JP2013257045A - Method for designing vertical-axis wind turbine bearing and vertical-axis wind turbine bearing - Google Patents
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Abstract
Description
本発明は、垂直軸型風車用軸受の設計方法、垂直軸型風車用軸受に関する。 The present invention relates to a design method for a vertical axis wind turbine bearing and a vertical axis wind turbine bearing.
流体の流れを利用して発電を行う垂直軸型流体発電装置として、例えば、風(作動流体)の流れを利用した風力発電装置が開発されている。このような垂直軸型風力発電装置は、軸体と、軸体の中心軸回りに間隔をあけて配列されるとともに、該軸体に接続される複数のブレード(風車)と、軸受を介して軸体を中心軸回りに回転可能に支持する支持体と、軸体が周方向に回転することで得られる機械エネルギーを電気エネルギーに変換して電力を発電させる発電機と、を備えている。 For example, a wind power generator using a flow of wind (working fluid) has been developed as a vertical axis fluid power generator that generates power using a fluid flow. Such a vertical axis type wind turbine generator is arranged with a shaft body, a plurality of blades (windmills) connected to the shaft body, and a bearing, arranged at intervals around the central axis of the shaft body. A support body that rotatably supports the shaft body around a central axis, and a generator that generates electric power by converting mechanical energy obtained by rotating the shaft body in the circumferential direction into electric energy.
例えば、特許文献1に記載された風力発電装置では、垂直翼(ブレード)に一体とされた回転機構(軸体)が、地面に対して鉛直方向(水平面に対して垂直な方向)に延設されているとともに一対のベアリング(玉軸受)が設けられることにより回転可能とされた状態で、中間固定シャフト(支持体)に支持されている。
For example, in the wind turbine generator described in
しかしながら、従来の垂直風力発電装置においては、以下の課題がある。すなわち、軸体は、強度確保に必要な直径に設定し、この直径に対応して、例えば70XX系等の市場に流通している玉軸受を選定する。ところが、このようにして選定した玉軸受では、定格荷重が過大(オーバースペック)となる。また、玉軸受の負荷容量(動定格荷重や静定格荷重)も大きいので、トルク抵抗も大きくなる。このため、軸体の回転(特に低風速域における回転)が阻害されて発電効率を低下させてしまい、効率の悪い風車になってしまうという問題がある。 However, the conventional vertical wind power generator has the following problems. That is, the shaft body is set to a diameter necessary for securing the strength, and a ball bearing distributed in the market such as 70XX system is selected in accordance with the diameter. However, the ball bearing selected in this way has an excessive load rating (overspec). Further, since the load capacity (dynamic load rating or static load rating) of the ball bearing is large, the torque resistance is also increased. For this reason, there is a problem that the rotation of the shaft body (especially in the low wind speed region) is hindered to reduce the power generation efficiency, resulting in an inefficient windmill.
本発明は、このような事情に鑑みてなされたものであって、トルク抵抗が小さく、軸体を円滑に回転させて、発電効率を高めることができる垂直軸型風車用軸受の設計方法、垂直軸型風車用軸受を提供することを目的とする。 The present invention has been made in view of such circumstances, and a design method for a vertical shaft type wind turbine bearing capable of increasing the power generation efficiency by reducing the torque resistance and smoothly rotating the shaft body. An object is to provide a shaft type wind turbine bearing.
本発明は、垂直軸型風車の垂直軸を回転可能に支持する軸受の設計方法において、前記軸受に要求される動定格荷重を満たすための転動溝曲率とボール比の関係を示す曲線と、前記軸受に要求される静定格荷重を満たすための転動溝曲率とボール比の関係を示す曲線と、前記軸受に要求される起動トルクを満たすための転動溝曲率とボール比の関係を示す曲線と、を求め、これらの曲線に囲まれた領域にある軸受を選定することを特徴とする。 The present invention relates to a design method of a bearing that rotatably supports a vertical axis of a vertical axis type wind turbine, a curve showing a relationship between a rolling groove curvature and a ball ratio to satisfy a dynamic load rating required for the bearing; A curve showing the relationship between the rolling groove curvature and the ball ratio for satisfying the static load rating required for the bearing, and the relationship between the rolling groove curvature and the ball ratio for satisfying the starting torque required for the bearing. Curves are obtained, and a bearing in a region surrounded by these curves is selected.
