DE102013101028B3

DE102013101028B3 - Fast and accurate method for calculating the caloric quantities and the isentropic state of gases and mixtures of gases

Info

Publication number: DE102013101028B3
Application number: DE102013101028.8A
Authority: DE
Inventors: Jost Braun; Kirsten Braun
Original assignee: HOCHSCHULE KEMPTEN
Current assignee: HOCHSCHULE KEMPTEN
Priority date: 2013-02-01
Filing date: 2013-02-01
Publication date: 2014-04-10
Anticipated expiration: 2033-02-02
Also published as: WO2014118331A1; EP2951566A1

Abstract

Verfahren zur Bestimmung einer kalorischen Größe, insbesondere der Enthalpie h2, der inneren Energie u2 und/oder der Entropie s2, eines Gases in einem zweiten Zustand. Das Gas wird in einem thermodynamischen Prozess, insbesondere bei einer Kompression oder bei einer Expansion in einem Motor, in einer Turbine oder in einem Kompressor, aus einem bekannten ersten Zustand in den zweiten Zustand überführt oder aus dem zweiten Zustand in einen bekannten ersten Zustand überführt. Bei dem Verfahren wird die kalorische Größe mit Hilfe mindestens einer analytischen Funktion f bestimmt. Die mindestens eine analytische Funktion f ist von der Temperatur T und vom Druck p oder von der Temperatur T und vom spezifischen Volumen ν abhängig und hat die folgende Form: f(T, p) = g(T)·(1 + k(p bzw. v, T)). Die mindestens eine analytische Funktion f wird mit Hilfe von Stoffdaten für das Gas bestimmt.Method for determining a caloric quantity, in particular the enthalpy h2, the internal energy u2 and / or the entropy s2, of a gas in a second state. The gas is transferred from a known first state to the second state or transferred from the second state to a known first state in a thermodynamic process, in particular during compression or expansion in an engine, in a turbine or in a compressor. In the method, the caloric quantity is determined by means of at least one analytical function f. The at least one analytical function f is dependent on the temperature T and the pressure p or on the temperature T and on the specific volume ν and has the following form: f (T, p) = g (T) * (1 + k (p or v, T)). The at least one analytical function f is determined using substance data for the gas.

Description

GEBIET DER ERFINDUNGFIELD OF THE INVENTION

Die vorliegende Erfindung liegt auf dem Gebiet der Berechnung, der Qualifizierung bzw. der Validierung von thermodynamischen Prozessen, insbesondere von einer Kompression oder einer Expansion eines Gases in einem Motor, in einer Turbine oder in einem Kompressor.The present invention is in the field of computation, qualification or validation of thermodynamic processes, in particular compression or expansion of a gas in an engine, in a turbine or in a compressor.

HINTERGRUND DER ERFINDUNGBACKGROUND OF THE INVENTION

Thermodynamische Prozesse mit Gasen werden in einer Vielzahl technischer Gebiete angewendet. Beispiele sind die Kompression und Expansion von einem Gas oder Gasgemisch in einem Motor, in einer Turbine oder in einem Kompressor.Thermodynamic processes with gases are used in a variety of technical fields. Examples are the compression and expansion of a gas or gas mixture in an engine, in a turbine or in a compressor.

Bei solchen Prozessen geht das Gas aus einem Anfangszustand in einen Endzustand bzw. in einen anderen Zustand über. Grundsätzlich ist ein Zustand eines Gases eindeutig bestimmt, wenn mindestens zwei seiner Zustandsgrößen bekannt sind. Zu solchen Zustandsgrößen gehören die Temperatur T, der Druck p und das Volumen V des Gases. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Stoffmenge (z. B. die Masse m) bzw. die Teilchenzahl N des Gases bekannt ist. Anstatt der physikalischen Größe des Volumens V wird üblicherweise auch das spezifische Volumen ν verwendet, das als das Volumen pro Teilchenzahl V/N oder als das Volumen pro Masse V/m definiert ist.In such processes, the gas changes from an initial state to a final state. Basically, a state of a gas is uniquely determined if at least two of its state variables are known. Such state variables include the temperature T, the pressure p and the volume V of the gas. It is assumed that the amount of substance (eg the mass m) or the particle number N of the gas is known. Instead of the physical size of the volume V, the specific volume ν is also usually used, which is defined as the volume per particle number V / N or as the volume per mass V / m.

Um technische thermodynamische Prozesse mit Gasen zu bewerten, wird der Prozess, beispielsweise eine Kompression oder eine Expansion, die in einem Motor abläuft, üblicherweise mit einem zugehörigen idealen Prozess verglichen. Dieser ideale Prozess stellt dabei einen Vergleichsprozess dar, der als ein isentrop adiabatisch ablaufender Prozess angenommen wird. Das bedeutet, dass bei dem idealen Prozess die Entropie konstant bleibt und kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet. Solche theoretischen idealen Prozesse sind von tatsächlich ablaufenden Prozessen zu unterscheiden, bei denen ein gewisser Wärmeaustausch mit der Umgebung oder eine Entropieänderung nicht gänzlich zu vermeiden ist. Tatsächlich ablaufende Prozesse sind daher nie vollständig isentrop adiabatisch. Grundsätzlich ist ein technischer, thermodynamischer Gasprozess umso effizienter, je näher er an seinen idealen Vergleichsprozess herankommt.To evaluate technical thermodynamic processes with gases, the process, such as compression or expansion, that occurs in an engine is usually compared to an associated ideal process. This ideal process represents a comparison process, which is assumed to be an isentropically adiabatic process. This means that in the ideal process the entropy remains constant and there is no heat exchange with the environment. Such theoretical ideal processes are to be distinguished from actual processes in which a certain heat exchange with the environment or an entropy change can not be entirely avoided. Actual processes are therefore never completely isentropically adiabatic. Basically, a technical, thermodynamic gas process is more efficient the closer it gets to its ideal comparison process.

Als Maß dafür, wie nahe ein technischer Gasprozess an einen idealen Gasprozess herankommt, wird im Stand der Technik der isentrope Wirkungsgrad verwendet. Der isentrope Wirkungsgrad η_is ist bei Turbinen und Motoren durch den folgenden Zusammengang definiert:

As a measure of how close a technical gas process approaches an ideal gas process, isentropic efficiency is used in the prior art. The isentropic efficiency η _{is defined} for turbines and engines by the following interaction:

Bei Verdichtern und Kompressoren ist der isentrope Wirkungsgrad η_is durch den folgenden Zusammengang definiert:

For compressors and compressors, the isentropic efficiency η _is defined by the following interaction:

In den Formeln (57) und (58) bezeichnet h₁ die Enthalpie des Gases am Anfang des Gasprozess und h_2,real die Enthalpie des Gases am Ende des realen Gasprozess. h_2,is bezeichnet die Enthalpie des Gases am Ende des idealen isentropen Vergleichsprozesses.In formulas (57) and (58), h ₁ denotes the enthalpy of the gas at the beginning of the gas process and h _{2, in real terms} the enthalpy of the gas at the end of the real gas process. h _{2, is} the enthalpy of the gas at the end of the ideal isotropic comparison process.

Um den isentropen Wirkungsgrad η_is für einen Gasprozess zu ermitteln, ist die Kenntnis des Anfangszustandes und des Endzustandes des betrachteten Gasprozesses sowie die Kenntnis des Endzustandes des idealen Vergleichsprozesses (sog. isentroper Endzustand) erforderlich. Der ideale Vergleichsprozesses ist isentrop adiabatisch bzw. wird als isentrop adiabatisch angenommen.In order to determine the isentropic efficiency η _is for a gas process, the knowledge of the initial state and the final state of the considered gas process and the knowledge of the final state of the ideal comparison process (so-called isentroper final state) is required. The ideal comparison process is isentropically adiabatic or is assumed to be isentropically adiabatic.

Der Anfangszustand des idealen Vergleichsprozess entspricht dem Anfangszustand des zu vergleichenden tatsächlichen technischen Prozesses, der beispielsweise durch die beiden Zustandsgrößen T₁ und p₁ oder die beiden Zustandsgrößen T₁ und ν₁ eindeutig bestimmt ist. Der isentrope Endzustand ist jedoch zunächst unbekannt und muss ermittelt werden.The initial state of the ideal comparison process corresponds to the initial state of the actual technical process to be compared, which is uniquely determined for example by the two state variables T ₁ and p ₁ or the two state variables T ₁ and ν ₁ . However, the isentropic final state is initially unknown and must be determined.

Üblicherweise wird für den isentropen Endzustand eine der beiden Zustandsgrößen des Drucks p₂ und des spezifischen Volumen ν₂ als bekannt angenommen. Hierfür wird die entsprechende messbare Zustandsgröße des tatsächlichen thermodynamischen Prozesses gewählt. Üblicherweise ist die Zustandsgröße der Temperatur T₂ für den isentropen. Endzustand zunächst unbekannt. Usually one of the two state variables of the pressure p ₂ and of the specific volume v ₂ is assumed to be known for the isentropic final state. For this purpose, the corresponding measurable state variable of the actual thermodynamic process is selected. Usually, the state quantity of the temperature is T ₂ for the isentropic. Final state initially unknown.

Um die Temperatur T_2,is für den isentropen Endzustand zu bestimmen, wird im Stand der Technik der folgende Ansatz für eine adiabatische isentrope Zustandsänderung verwendet:

In order to determine the temperature T _{2, is} for the isentropic final state, the following approach is used in the prior art for an adiabatic isentropic state change:

Dabei ist κ der Isentropenexponent, der als das Verhältnis zwischen der isobaren Wärmekapazität c_p und der isochoren Wärmekapazität c_ν definiert ist:

Here, κ is the isentropic exponent, which is defined as the ratio between the isobaric heat capacity c _p and the isochoric heat capacity c _ν :

Um für den Isentropenexponenten κ einen Wert zu ermitteln, werden im Stand der Technik zunächst die spezifischen Wärmekapazitäten als Funktionen der Temperatur T mit Hilfe von Stoffdaten bestimmt. Dieses Vorgehen ist beispielsweise in VDI-Wärmeatlas, 10. Auflage, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006, Seite 16 angegeben. Für die Berechnung der Temperatur T₂ des isentropen Endzustandes nach Formel 52 wird für κ(T) üblicherweise ein konstanter Wert angenommen, der beispielsweise dem Wert κ(T₁) bei der Temperatur T₁ im Anfangszustand entspricht oder dem Wert κ(T_mittel) bei einer abgeschätzten mittleren Temperatur zwischen der Temperatur T₁ und einer abgeschätzten Temperatur für den isentropen Endzustand entspricht.In order to determine a value for the isentropic exponent κ, the specific heat capacities are first determined in the state of the art as functions of the temperature T with the aid of substance data. This procedure is given for example in VDI-Wärmeatlas, 10th edition, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006, page 16. For the calculation of the temperature T _{2 of} the isentropic final state according to formula 52, a constant value is assumed for κ (T) which corresponds, for example, to the value κ (T ₁ ) at the temperature T ₁ in the initial state or to the value κ (T _medium ) at an estimated average temperature between the temperature T ₁ and an estimated isentropic final state temperature.

Nachdem die Temperatur T₂ ermittelt wurde, stehen für den isentropen Endzustand zwei Zustandsgrößen als bekannt zur Verfügung, sodass für den isentropen Endzustand die kalorische Größe der Enthalpie h_2,is und damit auch der isentrope Wirkungsgrad η_is gemäß dem oben genannten Zusammenhang nach Formel (57) bzw. (58) ermittelt werden kann. Mithilfe des isentropen Wirkungsgrads η_is kann der tatsächliche Gasprozess bewertet und qualifiziert werden.After the temperature T _{2 has been} determined, two state variables are available for the isentropic final state, so that the isothermal final state is the caloric size of the enthalpy h _{2, is} and thus also the isentropic efficiency η _is according to the abovementioned relationship according to formula ( 57) or (58) can be determined. With the aid of the isentropic efficiency η _is , the actual gas process can be evaluated and qualified.

Im Stand der Technik werden Prozesse jedoch nicht nur einzeln für sich anhand ihres isentropen Wirkungsgrads η_is bewertet, sondern auch untereinander anhand ihrer isentropen Wirkungsgrade verglichen (sog. Benchmarking). Beim Benchmarking werden bei den zu vergleichenden Prozessen Wirkungsgradunterschiede berücksichtigt, die im Promillebereich liegen können.In the prior art, however, processes are not individually evaluated individually on the basis of their isentropic efficiency η _is , but also compared with one another on the basis of their isentropic efficiencies (so-called benchmarking). In benchmarking, differences in efficiency are taken into account in the processes to be compared, which can be in the per thousand range.

Ein großes und noch nicht hinreichend zur Kenntnis genommenes Problem dabei ist, dass die Berechnung nach den Formeln 52 und 53 vergleichsweise ungenau ist. Beispielsweise gilt die Formel 52 nur für ideale Gase, jedoch nicht für zwei- oder mehratomige reale Gase. Weiterhin wird κ für die Bestimmung nach Formel 52 trotz Temperaturabhängigkeit als konstant angenommen. Je nach dem, für welche Temperatur κ bestimmt wird, können sich nach Formel 53 unterschiedliche Werte für T₂ ergeben. Beispielsweise können sich bei der genannten Berechnung des isentropen Wirkungsgrades schon allein dadurch Abweichungen im Bereich von mehreren Prozent ergeben, dass für κ in Formel 52 ein Wert κ(T₁) bei der Temperatur T₁ verwendet wird anstatt ein Wert κ((T_2,geschätzt + T₁)/2) bei einer abgeschätzten mittleren Temperatur (T_2,geschätzt + T₁)/2. Im letztgenannten Fall setzt die Mittelwertbildung bereits eine Kenntnis der Temperatur T₂ voraus. Diese soll jedoch erst bestimmt werden und kann bei unterschiedlichen Prozessen unterschiedlich sein. T₂ ist zwangsläufig von vornherein unbekannt. Weiterhin ist der arithmetische Mittelwert selbst bei genügend genauer Kenntnis von T₂ (z. B. durch Iteration) nicht mit einem korrekten gemittelten energetischen Mittelwert identisch, sondern in Abhängigkeit vom Gasverhalten eine mehr oder wenige gute Näherung. Auch kleine Abweichungen wirken sich aber nach Formel 52 exponentiell aus.A major problem that has not yet been sufficiently recognized is that the calculation according to formulas 52 and 53 is comparatively inaccurate. For example, formula 52 only applies to ideal gases, but not to diatomic or polyatomic real gases. Furthermore, κ is assumed to be constant for the determination according to formula 52 despite temperature dependence. Depending on the temperature for which κ is determined, different values for T ₂ can result according to formula 53. For example, in the aforementioned calculation of the isentropic efficiency, deviations in the range of several percent can result from the fact that for κ in formula 52 a value κ (T ₁ ) at the temperature T ₁ is used instead of a value κ ((T _{2, estimated} + T ₁ ) / 2) at an estimated average temperature (T _{2, estimated} + T ₁ ) / 2. In the latter case, averaging already requires knowledge of the temperature T ₂ . However, this should first be determined and may be different for different processes. T ₂ is inevitably unknown from the outset. Furthermore, even with sufficiently accurate knowledge of T ₂ (eg, by iteration), the arithmetic mean is not identical to a correct averaged energetic mean but, depending on the gas behavior, a more or less good approximation. Even small deviations have an exponential effect according to formula 52.

