付加された大きさＡ_０の第１のインパルス入力によって運動体に生じる第１のインパルス応答を、時刻ｔ_１から時間幅（β_１・ΔＴ）の間に、大きさ（Ａ_０・γ_１）の第２のインパルス入力を連続的に付加して生じる第２のインパルス応答により、互いに打ち消し合う場合において、
   時刻０にて第１のインパルス入力により運動体に与えられるエネルギをＥ（０）とし、時刻０にて運動体が有する運動エネルギをＪ（０）とし、時刻ｔ_１にて運動体が有する運動エネルギをＪ（ｔ_１）とし、時刻ｔ_１にて運動体においてコリオリの力がする仕事をＣ（ｔ_１）とし、時刻ｔ_１にて減衰による損失エネルギをＤ（ｔ_１）として、時間幅ΔＴの間における第１のインパルス入力の総入力（Ａ_０・ΔＴ）に対する時間幅（β_１・ΔＴ）における第２のインパルス入力の総入力（Ａ_０・γ_１・β_１・ΔＴ）の割合αを数５により算出するとともに、時間幅の割合β_１と、インパルス入力の大きさの割合γ_１とを、数６を満たすように設定し、
   設定された時間幅の割合β_１および大きさの割合γ_１を用いて、第２のインパルス入力の付加時間幅および大きさを決定して、第２のインパルス入力が運動体に連続的に付加されるように、駆動装置により運動体に付加される外力を制御する、振動抑制方法。
   

   

   
6. 第１および第２のインパルス入力の大きさに基づいて運動体の加速または減速運動による移動距離を算出し、当該算出された移動距離に対する運動体の加速または減速運動による目標移動距離の比を算出し、当該比を相似比として第１および第２のインパルス入力値に乗じて第１および第２のインパルス入力の大きさを調整して決定する、請求項２から５のいずれか１つに記載の振動抑制方法。
7. 加速および減速運動に加えて、運動体が定速運動する場合においても、第２のインパルス入力を付加して、運動体に生じる、少なくとも１自由度かつ時変の振動を抑制する、請求項１から６のいずれか１つに記載の振動抑制方法。
8. 運動体に生じる時変の振動系が、複数の自由度を有する場合には、最も低い周波数の自由度の振動系に対して、第２のインパルス入力を運動体に付加して振動を抑制する、請求項１から７のいずれか１つに記載の振動抑制方法。
9. 予め設定された加速または減速運動における運動体の運転条件および運転パターンの情報に基づいて、運転中に運動体に付加される第１のインパルス入力および第１のインパルス応答を算出するとともに、算出された第１のインパルス応答を打ち消すような第２のインパルス入力を算出し、
   算出された第１のインパルス入力および第２のインパルス入力を発生させる駆動装置の加速度パターンの情報を作成し、
   作成された加速度パターンの情報に基づいて、駆動装置により運動体の加速または減速運動を行う際に、駆動装置より運動体に付加される外力を制御する、請求項１から８のいずれか１つに記載の振動抑制方法。

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