JP4549336B2 - 光メトロロジーシステムおよびメトロロジーマークキャラクタライゼーションデバイス - Google Patents

Description

本発明は、リソグラフィ装置の基板アライメントシステムに関する。

リソグラフィ装置は、基板、通常は基板のターゲット部分に所望のパターンを与える機械である。リソグラフィ装置は、たとえば、集積回路（ＩＣ）の製造に使用することができる。その場合に、その代わりにマスクまたはレチクルとも称するパターニングデバイスを使用して、ＩＣの個々の層に形成される回路パターンを生成することができる。このパターンを、基板（たとえば、シリコンウェーハ）上のターゲット部分（たとえば、１つまたは複数のダイの一部を含む）に転写することができる。パターンの転写は、通常、基板上に設けられた放射線感応性材料（レジスト）の層への結像を介する。一般に、単一の基板に、連続してパターン形成される隣接するターゲット部分のネットワークが含まれる。既知のリソグラフィ装置に、いわゆるステッパおよびいわゆるスキャナが含まれ、ステッパでは、各ターゲット部分が、一時にターゲット部分にパターン全体を露光することによって照射され、スキャナでは、各ターゲット部分が、所与の方向（「スキャン」方向」）で放射ビームを通してパターンをスキャンすると同時にこの方向に平行にまたは逆平行に基板を同期してスキャンすることによって照射される。パターンを基板にインプリントすることによって、パターニングデバイスから基板にパターンを転写することも可能である。

投影システムまたはパターニングデバイスに関する基板のアライメントおよび他のプロセス制御手順は、メトロロジーマーク（アライメントマークなど）の光学測定を参照することによって実行することができる。たとえば、光学測定システムを設けて、基板またはパターニングデバイスに形成された１つまたは複数のメトロロジーマークからの放射を反映することができる。たとえば、格子などの周期的アライメントマークを使用することができ、位置を、格子の対称性の中心または他の特有のプロパティを参照することによって判定することができる。基板の処理が、メトロロジーマークをゆがめる可能性があり、この歪みが、光学測定システムが効果的に動作することをむずかしくする可能性がある。たとえば、アライメントマークが測定されている場合、歪みが、アライメントマーク位置の判定をあいまいにする場合がある。反射された放射が歪みに起因してどのように変化し得るかの計算には時間がかかり、高コストである場合がある。

たとえば、メトロロジーマークの光学測定の改善された装置および方法を提供することが望ましい。

本発明の一態様によれば、メトロロジーマークを照射し、反射された、透過した、またはその両方の、電磁場の一部を記録するように構成された測定システムと、メトロロジーマークの構造を示すマーク形状パラメータを記録された場から判定するように構成されたキャラクタライゼーションデバイスであって、キャラクタライゼーションデバイスが、期待される場の代数的固有値−固有ベクトル表現に基づく理論的基準マークからの反射、透過、またはその両方の、期待される場を計算するように構成された場計算ユニットと、固有値−固有ベクトル表現の固有値および固有ベクトルの対応する導関数の解析的形をまず導出することによって、マーク形状パラメータに関する期待される場の一次導関数、より高次の導関数、またはその両方を計算するように構成された場導関数計算ユニットと、期待される場が記録された場と実質的に一致する最適化されたマーク形状パラメータを判定するために、場計算ユニットおよび場導関数計算ユニットからの出力を使用するように構成された最適化ユニットとを含む、キャラクタライゼーションデバイスとを含む、光メトロロジーシステムが提供される。

本発明の一態様によれば、アライメントマークを基板に照射し、反射された、透過した、またはその両方の、電磁場の一部を記録するように構成された測定システムと、アライメントマークの構造を示すマーク形状パラメータを記録された場から判定するように構成されたキャラクタライゼーションデバイスであって、キャラクタライゼーションデバイスが、期待される場の代数的固有値−固有ベクトル表現に基づく理論的基準マークからの反射、透過、またはその両方の、期待される場を計算するように構成された場計算ユニットと、固有値−固有ベクトル表現の固有値および固有ベクトルの対応する導関数の解析的形をまず導出することによって、マーク形状パラメータに関する期待される場の一次導関数、より高次の導関数、またはその両方を計算するように構成された場導関数計算ユニットと、期待される場が記録された場と実質的に一致する最適化されたマーク形状パラメータを判定するために、場計算ユニットおよび場導関数計算ユニットからの出力を使用するように構成された最適化ユニットとを含む、キャラクタライゼーションデバイスとを含む、光メトロロジーシステムと、前記キャラクタライゼーションデバイスによって判定された前記最適化されたマーク形状パラメータを使用して前記基板の位置を導出するように構成された基板位置判定デバイスとを含む、リソグラフィ装置が提供される。

本発明の一態様によれば、メトロロジーマークを照射し、反射された、透過した、またはその両方の、電磁場の一部を記録することと、メトロロジーマークの構造を示すマーク形状パラメータを記録された場から判定することと、期待される場の代数的固有値−固有ベクトル表現に基づく理論的基準マークからの反射、透過、またはその両方の、期待される場を計算することと、固有値−固有ベクトル表現の固有値および固有ベクトルの対応する導関数の解析的形をまず導出することによって、マーク形状パラメータに関する期待される場の一次導関数、より高次の導関数、またはその両方を計算することと、期待される場が記録された場と実質的に一致する最適化されたマーク形状パラメータを判定するために、計算の結果を使用することとを含む、メトロロジーマークの特徴を表す方法が提供される。

本発明の一態様によれば、メトロロジーマークを照射し、反射された、透過した、またはその両方の、電磁場の一部を記録することと、メトロロジーマークの構造を示すマーク形状パラメータを記録された場から判定することと、期待される場の代数的固有値−固有ベクトル表現に基づく理論的基準マークからの反射、透過、またはその両方の、期待される場を計算することと、固有値−固有ベクトル表現の固有値および固有ベクトルの対応する導関数の解析的形をまず導出することによって、マーク形状パラメータに関する期待される場の一次導関数、より高次の導関数、またはその両方を計算することと、期待される場が記録された場と実質的に一致する最適化されたマーク形状パラメータを判定するために、計算の結果を使用することとによって、基板上に形成されるメトロロジーマークの特徴を表すことと、キャラクタライゼーションの結果を使用して基板を位置合せすることとを含む、デバイス製造方法が提供される。

本発明の実施形態を、添付概略図面を参照して例としてのみこれから説明するが、添付概略図面では、対応する符号が、対応する部分を示す。

図１は、本発明の一実施形態によるリソグラフィ装置を概略的に示す。この装置には、
放射ビームＢ（たとえば、ＵＶ放射またはＤＵＶ放射）を条件付けるように構成された照明システム（イルミネータ）ＩＬと、
パターニングデバイス（たとえば、マスク）ＭＡを支持するように構成され、あるパラメータに従ってパターニングデバイスを正確に位置決めするように構成された第１ポジショナＰＭに接続された、支持構造（たとえば、マスクテーブル）ＭＴと、
基板（たとえば、レジストコートウェーハ）Ｗを支持するように構成され、あるパラメータに従って基板を正確に位置決めするように構成された第２ポジショナＰＷに接続された、基板テーブル（たとえば、ウェーハテーブル）ＷＴと、
パターニングデバイスＭＡによって放射ビームＢに与えられるパターンを基板Ｗのターゲット部分Ｃ（たとえば、１つまたは複数のダイを含む）に投影するように構成された投影システム（たとえば、屈折投影レンズシステム）ＰＳとが含まれる。