Dies zeigt, dass die Fehler in der Berechnung des isentropen Wirkungsgrades η_is im Stand der Technik zum Teil wesentlich größer sind, als Unterschiede zwischen isentropen Wirkungsgraden η_is, die als Bewertungskriterium der Prozesse herangezogen werden. Dies liegt einerseits daran, dass die Formel 52 streng genommen nur für perfekte Gase korrekt ist, also für ideale Gase, deren Wärmekapazitäten und damit auch deren Isentropenexponent κ echte Konstanten sind. Andererseits liegt es daran, dass die Formel 53 eine Temperaturwahl für die Bestimmung eines Wertes für κ voraussetzt. Im Stand der Technik wird die Temperaturwahl willkürlich vorgenommen, mit der Folge, dass der errechnete Endzustand gar nicht der gesuchte isentrope Vergleichszustand ist. Die Abweichung kann aber nicht ohne den Vergleich mit gemessenen Stoffwerten ermittelt werden, die insbesondere bei Gasgemischen aber i. d. R. nicht vorliegen.This shows that the errors in the calculation of the isentropic efficiency η _is in the prior art, in some cases substantially larger, than differences between isentropic efficiencies η _is , which are used as an evaluation criterion of the processes. On the one hand, this is due to the fact that formula 52 strictly speaking is only correct for perfect gases, ie for ideal gases whose heat capacities and thus their isentropic exponent κ are real constants. On the other hand, it is because the formula 53 presupposes a temperature selection for the determination of a value for κ. In the prior art, the temperature selection arbitrarily, with the result that the calculated final state is not the searched isentropic comparison state. However, the deviation can not be determined without comparison with measured material values which, however, are generally not available, especially in the case of gas mixtures.

Ein weiterer Fehler ist, dass die spezifischen Wärmekapazitäten c_p, c_ν als lediglich temperaturabhängig angenommen werden, für reale Gase jedoch auch zusätzlich druckabhängig sind. Diese Druckabhängigkeit wird im Stand der Technik üblicherweise vernachlässigt. Dabei ist anzumerken, dass aus dem Stand der Technik auch eine sogenannte Realgaskorrektur für die spezifische Wärmekapazität bekannt ist. Dazu wird die Abweichung der Enthalpie eines realen Gases und eines idealen Gases Δh_real nach bestimmten Modellen als Funktion der Temperatur und des Druckes angesetzt. Die Realgasabweichung der spezifischen Wärmekapazität Δc_p,real ergibt sich dann als partielle Ableitung (∂(Δh_real)/∂T)_p dieser Enthalpieabweichung nach der Temperatur, wobei jedoch sehr komplizierte Ausdrücke verwendet werden. Dies wird in VDI-Wärmeatlas, 10. Auflage, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006, Seite 17 erläutert.Another error is that the specific heat capacities c _p , c _ν are assumed to be only temperature-dependent, but are also additionally dependent on pressure for real gases. This pressure dependence is usually neglected in the prior art. It should be noted that from the prior art, a so-called real gas correction for the specific heat capacity is known. For this purpose, the deviation of the enthalpy of a real gas and of an ideal gas Δh _real according to specific models as a function of the temperature and the pressure is set. The real gas deviation of the specific heat capacity Δc _{p, real} then results as a partial derivative (∂ (Δh _real ) / ∂T) _{p of} this enthalpy deviation according to the temperature, but very complicated expressions are used. This is explained in VDI-Wärmeatlas, 10th edition, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006, page 17.

Bei diesem Verfahren könnte somit für ein reales mehratomiges Gas eine verbesserte Enthalpie berechnet werden, wobei jedoch die Kenntnis des entsprechenden Druckes und der entsprechenden Temperatur vorausgesetzt ist. Mit diesem Verfahren könnte dann auch die fehlerhafte Annahme, dass die spezifischen Wärmekapazitäten rein temperaturabhängig sind, nachträglich korrigiert werden, indem ein besserer Wert κ(T, p) bestimmt wird, der neben einer Temperaturabhängigkeit auch die Druckabhängigkeit für reale Gase berücksichtigt. Damit könnte mit Formel 52 nachträglich auch ein neuer Temperaturwert T₂ bestimmt werden.In this method, an improved enthalpy could thus be calculated for a real polyatomic gas, but the knowledge of the corresponding pressure and the corresponding temperature is required. With this method, the erroneous assumption that the specific heat capacities are purely temperature-dependent could then be subsequently corrected by determining a better value κ (T, p) which, in addition to a temperature dependence, also takes into account the pressure dependence for real gases. Thus, formula 52 could subsequently also be used to determine a new temperature value T ₂ .

Die grundsätzlichen Probleme, dass Formel 52 nur für perfekte Gase exakt ist und dass für die Bestimmung eines Wertes der temperaturabhängigen Größe κ eine willkürlich gewählte Temperatur verwendet wird, werden jedoch nicht gelöst.However, the fundamental problems that Formula 52 is accurate only for perfect gases and that an arbitrarily selected temperature is used to determine a value of the temperature dependent quantity κ are not solved.

ZUSAMMENFASSUNG DER ERFINDUNGSUMMARY OF THE INVENTION

Der vorliegenden Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zur Bestimmung einer kalorischen Größe, insbesondere der Enthalpie h₂, der inneren Energie u₂ und/oder der Entropie s₂ eines Gases zur Verfügung zu stellen, das schneller und genauer ist, als es im Stand der Technik üblich ist.The present invention has for its object to provide a method for determining a caloric size, in particular the enthalpy h ₂ , the internal energy u ₂ and / or the entropy s _{2 of} a gas that is faster and more accurate than it is in The prior art is common.

Diese Aufgabe wird gelöst durch ein Verfahren nach Anspruch 1. Vorteilhafte Weiterbildungen sind in den abhängigen Ansprüchen angegeben.This object is achieved by a method according to claim 1. Advantageous developments are specified in the dependent claims.

Das erfindungsgemäße Verfahren dient zur Bestimmung einer kalorischen Größe, insbesondere der Enthalpie h₂, der inneren Energie u₂ oder der Entropie s₂ eines Gases. Die kalorische Größe wird in einem zweiten Zustand des Gases bestimmt, wobei das Gas in einem thermodynamischen Prozess aus einem bekannten ersten Zustand in den zweiten Zustand oder aus dem zweiten Zustand in einen bekannten ersten Zustand überführt wird. Der thermodynamische Prozess besteht insbesondere in einer Kompression oder Expansion in einem Motor, in einer Turbine oder in einem Kompressor. Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren wird die kalorische Größe mit Hilfe mindestens einer analytischen Funktion f bestimmt, die von der Temperatur T und dem Druck p oder von der Temperatur T und vom spezifischen Volumen ν abhängt. Die mindestens eine analytische Funktion f hat dabei eine Form gemäß einer der folgenden beiden Formeln: f(T, p) = g(T)·(1 + k(p, T)) (1) f(T, ν) = g(T)·(1 + k(ν, T)) (2) The inventive method is used to determine a caloric size, in particular the enthalpy h ₂ , the internal energy u ₂ or the entropy s _{2 of} a gas. The calorific value is determined in a second state of the gas, wherein the gas is converted in a thermodynamic process from a known first state to the second state or from the second state to a known first state. The thermodynamic process consists in particular in a compression or expansion in an engine, in a turbine or in a compressor. In the method according to the invention, the caloric quantity is determined by means of at least one analytical function f, which depends on the temperature T and the pressure p or on the temperature T and on the specific volume ν. The at least one analytical function f has a form according to one of the following two formulas: f (T, p) = g (T) * (1 + k (p, T)) (1) f (T, ν) = g (T) · (1 + k (ν, T)) (2)

Dabei sind g(T), k(p, T) und k(ν, T) Funktionen der Temperatur T, der Temperatur T und des Druckes p bzw. der Temperatur T und des spezifischen Volumens ν.Here, g (T), k (p, T) and k (ν, T) are functions of the temperature T, the temperature T and the pressure p and the temperature T and the specific volume ν, respectively.

Die mindestens eine analytische Funktion (wird für das Gas mit Hilfe von Stoffdaten bestimmt. Wie aus der Herleitung des obengenannten Ansatzes gemäß der Formeln 1 und 2 weiter unten in der Beschreibung noch deutlich wird, steht die mindestens eine analytische Funktion f mit physikalischen Grundgrößen in Beziehung und kann aufgrund der obengenannten Form mit Hilfe von Stoffdaten bestimmmt werden. Sobald für das Gas die mindestens eine analytische Funktion f einmal mit Hilfe von Stoffdaten bestimmt wurde, kann mit Hilfe dieser mindestens einen analytischen Funktion f eine kalorische Größe für den zweiten Zustand des Gases bei vielen unterschiedlichen ersten und zweiten Zuständen des Gases bestimmt werden. Dazu ist es nicht notwendig, die Stoffdaten für die Bestimmung nochmals heranzuziehen. Dadurch, dass die mindestens eine Funktion f analytisch ist, kann die Bestimmung sehr schnell durchgeführt werden.The at least one analytical function (is determined for the gas with the aid of substance data.) As is clear from the derivation of the above-mentioned approach according to formulas 1 and 2 below in the description, the at least one analytical function f is related to basic physical quantities and can be determined on the basis of the above-mentioned form with the aid of substance data Once the at least one analytical function f has been determined once for the gas by means of substance data, a calorific value for the second state of the gas can be added with the aid of this at least one analytical function f For this purpose, it is not necessary to reconsider the substance data for the determination, since the fact that the at least one function f is analytic allows the determination to be carried out very quickly.

Für die physikalisch-mathematische Beschreibung einer kalorischen Größe ist es eine notwendige Bedingung, dass die kalorische Größe ein totales Differential besitzt. Die mathematische Beschreibung mit Hilfe eines totalen Differentials entspricht der physikalischen Realität. Der obengenannte Ansatz gemäß der Formeln 1 und 2 resultiert aus der Annahme der Existenz eines totalen Differentials einer kalorischen Größe und ist daher an die physikalische Realität angepasst. Das erfindungsgemäße Verfahren erlaubt eine physikalisch begründete und genaue Bestimmung einer kalorischen Größe, wobei die kalorische Größe zugleich schnell und auf vergleichsweise einfache Art und Weise bestimmt werden kann. For the physical-mathematical description of a caloric quantity, it is a necessary condition that the caloric quantity has a total differential. The mathematical description with the help of a total differential corresponds to physical reality. The above-mentioned approach according to formulas 1 and 2 results from the assumption of the existence of a total differential of a caloric quantity and is therefore adapted to the physical reality. The inventive method allows a physically justified and accurate determination of a caloric size, wherein the caloric size can be determined at the same time quickly and in a relatively simple manner.

Um die mindestens eine analytische Funktion f mit Hilfe von Stoffdaten zu bestimmen, umfassen die Stoffdaten vorzugsweise für verschiedene Werte (T, p) oder für verschiedene Werte (T, ν) bestimmte Werte für mindestens eine der folgenden Größen: Enthalpie, innere Energie, partielle oder totale Ableitung der Enthalpie nach der Temperatur (∂h/∂T)_p bzw. (dh/dT), Differenzenquotient aus Enthalpie und Temperatur (Δh/ΔT), partielle oder totale Ableitung der inneren Energie nach der Temperatur (∂u/∂T)_v bzw. (du/dT), Differenzenquotient aus innerer Energie und Temperatur (Δu/ΔT), isobare Wärmekapazität c_p, isochore Wärmekapazität c_ν.In order to determine the at least one analytical function f with the aid of substance data, the substance data preferably comprise values for at least one of the following values for different values (T, p) or for different values (T, ν): enthalpy, internal energy, partial or total derivative of the enthalpy according to temperature (∂h / ∂T) _p or (dh / dT), difference quotient of enthalpy and temperature (Δh / ΔT), partial or total derivative of internal energy according to temperature (∂u / ∂ T) _v or (du / dT), difference quotient of internal energy and temperature (Δu / ΔT), isobaric heat capacity c _p , isochoric heat capacity c _ν .

Die Stoffdaten können jedoch auch Werte für andere physikalische Größen umfassen, aus denen sich die Werte für die obengenannten physikalischen Größen ermitteln lassen.However, the substance data may also include values for other physical quantities from which the values for the abovementioned physical quantities can be determined.

Weiterhin wird die mindestens eine analytische Funktion f vorzugsweise mit Hilfe einer Approximation an Stützwerte bestimmt, wobei die Stützwerte für ausgewählte Werte (T, p) oder für ausgewählte Werte (T, ν) aus den Stoffdaten aufgrund eines proportionalen Zusammenhangs zwischen den Stützwerten und einer der folgenden Größen ermittelt werden: Partielle oder totale Ableitung der Enthalpie nach der Temperatur (∂h/∂T)_p bzw. (dh/dT), Differenzenquotient aus Enthalpie und Temperatur (Δh/ΔT), partielle oder totale Ableitung der inneren Energie nach der Temperatur (∂u/∂T)_ν bzw. (du/dT), Differenzenquotient aus innerer Energie und Temperatur (Δu/ΔT), isobare Wärmekapazität c_p, isochore Wärmekapazität c_v.Furthermore, the at least one analytic function f is preferably determined by means of an approximation to fundamental values, wherein the fundamental values for selected values (T, p) or for selected values (T, v) from the substance data are determined on the basis of a proportional relationship between the fundamental values and one of the Partial or total derivative of the enthalpy according to the temperature (∂h / ∂T) _p or (dh / dT), difference quotient of enthalpy and temperature (Δh / ΔT), partial or total derivative of the internal energy after the Temperature (∂u / ∂T) _ν or (du / dT), difference quotient of internal energy and temperature (Δu / ΔT), isobaric heat capacity c _p , isochoric heat capacity c _v .

Vorzugsweise enthält in dem Ansatz nach Formel 1 und 2 die Funktion g(T) zumindest einen hyperbolischen oder einen logarithmischen Anteil in der Temperatur. Die Funktion k(p, T), bzw. k(ν, T) enthält vorzugsweise mindestens einen hyperbolischen oder einen exponentiellen Anteil in der Temperatur. In der vorliegenden Beschreibung bedeutet „hyperbolischer Anteil in einer Größe”, dass die Größe in der funktionalen Beschreibung mit einem negativen Exponenten vorkommt, „logarithmischer Anteil” bedeutet, dass die Größe im Argument der Logarithmusfunktion vorkommt, und „exponentieller Anteil” bedeutet, dass die Größe innerhalb eines Exponenten vorkommt. Es hat sich gezeigt, dass die physikalische Realität durch die obengenannten Abhängigkeiten besonders gut wiedergegeben wird.Preferably, in the approach according to formulas 1 and 2, the function g (T) contains at least one hyperbolic or one logarithmic component in the temperature. The function k (p, T), or k (v, T) preferably contains at least one hyperbolic or exponential component in the temperature. In the present specification, "hyperbolic component in a quantity" means that the quantity in the functional description occurs with a negative exponent, "logarithmic component" means that the quantity occurs in the argument of the logarithmic function, and "exponential component" means that the Size occurs within an exponent. It has been shown that the physical reality is reproduced particularly well by the abovementioned dependencies.

Grundsätzlich gilt, dass ein physikalischer Zustand eines Gases mit einer bestimmten Teilchenzahl N oder einer bestimmten Masse m bei Kenntnis von zwei der drei Zustandsgrößen T, p und ν, vollständig bestimmt ist. Beispielsweise können für den ersten Zustand des Gases die Messgrößen des Druckes p₁ und der Temperatur T₁ oder die Messgrößen des spezifischen Volumens ν₁ und der Temperatur T₁ bekannt sein. Damit ist für den ersten Zustand auch die daraus bestimmbare Größe der Entropie s₁ bekannt. Für den zweiten unbekannten Zustand des Gases ist jedoch lediglich eine Zustandsgröße bekannt, beispielsweise die Messgröße des Druckes p₂ oder des spezifischen Volumens ν₂.Basically, a physical state of a gas with a certain number of particles N or a certain mass m with knowledge of two of the three state variables T, p and ν, is completely determined. For example, for the first state of the gas, the measured quantities of the pressure p ₁ and the temperature T ₁ or the measured variables of the specific volume v ₁ and the temperature T _{1 can be} known. Thus, the determinable size of the entropy s _{1 is} known for the first state. For the second unknown state of the gas, however, only one state variable is known, for example the measured variable of the pressure p ₂ or of the specific volume ν ₂ .