本発明に係る垂直軸型風車用軸受は、前述の垂直軸型風車用軸受の設計方法により設計されたことを特徴とする。 A vertical axis wind turbine bearing according to the present invention is characterized by being designed by the above-described method for designing a vertical axis wind turbine bearing.
本発明によれば、トルク抵抗が小さく、軸体を円滑に回転させて、発電効率を高めることができる垂直軸型風車用軸受を実現することができる。 According to the present invention, it is possible to realize a vertical shaft type wind turbine bearing that has a small torque resistance and can smoothly rotate a shaft body to increase power generation efficiency.
以下、本発明の実施形態について図面を参照して説明する。
(第一実施形態)
図1は、第一実施形態に係る垂直軸型風力発電装置10を示す外観図である。図2は、垂直軸型風力発電装置10を示す側断面図である。
図1、図2に示すように、垂直軸型風力発電装置(垂直軸型流体発電装置)10は、風(作動流体)Wを受けて回転する回転機構10Aと、回転機構10Aにより得られた機械エネルギーを電気エネルギーに変換する発電機構10Bと、を有している。
回転機構10Aは、風Wを受ける風車1と、風車1に連結された回転軸(軸体)2と、軸受3を介して回転軸2を中心軸C回りに回転可能に支持するケーシング(支持体)4と、を備える。
発電機構10Bは、回転軸2が周方向(中心軸C回り)に回転することで得られる機械エネルギーを電気エネルギーに変換して電力を発電させる発電機5を備えている。
これら回転機構10A及び発電機構10Bは、地面Fに立設されて鉛直方向に延びるタワー(支柱)6の上部に配設されている。
Embodiments of the present invention will be described below with reference to the drawings.
(First embodiment)
FIG. 1 is an external view showing a vertical axis
As shown in FIGS. 1 and 2, a vertical axis wind power generator (vertical axis fluid power generator) 10 is obtained by a
The
The
The
風車1は、所謂ジャイロミル型風車である。風車1は、矩形板状又は帯板状をなし地面Fと鉛直方向に延びるブレード1Aを複数有する。複数のブレード1Aは、回転軸2の中心軸C回りに、周方向均等に間隔をあけて、配設される。複数のブレード1Aは、これらを支持する複数のアーム1Bを介して回転軸2に連結される。
ブレード1Aは、風Wを受けると揚力を発生する形状に形成される。この揚力によって、風車1が回転軸2の中心軸C回りに回転する。
風車1は、風向きに対して依存性がない。すなわち、どの方向からの風Wに対しても風車1を回転軸2の中心軸C回りに回転可能な形状に設定される。
The
The
The
図2に示すように、風車1(ブレード1A)が連結される回転軸2は、中心軸Cが地面Fに対して垂直となるように、鉛直方向に延びて配設される。回転軸2は、軸受3を介してケーシング4に対して回転可能に軸支される。
As shown in FIG. 2, the
回転軸2の外周面には、矩形板状又は帯板状をなすアーム1Bの一端が接続され、径方向外方へ向けて複数突設されている。これらアーム1Bは、回転軸2の周方向均等に間隔をあけて配設される。そして、アーム1Bの他端に、ブレード1Aが連結される。1つのブレード1Aに対して、一対のアーム1Bが中心軸C方向に離間して平行に設けられる。
One end of an
回転軸2は、その中央部近傍と下端部近傍に軸受3が設けられることにより、ケーシング4に対して回転可能に支持される。軸受3は、回転軸2の中心軸C方向に互いに離間するラジアル軸受13と、複列のアンギュラ軸受14A,14Bとを備える。
ラジアル軸受13は、回転軸2における中心軸C方向の発電機5側の端部に配設される。具体的には、ラジアル軸受13の内輪15が、回転軸2の下端側に固設される。
複列のアンギュラ軸受14A,14Bは、回転軸2における中心軸C方向の風車1側に配設される。具体的には、複列のアンギュラ軸受14A,14Bの内輪17,17が、回転軸2の中央部に固設される。
The rotating
The
Double-row
ケーシング4は、風車1側(一方側)の上側部分4Aが、風車1とは反対のタワー6側(他方側)の下側部分4Bよりも縮径された多段筒形に形成される。ケーシング4は、下側部分4Bの下端部がタワー6の上端部に連結される。