照明システムは、放射を誘導し、成形し、または制御する、屈折型、反射型、磁気型、電磁型、静電型、または他のタイプの光学コンポーネントなどのさまざまなタイプの光学コンポーネント、あるいはその任意の組合せを含めることができる。

この支持構造は、パターニングデバイスの重量に耐える、すなわち支持する。この支持構造は、パターニングデバイスの向き、リソグラフィ装置の設計、および、たとえばパターニングデバイスが真空環境内に保たれるか否かなどの他の条件に依存する形でパターニングデバイスを保持する。この支持構造は、パターニングデバイスを保持するのに、機械的、真空、静電、または他のクランプ技法を使用することができる。この支持構造は、たとえば必要に応じて固定式もしくは可動式であって良い、フレームまたはテーブルとすることができる。この支持構造は、パターニングデバイスが、たとえば投影システムに関して、所望の位置であることを保証することができる。本明細書での用語「レチクル」または「マスク」のすべての使用は、より一般的な用語「パターニングデバイス」と同義と考えることができる。

本明細書で使用される用語「パターニングデバイス」は、基板のターゲット部分内にパターンを作成するためなど、放射ビームの断面にパターンを与えるのに使用できるすべてのデバイスを指すものとして広義に解釈されなければならない。たとえばパターンが位相シフト特徴またはいわゆるアシスト特徴を含む場合に、放射ビームに与えられるパターンが、基板のターゲット部分内の所望のパターンに正確に対応しない場合があることに留意されたい。一般に、放射ビームに与えられるパターンは、集積回路など、ターゲット部分に作成されるデバイス内の特定機能層に対応する。

パターニングデバイスは、透過型または反射型とすることができる。パターニングデバイスの例に、マスク、プログラマブルミラーアレイ、およびプログラマブルＬＣＤパネルが含まれる。マークは、リソグラフィで周知であり、バイナリ型、Alternating位相シフト、減衰型位相シフトなどのマスクタイプならびにさまざまなハイブリッドマスクタイプを含む。プログラマブルミラーアレイの例は、小さいミラーのマトリックス配置を使用し、このミラーのそれぞれを、入ってくる放射ビームを異なる方向に反射するように個別に傾けることができる。傾けられたミラーは、ミラーマトリックスによって反射される放射ビーム内のパターンを与える。

本明細書で使用される用語「投影システム」は、使用される露光放射または液浸液の使用もしくは真空の使用などの他の要因に適する、屈折光学システム、反射光学システム、反射屈折光学システム、磁気光学システム、電磁光学システム、および静電光学システムあるいはこれらの任意の組合せを含む、すべてのタイプの投影システムを含むものとして広義に解釈されなければならない。本明細書での用語「投影レンズ」のすべての使用は、より一般的な用語「投影システム」と同義と考えることができる。

本明細書で示すように、この装置は、透過型（たとえば、透過マスクを使用する）である。その代わりに、この装置を、反射型（たとえば、上で言及したタイプのプログラマブルミラーアレイを使用するか、反射マスクを使用する）とすることができる。

このリソグラフィ装置は、２つ（デュアルステージ）またはそれより多数の基板テーブル（および／または複数の支持構造）を有するタイプとすることができる。そのような「マルチステージ」機械では、追加のテーブルを並列に使用することができ、あるいは、１つまたは複数のテーブルで予備ステップを実行し、１つまたは複数の他のテーブルを露光に使用することができる。

このリソグラフィ装置は、投影システムと基板との間の空間を満たすように、比較的高い屈折率を有する液体、たとえば水によって、基板の少なくとも一部を覆うタイプとしてもよい。液浸液は、たとえばマスクと投影システムとの間など、このリソグラフィ装置の他の空間に適用しても良い。液浸技法は、投影システムの開口数を増やすために、当技術分野で周知である。本明細書で使用される用語「液浸」は、基板などの構造を液体に沈めなければならないことを意味するのではなく、液体が露光中に投影システムと基板との間に置かれることを意味するのみである。

図１を参照すると、イルミネータＩＬは、放射ソースＳＯから放射ビームを受け取る。このソースおよびこのリソグラフィ装置は、たとえばソースがエキシマレーザである時に、別々の実体とすることができる。その場合に、ソースは、このリソグラフィ装置の一部を形成するとは考えられず、放射ビームは、たとえば適当な誘導ミラーおよび／またはビームエクスパンダを含むビームデリバリシステムＢＤの助けを得て、ソースＳＯからイルミネータＩＬへと渡される。他の場合、ソースは、たとえばソースが水銀ランプである時に、このリソグラフィ装置の一体の部分とすることができる。このソースＳＯおよびイルミネータＩＬを、必要な場合にビームデリバリシステムＢＤと一緒に、放射システムと呼んでもよい。

イルミネータＩＬに、放射ビームの角度輝度分布を調整するアジャスタＡＤを含めることができる。一般に、少なくともイルミネータの瞳面の輝度分布の外側および／または内側半径範囲（一般に、それぞれσ−outerおよびσ−innerと称する）を調整することができる。さらに、イルミネータＩＬに、インテグレータＩＮおよびコンデンサＣＯなどのさまざまな他の構成要素を含めることができる。イルミネータは、放射ビームの断面が所望の均一性および輝度分布を有するように、放射ビームを条件付けるのに使用することができる。

放射ビームＢは、支持構造（たとえば、マスクテーブル）ＭＴ上に保持されたパターニングデバイス（たとえば、マスク）ＭＡに入射し、このパターニングデバイスによってパターン形成される。パターニングデバイスＭＡを横切った後に、放射ビームＢは、投影システムＰＳを通過し、投影システムＰＳは、このビームを基板Ｗのターゲット部分Ｃに集光する。第２ポジショナＰＷおよび位置センサＩＦ（たとえば、干渉計デバイス、リニアエンコーダ、または静電容量センサ）の助けを得て、基板テーブルＷＴを、正確に、たとえば、異なるターゲット部分Ｃを放射ビームＢの経路内に位置決めするように、移動することができる。同様に、第１ポジショナＰＭおよびもう１つの位置センサ（図１には明示的に図示せず）を使用して、たとえばマスクライブラリからの機械的な取出しの後、またはスキャン中に、放射ビームＢの経路に関してパターニングデバイスＭＡを正確に位置決めすることができる。一般に、支持構造ＭＴの移動は、ロングストロークモジュール（粗動位置決め）およびショートストロークモジュール（微動位置決め）の助けを得て実現することができ、これらのモジュールは、第１ポジショナＰＭの一部を形成する。同様に、基板テーブルＷＴの移動は、ロングストロークモジュールおよびショートストロークモジュールを使用して実現することができ、これらのモジュールは、第２ポジショナＰＷの一部を形成する。ステッパ（スキャナではなく）の場合に、支持構造ＭＴを、ショートストロークアクチュエータだけに接続することができ、あるいは、固定することができる。パターニングデバイスＭＡおよび基板Ｗを、パターニングデバイスアライメントマークＭ１およびＭ２と、基板アライメントマークＰ１およびＰ２とを使用して位置合せすることができる。図示されている基板アライメントマークは、専用のターゲット部分を占めるが、これらを、ターゲット部分の間の空間に配置しても良い（これらを、けがき線（scribe-lane）アライメントマークと称する）。同様に、複数のダイがパターニングデバイスＭＡ上に提供される状況で、パターニングデバイスアライメントマークを、ダイの間に置くことができる。