Vorzugsweise werden bei dem erfindungsgemäßen Verfahren die Temperatur T₂ und/oder die Entropie s₂ im zweiten Zustand des Gases auf folgende Weise bestimmt:
Zunächst wird ein erster Temperaturwert T_2,1 für den zweiten Zustand des Gases gewählt. Die Wahl kann beispielsweise auf der ungefähren Kenntnis eines möglichen und in Frage kommenden Temperaturbereiches für den zweiten Zustand basieren. Der Fachmann erkennt dabei, dass die Wahl des ersten Temperaturwertes T_2,1 für den zweiten Zustand auch von dem konkreten thermodynamischen Prozess abhängen kann.In the method according to the invention, the temperature T ₂ and / or the entropy s ₂ in the second state of the gas are preferably determined in the following manner:
First, a first temperature value T _{2.1 is selected} for the second state of the gas. The choice may be based, for example, on the approximate knowledge of a possible and possible temperature range for the second state. The person skilled in the art recognizes that the choice of the first temperature value T _2.1 for the second state can also depend on the specific thermodynamic process.

Anschließend wird mit Hilfe der mindestens einen analytischen Funktion f für den zweiten Zustand ein zugehöriger erster Entropiewert s_2,1 aus den Werten T_2,1 und p₂ oder aus den Werten T_2,1 und ν₂ bestimmt. Nun folgt eine iterative Bestimmung der Temperatur T₂, und/oder der Entropie s₂, die unter der Zielsetzung erfolgt, dass der betrachtete thermodynamische Prozess isentrop abläuft. Das heißt, die Entropie bleibt während des Prozesses konstant oder annähernd konstant und unterscheidet sich im ersten und zweiten Zustand des Gases nicht oder kaum voneinander.Subsequently, with the aid of the at least one analytical function f for the second state, an associated first entropy value s _{2,1 is determined} from the values T _2,1 and p ₂ or from the values T _2,1 and ν ₂ . Now follows an iterative determination of the temperature T ₂ , and / or the entropy s ₂ , which takes place under the objective that the considered thermodynamic process is isentropic. That is, the entropy remains constant or approximately constant during the process and does not differ or hardly differ from each other in the first and second states of the gas.

Bei der iterativen Bestimmung wird zunächst aus dem ersten Entropiewert für den zweiten Zustand s_2,1 und der Entropie im ersten Zustand s₁ eine Entropiedifferenz Δs₁ bestimmt, aus der eine Temperaturdifferenz ΔT₁ bestimmt wird. Mit Hilfe der Temperaturdifferenz ΔT₁ und dem ersten Temperaturwert für den zweiten Zustand T_2,1 wird ein neuer Temperaturwert T_2,2 bestimmt, mit dem die Iterationsschritte wiederholt werden und ein neuer Temperaturwert T_2,3 bestimmt wird.In the iterative determination, an entropy difference Δs ₁ is first determined from the first entropy value for the second state s _2,1 and the entropy in the first state s ₁ , from which a temperature difference ΔT _{1 is} determined. With the help of the temperature difference ΔT ₁ and the first temperature value for the second State T _2.1 , a new temperature value T _{2,2 is} determined, with which the iteration steps are repeated and a new temperature value T _{2,3 is} determined.

Die Iteration wird vorzugsweise so oft wiederholt bis nach der i-ten Iteration die Entropiedifferenz Δs_i und/oder die Temperaturdifferenz ΔT_i ein Konvergenzkriterium erfüllt, insbesondere bis |Δs_i| und/oder |ΔT_i| eine Schwelle ε erreicht oder unterschreitet.The iteration is preferably repeated until, after the ith iteration, the entropy difference Δs _i and / or the temperature difference ΔT _i satisfies a convergence criterion, in particular until | Δs _i | and / or | ΔT _i | a threshold ε reached or falls below.

Das Konvergenzkriterium kann so eng gewählt werden, dass die erhaltenen Werte der Entropie und der Temperatur im zweiten Zustand exakt oder annähernd exakt der Entropie und der Temperatur im zweiten Zustand entspricht, wenn der erste Zustand isentrop in den zweiten Zustand oder der zweite Zustand isentrop in den ersten Zustand überführt wird. Im zweiten Fall wäre der Endzustand (der erste Zustand) bekannt und die Entropie s₂ und/oder T₂ würde durch Iteration für den Anfangszustand (zweiten Zustand) bestimmt.The convergence criterion can be chosen so narrow that the obtained values of the entropy and the temperature in the second state correspond exactly or approximately exactly to the entropy and the temperature in the second state, if the first state isentropically in the second state or the second state isentropically in the second state first state is transferred. In the second case, the final state (the first state) would be known and the entropy s ₂ and / or T ₂ would be determined by iteration for the initial state (second state).

Vorzugsweise werden unterschiedliche analytische Funktionen für die Bestimmung von unterschiedlichen kalorischen Größen verwendet, wobei die Entropie s₂ vorzugsweise mit Hilfe einer analytischen Funktion f₃ oder f₄ aus den Werten T₂ und p₂ oder aus den Werten T₂ und ν₂ bestimmt wird. Die innere Energie u₂ wird vorzugsweise mit Hilfe einer analytischen Funktion f₁ aus den Werten T₂ und p₂ oder aus den Werten T₂ und ν₂ bestimmt. Die Enthalpie wird vorzugsweise mit Hilfe einer analytischen Funktion f₂ aus den Werten T₂ und p₂ oder aus den Werten T₂ und ν₂ bestimmt. Auch wenn im Folgenden von unterschiedlichen analytischen Funktionen f₁, f₂, f₃ und f₄ die Rede ist, ist zu beachten, dass alle den grundsätzlichen Aufbau nach Formel 1 bzw. nach Formel 2 besitzen, wobei jedoch die Funktionen g(T) und k(p, T) bei verschiedenen analytischen Funktionen f₁, f₂, f₃ und f₄ nicht notwendigerweise identisch sein müssen.Preferably, different analytical functions are used for the determination of different caloric quantities, the entropy s ₂ preferably being determined by means of an analytical function f ₃ or f ₄ from the values T ₂ and p ₂ or from the values T ₂ and ν ₂ . The internal energy u ₂ is preferably determined by means of an analytical function f ₁ from the values T ₂ and p ₂ or from the values T ₂ and ν ₂ . The enthalpy is preferably determined by means of an analytical function f ₂ from the values T ₂ and p ₂ or from the values T ₂ and ν ₂ . Although different analytical functions f ₁ , f ₂ , f ₃ and f _{4 are} mentioned below, it should be noted that all have the basic structure according to formula 1 or according to formula 2, but the functions g (T) and k (p, T) need not necessarily be identical for different analytical functions f ₁ , f ₂ , f ₃ and f ₄ .

Vorzugsweise erfolgt die Bestimmung einer kalorischen Größe dimensionslos, wobei zumindest eine der physikalischen Größen T, p, ν durch Normierung auf einen zugehörigen Referenzwert T₀, p₀, ν₀ in eine dimensionslose Größe T*, p*, ν* umgewandelt wird. Dabei wird eine kalorische Größe h₂, u₂, s₂ zuerst als eine dimensionslose Größe h₂*, u₂*, s₂* bestimmt, die durch Multiplikation mit zugehörigen Referenzwerten ineinander umgewandelt werden können.Preferably, the determination of a caloric quantity is dimensionless, whereby at least one of the physical quantities T, p, v is converted by normalization to an associated reference value T ₀ , p ₀ , v ₀ into a dimensionless variable T *, p *, v *. In this case, a calorific value h ₂ , u ₂ , s _{2 is} first determined as a dimensionless quantity h ₂ *, u ₂ *, s ₂ *, which can be converted into one another by multiplication with associated reference values.

Die Umwandlung erfolgt dabei gemäß der folgenden Zusammenhänge: u₂ = (p₀·ν₀)·u₂*, h₂ = (p₀·ν₀)·h₂*, s₂ = (p₀·ν₀/T₀)·s₂*. Im Folgenden kann für eine dimensionsbehaftete Größe derselbe Begriff wie für die entsprechende dimensionslose Größen verwendet werden, auch wenn sich die Größen durch einen Faktor unterscheiden können. Der Fachmann erkennt, dass sie aufgrund des obengenannten Zusammenhangs ohne weiteres ineinander umgewandelt werden können. Bei den verwendeten Symbolen wird im Folgenden dennoch weiterhin zwischen dimensionsloser und dimensionsbehafteter Größe unterschieden.The conversion takes place according to the following relationships: u ₂ = (p ₀ · ν ₀ ) · u ₂ *, h ₂ = (p ₀ · ν ₀ ) · h ₂ *, s ₂ = (p ₀ · ν ₀ / T ₀ ) · s ₂ *. In the following, the same term can be used for a dimensioned variable as for the corresponding dimensionless variables, even if the sizes may differ by one factor. The person skilled in the art realizes that, because of the above-mentioned relationship, they can readily be converted into one another. In the following, however, the symbols used continue to be distinguished between dimensionless and dimensioned size.

Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren wird die Enthalpie im zweiten Zustand h₂* vorzugsweise nach einer der beiden folgenden Formeln bestimmt:

In the process according to the invention, the enthalpy in the second state h ₂ * is preferably determined by one of the following two formulas:

Die innere Energie u₂* wird vorzugsweise nach einer der beiden folgenden Formeln bestimmt:

The internal energy u ₂ * is preferably determined by one of the following two formulas:

Die Entropie s₂* schließlich wird vorzugsweise nach einer der folgenden vier Formeln bestimmt:

Finally, the entropy s ₂ * is preferably determined according to one of the following four formulas:

Wie den obengenannten Formeln (3) bis (6) entnommen werden kann, können die kalorischen Größen der Enthalpie und der inneren Energie bestimmt werden, indem die analytische Funktion f₂ bzw. die analytische Funktion f₁ lediglich über die Temperatur integriert wird. Da es sich bei f₂ und f₁ um eine analytische Funktion handelt, ist auch deren Integral über die Temperatur wiederum eine analytische Funktion von der Temperatur und dem Druck oder von der Temperatur und dem spezifischen Volumen. Damit kann die Enthalpie h₂* im zweiten Zustand bzw. die innere Energie u₂* im zweiten Zustand lediglich durch Einsetzen der Werte T₂, p₂ bzw. T₂, ν₂ in eine Funktion erhalten werden. Ebenso verhält es sich bei der Entropie s₂*, wobei gemäß den Formeln (7) bis (10) noch weitere Integrationsterme hinzukommen, die ohne weiteres analytisch gelöst werden können, nämlich durch die Differenz der Werte der Logarithmusfunktion an den entsprechenden Integrationsgrenzen.As can be seen from the above-mentioned formulas (3) to (6), the caloric magnitudes of the enthalpy and the internal energy can be determined by integrating the analytical function f ₂ and the analytical function f ₁ only by temperature. Since f ₂ and f ₁ are an analytical function, their integral over temperature is again an analytical function of temperature and pressure, or of temperature and specific volume. Thus, the enthalpy h ₂ * in the second state or the internal energy u ₂ * in the second state can only be obtained by substituting the values T ₂ , p ₂ or T ₂ , ν ₂ into a function. The same applies to the entropy s ₂ *, where, according to the formulas (7) to (10), additional integration terms are added which can be solved analytically without further ado, namely by the difference of the values of the logarithm function at the corresponding integration limits.

Wie bereits zuvor erwähnt, ist ein physikalischer Zustand eines Gases mit N Teilchen bzw. mit der Masse m bei Kenntnis von T und p oder bei Kenntnis von T und ν bereits vollständig bekannt. Für den zunächst unbekannten zweiten Zustand ist die Temperatur T₂ zunächst unbekannt. Mit Hilfe einer der Formeln (7) bis (10) kann die Temperatur T₂* jedoch iterativ aus einem gewählten ersten Temperaturwert T_2,1* für den zweiten Zustand bei zusätzlicher Kenntnis von p₂* oder von ν₂* bestimmt werden. Anschließend kann die Enthalpie h₂* oder die innere Energie u₂* mit Hilfe der Formel (3) oder (4) bzw. (5) oder (6) bestimmt werden.As already mentioned above, a physical state of a gas with N particles or with the mass m in the knowledge of T and p or with knowledge of T and ν is already completely known. For the initially unknown second state, the temperature T _{2 is} initially unknown. With the aid of one of the formulas (7) to (10), however, the temperature T ₂ * can be determined iteratively from a selected first temperature value T _2,1 * for the second state with additional knowledge of p ₂ * or of ν ₂ *. Subsequently, the enthalpy h ₂ * or the internal energy u ₂ * can be determined by means of the formula (3) or (4) or (5) or (6).

Grundsätzlich ist es möglich, das erfindungsgemäße Verfahren für ein beliebiges Gas zu verwenden. Beispielsweise kann das Gas aus einem Gasgemisch mit einer oder mehreren Gaskomponenten k mit k ≥ 1 bestehen, wobei eine Gaskomponente k jeweils mit einem zugehörigen Massenanteil γ_k in dem Gas enthalten ist. Um für ein Gasgemisch eine der analytischen Funktionen f_i für i = 1, 2, 3, 4 zu bestimmen, wird vorzugsweise für jede Gaskomponente k eine zugehörige analytische Funktion f_i,k bestimmt, wobei jede der analytischen Funktionen f_1,k, f_2,k, f_3,k, f_4,k ebenfalls von der Temperatur und dem Druck oder von der Temperatur und denn spezifischen Volumen abhängig ist. Es ist zu beachten, dass alle Funktionen f_i und f_i,k für i = 1, 2, 3, 4 unter den Begriff der obengenannten mindestens einen analytischen Funktion f fallen, und somit eine Form nach Formel (1) oder (2) aufweisen. Dabei müssen die analytischen Funktionen g(T), k(p, T), bzw. k(ν, T) für unterschiedliche Funktionen der Funktionen f_i, f_i,k nicht notwendigerweise identisch sein. Insbesondere können auch ideale und reale Gase gemeinsam in einem Gemisch auftreten.In principle, it is possible to use the method according to the invention for any gas. For example, the gas may consist of a gas mixture with one or more gas components k with k ≥ 1, wherein a gas component k is in each case contained in the gas with an associated mass fraction γ _k . In order to determine one of the analytical functions f _i for i = 1, 2, 3, 4 for a gas mixture, an associated analytical function f _{i, k} is preferably determined for each gas component k, each of the analytical functions f _{1, k} , f _{2, k} , f _{3, k} , f _{4, k is} also dependent on the temperature and the pressure or on the temperature and for the specific volume. It should be noted that all functions f _i and f _{i, k} for i = 1, 2, 3, 4 fall within the concept of the abovementioned at least one analytical function f, and thus a form according to formula (1) or (2) exhibit. In this case, the analytical functions g (T), k (p, T), and k (ν, T) do not necessarily have to be identical for different functions of the functions f _i , f _{i, k} . In particular, ideal and real gases can also occur together in a mixture.

Um eine analytische Funktion f_i,k zu bestimmen, und mit Hilfe dieser später eine Funktion f_i, kann die bereits genannte Approximation vorgenommen werden. Eine Funktion f_i,k wird dabei auf folgende Weise durch eine Approximation bzw. punktweise Approximation bestimmt: Zunächst werden für eine bestimmte Anzahl ausgewählter Punkte (T, p) oder (T, ν) zugehörige Stützwerte bestimmt. Für jeden ausgewählten Wert (T, p) bzw. (T, ν) wird die noch nicht bestimmte Funktion f_i,k, in welcher der entsprechende ausgewählte Punkt (T, p) bzw. (T, ν) verwendet wird bzw. eingesetzt ist, dem zugehörigen ermittelten Stützwert gleichgesetzt. Es ergibt sich eine Anzahl von Gleichungen entsprechend der Anzahl an Stützwerten bzw. ausgewählten Punkten, aus denen die Funktion f_i,k bestimmt werden kann.In order to determine an analytic function f _{i, k} , and with the help of this later a function f _i , the already mentioned approximation can be made. A function f _{i, k} is determined in the following manner by an approximation or pointwise approximation: First, associated support values are determined for a specific number of selected points (T, p) or (T, ν). For each selected value (T, p) or (T, ν), the not yet determined function f _{i, k is used} in which the corresponding selected point (T, p) or (T, ν) is used is equated to the associated base value. The result is a number of equations corresponding to the number of support values or selected points from which the function f _{i, k} can be determined.