ケーシング4の上側部分4Aの内周面には、上端側に、アンギュラ軸受14A,14Bの外輪18,18が固設される。ケーシング4の上側部分4Aの内周面には、下端側に、ラジアル軸受13の外輪16が固設される。
軸受3のラジアル軸受13とアンギュラ軸受14A,14Bは、同一直径の複数のボール7を有する。同一直径の複数のボール7を有する。
The
The radial bearing 13 and the
なお、ラジアル軸受13とアンギュラ軸受14A,14Bとの上下位置は、前述とは反対に設定されてもよい。すなわち、ラジアル軸受13が回転軸2の風車1側に配設され、アンギュラ軸受14A,14Bが回転軸2の発電機5側に配設されてもよい。
また、アンギュラ軸受14A,14B同士は、背面合わせ以外の正面合わせや並列合わせであってもよい。
Note that the vertical positions of the radial bearing 13 and the
Further, the
ケーシング4の下側部分4Bの内部には、発電機5や制御部(不図示)等が収容される。
発電機5は、回転軸2の回転によって得られる回転力(機械エネルギー)を電気エネルギーに変換して電力を発電するものである。
発電機5は、回転軸2の下端に連結されて回転軸2とともに回転するマグネットロータ8と、マグネットロータ8の外周側を取り囲むように配設されたコイルステータ9と、を備えている。
Inside the
The
The
このような構成により、風車1が風Wを受けて回転軸2を中心軸C回りに回転させると、回転軸2に連結されたマグネットロータ8も中心軸C回りに回転する。つまり、マグネットロータ8が風車1及び回転軸2と同軸(中心軸C)上で回転する。
そして、マグネットロータ8がコイルステータ9に対して中心軸C回りに回転することにより、マグネットロータ8とコイルステータ9との間で電磁誘導が発生して、電力が発電される。
With such a configuration, when the
Then, when the
次に、回転軸2を軸支する軸受3の要求性能について、詳細に説明する。
図3は、第一実施形態に係る軸受3を示す図である。
垂直軸型風力発電装置10の回転軸2は、効率よく、軽く回転することが望まれる。このため、回転軸2に用いられる軸受3は、風車1が微弱な風速の風Wを受けた場合であっても、回転軸2が回転するように軸支することが要請される。
このため、軸受3(ラジアル軸受13、アンギュラ軸受14A,14B)は、起動トルク及び回転トルクが極力小さいことが必要である。
その一方で、回転軸2を軸支する軸受3は、変動が大きい外力(風車1が受ける風W)を長期間に亘って受けるため、十分な静的負荷容量 (基本静定格荷重)と動的負荷容量(基本動定格荷重)を満足する性能を有することが必要である。
したがって、軸受3は、十分な定格荷重を有する一方で、回転トルクが小さいものである必要がある。
Next, the required performance of the
FIG. 3 is a view showing the
It is desired that the
For this reason, the bearing 3 (
On the other hand, since the
Therefore, the
軸受3の仕様(性能)のうち、回転トルク、定格荷重(基本静定格荷重・基本動定格荷重)を決定する形状パラメータには、以下の4項目があることが知られている。
Among the specifications (performance) of the
(1)ボール直径Dw
(2)転動溝曲率α(α=R/Dw、R=転動溝半径)
(3)ボール中心径Dpw
(4)ボール数z
(1) Ball diameter Dw
(2) Rolling groove curvature α (α = R / Dw, R = rolling groove radius)
(3) Ball center diameter Dpw
(4) Number of balls z
一般的に、(1),(3),(4)の数値を大きくすると、回転トルク及び定格荷重も大きくなる。一方、(2)の数値を大きくすると、回転トルク及び定格荷重が小さくなることが知られている。このため、これら4つのパラメータのバランスが重要となる。 Generally, when the numerical values of (1), (3), and (4) are increased, the rotational torque and the rated load are also increased. On the other hand, it is known that when the numerical value of (2) is increased, the rotational torque and the rated load are reduced. For this reason, the balance of these four parameters is important.