図示の装置は、次のモードのうちの少なくとも１つで使用することができる。

１．ステップモードでは、支持構造ＭＴおよび基板テーブルＷＴが、本質的に静止状態に保たれると同時に、放射ビームに与えられるパターン全体が、一時にターゲット部分Ｃに投影される（すなわち、単一の静的露光）。次に、基板テーブルＷＴが、Ｘ方向および／またはＹ方向でシフトされ、その結果、異なるターゲット部分Ｃを露光できるようになる。ステップモードでは、露光フィールドの最大サイズが、単一の静的露光で結像されるターゲット部分Ｃのサイズを制限する。

２．スキャンモードでは、支持構造ＭＴおよび基板テーブルＷＴが、同時にスキャンされると同時に、放射ビームに与えられるパターンが、ターゲット部分Ｃに投影される（すなわち、単一の動的露光）。支持構造ＭＴに対する基板テーブルＷＴの速度および方向は、投影システムＰＳの拡大（縮小）特性および像反転特性によって決定することができる。スキャンモードでは、露光フィールドの最大サイズが、単一の動的露光でのターゲット部分の幅（非スキャン方向）を限定し、スキャンする移動の長さが、ターゲット部分の高さ（スキャン方向）を決定する。

３．別のモードでは、支持構造ＭＴが、プログラマブルパターニングデバイスを保持して本質的に静止状態に保たれ、基板テーブルＷＴは、放射ビームに与えられるパターンがターゲット部分Ｃに投影される間に移動されまたはスキャンされる。このモードでは、一般に、パルス放射ソースが使用され、プログラマブルパターニングデバイスは、基板テーブルＷＴの各移動の後またはスキャン中の連続する放射パルスの間に、必要に応じて更新される。この動作モードは、上で言及したタイプのプログラマブルミラーアレイなど、プログラマブルパターニングデバイスを利用するマスクレスリソグラフィにたやすく与えることができる。

上で説明した使用のモードの組合せおよび／または変形形態あるいは完全に異なる使用のモードを使用することもできる。

図２に、本発明の実施形態によるリソグラフィ装置の光メトロロジーシステムを概略的に示す。たとえば基板Ｗ上のメトロロジーマーク１０を照射し、それから反射された放射の少なくとも一部を記録するように構成された、測定システム１２が設けられる。これに続く議論では、この放射が、メトロロジーマーク１０から反射されると仮定するが、測定システム１２を、その代わりに、透過した放射を検出するように構成することができる。測定システム１２に、それぞれ放射を照射し、記録するために、別々の構成要素または一体の構成要素を含めることができる。放射は、輝度（または光強度／オプティカルフラックス（optical flux））の空間分布に関して、あるいは１つまたは複数の偏光成分に関して記録することができる。

下の例では、光メトロロジーシステムが、基板上のアライメントマークを測定するのに使用されるが、この光メトロロジーシステムを、さまざまな他の文脈で適用することもできる。たとえば、この光メトロロジーシステムを、最小寸法（ＣＤ）メトロロジー用の光波散乱計測（scatterometry）に適用することができる。具体的に言うと、このメトロロジーシステムを、角度分解光波散乱計測（angle-resolved scatterometry）に使用することができる。

この光メトロロジーシステムを、リソグラフィ装置の一部として、または基板処理（たとえば、エッチングまたはメトロロジー）装置の一部として適用してもよい。

メトロロジーマーク１０がアライメントマークであるこの実施例では、基板Ｗ上のメトロロジーマーク１０の形が正確にわかっている場合に、記録された反射または透過された場（field）からその位置を判定することが直接に可能であるはずである。同様に、他のタイプのメトロロジーマークについて、マークの測定から導出される情報は、そのマークの形が最も明確に定義されている時に最大となる。しかし、たとえば、メトロロジーマーク１０の初期的な不完全形成によって、および／または前の露光の間および／または前の露光中の基板Ｗのハンドリングおよび／または処理におけるメトロロジーマーク１０の歪みを理由として、最大とならない場合がある。

この問題を克服するために、１つまたは複数のメトロロジーマーク形状パラメータを参照することによってメトロロジーマーク１０の現在の状態を判定することのできるキャラクタライゼーションデバイス２０が設けられる。これは、理論的マークについて計算された反射された場または透過された場が測定された場と一致する（または、容認できるほどに近くなる）まで、理論的マークを繰り返して変更することによって達成される。このマッチングが生ずるメトロロジーマーク形状パラメータは、メトロロジーマーク１０を効果的に特徴化する。

キャラクタライゼーションデバイス２０には、場計算ユニット１４、場導関数計算ユニット１６、および最適化ユニット１８が含まれる。場計算ユニット１４は、マーク形状パラメータの所与の組について期待される場を計算するように構成される。この計算をどのように実行できるかの詳細な例は、下でさらに与える。しかし、どの場合でも、場計算は、場の代数的な固有値−固有ベクトル表現に基づいて得られ、解くべき微分方程式に、理論的メトロロジーマークの物理的構造が組み込まれる。固有値および固有ベクトルがそこから計算される行列は、この微分方程式の係数行列に対応する。

たとえば、下でさらに詳細に説明するように、メトロロジーマークを記述できる１つの形は、基板Ｗに平行な複数の層としてそのメトロロジーマークをモデル化することによるものである。この表現では、各層の複素誘電率（complex permittivity）のフーリエ成分を含む行列を形成することができる。

最適化ユニット１８は、計算された期待される場を、実際に測定された場に一致させる（すなわち、計算された場と測定された場との間の差を最小にする）ために、マーク形状パラメータ（mark shape parameter）値を変更するように構成される。これを効果的に行うために、場の一次導関数および／またはより高次の導関数が、最小化ルーチンを実施するためにマーク形状パラメータのうちの１つまたは複数に関して入手される。これらの導関数は、場がマーク形状パラメータに関して局所的にどのように変化するかに関する情報を提供する。この情報は、場がパラメータの変化に対してどれほど敏感であるかに関するので、“センシティビティ”情報とも称する。最小化ルーチンは、このセンシティビティ情報を使用して、所望の解に向かって最もすばやく移動する（すなわち、計算済みの反射された場を測定済みの反射された場に一致させる）ためにマーク形状パラメータをどのように変更するかを判断する。これらの導関数は、場導関数計算ユニット１６によって判定される。場導関数を得ることのできる１つの形は、特定のマーク形状パラメータの２つの隣接する値に関して場を別々に計算することすなわち有限差分技法（finite difference technique）によるものである。この手法を、下で説明する。