Dabei sind die zu f_3,k zugehörigen Stützwerte vorzugsweise proportional zu (∂u/∂T)_ν·(1/T), die zu f_1,k gehörigen Stützwerte proportional zu (∂u/∂T)_ν, die zu f_4,k gehörigen Stützwerte proportional zu (∂h/∂T)_p·(1/T) und die zu f_2,k gehörigen Stützwerte proportional zu (∂h/∂T)_p. Die obengenannten partiellen Ableitungen nach T können auch durch totale Ableitungen nach T oder durch entsprechende Differenzenquotienten aus Δu, bzw. Δh und ΔT ersetzt werden. In this case, the support values associated with f _{3, k} are preferably proportional to (∂u / ∂T) _ν · (1 / T), the support values belonging to f _{1, k} are proportional to (∂u / ∂T) _ν , which corresponds to f _{4, k} are proportional to (∂h / ∂T) _p · (1 / T) and the values belonging to f _{2, k} are proportional to (∂h / ∂T) _p . The abovementioned partial derivatives to T can also be replaced by total derivatives to T or by corresponding difference quotients from Δu, or Δh and ΔT.

Weiter unten in dem Abschnitt „HERLEITUNG DES ERFINDUNGSGEMÄSSEN ANSATZES” wird erläutert, dass dieser Zusammenhang zwischen den Stützwerten bzw. Stoffdaten und den Funktionen f_i,k physikalisch begründet ist.It is explained below in the section "MANUFACTURE OF THE APPROACH OF THE INVENTION" that this relationship between the fundamental values and the functions f _{i, k is} physically justified.

Vorzugsweise wird für eine der analytischen Funktionen f_i,k (i = 1, 2, 3, 4) einer der folgenden beiden Funktionenansätze gewählt:

in denen die Vorfaktoren a_i,j,k, b_i,j,k, c_i,j,k, d_i,j,k, g_i,j,k, w_i,j,k, e_i,j,k, x_i,j,k mithilfe der obengenannten punktweisen Approximation bestimmt werden und in denen die W_i,k wählbare Gewichtungsfaktoren zur Anpassung der Druckabhängigkeit sind. Damit können die W_i,k als eine Art „Schalter” angesehen werden. Vorzugsweise werden für die W_i,k Werte im Bereich von 0 ≤ W_i,k ≤ 1 gewählt.Preferably, for one of the analytical functions f _{i, k} (i = 1, 2, 3, 4), one of the following two function approaches is selected:

in which the prefactors a _{i, j, k} , b _{i, j, k} , c _{i, j, k} , d _{i, j, k} , g _{i, j, k} , w _{i, j, k} , e _{i, j , k} , x _{i, j, k are determined} using the above-mentioned pointwise approximation and in which the W _{i, k are} selectable weighting factors for adjusting the pressure dependence. Thus, the W _{i, k can be} regarded as a kind of "switch". Preferably, values in the range of 0 ≦ W _{i, k} ≦ 1 are selected for the W _{i, k} .

Es ist zu sehen, dass die Formeln (11) und (12) dem Ansatz nach Formel (1) entsprechen. Auch wenn diese vorliegend nicht dargestellt sind, ist zu beachten, dass erfindungsgemäß auch Formeln verwendet werden können, die den Formeln (11) und (12) entsprechen bei denen jedoch der Druck p* durch das spezifische Volumen ν* ersetzt ist. Diese Formeln entsprechen dann dem Ansatz gemäß Formel (2). Da zwei Zustandsvariablen notwendig und hinreichend für eine genaue funktionale Beschreibung sind, kann die funktionale Beschreibung entweder in Abhängigkeit von T und p oder in Abhängigkeit von T und ν erfolgen. Wie zuvor beschrieben liefert jeder Stützwert eine Gleichung, sodass aus einer bestimmten Anzahl von Gleichungen die obengenannten Vorfaktoren ermittelt werden können.It can be seen that the formulas (11) and (12) correspond to the formulation according to formula (1). Even though these are not shown here, it should be noted that according to the invention it is also possible to use formulas which correspond to formulas (11) and (12) but in which the pressure p * is replaced by the specific volume ν *. These formulas then correspond to the approach according to formula (2). Since two state variables are necessary and sufficient for a precise functional description, the functional description can be made either as a function of T and p or as a function of T and ν. As described above, each superscript provides an equation so that from a certain number of equations the above-mentioned pre-factors can be determined.

Für das Gas kann eine analytische Funktion f_i aus den entsprechenden Funktionen f_i,k jeder Gaskomponente bestimmt werden. Dazu wird für die analytische Funktion f_i vorzugsweise ein entsprechender Ansatz gemäß einer der beiden folgenden Formeln gewählt:

For the gas, an analytical function f _{i can be determined} from the corresponding functions f _{i, k of} each gas component. For this purpose, a corresponding approach according to one of the two following formulas is preferably selected for the analytical function f _i :

Die W_i sind dabei wählbare Gewichtungsfaktoren zur Anpassung der Druckabhängigkeit. Es ist zu beachten, dass wie oben bereits beschrieben, auch entsprechende Ansätze verwendet werden können, in denen der Druck durch das spezifische Volumen ersetzt ist. Zur Bestimmung der f_i aus den entsprechenden f_i,k werden die Vorfaktoren der f_i nach den folgenden Formeln aus den Vorfaktoren der f_i,k bestimmt:

The W _i are selectable weighting factors for adjusting the pressure dependence. It should be noted that as described above, corresponding approaches can be used in which the pressure is replaced by the specific volume. In order to determine the f _i from the corresponding f _{i, k} , the prefactors of the f _{i are determined} according to the following formulas from the prefactors of f _{i, k} :

Vorzugsweise enthalten die Formeln (11) bis (13) in der linken Klammer mindestens einen ersten hyperbolischen Anteil in der Temperatur (d. h. m > 0 und n ≥ –m).Preferably, the formulas (11) to (13) in the left bracket contain at least a first hyperbolic content in temperature (i.e., m> 0 and n ≥ -m).

Alternativ oder zusätzlich können die Formeln (11) bis (13) in der linken Klammer auch einen logarithmischen Anteil in der Temperatur enthalten (d. h. o > 0).Alternatively or additionally, the formulas (11) to (13) in the left bracket may also contain a logarithmic component in temperature (i.e., o> 0).

Die Formeln (11) und (13) enthalten in der rechten Klammer vorzugsweise mindestens einen zweiten hyperbolischen Anteil in der Temperatur (d. h. r > 0, t ≥ –r). Die Formeln (12) und (14) enthalten in der rechten Klammer vorzugsweise mindestens einen exponentiellen Anteil in der Temperatur (d. h. r > 0, t ≥ –r).The formulas (11) and (13) in the right bracket preferably contain at least one second hyperbolic component in temperature (i.e., r> 0, t ≥ -r). The formulas (12) and (14) in the right bracket preferably contain at least one exponential component in temperature (i.e., r> 0, t ≥ -r).

Vorzugsweise werden die Vorfaktoren der f_i,k weiterhin unter der Bedingung bestimmt, dass die Entropie nicht sinkt, d. h. ds ≥ 0. Es ist zu beachten, dass bei k = 1 das Gas nur eine Gaskomponente enthält, sodass die f_i und die f_i,k sowie ihre Vorfaktoren übereinstimmen. In diesem Fall brauchen die f_i nicht indirekt über die f_i,k bzw. ihre Vorfaktoren bestimmt zu werden, sondern können direkt mithilfe der Approximation an die Stützwerte bestimmt werden.Preferably, the pre-factors of f _{i, k are} further determined on the condition that the entropy does not decrease, ie, ds ≥ 0. It should be noted that at k = 1, the gas contains only one gas component, so that f _i and f _{i, k} and their pre-factors match. In this case, the f _i need not be determined indirectly via the f _{i, k} or their prefactors, but can be determined directly by means of the approximation to the fundamental values.

Mit dem erfindungsgemäßen Verfahren können sowohl die innere Energie u₂ als auch die Enthalpie h₂ bestimmt werden. Hierzu müssen nicht notwendigerweise beide Größen mit Hilfe der Formeln (3) und (4) bzw. (5) und (6) ermittelt werden. Beispielsweise kann auch zuerst die innere Energie, wie zuvor beschrieben, ermittelt werden und anschließend die Enthalpie nach der Formel h₂ = u₂ + p₂·ν₂ bestimmt werden. Alternativ kann auch zuerst die Enthalpie wie zuvor beschrieben ermittelt werden und anschließend die innere Energie nach der Formel u₂ = h₂ – p₂·ν₂ bestimmt werden.With the method according to the invention, both the internal energy u ₂ and the enthalpy h ₂ can be determined. For this purpose, not necessarily both quantities with the aid of the formulas (3) and (4) or (5) and (6) must be determined. For example, it is also possible first to determine the internal energy, as described above, and then to determine the enthalpy according to the formula h ₂ = u ₂ + p ₂ · ν ₂ . Alternatively, the enthalpy can first be determined as described above, and then the internal energy can be determined according to the formula u ₂ = h ₂ -p ₂ · ν ₂ .

Weiterhin kann in dem erfindungsgemäßen Verfahren einer der Gewichtsfaktoren W_i oder W_i,k gleich Null oder am annähernd Null gewählt werden, sodass die Druckabhängigkeit des Gasgemisches oder einzelner Bestandteile bzw. Komponenten des Gasgemisches entfällt oder nahezu entfällt.Furthermore, in the method according to the invention, one of the weighting factors W _i or W _{i, k} can be chosen equal to zero or approximately zero, so that the pressure dependence of the gas mixture or of individual constituents or components of the gas mixture is eliminated or virtually eliminated.

Das erfindungsgemäße Verfahren kann weiterhin zur Steuerung und/oder Regelung einer Vorrichtung verwendet werden, insbesondere in einer Kraft- und/oder Arbeitsmaschine, beispielsweise in einem Motor, in einer Turbine oder in einem Kompressor, in der ein thermodynamischer Prozess mit einem Gas während des Betriebes der Vorrichtung abläuft. Dazu kann eine der Größen aus u₂, h₂, s₂ oder T₂, die wie zuvor erfindungsgemäß bestimmt wurden, zur Steuerung und/oder Regelung der Vorrichtung verwendet werden.The method according to the invention can furthermore be used for controlling and / or regulating a device, in particular in a power and / or working machine, for example in an engine, in a turbine or in a compressor, in which a thermodynamic process with a gas during operation the device expires. For this purpose, one of the variables from u ₂ , h ₂ , s ₂ or T ₂ , which were determined as previously according to the invention, can be used to control and / or regulate the device.

Eine der Größen, bestehend aus u₂, h₂, s₂ oder T₂, kann auch zur Auswertung von Messergebnissen an der Vorrichtung und/oder zur Qualifizierung und/oder zur Validierung der Vorrichtung verwendet werden.One of the quantities consisting of u ₂ , h ₂ , s ₂ or T ₂ can also be used to evaluate measurement results on the device and / or to qualify and / or validate the device.

Weiterhin kann das erfindungsgemäße Verfahren zur Steuerung und/oder Regelung einer Vorrichtung, beispielsweise einer obengenannten Vorrichtung eingesetzt werden, wobei während des Betriebs der Vorrichtung der genannte thermodynamische Prozess abläuft, bei dem ein Gas aus einem zweiten Zustand in einen ersten Zustand überführt wird. Der zweite Zustand kann dabei durch die Größen p₂ und T₂ bestimmt sein und der erste Zustand kann durch die Größen p₁ und T₁ bestimmt sein. Zur Steuerung und/oder Regelung kann eine Zustandsgröße des zweiten Zustandes, insbesondere T₂ verwendet werden, wobei diese Zustandsgröße aus gemessenen Zustandsgrößen im zweiten und im ersten Zustand, insbesondere aus p₂ und aus T₁, mit Hilfe eines der vorgenannten erfindungsgemäßen Verfahren bestimmt wird. Das bedeutet, dass z. B. die Größen p₁, p₂ und T₁ bekannt sind, z. B. durch Messung. Sie können aber auch als bekannt angenommen werden, z. B. im Falle eines bekannten Umgebungsdruckes. Die Temperatur T₂ im zweiten Zustand, der hier einem Anfangszustand entspricht und zunächst unbekannt ist, kann erfindungsgemäß bestimmt und zur Steuerung und/oder Regelung genutzt werden.Furthermore, the method according to the invention can be used to control and / or regulate a device, for example an abovementioned device, during operation of the device the said thermodynamic process takes place in which a gas is transferred from a second state to a first state. The second state can be determined by the quantities p ₂ and T ₂ and the first state can be determined by the variables p ₁ and T ₁ . For controlling and / or regulating a state variable of the second state, in particular T ₂ can be used, this state variable is determined from measured state variables in the second and in the first state, in particular from p ₂ and T ₁ , using one of the aforementioned method according to the invention , This means that z. B. the sizes p ₁ , p ₂ and T _{1 are} known, for. B. by measurement. But they can also be considered as known z. B. in the case of a known ambient pressure. The temperature T ₂ in the second state, which here corresponds to an initial state and is initially unknown, can be determined according to the invention and used for control and / or regulation.

Die derart bestimmte Zustandsgröße des zweiten Zustandes, insbesondere T₂, kann dabei auch zur Auswertung von Messergebnissen an der Vorrichtung und/oder zur Qualifizierung und/oder zur Validierung der Vorrichtung verwendet werden.The state variable of the second state, in particular T ₂ , determined in this way can also be used to evaluate measurement results on the device and / or for qualification and / or validation of the device.

Insbesondere kann das erfindungsgemäße Verfahren vorteilhaft bei der Regelung von Gasturbinen eingesetzt werden. Im Stand der Technik soll bei Gasturbinen z. B. die Brennstoffzufuhr zur Brennkammer derart geregelt werden, dass die Temperatur vor der Turbine, d. h. die Eintrittstemperatur, im vorgegebenen, nach oben limitierten Bereich bleibt. Die Eintrittstemperatur ist in modernen Turbinen wegen des Temperaturniveaus nur aufwändig und unzuverlässig direkt messbar. Daher wird im Stand der Technik anstelle der Eintrittstemperatur die wesentlich niedrigere Austrittstemperatur sowie z. B. das Druckverhältnis gemessen und mit einer sehr einfachen Formel hochgerechnet. Mithilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens kam hier bei gleichen Messwerten als Eingangsgrößen ein wesentlich genaueres Ergebnis für die gesuchte Eintrittstemperatur ermittelt werden.In particular, the method according to the invention can be advantageously used in the control of gas turbines. In the prior art gas turbines z. B. the fuel supply to the combustion chamber are controlled such that the temperature before the turbine, d. H. the inlet temperature, in the specified, limited upper range remains. In modern turbines, the inlet temperature can only be measured in a complex and unreliable manner because of the temperature level. Therefore, in the prior art instead of the inlet temperature, the much lower outlet temperature and z. B. measured the pressure ratio and extrapolated with a very simple formula. With the aid of the method according to the invention, a substantially more accurate result for the desired inlet temperature could be determined here as input variables for the same measured values.