一方、風車1が受ける最大風力などの条件(使用条件)から、回転軸2の直径d1は、ほぼ必然的に定まる(必要最小限の直径以上)。そして、軸受3の内径dは、回転軸2の直径d1と同一なので、ほぼ必然的に定まる。
軸受3の内径dが定まると、(3)ボール中心径Dpwは、(1)ボール直径Dwを決定することにより導かれる。
また、(4)ボール数zは、(1)ボール直径Dwと(3)ボール中心径Dpwを決定することにより導かれる。軌道上に配置できるボールBの最大数は物理的に定まるからである。ボール数zを減らすと、ボールB一つあたりの負荷が大きくなり信頼性が低下してしまうため現実的ではない。
On the other hand, the diameter d1 of the
When the inner diameter d of the
Further, (4) the number of balls z is derived by determining (1) the ball diameter Dw and (3) the ball center diameter Dpw. This is because the maximum number of balls B that can be placed on the track is physically determined. If the number of balls z is reduced, the load per ball B increases and the reliability decreases, which is not realistic.
そうすると、風車1の回転軸2に最適な軸受3を設計(採用)しようとする場合、(1)ボール直径Dwと(2)転動溝曲率αの2つが重要なパラメータとなることが理解できる。
したがって、軸受3が十分な負荷容量を有し、低回転トルクとなるためには、軸受3は、以下の条件を満足する必要である。
(i)ボール直径Dwを小さくする。
(ii)転動溝曲率αを大きくする。
Then, when designing (adopting) the
Therefore, in order for the
(I) The ball diameter Dw is reduced.
(Ii) Increase the rolling groove curvature α.
そして、上述した条件を満たす軸受3を設計(採用)するには、以下の手順を行う。
まず、風車1の仕様(使用条件)から、回転軸2を軸支する軸受3に要求される性能を求める。具体的には、軸受3に要求される定格荷重(基本動定格荷重・基本静定格荷重)及び起動トルクを求める。
次に、求めた要求性能(基本動定格荷重、基本静定格荷重及び起動トルク)のそれぞれについて、その要求性能を満たすための(1)ボール直径Dwと(2)転動溝曲率αの関係(関係曲線)を求める。
And in order to design (adopt) the
First, the performance required for the
Next, for each of the obtained required performance (basic dynamic load rating, basic static load rating and starting torque), (1) relationship between ball diameter Dw and (2) rolling groove curvature α to satisfy the required performance ( (Relation curve).
図4は、軸受3が要求性能を満たすためのボール比βと転動溝曲率αの関係曲線をグラフ化したものである。図4は、風車1の受風面積が9m2の場合を示す。風条件は、IEC61400−2 classIVである。
なお、IEC61400−2において、受風面積が2m2〜200m2未満の風車を小型風車とよぶ。
FIG. 4 is a graph showing a relationship curve between the ball ratio β and the rolling groove curvature α for the
In IEC 61400-2, a windmill having a wind receiving area of 2 m 2 to less than 200 m 2 is referred to as a small windmill.
図4において、縦軸はボール比βを、横軸は転動溝曲率αを示す。縦軸は(1)ボール直径Dwそのものではなく、回転軸2の直径d1に対するボール直径Dwの比率(ボール比β)を示す。回転軸2の直径d1は、必ずしも必要最小限の寸法に設計されるとは限らないので、ボール比βを用いている。
In FIG. 4, the vertical axis represents the ball ratio β, and the horizontal axis represents the rolling groove curvature α. The vertical axis indicates (1) not the ball diameter Dw itself but the ratio of the ball diameter Dw to the diameter d1 of the rotating shaft 2 (ball ratio β). Since the diameter d1 of the
ボール比β=Dw/d (Dw=ボール直径、d=回転軸直径) Ball ratio β = Dw / d (Dw = ball diameter, d = rotating shaft diameter)
上述したように、軸受3は、定格荷重と起動トルクを満たす必要がある。軸受3は、少なくとも基本動定格荷重及び基本静定格荷重のいずれか一方を満たし、更に起動トルクを満たす必要がある。より好ましくは、軸受3は、基本動定格荷重、基本静定格荷重及び起動トルクの全てを満たすことが望まれる。
As described above, the
図4の場合には、軸受3の(1)ボール直径Dwと(2)転動溝曲率αが、領域I、領域II及び領域IIIにプロットされるものであれば、垂直軸型風力発電装置10の回転軸2に用いる軸受として適していることが理解できる。
さらに、軸受3の(1)ボール直径Dwと(2)転動溝曲率αが、領域Iにプロットされるものが最適である。おおよそ、(1)ボール直径Dwが20%以下である。好ましくは、10%〜15%である。(2)転動溝曲率αが54%〜100%である。好ましくは、55%〜65%である。
例えば、転動溝曲率α=60%、ボール比β=12%である軸受3を設計(採用)すればよい。
In the case of FIG. 4, if (1) the ball diameter Dw and (2) the rolling groove curvature α of the
Furthermore, it is optimal that (1) the ball diameter Dw and (2) the rolling groove curvature α of the
For example, the
ボール直径Dwが20%を超える場合には、定格荷重と起動トルクの両者を満足させることが困難となる。また、回転軸2の直径に対してあまりにボール径Dwが大きくなりすぎると、軸受3に配置できるボール7の数が少なくなってしまい、ボール7の一個あたりの負荷が過大となってしまい現実的ではない。さらに、一般的に、直径が小さ過ぎるボールや大きいボール(特に直径1インチ以上)は市場性が低く、コストが増加してしまう。
このため、ボール直径Dwは20%以下が好適である。
When the ball diameter Dw exceeds 20%, it is difficult to satisfy both the rated load and the starting torque. Further, if the ball diameter Dw is too large with respect to the diameter of the
For this reason, the ball diameter Dw is preferably 20% or less.