有限差分技法
有限差分技法によれば、１つまたは複数のパラメータの変化Δpおよび／またはΔqに対する反射された場Ｒのセンシティビティは、次の性質の式によって与えられる（透過した輝度Ｔについて類似式が存在する）。

この技法は、場の振幅Ｒを計算するために選択される方法と独立である。場は、場の振幅がその一部であるレイリー展開を評価することによって計算される。以上の通り、１つのパラメータだけに関する一次導関数および二次導関数に関しても、２つの場の評価（それぞれが固有値問題の解を必要とする）が必要である。混合二次導関数については、必要な解の数は、２倍の４個になる。一般に、より多くの変数に関する導関数および／またはより高次の導関数は、固有値−固有ベクトル問題のより多数の解を必要とする。この形で計算される導関数を使用する最適化は、かなりの長さの時間および／またはかなりの量の計算リソースを必要とする場合がある。

一実施形態によれば、まず電磁場の固有値−固有ベクトル表現の固有値および固有ベクトルの対応する導関数の解析的な形を導出することによって必要な場導関数を計算するように場導関数計算ユニット１６が構成される、改善された装置が提供される。次に、場導関数を、導関数計算ごとに固有値−固有ベクトル問題を複数回解く必要なしに直接に得ることができる。したがって、このキャラクタライゼーションデバイスは、より穏当なコンピュータハードウェアを用いて実施することができ、かつ／またはよりすばやく動作するように構成することができる。

固有値導関数および固有ベクトル導関数をどのように見つけることができるかの詳細は、センシティビティを計算するＲＣＷＡ（Rigorous Coupled−Wave Analysis）手法の特定の例に関して下で与える。

たとえば、メトロロジーマークがアライメントマークである場合に、基板Ｗ（または、位置合せされなければならない他の構成要素）の位置を、ここで、最適化されたマーク形状パラメータに基づいて基板位置判定デバイス２２によって判定することができる。

図３に、本発明の実施形態に従って、このプロセスをどのように実行できるかを示す。ボックス３０で、ユーザが、当初に基板に書き込まれたと期待される（すなわち、歪みが全くない）メトロロジーマーク１０を定義するマーク形状パラメータを入力する。その代わりにまたはそれに加えて、マークが最初に書き込まれて以来基板Ｗがどのように処理され、したがってマークがどれほど歪められたと期待できるかに関する情報を使用可能とすることができる。形状パラメータのより正確な組を、この場合に、ボックス３２を介して入力することができる。たとえば、キャリブレーション測定を使用して、特定の処理シーケンスの後のマーク形状パラメータの通常の値を判定することができる。それに加えてまたはその代わりに、改善されたマーク形状パラメータを得るためにマーク歪みの粗い推定を実行する手段を設けることができる。改善されたマーク形状パラメータから開始することが有用であるのは、これによって、最適化ユニット１８が、マーク形状パラメータ空間内の局所的な非最適最小値にはまり込むので反射された場または透過された場との最適一致を見つけられなくなる危険性が減るからである。

最初のマーク形状パラメータは、ボックス３０またはボックス３２から場計算ステップ３４に入力され、この場計算ステップ３４で、期待される場が計算される。結果の場が、ステップ３６で、測定デバイス１２からの測定された反射された場と比較される。差が、判断ステップ３８に転送される。差が、ある閾値より小さいと判定される場合（分岐４０、「ＹＥＳ」）には、マーク形状パラメータが、最適化されたマーク形状パラメータとして出力され、効果的にメトロロジーマークの特性を表す。メトロロジーマークがアライメントマークである場合には、マーク形状パラメータを、基板位置判定ステップ４２に転送することができ、基板位置判定ステップ４２は、これらのパラメータを基礎として基板Ｗの位置を判定する。その一方で、差が、ある閾値より大きいと判定される場合（分岐４４、「ＮＯ」）には、マーク形状パラメータが、ステップ４６で更新され、計算ステップ３４にフィードバックされ、ここで、このプロセスが、計算された場と測定された場との容認できる一致が得られるまで繰り返される。更新ステップ４６は、場導関数計算ユニット１６によって計算された場導関数を使用して、マーク形状パラメータをどのように更新するかを判定する。複数の可能な手法を、この最適化プロセスに使用することができる。たとえば、次の方法を使用することができる、「最急降下（steepest descent）」（一次導関数だけを使用する）および「ニュートン法」（二次導関数も使用する）。

場計算の概要 − 固有値−固有ベクトル表現
固有値−固有ベクトル表現をセットアップでき、回折された放射（反射されたまたは透過したのいずれか）の解を得ることができる１つの形は、ＲＣＷＡ法（M.G. MoharamおよびT.K. Gaylord、「Rigorous coupled-wave analysis of planar-grating diffraction」、J. Opt. Soc. Am 71、８１１〜８１８頁（１９８１年））を使用することによるものである。この方法は、格子構造による回折に関するマクスウェルの方程式の直接解を得る。この特定の方法の主要な特徴は、フーリエ展開技法を使用するために、格子領域が、区分的に一定の屈折率を有する薄い水平層に分割されることである。拡張された透過率行列手法（enhanced transmittance matrix approach）が開発されたが（M.G. MoharamおよびT.K. Gaylord、「Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach」、J. Opt. Soc. Am. A 12、１０７７〜１０８６頁（１９９５年））、これは、ＲＣＷＡ法によって多層格子プロファイルについて回折問題を解く安定した形である。さらなる改善が、Lifeng Li、「Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures」、J. Opt. Soc. Am. A 13、１８７０〜１８７６頁（１９９６年）に記載されており、これは、ＴＭ偏光（TM polarization）に関連しており、打ち切られた数列に関するフーリエ因数分解規則に対する訂正の導入を含む。これらの改善の結果として、少なくとも部分的に、ＲＣＷＡは使い易いアルゴリズムであり、広範囲の多層格子構造に適用可能である。

ＲＣＷＡに対する代替案が、Ｃ法（L. Li, J. Chandezon、G. Granet、およびJ. Plumeyによる、「Rigorous and efficient grating-analysis method made easy for optical engineers」、Appl. Opt. 28、３０４〜３１３頁（１９９９年）を参照されたい）である。この手法は、界面が平坦な線である場合に、場解（field solution）が、領域全体の２つのレイリー展開によって与えられるという事実を用いるものである。Ｃ法は、特別に適合された座標系を使用することによって、界面を平坦な線に概念的に平坦化することによって進行する。Ｃ法は、ＲＣＷＡ法に類似する特徴を有するので、ＲＣＷＡアルゴリズムに関して行われた進歩を、Ｃ法を実施するのに活用することもできる。たとえば、ＲＣＷＡアルゴリズムに関する収束問題を解くためにLifeng Liによって導入された数学（上を参照されたい）は、Ｃ法にも適用可能である。