HERLEITUNG DES ERFINDUNGSGEMÄSSEN ANSATZESMANUFACTURE OF THE APPROACH

Im Folgenden soll die technisch-physikalische Begründung des erfindungsgemäßen Ansatzes erläutert werden. Die Erläuterung erfolgt anhand der Größen der Enthalpie, der Entropie sowie der analytischen Funktionen f₂ und f₄. Als funktionale Abhängigkeit ist eine Abhängigkeit von der Temperatur T und dem Druck p gewählt. Es ist zu beachten, dass anstatt des Druckes p auch das spezifische Volumen ν verwendet werden kann.In the following, the technical-physical justification of the approach according to the invention will be explained. The explanation is based on the enthalpy, entropy, and analytical functions f ₂ and f ₄ . As a functional dependence, a dependence on the temperature T and the pressure p is selected. It should be noted that instead of the pressure p, the specific volume ν can also be used.

Die physikalische Größe der Enthalpie h kann in differentieller Form in Abhängigkeit seiner beiden partiellen Ableitungen gemäß folgender Formel beschrieben werden: dh = ( ∂h / ∂T)_pdT + ( ∂h / ∂p)_Tdp (16) The physical size of the enthalpy h can be described in differential form as a function of its two partial derivatives according to the following formula: dh = (∂h / ∂T) _p dT + (∂h / ∂p) _T dp (16)

Jede der beiden partiellen Ableitungen in Formel (16) kann dabei sowohl von der Temperatur T als auch von dem Druck p abhängen. Erfindungsgemäß wird für die partiellen Ableitungen der folgende allgemeine Ansatz gewählt: dh = (x₀(T) + x₁(T)·x₂(p))dT + (y₁(T)·y₂(p))dp ( ∂h / ∂T)_p = x₀(T) + x₁(T)·x₂(p) ( ∂h / ∂p)_T = y₁(T)·y₂(p) (17) Each of the two partial derivatives in formula (16) may depend on both the temperature T and the pressure p. According to the invention, the following general approach is used for the partial derivatives: ie = (x ₀ (T) + x ₁ (T) * x ₂ (p)) dT + (y ₁ (T) * y ₂ (p)) d p (∂ h / ∂T) _p = x ₀ (T ) + x ₁ (T) · x ₂ (p) (∂h / ∂p) _T = y ₁ (T) · y ₂ (p) (17)

Da die physikalische Größe der Enthalpie bei einer korrekten physikalisch-mathematischen Beschreibung ein totales Differential haben muss, muss die folgende Beziehung erfüllt sein: ∂ / ∂p ( ∂h / ∂T )_p = ∂ / ∂T ( ∂h / ∂p )_T(18)Since the physical size of the enthalpy must have a total differential with a correct physical-mathematical description, the following relationship must be satisfied: ∂ / ∂p ( ∂h / ∂T ) _p = ∂ / ∂T ( ∂h / ∂p ) _T (18)

Dies ist die sogenannte Integrabilitätsbeziehung, die besagt, dass der Wert der zweiten partiellen Ableitung eines totalen Differentials nicht von der Reihenfolge der Differenzierung abhängt. Angewendet auf den Ansatz gemäß Formel (17) ergeben sich daraus die folgenden Zusammenhänge: ∂ / ∂p(x₀(T) + x₁(T)·x₂(p)) = ∂ / ∂T(y₁(T)·y₂(p)) (19) x₁(T) ∂ / ∂px₂(p) = y₂(p) ∂ / ∂Ty₁(T) (20) This is the so-called integrability relationship, which states that the value of the second partial derivative of a total differential does not depend on the order of differentiation. Applied to the approach according to formula (17), the following relationships result from this: ∂ / ∂p (x ₀ (t) + x ₁ (t) · x ₂ (p)) = ∂ / ∂ T (y ₁ (t) · y ₂ (p)) (19) x ₁ (T) ∂ / ∂px ₂ (p) = y ₂ (p) ∂ / ∂Ty ₁ (T) (20)

Im Ansatz gemäß Formel (17) ist die Temperatur- und Druckabhängigkeit durch entsprechende Funktionen x(T) und y(p) getrennt beschrieben. Damit die Gleichung (20) allgemeine Gültigkeit besitzt, müssen die Temperatur- und die Druckabhängigkeit auf der rechten Seite und auf der linken Seite von Gleichung (20) übereinstimmen. Daraus ergibt sich, dass die Funktionen x(T) und y(p) über die folgenden Gleichungen zusammenhängen müssen: x₁(T) = ∂ / ∂Ty₁(T) ⇔ y₁(T) = ∫x₁(T)dT ∂ / ∂px₂(p) = y₂(p) (21) In the approach according to formula (17), the temperature and pressure dependence is described separately by corresponding functions x (T) and y (p). In order for equation (20) to be generally valid, the temperature and pressure dependencies on the right and left sides of equation (20) must match. As a result, the functions x (T) and y (p) must be related by the following equations: x ₁ (T) = ∂ / ∂Ty ₁ (T) ⇔ y ₁ (T) = ∫x ₁ (T) dT ∂ / ∂px ₂ (p) = y ₂ (p) (21)

Wird nun der gewählte differentielle Ansatz gemäß Formel (17) integriert, und werden zusätzlich die Beziehungen der Gleichungen (21) verwendet, ergibt sich der Zusammenhang nach Gleichung (27), der im Folgenden schrittweise hergeleitet wird: h₂ – h₁ = ∫x₀(T)dT + x₂(p)·∫x₁(T)dT + y₁(T)·∫y₂(p)dp (22) h₂ – h₁ = ∫x₀(T)dT + x₂(p)·∫x₁(T)dT + (∫x₁(T)dT)·(∫ d / dpx₂(p)dp) (23) h₂ – h₁ = ∫x₀(T)dT + x₂(p)·∫x₁(T)dT + (∫x₁(T)dT)·x₂(p) (24) h₂ – h₁ = ∫x₀(T)dT + 2·x₂(p)·∫x₁(T)dT (25) h₂ – h₁ = ∫(x₀(T) + 2·x₂(p)·x₁(T))dT (26) h₂ – h₁ = ∫(x₀(T)(1 + 2 x₁(T) / x₀(T)x₂(p)))dT (27) If now the selected differential approach according to formula (17) is integrated, and if additionally the relations of the equations (21) are used, the relation according to equation (27) results, which is derived stepwise in the following: h ₂ -h ₁ = ∫x ₀ (T) dT + x ₂ (p) · ∫x ₁ (T) dT + y ₁ (T) · ∫y ₂ (p) dp (22) h ₂ -h ₁ = ∫x ₀ (T) dT + x ₂ (p) · ∫x ₁ (T) dT + (∫x ₁ (T) dT) · (∫d / dpx ₂ (p) dp) ( 23) h ₂ -h ₁ = ∫x ₀ (T) dT + x ₂ (p) · ∫x ₁ (T) dT + (∫x ₁ (T) dT) · x ₂ (p) (24) h ₂ -h ₁ = ∫x ₀ (T) dT + 2 × x ₂ (p) × ∫x ₁ (T) dT (25) h ₂ -h ₁ = ∫ (x ₀ (T) + 2 * x ₂ (p) * x ₁ (T)) dT (26) h ₂ -h ₁ = ∫ (x ₀ (T) (1 + 2 x 1 (T) / x₀ (T) x ₂ (p))) dT (27)

Wie anhand von Gleichung (27) zu erkennen ist, kann die physikalische Größe der Enthalpie, die von zwei Größen, nämlich der Temperatur T und dem Druck p abhängt, aus nur einer Integration über eine dieser Größen, in Gleichung (27) über die Temperatur T, bestimmt werden. Eine Integration über den Druck ist nicht notwendig. Bei der Integration über die Temperatur wird die Druckabhängigkeit implizit berücksichtigt und nicht vernachlässigt.As can be seen from equation (27), the physical quantity of enthalpy, which depends on two quantities, namely the temperature T and the pressure p, can only be integrated over one of these quantities, in equation (27) over the temperature T, be determined. Integration via printing is not necessary. In the integration over the temperature, the pressure dependence is implicitly taken into account and not neglected.

Um zu dieser Erkenntnis zu gelangen wurde der erfindungsgemäße Ansatz nach Gleichung (17) verwendet und die notwendige Eigenschaft ausgenutzt, dass die Enthalpie ein totales Differential ist.In order to arrive at this knowledge, the approach according to the invention according to equation (17) was used and the necessary property was exploited that the enthalpy is a total differential.

Im Gegensatz zum Stand der Technik werden keine Abhängigkeiten bestimmter physikalischer Größen, wie beispielsweise des Isentropenexponenten κ oder der Wärmekapazitäten vorausgesetzt, oder Näherungen vorgenommen. Stattdessen wird der allgemeine Ansatz gemäß Formel (17) verwendet und die physikalisch notwendige Eigenschaft des totalen Differentials ausgenutzt. Die Erfinder haben erkannt, dass sich allein mit diesen beiden Voraussetzungen eine Integration über den Druck zur Bestimmung der Enthalpie vermeiden lässt und die Enthalpie allein durch eine analytische Integration über die Temperatur physikalisch korrekt bestimmt werden kann.In contrast to the prior art, no dependencies of certain physical quantities, such as the isentropic exponent κ or the heat capacities assumed or approximations are made. Instead, the general approach according to formula (17) is used and the physically necessary property of the total differential is exploited. The inventors have recognized that only with these two prerequisites an integration over the pressure for the determination of the enthalpy can be avoided and the enthalpy can be determined physically correctly by an analytical integration over the temperature alone.

Die zu integrierende Funktion in Formel (27) ist in der vorliegenden Beschreibung als die Funktion f₂ definiert. Die Funktion f₂ entspricht gemäß Formel (27) der totalen Ableitung der Enthalpie nach der Temperatur: f₂(T, p) ≡ x₀(T)·(1 + 2 x₁(T) / x₀(T)·x₂(p) = dh / dT (28) The function to be integrated in formula (27) is defined as the function f ₂ in the present specification. The function f ₂ according to formula (27) corresponds to the total derivative of the enthalpy according to the temperature: f ₂ (T, p) ≡ x ₀ (T) x (1 + 2 x 1 (T) / x₀ (T) x ₂ (p) = dh / dT (28)

Üblicherweise hängt die Enthalpie wesentlich stärker von der Temperatur als von dem Druck ab, wobei die Druckabhängigkeit bei hohen Drücken und tiefen Temperaturen bei einem Gas stärker zum Tragen kommt. Wie in der Einleitung beschrieben wurde, wird im Stand der Technik die Druckabhängigkeit von c_p = (∂h/∂T)_p z. T. vernachlässigt. Für ein ideales (z. B. einatomiges) Gas ist diese Annahme korrekt, bei einen realen mehratomigen Gas führt diese Annahme jedoch zu Fehlern. Diese Fehler sind umso größer, je größer die intermolekularen Kräfte bei einem Gas sind. Grundsätzlich steigen diese Kräfte mit der Anzahl der Atome in einem Gasmolekül, mit steigendem Druck und mit sinkender Temperatur.Usually, the enthalpy depends much more on the temperature than on the pressure, the pressure dependence at high pressures and low temperatures in a gas comes to bear stronger. As described in the introduction, in the prior art, the pressure dependence of c _p = (∂h / ∂T) _p z. T. neglected. For an ideal (eg monatomic) gas this assumption is correct, but for a real polyatomic gas this assumption leads to errors. These errors are greater the greater the intermolecular forces in a gas. Basically, these forces increase with the number of atoms in a gas molecule, with increasing pressure and with decreasing temperature.

Das tatsächliche physikalische temperatur- und druckabhängige Verhalten eines beliebigen realen Gases kann mathematisch gut mit der Gleichung (28) dargestellt werden. Demnach umfasst die Ableitung der Enthalpie mit x₀(T) eine Haupttemperaturabhängigkeit, die mit einem Faktor multipliziert wird, der von der Temperatur T und dem Druck p abhängt und der damit als eine Druckkorrektur angesehen werden kann.The actual physical temperature and pressure dependent behavior of any real gas can be mathematically well represented by equation (28). Thus, the derivative of enthalpy with x ₀ (T) includes a main temperature dependence multiplied by a factor which depends on the temperature T and the pressure p and which can thus be considered as a pressure correction.

Mit Hilfe der Formeln (16) und (17) kann die partielle Ableitung der Enthalpie nach der Temperatur auf folgende Weise dargestellt werden. ( ∂h / ∂T)_p = x₀(T)·(1 + x₁(T) / x₀(T)·x₂(p)) (29) With the aid of the formulas (16) and (17), the partial derivative of the enthalpy according to the temperature can be represented in the following way. (∂h / ∂T) _p = x ₀ (T) · (1 + x₁ (T) / x₀ (T) · x ₂ (p)) (29)

Ein Vergleich der Formeln (28) und (29) zeigt, dass sich mit dem erfindungsgemäßen Ansatz die totale Ableitung der Enthalpie nach der Temperatur, die als f₂ definiert ist, lediglich durch einen Faktor 2 innerhalb der Druckkorrektur von der partiellen Ableitung der Enthalpie nach der Temperatur unterscheidet. Die funktionale Abhängigkeit von f₂ unterscheidet sich von der partiellen Ableitung der Enthalpie nach der Temperatur um den Faktor 2 im zweiten Term der Klammer und ist daher nicht identisch. Deswegen sind die Funktionen f₁ bzw. f₂ auch nicht identisch mit den im Stand der Technik verwendeten, spezifischen Wärmekapazitäten c_ν bzw. c_p.A comparison of the formulas (28) and (29) shows that with the approach according to the invention the total derivative of the enthalpy at the temperature defined as f ₂ is reduced only by a factor of 2 within the pressure correction from the partial derivative of the enthalpy the temperature is different. The functional dependence of f ₂ differs from the partial derivative of the enthalpy according to the temperature around the Factor 2 in the second term of the bracket and therefore is not identical. Therefore, the functions f ₁ and f _{2 are} also not identical to the specific heat capacities c _ν or c _p used in the prior art.

Wenn einzelne oder alle Gewichtungsfaktoren W_i,k gleich Null gewählt werden, kann die Druckabhängigkeit einzelner oder aller Bestandteile bzw. Komponenten auch ausgeschaltet werden, wenn die zu berechnenden Bedingungen dies zulassen. Damit wird das Rechenverfahren schneller, was insbesondere bei der Anwendung in der Regelung und Steuerung vorteilhaft sein kann. Wenn dagegen Genauigkeit im Vordergrund steht, sollte die Druckabhängigkeit berücksichtigt werden, z. B. durch die Wahl von W_i,k = 1.If individual or all weighting factors W _{i, k are selected} equal to zero, the pressure dependence of some or all components or components can also be switched off, if the conditions to be calculated permit this. Thus, the calculation process is faster, which may be advantageous in particular in the application in the control and regulation. On the other hand, if accuracy is paramount, the pressure dependency should be taken into account. B. by the choice of W _{i, k} = 1.

In Abhängigkeit der vorliegenden Stoffdaten kann es auch sein, dass die partiellen bzw. totalen Ableitungen nach der Temperatur durch entsprechende Diffenzenquotienten approximiert werden. Auch hier kann es vorteilhaft sein, eine Anpassung mit Hilfe von Gewichtungsfaktoren W_i, bzw. W_i,k vorzunehmen. Ob eine Anpassung vorgenommen wird und wie groß diese ist, kann auch davon abhängen, für welche Werte bzw. Punkte (T, p) die Stützwerte bestimmt werden.Depending on the present material data, it may also be that the partial or total derivatives are approximated by temperature by means of corresponding diffusion quotients. Again, it may be advantageous to make an adjustment using weighting factors W _i , or W _{i, k} . Whether an adjustment is made and how large it is can also depend on which values or points (T, p) the support values are determined for.

