CN112966410B - 一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，包括：1.前处理：定义结构几何模型，离散设计域，添加边界条件，初始化设计变量，设置优化参数；2.自支撑结构拓扑优化：构建适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化数学模型并进行求解，获得设计域单元密度最优布局；3.后处理：设置单元尺寸，提取密度等值面，得到最优的自支撑结构设计方案。本发明采用可变长宽比的四节点矩形单元离散结构设计域，基于此构建临界角可变的自支撑单元过滤方法，建立临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，优化设计适应于临界角可变的自支撑结构，实现打印过程无支撑，节省打印材料和时间。

Description

一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法

技术领域

本发明属于结构优化设计相关领域，具体涉及一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法。

背景技术

近年来，增材制造技术因其具有能够制造复杂结构的突出优势得到了快速发展，为结构制备提供了强大的工具，拓宽了结构设计的空间。然而，增材制造存在一些工艺约束，尤其是对于悬垂特征成型时往往需要在其下方添加支撑，打印完成后再通过人工去除，这样极大地浪费打印材料和时间，同时对零件性能和表面质量也造成了损坏。

针对此问题，一些学者开始研究面向增材制造的自支撑结构拓扑优化方法，旨在从结构设计阶段解决添加支撑的问题，但是目前只针对特定的临界角进行约束，没有考虑不同临界角的约束条件。

发明内容

本发明的目的在于提供一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，实现了临界角可变的自支撑结构优化设计，节省打印材料和时间，解决了传统拓扑优化结构打印过程需要支撑的问题。

本发明采用如下技术方案来实现的：

一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，包括以下步骤：

1)前处理：定义结构几何模型，离散设计域，添加边界条件，初始化设计变量，设置优化参数；

2)自支撑结构拓扑优化：构建适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化数学模型并进行求解，获得设计域单元密度最优布局；

3)后处理：设置单元尺寸，提取密度等值面，得到最优的自支撑结构设计方案。

本发明进一步的改进在于，步骤1)的具体步骤如下：

101)定义结构几何模型；

102)设置临界角α，定义四节点矩形单元长宽分别为a和b，满足b＝a×tan α；

103)采用nelx×nely个四节点矩形单元离散设计域，如果nelx和nely均为整数，则设计域离散完成，否则对nelx和nely进行取整，并调整单元长宽分别为a′和b′，采用调整后的单元离散设计域，调整后的临界角

104)添加边界条件，施加载荷F，设置惩罚因子P、弹性模量E、泊松比μ、过滤半径r_min、体积约束f和收敛条件优化参数；

105)初始化单元设计变量x。

本发明进一步的改进在于，步骤2)中，基于离散化设计域，构建临界角可变的自支撑单元过滤方法，依次进行自支撑单元过滤和密度过滤，以最小化柔度即最大化刚度为目标函数，以结构体积分数为约束条件，构建适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化数学模型。

本发明进一步的改进在于，优化数学模型如下：

目标函数：最小化柔度

约束条件：V(x_P(x))≤f.V₀；

设计变量：0≤x≤1；

其中，c为结构柔度，V为结构体积，V₀为设计域总体积，f为规定的体积分数，x为设计变量矢量，x_P为物理密度矢量。

本发明进一步的改进在于，步骤2)的具体步骤如下：

201)自支撑单元过滤得到单元自支撑密度，表达式为：

其中x_ij为单元设计变量；

为单元自支撑密度；

为自支撑判断因子，表达式为

其中β为近似参数；T为阈值；S_ij为支撑单元集单元平均密度，支撑单元集包含目标单元x_ij下层的三个相邻单元

其中边界单元为两个，i和j分别表示单元水平和垂直方向的位置；

202)密度过滤得到单元物理密度，表达式为：

其中

为单元物理密度；

为单元自支撑密度；N_e为过滤区域内的单元集合；H_ei是权重系数，表达式为H_ei＝max(0,r_min-Δ(e,i))，其中r_min为过滤半径，Δ(e,i)为单元i和e中心距；

203)有限元分析计算结构柔度和结构体积，柔度表达式为：

体积表达式为：

其中U为整体位移矩阵；K为整体刚度矩阵；N为离散化设计域单元的数量；u_e为单元位移矩阵；k_e为单元刚度矩阵，

为单元物理密度；

204)灵敏度分析，目标函数对设计变量的灵敏度表达式为：

约束条件对设计变量的灵敏度表达式为：

其中c为目标函数，V为体积约束，x为单元设计变量，x_F为单元自支撑密度，x_P为单元物理密度；

205)采用移动渐近线法求解更新单元设计变量x；

206)计算更新的设计变量与上一步设计变量的最大差值，判断是否小于收敛值，如果小于，则循环迭代终止，否则重复上述步骤。

本发明进一步的改进在于，步骤3)中，设置四节点矩形单元尺寸，基于设计域单元密度最优布局提取密度等值面，得到最优的自支撑结构设计方案。

本发明至少具有如下有益的技术效果：

本发明能够设置任意可变的自支撑临界角度，基于临界角定义四节点矩形单元尺寸，并采用此单元离散设计域，依次通过自支撑单元过滤和密度过滤得到单元物理密度，并进行有限元分析和灵敏度分析，更新单元设计变量，循环迭代直至收敛，最终得到最优的单元密度分布，提取单元密度等值面，得到最优的自支撑结构设计方案。因此该方法可面向不同增材制造工艺的不同自支撑临界角优化设计自支撑结构，实现最优结构在增材制造时不需要添加支撑；