一般的な回折格子の理論
一般的な回折格子の理論は、ＲＣＷＡとＣ法の両方に関連する。格子構造は、ｘ方向（すなわち、基板Ｗに平行）に周期Λで周期的であり、ｙに沿って（すなわち、基板表面に平行であるがｘに垂直方向）一定とすることができる。自由空間波長λ_０を用いて定義される直線偏光の平面波は、格子構造に任意の角度θおよびφで入射するものとすることができる。電磁場は、時間調和的であり、マクスウェルの方程式を満足すると仮定され、これは、格子材料が、線形、同種、等方性、非磁性、時間不変、およびソースフリー（source-free）であると仮定することによって単純化することができる。格子の周期性に起因して、フロケ条件（Floquet condition）を課すことができ、これによって、入射場から発する位相差が導入される。格子構造はｙ座標と独立なので、この場も、ｙに依存しない。周期性とｙ独立性の両方が、計算領域を２Ｄ領域に制限することを可能にする。

ＲＣＷＡおよびＣ法がこの数学的問題を解く形は物理的観点からは異なるものの、後で示すように重要な類似性を保つ。ＲＣＭＡ法のこの問題への適用をまず説明する。

ＲＣＷＡ
表記の便宜上、平面回折に対する制限を行う。平面回折の理論を、ＴＥ偏光およびＴＭ偏光を有する平面回折に拡張してもよい。というのは、これらの偏光は、極端な場合であるが、この両方の混合も可能であるからである。しかし、これらの混合を、これらの極端の重ね合せによって記述することができる。

ＴＥ偏光の場合、電場だけがｙ成分を有する。格子プロファイル５６の上および下（図４ではそれぞれ領域５０および５４）で、材料特性は、変化せず、したがって、時間調和マクスウェル方程式の解を、レイリー展開すなわち、

および

によって記述することができる。

ここで、E_I,yおよびE_II,yは、それぞれ格子の上および下の媒体の電場のｙ成分を表す。同様に、n_Iおよびn_IIは、屈折率である。反射された場の振幅R_nおよび透過した場の振幅T_nは、未知数であり、そのうちの一方または両方が、メトロロジーマーク測定システムによって検出される信号に対応する。たとえば、反射された輝度を測定することができ、これをR^*Rとして表すことができる。格子構造の厚さはDによって与えられ、k₀は真空中の波数（wave number）である。

レイリー展開自体は、R. Petit（エディタ）による、Electromagnetic Theory of Gratings、Springer-Verlag, 1980より既知である。ＲＣＷＡは、格子領域内（図５参照）にＫ個の薄い水平層を導入することによって、この２つのレイリー展開を接続し、ここで、誘電率分布εは、ｘのみの区分的に一定の関数によって近似される。ＴＥ偏光について、マクスウェルの方程式が、磁場のｘ成分とｚ成分の両方の存在を暗示することに留意されたい。次に、時間調和マクスウェル方程式（time-harmonic Maxwell equation）が、層i (i = 2, …, K+1)ごとに１つの式に合併される、すなわち、-Λ/2 < x < Λ/2かつD_i < z < D_i+1について、

である。ここで、E_i,yは、層iの内側の電場である。すべての他の層i(i = 2, …, K+1)について、（相対）誘電率および電場をフーリエ展開することができる。

これらの展開が、上の式に代入され、2N+1項までで切り捨てられ（truncated）、z'= k₀zが導入される場合に、その結果は、２次の通常の微分方程式

になり、これは、係数行列A_i := Kx²-E_iを有する。行列E_iは、層i内の複素相対誘電率のフーリエ成分を含むテプリッツ行列である。行列K_xは、その対角線上に要素k_xn/k₀ (-N < n < N)を有する対角行列であり、S_iは、未知の関数S_i,n(z)からなるベクトルである。この切り捨てられた系の一般解は、行列A_iの固有値および固有ベクトルによって与えられる。

ここで、w_i,lは、A_iの固有ベクトルである。スカラq_i,lは、正の実数部を有する、行列Ａ_ｉの固有値の平方根である。係数C_il ⁺およびC_il ^-は、依然として未知である。

境界条件を実施するために、磁場のｘ成分の式も使用可能でなければならない。マクスウェルの方程式によれば、この成分を、Ｅ_ｙに関して次式として表すことができる。

ここで、２つの後続層内の場が、界面での境界条件によって接続されるが、この境界条件は、接線方向の場の成分が連続であることを述べるものである。レイリー展開も2N+1項までで打ち切られる場合に、界面ごとにK+1個の連立方程式が得られる。係数C_il ⁺およびC_il ^-を除去され得り、未知の反射された場の振幅および透過した場の振幅について１つの行列方程式が得られるようになる。標準のまたは拡張された透過率行列手法によって解かれる式は、

によって与えられ、ここで、W_iは、列ベクトルw_i,lからなり、Q_iは、要素q_i,lからなる対角行列であり、V_i = W_iQ_iであり、これは、上のマクスウェル方程式の結果である。ベクトルd₀は、１と等しい要素N+1を除いてすべて０のベクトルである。対角行列Y₁およびY_K+2は、それぞれ要素k_1,zn/k₀およびk_K+2,zn/k₀からなる。層厚さ情報を含む唯一の行列は、X_iであり、このX_iは、指数(-k₀d_iq_i,n)と等しい要素を有する対角行列である。

同様に、ＴＭ偏光について最終的な行列方程式は、

となる。

ＴＥ偏光と比較した唯一の差は、ＴＭ偏光について、行列W_iおよびQ_iが、行列

について計算されることであり、ここで、P_iは、逆数誘電率のフーリエ係数を含むテプリッツ行列（toeplitz matrix）である。また、行列V_iは、異なって定義される、すなわち、Vi := P_iW_iQ_iである。行列Ａ_ｉの定義において、Liによって導出された正しいフーリエ因数分解規則（上を参照されたい）が使用されていることに留意されたい。さらに、わずかに異なるレイリー展開のゆえに、要素k_1,zn/k₀n₁ および k_K+2,zn/k₀n_K+1を有する対角行列Z₁およびZ_K+2が導入されている。

厚い層について上の式を直接に解くことは不安定である。なぜなら、X_iの逆行列を計算しなければならないからである。しかし、拡張透過率行列手法を使用してもよく、その結果のアルゴリズムを、図６で両方の偏光について要約する。

拡張透過率行列手法の主要な特徴は、透過した場の振幅について置換が使用されることすなわち、

と、T_i,i = K, K-1,…,2に関する類似する置換である。この置換は、X_i ^-1
の計算を防ぎ、したがって、不安定性の理由を除去する。透過した場の振幅は、T = A_K+1 ^-1X_K+1 … A₂ ^-1X₂T₂.によって計算することができる。