Durch die folgenden Definitionen hängen die Funktionen g(T), k(p, T) mit den Funktionen x(T) und y(p) zusammen: g(T) ≡ x₀(T) (30) k(p, T) ≡ 2· x₁(T) / x₀(T)·x₂(p) (31) By the following definitions, the functions g (T), k (p, T) are related to the functions x (T) and y (p): g (T) ≡ x ₀ (T) (30) k (p, T) ≡ 2 · x₁ (T) / x₀ (T) · x ₂ (p) (31)

Mit diesen Definitionen ergibt sich für die analytische Funktion f₂ zur Bestimmung der Enthalpie h die folgende Formulierung nach Formel (1) für den erfindungsgemäßen funktionalen Ansatz: f(T, p) = g(T)·(1 + k(p, T)) (1) With these definitions, for the analytical function f ₂ for determining the enthalpy h, the following formulation according to formula (1) results for the functional approach according to the invention: f (T, p) = g (T) * (1 + k (p, T)) (1)

Bestimmung der Entropie s mit f₂ bzw. f₄:Determination of the entropy s with f ₂ or f ₄ :

Im Folgenden wird erläutert, wie mit Hilfe einer analytischen Funktion f₄ die Entropie s bestimmt werden kann. Ausgehend von der differentiellen physikalischen Grundgleichung für die Entropie und unter Verwendung von Formel (28) kann das Differential der Entropie ds auf die folgende Weise dargestellt werden: ds = 1 / Tdh – ν / Tdp (33) ds = 1 / Tdh – ν / Tdp = 1 / Tf₂(T, p)dT – ν / Tdp = 1 / Tf₂(T, p)dT – R / pdp (34) The following section explains how the entropy s can be determined by means of an analytic function f ₄ . Starting from the differential fundamental physical equation for entropy and using formula (28), the entropy differential ds can be represented in the following way: ds = 1 / Tdh - v / Tdp (33) ds = 1 / Tdh - ν / dp = 1 / Tf ₂ (T, p) dT - ν / dp = 1 / Tf ₂ (T, p) dT - R / pdp (34)

Durch Integration und die Verwendung des folgenden Zusammenhangs pν = RT (35) kann die Entropie mit Hilfe des folgenden Zusammenhangs bestimmt werden:

Through integration and the use of the following context

pν = RT (35)

the entropy can be determined using the following relationship:

Für ein ideales Gas entspricht der Parameter R in Gleichung (35) der idealen Gaskonstanten. Für ein reales Gas ist R eine druck- und temperaturabhängige Größe, deren Wert im Allgemeinen von dem Wert der idealen Gaskonstanten abweicht. Die Formel (36) entspricht der Formel (7), wobei die Formel (7) für eine normierte Bestimmung formuliert ist, in welcher der Parameter R aufgrund der Normierung der Ausgangsgleichung (33) mit dem Verhältnis des Produktes der Stoffgrößen p und ν zur Temperatur T nicht mehr auftaucht.For an ideal gas, the parameter R in equation (35) corresponds to the ideal gas constant. For a real gas, R is a variable dependent on pressure and temperature, the value of which generally deviates from the value of the ideal gas constant. The formula (36) corresponds to the formula (7), wherein the formula (7) is formulated for a normalized determination, in which the parameter R due to the normalization of the initial equation (33) with the ratio of the product of the material sizes p and ν to the temperature T does not show up anymore.

Aus Formel (36) ist zu erkennen, dass nicht alle zuvor beschriebenen analytischen Funktionen f_i (i = 1, 2, 3, 4) voneinander unabhängig sind. Gemäß Formel (36) gilt bei einer mathematischen Formulierung ohne Normierung folgender Zusammenhang zwischen f₂ und 1 / Tf₂(T, p) = f₄(T, p) (37) From formula (36) it can be seen that not all of the above-described analytical functions f _i (i = 1, 2, 3, 4) are independent of each other. According to formula (36), in a mathematical formulation without normalization, the following relationship between f ₂ and 1 / Tf ₂ (T, p) = f ₄ (T, p) (37)

Es ist zu beachten, dass beide Funktionen f₂ und f₄ unter den allgemeinen Ansatz gemäß Formel (1) fallen (bzw. unter Formel (2) für eine Formulierung mit ν anstatt p fallen), auch wenn sich f₂ und f₄ in der Temperaturabhängigkeit gemäß Formel (37) voneinander unterscheiden, weil dies erfindungsgemäß durch entsprechende Wahl der Koeffizienten bzw. Vorfaktoren berücksichtigt wird. Die Formeln (1) und (2) beziehen sich auf einen allgemeinen mathematischen Ansatz, der sich aus dem Ansatz nach Formel (17) ergibt. It should be noted that both functions f ₂ and f ₄ fall under the general approach according to formula (1) (or under formula (2) for a formulation with ν instead of p), even if f ₂ and f ₄ in The temperature dependence according to formula (37) differ from each other, because this is considered according to the invention by appropriate choice of the coefficients or prefactors. The formulas (1) and (2) relate to a general mathematical approach, which results from the approach according to formula (17).

Wie aus einem Vergleich der Formeln (37) und (1) zu entnehmen ist, ist g(T) für unterschiedliche f_i nicht notwendigerweise identisch. Vorzugsweise ist die Druckabhängigkeit für f₁ und f₃ bzw. f₂ und f₄ identisch angesetzt. Die obengenannten Vorfaktoren können für verschiedene f_i unterschiedlich sein.As can be seen from a comparison of formulas (37) and (1), g (T) is not necessarily identical for different f _i . Preferably, the pressure dependence for f ₁ and f ₃ or f ₂ and f _{4 is} set identically. The above-mentioned pre-factors may be different for different f _i .

Bestimmung der Entropie s und der inneren Energie u mit f₁ bzw. f₃:Determination of the entropy s and the internal energy u with f ₁ and f _3, respectively:

Im Folgenden wird eine Bestimmung der inneren Energie u mit Hilfe der Funktion f₁ erläutert. Weiterhin wird eine alternative, darauf aufbauende Bestimmung der Entropie s mit Hilfe der Funktion f₁ bzw. f₃ beschrieben.In the following, a determination of the internal energy u by means of the function f _{1 will be} explained. Furthermore, an alternative, based on determination of the entropy s using the function f ₁ or f _{3 is} described.

Wie für die Enthalpie h mit Hilfe der physikalischen Grundgleichung (16) und dem Ansatz (17) die Funktion f₂ nach Gleichung (28) bestimmt werden kann, so kann entsprechend für die innere Energie u die analytische Funktion f₁ mit Hilfe der folgenden physikalischen Grundgleichung bestimmt werden: du = ( ∂u / ∂T)_νdT + ( ∂u / ∂ν)_Tdν (38) As for the enthalpy h with the help of the physical equation (16) and the approach (17) the function f ₂ can be determined according to equation (28), then for the internal energy u the analytic function f _{1 can be determined} by means of the following physical Basic equation to be determined: du = (∂u / ∂T) _ν dT + (∂u / ∂ν) _T dν (38)

Nachdem f₁ entsprechend der Gleichung (28) als Ableitung der inneren Energie u bestimmt wurde, kann die Entropie s auch alternativ nach der folgenden Formel mit Hilfe der inneren Energie u bzw. mit Hilfe der Funktion f₁ bestimmt werden: ds = 1 / Tdu + p / Tdν (39) After f _{1 has been determined} according to equation (28) as a derivative of the internal energy u, the entropy s can also be determined alternatively using the following formula with the aid of the internal energy u or with the aid of the function f ₁ : ds = 1 / Tdu + p / Tdν (39)

Entsprechend Gleichung (36) lässt sich die Entropie s im zweiten Zustand dann nach folgender Gleichung bestimmen:

According to equation (36), the entropy s in the second state can then be determined according to the following equation:

Zwischen f₁ und f₃ besteht dabei der folgende Zusammenhang: 1 / Tf₁(T, ν) = f₃(T, ν) (41) The following relationship exists between f ₁ and f ₃ : 1 / Tf ₁ (T, ν) = f ₃ (T, ν) (41)

Wie bereits erwähnt, kann die funktionale Beschreibung sowohl in Abhängigkeit der Temperatur und des Druckes als auch in Abhängigkeit der Temperatur und des spezifischen Volumens erfolgen.As already mentioned, the functional description can be made as a function of the temperature and the pressure as well as of the temperature and the specific volume.

KURZBESCHREIBUNG DER FIGURENBRIEF DESCRIPTION OF THE FIGURES

Weitere Vorteile und Merkmale der vorliegenden Erfindung ergeben sich aus der folgenden Beschreibung, in der die Vorteile des erfindungsgemäßen Verfahrens unter Bezugnahme auf die beigefügten Darstellungen naher erläutert werden. Darin zeigenFurther advantages and features of the present invention will become apparent from the following description in which the advantages of the method according to the invention are explained in more detail with reference to the accompanying drawings. Show in it

1 eine grafische Darstellung des Berechnungsfehlers der isentropen Endtemperatur bei dem erfindungsgemäßen Verfahren mit nur wenigen Vorfaktoren bzw. Reihengliedern (Modell 2) und bei zwei Berechnungsverfahren nach dem Stand der Technik (Modell 3 und Modell 4), bei denen jeweils ein konstanter Isentropenexponent κ verwendet wurde, und 1 a graphical representation of the calculation error of the isentropic final temperature in the inventive method with only a few pre-factors or series members (model 2) and two methods of calculation according to the prior art (model 3 and model 4), in each case a constant isentropic exponent κ was used, and

2 eine grafische Darstellung der Abweichung des isentropen Wirkungsgrades, die sich aus dem in der 1 dargestellten Rechnungsfehler ergibt. 2 a graphic representation of the deviation of the isentropic efficiency, which differs from that in the 1 shown calculation error results.

Modell 4, das für κ einen Mittelwert verwendet, ist dabei die gebräuchlichste Form im Stand der Technik.Model 4, which uses an average value for κ, is the most common form in the prior art.

BESCHREIBUNG EINER KONKRETEN AUSFÜHRUNGSFORM DESCRIPTION OF A SPECIFIC EMBODIMENT

Im Folgenden wird beschrieben, wie mit dem erfindungsgemäßen Verfahren die kalorischen Größen der Enthalpie h₂, der inneren Energie u₂ und der Entropie s₂ sowie der Temperatur T₂ eines einkomponentigen Gases, z. B. Stickstoff, in einem zweiten Zustand bestimmt werden können, wenn das Gas aus einem bekannten ersten Zustand durch eine adiabatische Kompression oder Expansion isentrop in den zweiten Zustand übergeht.The following describes how the caloric quantities of the enthalpy h ₂ , the internal energy u ₂ and the entropy s ₂ and the temperature T _{2 of} a one-component gas, eg. As nitrogen, can be determined in a second state, when the gas from a known first state by an adiabatic compression or expansion isentropically in the second state.

Im ersten Zustand sind die Temperatur T₁ und der Druck p₁ bekannt, sodass mit Hilfe dieser beiden Zustandsvariablen auch alle anderen Größen im ersten Zustand bestimmt werden können. Im zweiten Zustand ist zunächst nur der Druck p₂ bekannt. Wie zuvor beschrieben wurde, ist zu beachten, dass anstatt des Druckes p auch das spezifische Volumen ν verwendet werden kann. In der folgenden Beschreibung wird die vorliegende Erfindung jedoch für eine bessere Verständlichkeit anhand einer konkreten Auswahl der physikalischen Größen T, p und ν, nämlich T und p, und anhand einer konkreten Auswahl der mathematischen Funktionen f_i mit i = 1, 2, 3, 4, nämlich f₄, beschrieben. Die Beschreibung der Erfindung mit Hilfe dieser Auswahl ist als lediglich beispielhaft und die Erfindung nicht einschränkend anzusehen.In the first state, the temperature T ₁ and the pressure p _{1 are} known, so that with the help of these two state variables, all other variables in the first state can be determined. In the second state, initially only the pressure p _{2 is} known. As described above, it should be noted that instead of the pressure p, the specific volume ν can also be used. In the following description, however, the present invention will be better understood with reference to a concrete selection of the physical quantities T, p and ν, namely T and p, and to a concrete selection of the mathematical functions f _i with i = 1, 2, 3, 4, namely f ₄ described. The description of the invention with the aid of this selection is to be regarded as merely exemplary and not restricting the invention.

Die im Folgenden beschriebene Berechnung erfolgt dimensionslos, wobei die dimensionsbehafteten und dimensionslosen Größen durch die folgenden Zusammenhänge ineinander umgerechnet werden können: p* = p / p₀; T* = T / T₀; ν* = ν / ν₀; R = p·ν / T; s* = s / R; h* = h / R·T₀; u* = u / R·T₀ (42) The calculation described below is dimensionless, whereby the dimensioned and dimensionless quantities can be converted into each other by the following relationships: p * = p / p₀; T * = T / T₀; ν * = ν / ν₀; R = p ·ν / T; s * = s / R; h * = h / R · T₀; u * = u / R · T₀ (42)

Wie zuvor erwähnt, bezeichnet das spezifische Volumen ν in der vorliegenden Beschreibung das Volumen V bezogen auf die Teilchenzahl N oder auf die Masse m des Gases. Der Parameter R ist das Verhältnis des Produktes der Stoffgrößen p und ν zur Temperatur T. Nur bei einem idealen Gas entspricht R der idealen Gaskonstanten.As previously mentioned, the specific volume ν in the present specification refers to the volume V relative to the particle number N or to the mass m of the gas. The parameter R is the ratio of the product of the quantities p and ν to the temperature T. Only with an ideal gas does R correspond to the ideal gas constant.

Um die Entropie s₂ zu bestimmen, wird zunächst die analytische Funktion f₄ bestimmt, für die der folgende Ansatz gewählt werden kann:

In order to determine the entropy s ₂ , the analytical function f ₄ is first determined, for which the following approach can be chosen:

Der Ansatz entspricht dem der Formel (13). Um f₄ zu bestimmen, werden die Parameter a_4,j, b_4,j, c_4,j und d_4,j durch eine punktweise Approximation von Funktionswerten von f₄ an Stützwerte ermittelt. Dazu werden für bestimmte Werte von (T*, p*) bzw. (T, p) Stützwerte nach einem der folgenden drei Zusammenhänge ermittelt: S(T*, p*) = 1 / R·T*·( ∂h / ∂T)_p; S(T*, p*)1 = 1 / R·T*· dh / dT; S(T*, p*) = 1 / R·T*· Δh / ΔT (44) The approach corresponds to that of the formula (13). In order to determine f ₄ , the parameters a _{4, j} , b _{4, j} , c _{4, j} and d _{4, j are} determined by a pointwise approximation of function values of f ₄ to support values. For this purpose, for certain values of (T *, p *) or (T, p) supporting values are determined according to one of the following three relationships: S (T *, p *) = 1 / R * T * * (∂h / ∂T) _p ; S (T *, p *) 1 = 1 / R * T * * dh / dT; S (T *, p *) = 1 / R * T * * Δh / ΔT (44)

Die Anzahl der verwendeten Stützwerte S(T*, p*) hängt dabei von der Anzahl der Vorfaktoren im Ansatz (43) bzw. von der Anzahl der entsprechenden Terme ab. Für die Bestimmung der Stützwerte können übliche Stoffdatentabellen verwendet werden, in denen z. B. Enthalpiewerte für unterschiedliche Temperaturen und Drücke und/oder spezifische Volumina (bzw. die Dichte ρ = 1/ν) gelistet sind.The number of supporting values S (T *, p *) used depends on the number of pre-factors in the approach (43) or on the number of corresponding terms. For the determination of the support values usual material data tables can be used, in which z. B. enthalpy values for different temperatures and pressures and / or specific volumes (or the density ρ = 1 / ν) are listed.