ボール直径Dwが10%未満の場合には、定格荷重と起動トルクの両者を満足させることが困難となる。
このため、ボール直径Dwは10%以上が好適である。
When the ball diameter Dw is less than 10%, it is difficult to satisfy both the rated load and the starting torque.
For this reason, the ball diameter Dw is preferably 10% or more.
転動溝曲率αが54%未満の場合には、ボール直径Dwが10%以下の場合と同様に、定格荷重と起動トルクの両者を満足させることが困難となる。
このため、転動溝曲率αは54%以上が好適である。
When the rolling groove curvature α is less than 54%, it is difficult to satisfy both the rated load and the starting torque, as in the case where the ball diameter Dw is 10% or less.
For this reason, the rolling groove curvature α is preferably 54% or more.
転動溝曲率αが100%を超えるの場合には、ボール直径Dwが20%を超える場合と同様に、定格荷重と起動トルクの両者を満足させることが困難となる。
このため、転動溝曲率αは100%以下が好適である。
When the rolling groove curvature α exceeds 100%, it is difficult to satisfy both the rated load and the starting torque, as in the case where the ball diameter Dw exceeds 20%.
For this reason, the rolling groove curvature α is preferably 100% or less.
以上説明したように、第一実施形態に係る垂直軸型風力発電装置10では、軸受3は、(i)ボール直径Dwが小さく、(ii)転動溝曲率αが大きいので、十分な定格荷重を有する一方で回転トルクが小さい。
したがって、風車1が微弱な風速の風Wを受けた場合であっても、回転軸2が回転するように軸支される。また、変動が大きい外力(風車1が受ける風W)を長期間に亘って受けることができる。よって、垂直軸型風力発電装置10は、高い効率で発電できる。
As described above, in the vertical axis
Therefore, even when the
(第二実施形態)
図5は、第二実施形態に係る垂直軸型風力発電装置20及び軸受23を示す側断面図である。
以下では、第一実施形態に係る垂直軸型風力発電装置10及び軸受3とは異なる点について説明し、垂直軸型風力発電装置10及び軸受3と同一の部材等については説明を省略等する。
(Second embodiment)
FIG. 5 is a side sectional view showing the vertical axis
Below, a different point from the vertical axis
垂直軸型風力発電装置20の回転軸22は、軸受23により軸支される。軸受23は、上述したラジアル軸受13と、アンギュラ軸受24A,24Bとを備える。
風車1が連結される回転軸22において、複列のアンギュラ軸受24A,24Bが設けられる部分には、複数のボール7が転走する転走溝33が形成される。つまり、アンギュラ軸受24A,24Bは、外輪28のみを有し、内輪を有しない。このため、回転軸22の外周面にボール7が転走する転走溝33が形成される。
転走溝33は、回転軸22の外周面において周方向に沿って延びる環状をなしており、中心軸C側に向かって窪む凹曲線状に形成される。
The
In the
The rolling
なお、ラジアル軸受13とアンギュラ軸受24A,24Bとの上下位置は、前述とは反対に設定されてもよい。すなわち、ラジアル軸受13が回転軸2の風車1側に配設され、アンギュラ軸受24A,24Bが回転軸2の発電機5側に配設されてもよい。
また、アンギュラ軸受24A,24B同士は、背面合わせ以外の正面合わせや並列合わせであってもよい。
Note that the vertical positions of the
Further, the
回転軸22を軸支する軸受23の要求性能は、軸受3と同一である。
したがって、上述した条件を満たす軸受23を設計(採用)するには、軸受3の設計(採用)と同一の手順を行えばよい。
ただし、ラジアル軸受13とアンギュラ軸受24A,24Bでは、半径d、ボール直径Dw、転動溝半径R、ボール中心径Dpw、ボール数zの値が異なるので、それぞれ別個に設計(採用)する必要がある。例えば、アンギュラ軸受24A,24Bの半径dは、回転軸22の直径d1ではなく、転走溝33が形成された部位の直径d2となる。
The required performance of the