反射された場の振幅および透過した場の振幅が、拡張透過率行列手法の最終ステップを解くことによって見つけられた場合、回折効率を次式で計算することができる。

ここで、C_rおよびC_tは偏光に依存しているが、それ以外の点では定数である。

Ｃ法
Ｃ法は、界面が平坦な線である場合に、場の解が、領域全体のレイリー展開によって与えられる（たとえば、上のE_I,yおよびE_II,yの式を参照されたい）という事実を用いるものである。上で述べたように、Ｃ法の基本的特徴は、特別に考案された座標系を使用して、界面を平坦な線に平坦化することである。関数z=a(x)によって記述される界面に使用される、用いられる座標変換は、
u = x,v = y,w = z-a(x)
によって与えられる。

この座標変換をレイリー展開に代入して、次の一般化されたレイリー展開を作る。

ρは、もう１つの未知数である。ヘルムホルツ方程式であるので、二次導関数をwに関して計算しなければならず、ρは、一種の固有値になる。この一般化されたレイリー展開の基本特性は、領域内の至る所で有効であることである。したがって、A_mおよびρを決定することによって、解が得られる。

レイリー展開の一般化された版および座標変換を時間調和マクスウェル方程式に導入することと、界面についてフーリエ展開を使用することとによって、やはり、固有値系が得られる。しかし、Ｃ法については、固有値系は、各層ではなく各媒体について得られる。やはり、反射された場の振幅および透過した場の振幅は、境界条件を使用することによって見つけられ、この境界条件は、場の接線方向成分が連続でなければならないことを述べるものである。

対応する特徴
ＲＣＷＡとＣ法の両方が、問題を、遠距離場（far field）を得るために解かなければならない代数固有値系（algebraic eigenvalue system）に変換する。この固有値系を解くことは、計算的に難しく、処理全体の速度は、この計算によって決定される。固有値系がＣ法から明らかになる特定の形は、ＲＣＷＡアルゴリズムのその形とは異なる。両方の方法に関する本質的な類似は、両方の方法が、周期性を見つけることのできる方向以外の方向での媒体特性に対する依存性の除去を試みることである。ＲＣＷＡは、その領域をスライスに切断するが、Ｃ法は、これを得るのに座標変換を使用する。この相違の結果は、一般に、ＲＣＷＡが、十分な正確さを得るのに多数の層を使用するが、Ｃ法が、より広範ではあるが媒体ごとに１つだけの系に遭遇することである。類似する固有値系を作る他のプロセスが可能かもしれない。

センシティビティを計算する解析的手法
ＲＣＷＡとＣ法の両方について、最終的なアルゴリズムは、行列乗算だけを示し、これは、より単純な系において、微分を適用しやすくする。残念ながら、現在の状況では、行列の一部に、前のセクションで述べたタイプの固有値および固有ベクトルが含まれており、これらの行列の単純な微分が困難または不可能である。このことが、有限差分法が好まれてきた理由である。

一実施形態によれば、解析的手法が、可能であり、計算的により効率的な手法をもたらすことが認められている。この手法は、固有値導関数および固有ベクトル導関数を直接に計算することに基づき、この手法を、下でＲＣＷＡ法（例として）に関して説明する。

固有値導関数および固有ベクトル導関数
ＲＣＷＡアルゴリズムで現れる固有値が別個である、すなわち、i ≠ jの場合にλ_i ≠ λ_jであると仮定する。同種の層を除いて、この仮定は公平であると思われる。行列A,、固有値行列Λ、および固有ベクトル行列Wを有する一般的な固有値系は、
AW = WΛ
によって与えられる。

あるパラメータｐに関してこの固有系を微分すると、次式が得られる。
A'W-WΛ'= W'Λ-AW'
ここで、「'」は、一次導関数を表す。固有ベクトル導関数を、それ自体の固有ベクトルからなる基底（basis）に投影することができる、すなわち、係数行列としてCを用いてW'= WCである（これが可能であるのは、その固有値および固有ベクトルが計算される行列Aが、“non-defect”であるからである。すなわち、行列Aが次元nを有する場合に、行列Aは、n個の独立の固有ベクトルも有する）。この展開を上の式に挿入し、逆固有ベクトル行列W^-1をかけることによって、次式が得られる。
W^-1A'W-Λ'=CΛ-ΛC
ここで、恒等式W^-1AW=Λが使用されている。この式は、W^-1AWの対角要素と等しい固有値導関数の計算と、式が完全に書き込まれる場合にわかるように係数行列Cの非対角要素の計算とを可能にする。係数行列Cの対角要素は、まだ計算されていない。これは、不可能でもある。というのは、固有ベクトルが、いずれにせよある定数までに限って定義されるからである。固有ベクトルが、何らかの形で正規化される時に、それらの固有ベクトルは、固定され、この正規化について、一意の固有ベクトル導関数を計算することができる。固有ベクトルの正規化は、（Ｃ法、ＲＣＷＡ、または別のそのような手法のいずれを使用しても）この方法全体によってもたらされる正解に影響しない。すべての固有ベクトルlについて、w_kl = 1をセットすることが提案されており（D.V. MurthyおよびR.T. Haftka「Derivatives of Eigenvalues and Eigenvectors of a General Complex Matrix」、International Journal for Numerical Methods in Engineering 26、２９３〜３１１頁（１９８８年））、ここで、kは、|w_kl||y_kl| = max_m|w_ml||y_ml|になるように選択される。というのは、この選択が、最大限の数値的安定性を与えるからである。この条件は、係数行列Ｃの対角要素を非対角要素に関連させ、係数行列計算を完成させる。

この式は、正規化条件w_kl=1がすべてのｐについて成り立つという事実に基づいており、この条件を微分して固有ベクトル導関数の展開を用いると、この式がもたらされる。固有値および固有ベクトルの二次導関数は、類似の方法で計算される。同一の固有系AW=WΛは２回微分され、次式、
A''W-WΛ''=-2A'W '+2W'Λ'+W''Λ-AW''
を得る。

次に、この二次固有ベクトル導関数をそれ自体の固有ベクトルに展開する：W''=WD。次に、この式に、やはりW^-1を左からかけて、
W^-1A''W-Λ''=2Λ'C+2CΛ'+DΛ-ΛD+2ΛCC-2CΛC
を得る。
ここで、恒等式W^-1A'W=Λ'+CΛ-ΛCが使用される。一次導関数に関するものに類似の方法で、固有値の二次導関数および係数行列Ｄの非対角要素を見つけることができる。固有ベクトルは既に正規化されているので、この条件（w_kl=1）をもう一度使用して、行列Ｄの対角要素を決定することができ、したがって、固有値と固有ベクトルの両方の二次導関数が計算済みであり、この理論が、ＲＣＷＡセンシティビティ理論へと実施されても良い。