进一步，本发明通过设置任意临界角α，基于临界角定义四节点矩形单元的长和宽，使单元宽比长等于临界角的正切值，并采用此单元离散设计域，若单元数量不是整数，则需要进行取整，对临界角进行微调，直至单元数量为整数，因此能够实现任意可变的临界角；

进一步，本发明构建的最小化柔度拓扑优化数学模型，能够满足结构体积约束的条件下使结构柔度最小，实现自支撑结构最优设计；

进一步，本发明提出一种基于Heaviside函数的自支撑单元过滤方法，此方法通过Heaviside函数判断单元自支撑性，利用单元设计变量与自支撑判断因子的乘积能够有效保留自支撑单元，删除非自支撑单元，使设计域中只留下自支撑单元，最终得到单元自支撑密度；本发明采用密度过滤能够有效消除棋盘格式解现象，通过求解密度过滤区域的单元自支撑密度加权平均值，最终得到单元物理密度；本发明基于单元物理密度进行有限元分析，计算四节点矩形单元初始刚度矩阵，通过SIMP模型求解单元刚度矩阵，通过组装得到整体刚度矩阵，求解刚度方程得到整体位移矩阵，计算结构柔度和结构体积，并进行灵敏度分析，采用移动渐近线法求解更新设计变量，循环迭代直至收敛，能够得到最优单元密度分布；

进一步，本发明通过设置对应单元尺寸，通过提取单元物理密度等值面，能够实现最优自支撑结构的可视化。

综上，本发明采用可变长宽比的四节点矩形单元离散结构设计域，基于此构建临界角可变的自支撑单元过滤方法，建立临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，优化设计适应于临界角可变的自支撑结构，实现打印过程无支撑，节省打印材料和时间。

附图说明

图1为本发明流程图；

图2为悬臂梁设计域示意图；

图3为可变长宽比的四节点矩形单元示意图；

图4为离散化设计域和自支撑单元判断示意图，其中图4(a)临界角为30°，图4(b)临界角为45°，图4(c)临界角为60°。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明做出进一步的说明。

本发明提出的方法可用于面向增材制造的自支撑结构设计的平面问题，以下结合案例和附图介绍本发明的具体实施过程，图1展示了本发明的流程图。

(1)前处理

其具体步骤如下：

1)定义悬臂梁的几何模型，如图2所示，沿+Y方向优化设计悬臂梁结构，以L＝160，H＝100为例进行计算说明；

2)设置临界角α，定义四节点矩形单元长宽分别为a和b，满足b＝a×tan α，如图3所示，以α＝30°，a＝1，b＝tan 30°为例进行计算说明；

3)采用nelx×nely个四节点矩形单元离散设计域，计算

其中nely不为整数，需对nely进行取整，nely≈277，调整单元宽

长宽比为1:b′，调整后临界角为

不同临界角的离散化设计域示意图，如图4所示；

4)添加边界条件为设计域底部固定，顶部中点处施加沿+X方向的单位载荷，设置惩罚因子P为3、弹性模量E＝1、泊松比μ＝0.3、过滤半径r_min＝1.5、体积约束f＝0.5和收敛条件等优化参数；

5)初始化单元设计变量x为0.5。

(2)自支撑结构拓扑优化

基于离散化设计域，构建临界角可变的自支撑单元过滤方法，依次进行自支撑单元过滤和密度过滤，以最小化柔度(最大化刚度)为目标函数，以结构体积分数为约束条件，构建适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化数学模型，优化数学模型如下：

目标函数：最小化柔度

约束条件：V(x_P(x))≤f.V₀

设计变量：0≤x≤1

其中，c为结构柔度，V为结构体积，V₀为设计域总体积，f为规定的体积分数，x为设计变量矢量，x_P为物理密度矢量。

其具体步骤如下：

1)自支撑单元过滤得到单元自支撑密度，表达式为：

其中x_ij为单元设计变量；

为单元自支撑密度；

为自支撑判断因子，表达式为

其中β为近似参数，逐渐增大至128；T为阈值，设置为0.1；S_ij为支撑单元集单元平均密度，支撑单元集包含目标单元x_ij下层的三个(边界单元为两个)相邻单元

其中i和j分别表示单元水平和垂直方向的位置。不同临界角自支撑单元判断示意图，如图4所示；

2)密度过滤得到单元物理密度，表达式为：

其中

为单元物理密度；

为单元自支撑密度；N_e为过滤区域内的单元集合；H_ei是权重系数，表达式为H_ei＝max(0,r_min-Δ(e,i))，其中r_min为过滤半径，Δ(e,i)为单元i和e中心距；