Therefore, in order to design (adopt) the
However, since the
第二実施形態に係る垂直軸型風力発電装置20においても、軸受23は(i)ボール直径Dwが小さく、(ii)転動溝曲率αが大きいので、十分な定格荷重を有する一方で回転トルクが小さい。したがって、風車1が微弱な風速の風Wを受けた場合であっても、回転軸22が回転するように軸支される。また、変動が大きい外力(風車1が受ける風W)を長期間に亘って受けることができる。よって、垂直軸型風力発電装置20は、高い効率で発電できる。
Also in the vertical axis
上述した実施形態において示した各構成部材の諸形状や組み合わせ等は一例であって、本発明の主旨から逸脱しない範囲において設計要求等に基づき種々変更可能である。 Various shapes, combinations, and the like of the constituent members shown in the above-described embodiments are examples, and various modifications can be made based on design requirements and the like without departing from the gist of the present invention.
ラジアル軸受が内輪を有さずに、回転軸22に転走溝を形成する場合であってもよい。
The radial bearing may not be provided with an inner ring and a rolling groove may be formed on the
ラジアル軸受とアンギュラ軸受が内輪のみを有し、外輪を有さずに、ケーシング4(上側部分4A)の内周面に転走溝を形成する場合であってもよい。
The radial bearing and the angular bearing may have only an inner ring, and may have a rolling groove on the inner peripheral surface of the casing 4 (
回転軸2,22は、一体構造に限らず、複数の軸部材を連結する場合であってもよい。
一対のアーム1Bは、中心軸C方向に離間して平行でなくてもよい。
軸受3,23のラジアル軸受13とアンギュラ軸受14A,14B,24A,24Bのボール径は、それぞれ同径であってもよいし、異径であってもよい。
The
The pair of
The ball diameters of the
1…風車、 2…回転軸(軸体)、 3…軸受(垂直軸型風車用軸受)、 4…ケーシング(支持体)、 5…発電機、 7…ボール、 10…垂直軸型風力発電装置、 13…ラジアル軸受、 14A,14B…アンギュラ軸受、 20…垂直軸型風力発電装置、 22…回転軸(軸体)、 23…軸受(垂直軸型風車用軸受)、 24A,24B…アンギュラ軸受、 33…転走溝、 C…中心軸
DESCRIPTION OF
Claims (5)
前記軸受に要求される動定格荷重を満たすための転動溝曲率とボール比の関係を示す曲線と、
前記軸受に要求される静定格荷重を満たすための転動溝曲率とボール比の関係を示す曲線と、
前記軸受に要求される起動トルクを満たすための転動溝曲率とボール比の関係を示す曲線と、を求め、
これらの曲線に囲まれた領域にある軸受を選定することを特徴とする垂直軸型風車用軸受の設計方法。 In a method of designing a bearing that rotatably supports a vertical axis of a vertical axis type wind turbine,
A curve showing the relationship between the rolling groove curvature and the ball ratio to satisfy the dynamic load rating required for the bearing;
A curve showing the relationship between the rolling groove curvature and the ball ratio to satisfy the static load rating required for the bearing;
A curve showing the relationship between the rolling groove curvature and the ball ratio to satisfy the starting torque required for the bearing, and
A design method for a bearing for a vertical axis wind turbine, wherein a bearing in a region surrounded by these curves is selected.
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