複数の固有値が繰り返されることが生ずる場合、この固有値導関数および固有ベクトル導関数の理論を拡張可能である。しかし、そのような繰り返し固有値は、あるとしても、ごくまれに遭遇され得るのみである。

ＲＣＷＡの解析的センシティビティ理論
このセクションでは、図６でより詳細に提示する拡張透過率行列手法に関するセンシティビティ理論を述べる。各場合に、次のようにRおよびT₂を得るためには、最終的な式（図６の最後の行）を解かなければならない。

上はＴＥ偏光に関するものであり、

上はＴＭ偏光に関するものである。

図６の最後の行で与えられる拡張透過率行列手法の最終的な式が、パラメータpに関して微分される場合、その結果は、次式

となる。

この式の二次の微分は、次式を与える。

ここで、pおよびqは、同一パラメータとすることを許容される。理解されるように、第１の式の等号の右の最初の項と、第２の式の等号の右の最初の３つの項とは、ＴＥ偏光について以前に与えた式の定数ベクトルと同一の役割を演じる。類似する式を、ＴＭ偏光について導出することができる。それぞれ、未知数

を用いると、両方の式の解には、拡張透過率行列手法の最終ステップと正確に同一の逆行列が含まれる。

中心の課題（central challenge）は、行列A₂, B₂, F₂、およびG₂の一次および二次の導関数の計算であり、これには、i=2, …, K+1である、A_i, B_i, F_i および G_iすべての導関数計算が含まれる。

ここで、d_iは、層iの層厚さであり、w_iは、層iの内側のすべてのブロック幅からなるベクトルである。pに関して行列A_i, B_i, F_i および G_iの式を導出すると、次式が与えられる。

層厚さに関して導関数を計算することは、ブロック幅に関して導関数を計算することより安価である。というのは、固有値行列および固有ベクトル行列（式２３を参照されたい）が、層厚さに依存しないからである。形状パラメータ関係を考慮に入れる時に、これらの式を、ある状況で単純化することができる。たとえば、形状パラメータが、調べている層より上の層内にある場合に、導関数は、すべてが０と等しくなる。というのは、これらの行列のどれもが、この形状パラメータに依存しないからである。形状パラメータが、検討中の層より下の層内にある場合には、固有値および固有ベクトルを含む行列の導関数は０である。

類似の方法で二次導関数の式を導出することができるが、ここでは２つの形状パラメータがあり、これらのパラメータの両方を、検討中の層の下層の内部、検討中の層内部、または検討中の層上とすることができるので、個別に考慮しなければならない６つの状況がある。固有値導関数および固有ベクトル導関数の式を使用することによって、センシティビティ理論が完了し、反射された場の振幅の導関数を、単純に計算することができる。透過した場の振幅も、計算することができるが、Ｔ_２のすべての導関数が計算済みなので、追加ステップが実行されなければならない。

Ｃ法の解析的センシティビティ理論は、ＲＣＷＡに似た形だが、Ｃ法について得られた式を用いて開発することができる。円錐回折は異なる式を有するが、本質的に同一の手順を適用することができる。

この文章では、ＩＣの製造におけるリソグラフィ装置の使用に特に言及する場合があるが、本明細書に記載のリソグラフィ装置が、集積光学システム、磁気ドメインメモリのガイダンスパターンおよび検出パターン、フラットパネルディスプレイ、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ）、薄膜磁気ヘッドなどの製造など、他の応用例を有する可能性があることを理解されたい。そのような代替応用例では、本明細書での用語「ウェーハ」または「ダイ」のすべての使用を、それぞれより一般的な用語「基板」または「ターゲット部分」と同義と考えることができることは当業者に自明である。本明細書で言及する基板は、露光の前または後に、たとえばトラック（通常は基板にレジストの層を与え、露光されたレジストを現像するツール）、メトロロジーツール、および／またはインスペクションツールで処理することができる。適用可能な場合に、本明細書の開示は、そのようなおよび他の基板処理ツールに適用することができる。さらに、基板を、たとえば複数層ＩＣを作成するために、複数回処理することができ、その結果、本明細書で使用される用語基板が、既に複数の処理された層を含んでいてもよい。

上で、光リソグラフィの場合の本発明の諸実施形態の使用に特に言及する場合があるが、本発明を、他の応用例、たとえばインプリントリソグラフィで使用することができ、状況が許せば、光リソグラフィに限定されないことは言うまでもない。インプリントリソグラフィでは、パターニングデバイス内のトポグラフィが、基板上に作成されるパターンを画定する。パターニングデバイスのトポグラフィは、基板に供給されるレジストの層にプレス加工することができ、この基板の上で、レジストが、電磁放射、熱、圧力、またはこれらの組合せを与えることによって硬化される。パターニングデバイスは、レジストから外され、レジストが硬化した後にその中にパターンが残される。

本明細書で使用される用語「放射」および「ビーム」は、紫外（ＵＶ）放射（たとえば、３６５、３５５、２４８、１９３、１５７、または１２６ｎｍあるいはその近くの波長を有する）および極端紫外（ＥＵＶ）放射（たとえば、５〜２０ｎｍの範囲の波長を有する）ならびにイオンビームまたは電子ビームなどの粒子ビームを含む、すべてのタイプの電磁放射を含む。

用語「レンズ」は、状況がゆるせば、屈折、反射、磁気、電磁、および静電光学コンポーネントを含む、さまざまなタイプの光学コンポーネントのいずれかまたはそれらの組合せを指すことができる。

本発明の特定の実施形態を上で説明したが、本発明を、説明された態様と異なる態様で実施可能であることはいうまでもない。たとえば、本発明は、上で開示した方法を記述する機械読取可能命令の１つまたは複数のシーケンスを含むコンピュータプログラムまたはそのようなコンピュータプログラムを格納したデータ記録媒体（たとえば、半導体メモリ、磁気ディスク、または光ディスク）の形であってよい。

上の説明は、制限的ではなく例示的であることを意図されたものである。したがって、添付の特許請求の範囲から逸脱せずに、説明された本発明に対して変更を行えることは、当業者に明白であろう。

本発明の実施形態によるリソグラフィ装置を示す図である。 本発明の実施形態による基板アライメントシステムを示す図である。 本発明の実施形態によるメトロロジーマークから反射された放射からマーク形状パラメータを判定する方法を示す図である。 レイリー展開が成り立つ領域を示す図である。 ＲＣＷＡパラメータに関するメトロロジーマークの表現を示す図である。 ＲＣＷＡ法に関する拡張透過率行列手法のアルゴリズムを示す図である。

Claims (19)