3)有限元分析计算结构柔度和结构体积，柔度表达式为：

体积表达式为：

其中U为整体位移矩阵；K为整体刚度矩阵；N为离散化设计域单元的数量；u_e为单元位移矩阵；

为单元物理密度；k_e为单元刚度矩阵，表达式为：k_e＝E_e(x_P).k₀，其中k₀为初始单元刚度矩阵，E_e(x_P)为单元弹性模量；

长宽比为1:b′的四节点矩形单元初始单元刚度矩阵k₀，表达式为：

其中，E为弹性模量，μ为泊松比，

SIMP模型单元密度与弹性模量之间的关系可表示为：

其中E取为1，E_min取为1×10^-9，P取为3，x_P为单元物理密度；

通过组装单元刚度矩阵求得整体刚度矩阵K，建立刚度方程求解整体位移矩阵U，表达式为：KU＝F，其中K为整体刚度矩阵，U为整体位移矩阵，F为载荷矩阵；

4)灵敏度分析，目标函数对设计变量的灵敏度表达式为：

约束条件对设计变量的灵敏度表达式为：

其中c为目标函数，V为体积约束，x为单元设计变量，x_F为单元自支撑密度，x_P为单元物理密度；

5)采用移动渐近线法(MMA)求解更新单元设计变量x；

6)计算更新的设计变量与上一步设计变量的最大差值，判断是否小于收敛值，设置为0.01，如果小于，则循环迭代终止，否则重复上述步骤。

(3)后处理

设置四节点矩形单元尺寸为a＝1，

基于设计域单元密度最优布局提取密度等值面，得到最优的自支撑结构设计方案。

Claims (5)

1.一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)前处理：定义结构几何模型，离散设计域，添加边界条件，初始化设计变量，设置优化参数；具体步骤如下：

101)定义结构几何模型；

102)设置临界角α，定义四节点矩形单元长宽分别为a和b，满足b＝a×tanα；

103)采用nelx×nely个四节点矩形单元离散设计域，如果nelx和nely均为整数，则设计域离散完成，否则对nelx和nely进行取整，并调整单元长宽分别为a′和b′，采用调整后的单元离散设计域，调整后的临界角

104)添加边界条件，施加载荷F，设置惩罚因子P、弹性模量E、泊松比μ、过滤半径r_min、体积约束f和收敛条件优化参数；

105)初始化单元设计变量x；

2)自支撑结构拓扑优化：构建适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化数学模型并进行求解，获得设计域单元密度最优布局；

3)后处理：设置单元尺寸，提取密度等值面，得到最优的自支撑结构设计方案。

2.根据权利要求1所述的一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤2)中，基于离散化设计域，构建临界角可变的自支撑单元过滤方法，依次进行自支撑单元过滤和密度过滤，以最小化柔度即最大化刚度为目标函数，以结构体积分数为约束条件，构建适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化数学模型。

3.根据权利要求2所述的一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，其特征在于，优化数学模型如下：

目标函数：最小化柔度

约束条件：V(x_P(x))≤f.V₀；

设计变量：0≤x≤1；

其中，c为结构柔度，V为结构体积，V₀为设计域总体积，f为规定的体积分数，x为设计变量矢量，x_P为物理密度矢量。

4.根据权利要求3所述的一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤2)的具体步骤如下：

201)自支撑单元过滤得到单元自支撑密度，表达式为：

其中x_ij为单元设计变量；

为单元自支撑密度；

为自支撑判断因子，表达式为

其中β为近似参数；T为阈值；S_ij为支撑单元集单元平均密度，支撑单元集包含目标单元x_ij下层的三个相邻单元

其中边界单元为两个，i和j分别表示单元水平和垂直方向的位置；

202)密度过滤得到单元物理密度，表达式为：

其中

为单元物理密度；

为单元自支撑密度；N_e为过滤区域内的单元集合；H_ei是权重系数，表达式为H_ei＝max(0,r_min-Δ(e,i))，其中r_min为过滤半径，Δ(e,i)为单元i和e中心距；

203)有限元分析计算结构柔度和结构体积，柔度表达式为：

体积表达式为：

其中U为整体位移矩阵；K为整体刚度矩阵；N为离散化设计域单元的数量；u_e为单元位移矩阵；k_e为单元刚度矩阵，

为单元物理密度；

204)灵敏度分析，目标函数对设计变量的灵敏度表达式为：

约束条件对设计变量的灵敏度表达式为：

其中c为目标函数，V为体积约束，x为单元设计变量，x_F为单元自支撑密度，x_P为单元物理密度；

205)采用移动渐近线法求解更新单元设计变量x；

206)计算更新的设计变量与上一步设计变量的最大差值，判断是否小于收敛值，如果小于，则循环迭代终止，否则重复上述步骤。

5.根据权利要求4所述的一种适应于临界角可变的增材制造自支撑结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤3)中，设置四节点矩形单元尺寸，基于设计域单元密度最优布局提取密度等值面，得到最优的自支撑结构设计方案。

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