Anschließend werden die Vorfaktoren aus Ansatz (43) mit Hilfe mehrerer der folgenden Gleichungen bestimmt, deren Anzahl der Anzahl der Stützwerte S(T*, p*) bzw. der Anzahl der ausgewählten Punkte (T*, p*) entspricht: f₄(T*, p*) = S(T*, p*) (45) Subsequently, the pre-factors from approach (43) are determined using several of the following equations, the number of which corresponds to the number of support values S (T *, p *) and the number of selected points (T *, p *): f ₄ (T *, p *) = S (T *, p *) (45)

Außerdem wird für die Bestimmung durch die folgende Bedingung berücksichtigt, dass die Entropie nicht sinkt: f₄(T*, p*) – 1 / p*dp* ≥ 0 ⇔ ds* ≥ 0 (46) In addition, for the determination by the following condition, it is considered that the entropy does not decrease: f ₄ (T *, p *) - 1 / p * dp * ≥ 0 ⇔ ds * ≥ 0 (46)

Anschließend wird ein erster Temperaturwert T*_2,1 bzw. T_2,1 für den zweiten Zustand des Gases gewählt und daraus ein entsprechender erster Entropiewert s*_2,1 für den zweiten Zustand des Gases ermittelt. Aus dem Entropiewert s*_2,1 und der Entropie s*₁ im ersten Zustand des Gases wird eine Entropiedifferenz Δs*_2,1 gebildet. Die Bestimmung kann z. B. durch folgende Formel vorgenommen werden:

Subsequently, a first temperature value T * _2.1 or T _{2.1 is selected} for the second state of the gas and from this a corresponding first entropy value s * _2.1 for the second state of the gas is determined. From the entropy value s * _2,1 and the entropy s * ₁ in the first state of the gas, an entropy difference Δs * _{2,1 is} formed. The determination can z. B. be made by the following formula:

Entsprechend der Gleichung (40) kann aus der folgenden Formel aus der Entropiedifferenz Δs*_2,1 eine zugehörige Temperaturdifferenz ΔT*_2,1 bestimmt werden:

According to the equation (40), from the following formula, from the entropy difference Δs * _2,1, an associated temperature difference ΔT * _2,1 can be determined:

Aus dem gewählten Temperaturwert T*_2,1 und der Temperaturdifferenz ΔT*_2,1 kann ein verbesserter Temperaturwert T*_2,2 ermittelt werden: T * / 2,2 = T * / 2,1 + ΔT * / 2,1 (49) From the selected temperature value T * _2.1 and the temperature difference ΔT * _2.1 , an improved temperature value T * _2.2 can be determined: T * / 2.2 = T * / 2.1 + ΔT * / 2.1 (49)

Entsprechend der Formeln (47) bis (49) kann mit Hilfe des Temperaturwertes T*_2,2 ein noch besserer Temperaturwert T*_2,3 bestimmt werden, für den die Entropiedifferenz Δs*_2,3 nach Formel (47) kleiner oder zumindest genauso groß ist wie die Entropiedifferenz Δs*_2,2 oder Δs*_2,1.According to the formulas (47) to (49), with the aid of the temperature value T * _2.2 an even better temperature value T * _2,3 can be determined, for which the entropy difference Δs * _2,3 according to formula (47) is smaller or at least exactly the same is large as the entropy difference Δs * _2.2 or Δs * _2.1 .

Diese Iteration kann beliebig oft wiederholt werden, sodass für eine beliebig kleine Entropiedifferenz der zugehörige Temperaturwert bestimmt werden kann. Vorzugsweise wird die Iteration so oft wiederholt, bis ein bestimmtes Konvergenzkriterium erfüllt ist, beispielsweise bis die Entropiedifferenz eine bestimmte Schranke ε erreicht oder unterschreitet. Der zugehörige Temperaturwert T*_2,1+1, wobei 1 die Anzahl der Iterationen ist, entspricht dann der Temperatur T*₂ im zweiten Zustand des Gases, in den das Gas aus dem ersten Zustand isentrop übergeht.This iteration can be repeated as often as required so that the associated temperature value can be determined for any desired small entropy difference. Preferably, the iteration is repeated until a certain convergence criterion is met, for example until the entropy difference reaches or falls below a certain limit ε. The associated temperature value T * _{2.1 + 1} , where 1 is the number of iterations, then corresponds to the temperature T * ₂ in the second state of the gas into which the gas goes isentropically from the first state.

Es ist zu beachten, dass das erfindungsgemäße Verfahren die Temperatur im zweiten Zustand für einen adiabatisch isentropen Gasprozess bestimmt. Dieser ideale reversible Gasprozess ist technisch nicht exakt zu erreichen. Es ist jedoch ein Ziel bei diesen technischen Prozessen, insbesondere bei einer Kompression oder Expansion in einem Motor, in einer Turbine oder in einem Kompressor, möglichst nah an diesen idealen reversiblen Vergleichsprozess heranzukommen. Je näher ein Prozess an seinen idealen Vergleichsprozess herankommt, desto höher ist der Prozesswirkungsgrad und desto effizienter ist der Prozess. Der Vergleich mit einem Prozess, der als isentrop angenommenen wird, ist in der Praxis ein wichtiges und häufig verwendetes Bewertungskriterium für einen technischen Prozess.It should be noted that the method according to the invention determines the temperature in the second state for an adiabatically isotropic gas process. This ideal reversible gas process is technically not exactly reachable. However, it is a goal in these technical processes, particularly in compression or expansion in an engine, in a turbine or in a compressor, to get as close as possible to this ideal reversible comparison process. The closer a process gets to its ideal comparison process, the higher the process efficiency and the more efficient the process. The comparison with a process that is assumed to be isentropic is in practice an important and frequently used evaluation criterion for a technical process.

Nach der Bestimmung von T*₂ kann die Enthalpie im zweiten Zustand h₂*, die sich aus den Formeln (3) und (37) ergibt, nach der folgenden Formel bestimmt werden:

After the determination of T * ₂ , the enthalpy in the second state h ₂ *, which results from the formulas (3) and (37), can be determined according to the following formula:

Aufgrund des allgemein bekannten Zusammenhangs zwischen Enthalpie und innerer Energie kann die innere Energie u₂* im zweiten Zustand mit Hilfe der folgenden Gleichung bestimmt werden: u * / 2(T * / 2, p * / 2) = h * / 2(T * / 2, p * / 2) – p * / 2·ν * / 2 (51) Due to the well-known relationship between enthalpy and internal energy, the internal energy u ₂ * in the second state can be determined using the following equation: u * / 2 (T * / 2, p * / 2) = h * / 2 (T * / 2, p * / 2) - p * / 2 * v * / 2 (51)

Alternativ können die Enthalpie h₂* und die innere Energie u₂* auch mit Hilfe der analytischen Funktion f₂ bzw. f₁, die beispielsweise entsprechend der Formeln (43) bis (46) bestimmt werden können, erfindungsgemäß ermittelt werden.Alternatively, the enthalpy h ₂ * and the internal energy u ₂ * can also be determined according to the invention with the aid of the analytical function f ₂ or f ₁ , which can be determined according to formulas (43) to (46), for example.

Da die erfindungsgemäße Bestimmung der kalorischen Größen sowie der isentropen Temperatur T*₂ im zweiten Zustand mit analytischen Funktionen durchgeführt wird, ist sie sehr einfach, schnell und unkompliziert. Da die Bestimmung auf korrekten physikalischen Annahmen beruht und im Gegensatz zum Stand der Technik keine Näherung von Stoffwerten, insbesondere von κ, verwendet, ist die Bestimmung zudem annähernd exakt und wesentlich genauer als im Stand der Technik. Mit Hilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens kann der Endzustand eines idealen adiabatischen reversiblen Prozesses wesentlich genauer bestimmt werden, wodurch auch der Wirkungsgrad des realen technischen Prozesses wesentlich genauer bestimmt werden kann. Ein Vergleich von Prozessen mit Hilfe des erfindungsgemäß bestimmten isentropen Wirkungsgrades erlaubt damit eine wesentlich bessere Prozessbeurteilung und Qualifizierung als es im Stand der Technik möglich ist.Since the determination according to the invention of the caloric quantities as well as the isentropic temperature T * ₂ in the second state is carried out with analytical functions, it is very simple, quick and uncomplicated. Since the determination is based on correct physical assumptions and, in contrast to the prior art, does not use an approximation of material values, in particular of κ, the determination is moreover almost exactly and much more accurate than in the prior art. By means of the method according to the invention, the final state of an ideal adiabatic reversible process can be determined much more accurately, whereby the efficiency of the real technical process can be determined much more accurately. A comparison of processes with the aid of the inventively determined isentropic efficiency thus allows a much better process evaluation and qualification than is possible in the prior art.

Dieser Vorteil wird anhand der 1 und 2 veranschaulicht.This advantage is based on the 1 and 2 illustrated.

1 zeigt den relativen Fehler ΔT₂/T₂ bei der Berechnung der Temperatur im zweiten Zustand für die Modelle 2, 3 und 4 in Abhängigkeit des Verhältnisses p₁/p₂ des Druckes im ersten Zustand p₁ und des Druckes im zweiten Zustand p₂. Die Berechnungen gemäß der 1 wurden für eine Expansion von reinem Stickstoff durchgeführt. Es wird angenommen, dass der Stickstoff bei der Expansion isentrop aus einem ersten Zustand mit einer Temperatur T₁ und einem Druck p₁ in einen zweiten Zustand mit einer Temperatur T₂ und einem Druck p₂ übergeht. Die Größen T₁, p₁ und p₂ sind bekannt oder werden als bekannt angenommen und die Temperatur T₂ ist zu bestimmen. 1 shows the relative error ΔT ₂ / T ₂ in the calculation of the temperature in the second state for the models 2, 3 and 4 as a function of the ratio p ₁ / p _{2 of} the pressure in the first state p ₁ and the pressure in the second state p ₂ . The calculations according to the 1 were carried out for expansion of pure nitrogen. It is assumed that the nitrogen during the expansion isentropically changes from a first state with a temperature T ₁ and a pressure p ₁ into a second state with a temperature T ₂ and a pressure p ₂ . The variables T ₁ , p ₁ and p ₂ are known or are assumed to be known and the temperature T ₂ is to be determined.

Für die Bestimmung nach den Modellen 3 und 4 wurde der allgemein übliche Ansatz zur Bestimmung der Temperatur nach adiabatisch isentroper Zustandsänderung verwendet.For the determination according to models 3 and 4, the generally accepted method for determining the temperature after adiabatic isentropic change of state was used.

Der Isentropenexponent κ ist definiert als das Verhältnis aus isobarer und isochorer Wärmekapazität.The isentropic exponent κ is defined as the ratio of isobaric and isochoric heat capacity.

Obwohl der Isentropenexponent κ temperaturabhängig ist, wird er im Stand der Technik zur Berechnung der Temperatur T₂ nach Formel (52) als konstant angenommen. Die spezifischen Wärmekapazitäten und damit auch κ können temperaturabhängig aus Stoffdaten bestimmt werden (vgl. VDI Wärmeatlas, 10. Auflage, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006, DA 16–DA 17). Für die Bestimmung mit Modell 3 wurde für κ der Wert bei der Temperatur T₁ gewählt. Bei Modell 4 wurde der arithmetische Mittelwert von κ zwischen der errechneten Endtemperatur T_2,is und der Temperatur T₁ gewählt. Da T_2,is a priori nicht bekannt ist, wurden die Werte T_2,is bzw. von κ durch Iteration ermittelt. κ_{Modell_3} = κ(T₁) (54) κ_{Modell_4} = κ(T₂) + κ(T₁) / 2 (55) Although the isentropic exponent κ is temperature-dependent, it is assumed to be constant in the prior art for calculating the temperature T ₂ according to formula (52). The specific heat capacities and thus also κ can be determined depending on the temperature from substance data (compare VDI Wärmeatlas, 10th edition, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006, DA 16-DA 17). For the determination with model 3, the value at temperature T _{1 was} chosen for κ. For model 4, the arithmetic mean of κ was chosen between the calculated final temperature T _{2, is} and the temperature T ₁ . Since T _{2, is} not known a priori, the values T _{2, is} or of κ were determined by iteration. κ _{model_3} = κ (T ₁ ) (54) κ _{model_4} = κ (T₂) + κ (T₁) / 2 (55)

Modell 4 setzt demnach schon eine ungefähre Kenntnis der zu bestimmenden zweiten Temperatur voraus. Bei Modell 2 wurde die Temperatur T₂ mit Hilfe eines der vorgenannten erfindungsgemäßen Verfahren bestimmt. Die Temperaturabweichung aller Modelle ΔT₂ wurde durch Vergleich mit exakten isentropen Temperaturwerten T₂(s₁, p₂) bestimmt. Die exakten isentropen Temperaturwerte T₂(s₁, p₂) wurden aus einer Stoffdatentabelle durch Interpolation gegebener Werte ermittelt. Man erkennt, dass Modell 3 bereits bei kleinen Druckverhältnissen einen vergleichsweise hohen relativen Fehler ΔT₂/T₂ aufweist. Der relative Fehler ΔT₂/T₂ bei Modell 4 ist bei kleinen Druckverhältnissen < 30 zunächst gering, wächst aber ab einem Druckverhältnis von etwa 30 dann ebenfalls auf vergleichsweise hohe Werte an.Accordingly, model 4 presupposes an approximate knowledge of the second temperature to be determined. For model 2, the temperature T _{2 was determined} using one of the aforementioned methods of the invention. The temperature deviation of all models ΔT ₂ was determined by comparison with exact isentropic temperature values T ₂ (s ₁ , p ₂ ). The exact isentropic temperature values T ₂ (s ₁ , p ₂ ) were determined from a substance data table by interpolation of given values. It can be seen that model 3 already has a comparatively high relative error ΔT ₂ / T ₂ at low pressure ratios. The relative error ΔT ₂ / T ₂ in model 4 is initially small at low pressure ratios <30, but then also increases to a relatively high value from a pressure ratio of about 30.

Weiterhin ist anzumerken, dass Modell 4 empfindlich auf geringfügige Variationen in der Mittelwertbildung reagiert. Im Vergleich dazu weist Modell 2, bei dem T₂ nach dem erfindungsgemäßen Verfahren bestimmt wurde, im gesamten betrachteten Bereich der Druckverhältnisse annähernd gleichbleibend geringe Abweichungen zu den korrekten Werten aus der Stoffdatentabelle auf. Es ist anzumerken, dass eine Abweichung von einem Prozent in 1 einer absoluten Abweichung der isentropen Temperatur im zweiten Zustand T₂ von etwa 10 K entspricht.It should also be noted that Model 4 is sensitive to minor variations in averaging. In comparison, model 2, in which T _{2 was determined} by the method according to the invention, shows approximately uniformly small deviations from the correct values from the material data table in the entire range of pressure conditions considered. It should be noted that a deviation of one percent in 1 corresponds to an absolute deviation of the isentropic temperature in the second state T ₂ of about 10 K.

2 zeigt den relativen Fehler Δη/η in der Berechnung des isentropen Wirkungsgrades η_is,Modell, der mit Hilfe der Temperaturberechnung nach einem der oben genannten Modelle 2 bis 4 bestimmt wurde. Der Vorgabewert bzw. der exakte isentrope Wirkungsgrad η_is,Vorgabe, wurde dabei aus einer Stoffwerttabelle mit den abgelesenen Werten h₁, h₂ und h₂, bestimmt. Der Fehler Δη in der Berechnung des isentropen Wirkungsgrades ergibt sich aus folgender Formel: Δη = η_is,errechnet – η_is,Vorgabe (56) 2 shows the relative error Δη / η in the calculation of the isentropic efficiency η _{is, model} , which was determined by means of the temperature calculation according to one of the above-mentioned models 2 to 4. The default value or the exact isentropic efficiency η _{is, default} , was determined from a material value table with the read values h ₁ , h ₂ and h ₂ . The error Δη in the calculation of the isentropic efficiency is given by the following formula: Δη = η _{is, calculated} - η _{is, default} (56)

Aus 2 ist zu erkennen, dass auch bei einer Bestimmung von κ mit Hilfe einer Mittelwertbildung (Modell 4) der resultierende relative Berechnungsfehler (Δη/η)_{Modell_4} im isentropen Wirkungsgrad mehr als ein halbes Prozent betragen kann, was für die meisten Anwendung nicht akzeptabel ist.Out 2 It can be seen that even with a determination of κ by means of averaging (model 4), the resulting relative calculation error (Δη / η) _{Model_4} in the isentropic efficiency can amount to more than half a percent, which is unacceptable for most applications.