1. メトロロジーマークを照射し且つ、反射、透過、またはその両方がなされた電磁場の一部を記録するように構成された測定システムと、
   メトロロジーマークの構造を示すマーク形状パラメータを前記記録された場から判定するように構成されたキャラクタライゼーションデバイスとを備える光メトロロジーシステムであって、前記キャラクタライゼーションデバイスが、
   期待される場の代数的固有値−固有ベクトル表現に基づく理論的基準マークから、反射、透過、またはその両方のために期待される場を計算するように構成された場計算ユニットと、
   最初に、前記固有値−固有ベクトル表現の固有値および固有ベクトルの対応導関数の解析的形を導出することによって、前記マーク形状パラメータに関する前記期待される場の一次導関数、より高次の導関数、またはその両方を有限差分法により計算するように構成された場導関数計算ユニットと、
   前記期待される場と前記記録された場とが実質的に一致している最適化されたマーク形状パラメータを判定するために、前記場計算ユニットおよび前記場導関数計算ユニットからの出力を使用するように構成された最適化ユニットとを有する
   光メトロロジーシステム。
2. 前記場計算ユニットは、前記場の二次微分方程式を解くように構成されており、
   前記固有値−固有ベクトル表現の前記固有値および前記固有ベクトルが、前記二次微分方程式の係数行列の固有値および固有ベクトルである、請求項１に記載のシステム。
3. 基板の前記メトロロジーマークは、前記基板の平面内の軸に沿った周期的構造を有している、請求項１に記載のシステム。
4. 前記メトロロジーマークは、１次元格子、２次元格子、またはその両方を含んでいる、請求項１に記載のシステム。
5. 前記場計算ユニットは、ＲＣＷＡ法及びＣ法の両方を使用して前記期待される場を計算するように配置されている、請求項１に記載のシステム。
6. 前記最適化ユニットは、アライメントマークの期待される歪みに従って選択された開始パラメータに基づいて最適マーク形状パラメータの検索を開始するように配置されている、請求項１に記載のシステム。
7. 前記期待される歪みは、基板の処理ヒストリに基づいて導出されている、請求項６に記載のシステム。
8. 前記場の前記代数的固有値−固有ベクトル表現は、行列Aを含んでおり、後続の固有値系の式AW=WΛに従った固有ベクトル行列Wおよび固有値行列Λにより特徴付けられている、請求項１に記載のシステム。
9. 前記場導関数計算ユニットは、式
   W^-1AW′-Λ′=CΛ-ΛC
   を使用して、Λ′によって表される固有値行列Λの一次導関数を判定するように構成されており、
   ここで、W′によって表されるWの固有ベクトル導関数は、係数行列としてCを用いる関係W′=WCに従って固有ベクトルWからなる基底に投影される、請求項８に記載のシステム。
10. 前記場導関数計算ユニットは、式
    W^-1A′′W-Λ′′= 2Λ′C+2CΛ′+DΛ-ΛD+2ΛCC-2CΛC
    を使用して、Λ′′によって表される固有値行列Λの二次導関数を判定するように構成されており、
    ここで、W′によって表されるWの一次固有ベクトル導関数は、係数行列としてCを用いる関係W′=WCに従って固有ベクトルWからなる基底に投影され、W′′によって表されるＷの二次固有ベクトル導関数は、係数行列としてDを用いる関係W′′=WDに従って固有ベクトルＷからなる基底に投影される、請求項８に記載のシステム。
11. アライメントマークを基板に照射し且つ、反射、透過、またはその両方がなされた電磁場の一部を記録するように構成された測定システムと、
    前記アライメントマークの構造を示すマーク形状パラメータを記録された場から判定するように構成されたキャラクタライゼーションデバイスであって、該キャラクタライゼーションデバイスは、
    期待される場の代数的固有値−固有ベクトル表現に基づく理論的基準マークから、反射、透過、またはその両方のために期待される場を計算するように構成された場計算ユニットと、
    最初に、前記固有値−固有ベクトル表現の固有値および固有ベクトルの対応する導関数の解析的形を導出することによって、前記マーク形状パラメータに関する前記期待される場の一次導関数、より高次の導関数、またはその両方を有限差分法により計算するように構成された場導関数計算ユニットと、
    前記期待される場と前記記録された場とが実質的に一致している最適化されたマーク形状パラメータを判定するために、前記場計算ユニットおよび前記場導関数計算ユニットからの出力を使用するように構成された最適化ユニットと、を有するキャラクタライゼーションデバイスと、
    前記キャラクタライゼーションデバイスによって判定された前記最適化されたマーク形状パラメータを使用して前記基板の位置を導出するように構成された基板位置判定デバイスと、
    を有する光メトロロジーシステムを備えるリソグラフィ装置。
12. 前記基板位置判定デバイスは、前記最適化されたマーク形状パラメータによって定義される理論的基準マークの対称性の中心を参照することによって、前記基板の位置を導出するように構成されている、請求項１１に記載の装置。
13. 前記場計算ユニットは、ＲＣＷＡ法及びＣ法の両方を使用して前記期待される場を計算するように配置されている、請求項１１に記載の装置。
14. メトロロジーマークを照射し且つ、反射、透過、またはその両方がなされた電磁場の一部を記録することと、
    前記メトロロジーマークの構造を示すマーク形状パラメータを前記記録された場から判定することと、
    期待される場の代数的固有値−固有ベクトル表現に基づく理論的基準マークから、反射、透過、またはその両方のために期待される場を計算することと、
    最初に、前記固有値−固有ベクトル表現の固有値および固有ベクトルの対応する導関数の解析的形を導出することによって、前記マーク形状パラメータに関する前記期待される場の一次導関数、より高次の導関数、またはその両方を有限差分法により計算することと、
    前記期待される場と前記記録された場とが実質的に一致している最適化されたマーク形状パラメータを判定するために、前記計算の結果を使用することと、
    を含む、メトロロジーマークを特徴付ける方法。
15. 前記期待される場は、ＲＣＷＡ法及びＣ法の両方を使用して計算されている、請求項１４に記載の方法。
16. 前記最適化されたマーク形状パラメータの判定は、前記アライメントマークの期待される歪みに従って選択された開始パラメータから開始されている、請求項１４に記載の方法。
17. メトロロジーマークを照射し且つ、反射、透過、またはその両方がなされた電磁場の一部を記録することと、
    前記メトロロジーマークの構造を示すマーク形状パラメータを前記記録された場から判定することと、
    期待される場の代数的固有値−固有ベクトル表現に基づく理論的基準マークから、反射、透過、またはその両方のために期待される場を計算することと、
    最初に、前記固有値−固有ベクトル表現の固有値および固有ベクトルの対応する導関数の解析的形を導出することによって、前記マーク形状パラメータに関する前記期待される場の一次導関数、より高次の導関数、またはその両方を有限差分法により計算することと、
    前記期待される場と前記記録された場とが実質的に一致する最適化されたマーク形状パラメータを判定するために、前記計算の結果を使用することとによって、
    基板上に形成されるメトロロジーマークを特徴付けることおよび、
    前記キャラクタライゼーションの結果を使用して前記基板を位置合せすること
    を含むデバイス製造方法。
18. 前記期待される場は、ＲＣＷＡ法及びＣ法の両方を使用して計算されている、請求項１７に記載の方法。
19. 前記最適化されたマーク形状パラメータの判定は、前記アライメントマークの期待される歪みに従って選択された開始パラメータから開始されている、請求項１７に記載の方法。

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