Um Expansions- und Kompressionsprozesse zu bewerten und zu vergleichen, wird üblicherweise das bereits erwähnte Benchmarking vorgenommen. Der isentrope Wirkungsgrad vergleicht gemäß Formel (57) bzw. Formel (58) einen tatsächlichen Prozess mit seinem zugehörigen idealen Vergleichsprozess, der als adiabatisch isentrop angenommen wird. Anhand ihrer isentropen Wirkungsgrade können unterschiedliche Prozesse und/oder Vorrichtungen verglichen und bewertet werden.In order to evaluate and compare expansion and compression processes, the benchmarking already mentioned is usually performed. The isentropic efficiency compares according to formula (57) and formula (58) an actual process with its associated ideal comparison process, which is assumed to be adiabatically isentropic. Based on their isentropic efficiencies, different processes and / or devices can be compared and evaluated.

Beim Benchmarking von Expansions- und Kompressionswirkungsgraden werden im Stand der Technik Wirkungsgradunterschiede im Promillebereich berücksichtigt. 2 zeigt (Modell 3 und 4), dass die relativen Fehler Δη/η in der Berechnung des isentropen Wirkungsgrades, die sich bei unterschiedlichen Berechnungsverfahren für denselben Prozess in der selben Vorrichtung ergeben, erheblich größer sind als die zum Vergleich verschiedener Prozesse in unterschiedlichen Vorrichtungen berücksichtigten Unterschiede in den Wirkungsgraden.When benchmarking expansion and compression efficiencies, efficiency differences in the per thousand range are taken into account in the prior art. 2 FIG. 3 shows (FIGS. 3 and 4) that the relative errors Δη / η in the calculation of the isentropic efficiency, which result in different calculation methods for the same process in the same device, are considerably larger than the differences considered for comparing different processes in different devices in the efficiencies.

Dies liegt daran, dass der berechnete ideale Zustand, der als Referenz herangezogen wird, im Stand der Technik sehr stark von dem verwendeten Berechnungsverfahren abhängt. 2 zeigt, dass der mit dem erfindungsgemäßen Verfahren berechnete Wirkungsgrad nahezu identisch mit dem „wirklichen” isentropen Wirkungsgrad η_is,Vorgabe ist. Das erfindungsgemäße Verfahren erlaubt damit einen besseren Prozessvergleich, bei dem viel kleinere prozessbedingte Unterschiede in den Wirkungsgraden berücksichtigt werden können, weil der ideale Referenzprozess genauer bestimmt ist.This is because the calculated ideal state used as a reference in the prior art is very much dependent on the calculation method used. 2 shows that the calculated with the inventive method efficiency is almost identical to the "real" isentropic efficiency η _{is, default} . The inventive method thus allows a better process comparison, in which much smaller process-related differences in the efficiencies can be taken into account, because the ideal reference process is determined more accurately.

Es ist zu beachten, dass das erfindungsgemäße Verfahren ebenso für Gase verwendet werden kann, die aus unterschiedlichen Gaskomponenten bestehen, auch wenn das vorliegend ausführlich beschriebene Verfahren nur eine Komponente, nämlich Stickstoff, umfasst. Bei mehreren Komponenten k werden vorzugsweise die analytischen Funktionen f_i,k zunächst für jede Gaskomponente einzeln bestimmt. Vorzugsweise werden dafür einmalig in einer der Formeln 11 und 12 die entsprechenden Vorfaktoren bestimmt. Die analytischen Funktionen f_i für das Gasgemisch können dann mit Hilfe der Vorfaktoren aus den Funktionen der Gaskomponenten mit Hilfe der Formeln 15 bestimmt werden. Insbesondere bei durch Verbrennungsvorgänge und/oder durch Kühlluftbeimischung bedingten Änderungen der Gaszusammensetzung lässt sich so das thermodynamische Verhalten der jeweiligen Gemischzusammensetzung korrekt ermitteln, ohne dass die Vorfaktoren der Einzelgase neu bestimmt werden müssen.It should be noted that the method according to the invention can also be used for gases which consist of different gas components, even if the method described in detail herein comprises only one component, namely nitrogen. For several components k, the analytical functions f _i, k are preferably determined individually for each gas component. For this purpose, the corresponding prefactors are preferably determined once in one of the formulas 11 and 12. The analytical functions f _i for the gas mixture can then be determined with the aid of the prefactors from the functions of the gas components by means of the formulas 15. In particular, in case of combustion processes and / or by Kühlluftbeimischung related changes in the gas composition so the thermodynamic behavior of the respective mixture composition can be correctly determined without the pre-factors of the individual gases must be redetermined.

Claims

Method for determining a caloric quantity, in particular the enthalpy h ₂ , the internal energy u ₂ and / or the entropy s ₂ , of a gas in a second state for a thermodynamic process, in particular a compression or an expansion in an engine, in a turbine or in a compressor in which the gas is transferred from a known first state to the second state or from the second state to a known first state, in which the caloric quantity is determined by means of at least one analytical function f, wherein the at least one analytical function f depends on the temperature T and the pressure p or on the temperature T and the specific volume ν, and has the following form:

f (T, p) = g (T) * (1 + k (p, T))

or

f (T, ν) = g (T) · (1 + k (ν, T))

where g (T) is a function of temperature and k (p, T) or k (ν, T) is a function of temperature T and pressure p and a function of temperature T and specific volume ν, respectively, and • the at least one analytical function f is determined using substance data for the gas.

Method according to Claim 1, in which the substance data for different values (T, p) or for different values (T, ν) comprise specific values for at least one of the following variables: enthalpy, internal energy, partial or total derivative of the enthalpy according to temperature (∂h / ∂T) _p or (dh / dT), difference quotient of enthalpy and temperature (Δh / ΔT), partial or total derivative of internal energy according to temperature (∂u / ∂T) _ν , or (du / dT), difference quotient of internal energy and temperature (Δu / ΔT), isobaric heat capacity c _p , isochoric heat capacity c _ν .

Method according to Claim 1 or 2, in which the at least one analytical function f is determined by means of an approximation to reference values, the support values for selected values (T, p) or for selected values (T, ν) from the substance data on the basis of a proportional relationship Partial or total derivative of the enthalpy according to the temperature (∂h / ∂T) _p or (dh / dT), difference quotient of enthalpy and temperature (Δh / ΔT), partial or total Derivation of the internal energy according to the temperature (∂u / ∂T) _ν or (du / dT), difference quotient of internal energy and temperature (Δu / ΔT), isobaric heat capacity c _p , isochoric heat capacity c _ν .

Method according to one of the preceding claims, in which g (T) contains at least one hyperbolic or a logarithmic component in the temperature, and / or in which k (p, T) or k (v, T) at least one hyperbolic or exponential Contains proportion in the temperature.

Method according to one of the preceding claims, wherein for the first state of the gas, the measured quantities of the pressure p ₁ and the temperature T ₁ or the measured quantities of the specific volume ν ₁ and the temperature T _{1 are} known, and further wherein the size of the entropy determinable therefrom s _{1 is} known, and wherein for the second state of the gas, the measured variable of the pressure p ₂ or the specific volume ν _{2 is} known, the temperature T ₂ and / or the entropy s _{2 is determined} by the following steps: (i) Selecting a first temperature value T _2,1 for the second state; (ii) determining a first entropy value s _2,1 for the second state from T _2,1 and p ₂ or from T _2,1 and ν ₂ using the at least one analytical one Function f, (iii) iteratively determining the temperature T ₂ in the second state, wherein the iterative determination for i ≥ 1 comprises the following steps: determining an entropy value s _{2, i} from a temperature value T _{2, i} equ calculating step (ii), • determining an entropy difference Δs _i between the known entropy s ₁ in the first state and the entropy value s _{2, i} , • determining a temperature difference ΔT _i using the entropy difference Δs _i • determining a new temperature value T _{2, i + 1} using said temperature value T _{2, i} and the temperature difference ΔT _i , • determining a new entropy difference Δs _{i + 1} for the new temperature value T _{2, i + 1}

Method according to Claim 5, in which said step (iii) is repeated until the entropy difference Δs _{i + 1} and / or the temperature difference ΔT _{i + 1} satisfies a convergence criterion, in particular until | Δs _{i + 1} | and / or | ΔT _{i + 1} | a threshold ε reached or falls below.

Method according to one of the preceding claims, wherein the entropy s _{2 is determined} from the values T ₂ and p ₂ or T ₂ and ν ₂ by means of an analytical function f ₃ or f ₄ , and / or wherein the internal energy u ₂ from the values T ₂ and p ₂ or T ₂ and ν _{2 is determined} by means of an analytical function f ₁ , and / or wherein the enthalpy h _{2 is determined} from the values T ₂ and p ₂ or T ₂ and ν ₂ by means of an analytical function f ₂ ,

Method according to one of the preceding claims, wherein for the determination of the caloric quantity at least one of the physical quantities T, p, ν by normalization to an associated reference value T ₀ , p ₀ , ν ₀ in a dimensionless quantities T *, p *, ν * is transformed, and wherein at least one of the caloric quantities h ₂ , u ₂ , s _{2 is} first determined as a dimensionless quantity h ₂ *, u ₂ *, s ₂ *, which are multiplied by the associated reference values according to u ₂ = (p ₀ · ν ₀ ) · u ₂ *, h ₂ = (p ₀ · ν ₀ ) · h ₂ *, s ₂ = (p ₀ · ν ₀ / T ₀ ) · s ₂ * into the associated dimension-related physical quantity h ₂ , u ₂ , s _{2 is} transformed.

The method of claim 8, wherein u ₂ * is determined according to one of the following two formulas:

The method of claim 8 or 9, wherein h ₂ * is determined according to one of the following two formulas:

Method according to one of claims 8 to 10, wherein s ₂ * is determined according to one of the following formulas:

Method according to one of claims 7 to 11, wherein the gas comprises a gas mixture of one or more gas components k with k ≥ 1, each containing an associated mass fraction γ _k in the gas, wherein for determining one of the analytical functions f _i , i = 1, 2, 3 or 4, an associated analytical function f _{i, k is} determined for each gas component k, each of the analytical functions f _{1, k} , f _{2, k} , f _{3, k} , f _{4, k is} dependent on the temperature T and the pressure p or on the temperature T and the specific volume ν, the analytical function f _{i, k} being an approximation for selected points (T, p) or (T, ν) to associated support values the respective gas component is determined.

Method according to Claim 12, in which the interpolation values belonging to f _{3, k} are proportional to (∂u / ∂T) _ν · (1 / T), the interpolation values belonging to f _{1, k} are proportional to (∂u / ∂T) _ν , the interpolation values belonging to f _{4, k} are proportional to (∂h / ∂T) _p · (1 / T) and the interpolation values belonging to f _{2, k} are proportional to (∂h / ∂T) _p , wherein said partial derivatives (∂ / ∂T) _νbzwp after the temperature T can also be replaced by corresponding total derivatives d / dT or by corresponding difference quotients (Δh or Δh / ΔT).

Method according to Claim 12 or 13, one of the following two approaches being selected for one of the analytical functions f _{i, k} for i = 1, 2, 3, 4:

the precursors a _{i, j, k} , b _{i, j, k} , c _{i, j, k} , d _{i, j, k} , g _{i, j, k} , w _{i, j, k} , e _{i, j k} , x _{i, j, k are determined} by means of said pointwise approximation, and wherein the W _{i, k are} selectable weighting factors for adjusting the pressure dependence.

Method according to one of Claims 7 to 14, one of the following two approaches being chosen for one of the analytical functions f _i for i = 1, 2, 3, 4:

wherein the W _{i are} selectable weighting factors for adjusting the pressure dependence, and wherein the prefactors a _{i, j} , b _{i, j} , c _{i, j} , d _{i, j} , g _{i, j} , w _{i, j} , e _{i, j} , x _{i, j} from associated prefactors of the pre-factors a _{i, j, k} , b _{i, j, k} , c _{i, j, k} , d _{i, j, k} , g _{i, j, k} , w _{i, j k} , e _{i, j, k} , x _{i, j, k are determined} according to the following formulas:

The method of claim 14 or 15, wherein a function approach comprises at least a first hyperbolic component in the temperature, wherein in one of the approaches 1 to 4 m> 0 and n ≥ -m is selected.

Method according to one of claims 14 to 16, wherein a function approach comprises at least a logarithmic component in the temperature, wherein in one of the approaches 1 to 4 o> 0 is selected.

Method according to one of claims 14 to 17, wherein a function approach comprises at least a second hyperbolic component in the temperature, wherein in approach 1 or approach 3 r> 0 and t ≥ -r is selected, or at least comprises an exponential component in the temperature , wherein in approach 2 or approach 4 r> 0 and t ≥ -r is selected.

Method according to one of Claims 14 to 18, in which the prefactors a _{i, j, k} , b _{i, j, k} , c _{i, j, k} , d _{i, j, k} , g _{i, j, k} , w _{i , j, k} , e _{i, j, k} , x _{i, j, k} under the condition that the entropy does not decrease in adiabatic processes (ds ≥ 0), are approximated point by point.

Method according to one of the preceding claims, in which the enthalpy h _{2 of} the second state is determined from the internal energy u _{2 of} the second state according to h ₂ = u ₂ + p ₂ · ν ₂ , or in which the internal energy u _{2 of} the second state State from the enthalpy h _{2 of} the second state after u ₂ = h ₂ - p ₂ · ν _{2 is} determined.

Method according to one of claims 14 to 20, wherein at least one of the weighting factors W _i and W _{i, k} zero or approximately zero is selected, so that the pressure dependence for the gas mixture or for one or more gas components is eliminated or almost eliminated.

Method according to one of the preceding claims, wherein said thermodynamic process in an apparatus, in particular in a power and / or working machine, in particular in an engine, in a turbine or in a compressor, during operation of the device runs, and wherein at least one of the determined according to methods 1 to 21 sizes, consisting of u ₂ , h ₂ , s ₂ or T ₂ , is used for controlling and / or regulating the device.

Method for controlling and / or regulating a device, in particular a power and / or working machine such as a motor, a turbine or a compressor, wherein during the operation of the device of said thermodynamic process proceeds, in which a gas from a second state determines by the quantities p ₂ and T ₂ , in a first state, determined by the variables p ₁ and T ₁ , is transferred, and wherein for controlling and / or regulating at least one state variable of the second state, in particular T ₂ , is used the at least one state variable is determined from measured state variables in the second and in the first state, in particular from p ₂ and from T ₁ , by means of a method according to one of claims 1 to 21.

Method according to one of the preceding claims, wherein said thermodynamic process in an apparatus, in particular in a power and / or working machine, in particular in an engine, in a turbine or in a compressor, during operation of the device runs, and wherein at least one of the determined according to methods 1 to 21 sizes, consisting of u ₂ , h ₂ , s ₂ or T ₂ , for the evaluation of measurement results on the device and / or for the qualification and / or validation of the device is used.

Method for controlling and / or regulating a device, in particular a power and / or working machine such as a motor, a turbine or a compressor, wherein during the operation of the device of said thermodynamic process proceeds, in which a gas from a second state determines by the variables p ₂ and T ₂ , in a first state, determined by the variables p ₁ and T ₁ , is transferred, and wherein for the evaluation of measurement results on the device and / or for qualification and / or validation of the device at least one State variable of the second state, in particular T ₂ , is used, wherein the at least one state variable from measured state variables in the second and in the first state, in particular from p ₂ and T ₁ , using a method according to one of claims 1 to 21 is determined.