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CN112549010B - 基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法 - Google Patents

基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法 Download PDF

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CN112549010B
CN112549010B CN202011529953.9A CN202011529953A CN112549010B CN 112549010 B CN112549010 B CN 112549010B CN 202011529953 A CN202011529953 A CN 202011529953A CN 112549010 B CN112549010 B CN 112549010B
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CN
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robot
joint
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angle
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李东方
胡凌燕
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Nanchang University
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Nanchang University
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Abstract

本发明公开的一种基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，属于仿生机器人运动控制领域。本发明包括如下步骤：根据多关节蛇形机器人的自身结构和关节特征，通过坐标变换建立机器人的运动学模型；制定轨迹跟踪控制器的控制目标；提出多关节蛇形机器人改进Serpenoid曲线的控制方程；设计轨迹跟踪控制器，实现机器人对连杆角、关节角和运动位置的控制作用；寻找Lyapunov函数来验证控制器的渐进稳定性；通过实验，观察多关节蛇形机器人的运动方式，分析机器人的运动轨迹，验证所提出的控制器的有效性。本发明要解决的技术问题是设计基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器，为蛇形机器人的路径跟踪控制奠定了理论基础。

Description

基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟 踪控制器设计方法
技术领域
本发明属于仿生机器人运动控制领域，具体涉及一种基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法。
背景技术
随着生物不断地演变和进化，许多生物在运动方式和环境适应中展现出了独特的优势。其中，身体细长的生物蛇表现尤为突出，它在运动的过程中身体紧贴地面、重心放低，这种特有的运动方式使生物蛇具有极强的环境适应能力和运动稳定性。这引起了科学家们的注意，于是将仿生学和机器人相结合的多关节仿生蛇形机器人应运而生。这种蛇形机器人的运动特性与蛇类似，蜿蜒爬行的运动步态使其能够在崎岖复杂的地形或是人类无法进入的区域中工作，代替人类完成许多危险的作业，所以多关节蛇形机器人具有非常广泛的应用前景。
在多关节蛇形机器人的结构中，控制器是机器人能否达到预期效果的重要组成部分。控制器能够实现对蛇形机器人运动步态和运动方向的控制，使蛇形机器人以蜿蜒爬行的步态运动并跟踪期望路径前行。在此基础上，我们可以为蛇形机器人进行优化或扩展更多的功能，所以设计多关节蛇形机器人轨迹跟踪控制器可以为研究蛇形机器人的二维运动以及后续功能的拓展建立良好的基础。
发明内容
针对现有的多关节蛇形机器人在运动过程中跟踪期望路径的问题，本发明要解决的技术问题是：提供一种基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，实现机器人在运动过程中跟踪期望的路径。
本发明的目的是通过下述技术方案实现的：
本发明公开的一种基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，包括如下步骤：
步骤一：根据多关节蛇形机器人的身体结构和关节特征，通过坐标变换得到了基于连杆结构的机器人运动学模型。
步骤二：制定了多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器的四个控制目标，分别是：目标一是实现机器人的连杆角误差
Figure BDA0002851763480000011
收敛到0且渐进稳定；目标二是实现机器人的关节角误差
Figure BDA0002851763480000012
收敛到0且渐进稳定；目标三是实现机器人的法向运动位置误差ey收敛和法向运动速度
Figure BDA0002851763480000021
一致有界；目标四是实现机器人的切向运动位置误差
Figure BDA0002851763480000022
和切向运动速度误差
Figure BDA0002851763480000023
收敛到0并渐进稳定。
步骤三：改进了多关节蛇形机器人的Serpenoid步态曲线控制方程，使用与状态相关的时变摆动幅值来代替传统Serpenoid曲线中的固定摆动幅值，得到了机器人具有自适应时变摆动幅值的轴向弯矩约束。
步骤四：利用LOS引导率实现多关节蛇形机器人的运动方向指向期望路径。
步骤五：根据步骤二制定的目标一，设置多关节蛇形机器人的期望连杆角为
Figure BDA0002851763480000024
实际连杆角为θ。连杆角误差目标是控制机器人的实际连杆角θ跟踪期望连杆角
Figure BDA0002851763480000025
最终实现连杆角误差
Figure BDA0002851763480000026
收敛到0且渐进稳定。
步骤六：根据步骤二制定的目标二，设置多关节蛇形机器人的期望关节角为
Figure BDA0002851763480000027
实际关节角为φ。关节角误差目标是控制实际关节角φ跟踪期望关节角
Figure BDA0002851763480000028
最终达到关节角误差
Figure BDA0002851763480000029
收敛到0且渐进稳定。
步骤七：根据步骤二制定的目标三，设置机器人在y轴方向上的实际运动轨迹
Figure BDA00028517634800000210
与理想路径
Figure BDA00028517634800000211
之间的法向运动位置误差为
Figure BDA00028517634800000212
机器人的法向运动速度为
Figure BDA00028517634800000213
目标是实现机器人的法向运动位置误差ey收敛和法向运动速度
Figure BDA00028517634800000214
一致有界。
步骤八：根据步骤二制定的目标四，设置机器人在x轴方向上的实际运动轨迹
Figure BDA00028517634800000215
与理想路径
Figure BDA00028517634800000216
之间的切向运动位置误差为
Figure BDA00028517634800000217
机器人沿着理想路径的切向运动速度为
Figure BDA00028517634800000218
同时满足
Figure BDA00028517634800000219
目标是实现机器人的切向运动位置误差
Figure BDA00028517634800000220
和切向运动速度误差
Figure BDA00028517634800000221
收敛到0并渐进稳定。
步骤九：构造Lyapunov函数L，验证步骤五中的连杆角误差、步骤六中的关节角误差、步骤七中的法向运动位置误差和法向运动速度一致有界、步骤八中的切向运动位置误差和切向运动速度误差的稳定性。
步骤十：通过MATLAB仿真实验，验证基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器的有效性。
有益效果：
1.本发明公开的一种基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，制定了多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器的控制目标，机器人不仅可以跟踪设定的直线路径，而且可以跟踪设定的曲线路径。
2.本发明公开的一种基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，改进了多关节蛇形机器人的Serpenoid步态曲线控制方程，考虑了机器人运动步态的自适应性，得到了机器人具有自适应时变摆动幅值的轴向弯矩约束，提高了机器人的运动效率。
3.本发明公开的一种基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，消除了环境摩擦系数不确定和时变带来的消极影响，实现了机器人对时变误差的估计，提高了机器人的轨迹跟踪误差收敛速度，增加了控制器的稳定性。
附图说明
图1是多关节蛇形机器人的坐标变换；
图2是多关节蛇形机器人的运动学模型；
图3是自适应轨迹跟踪控制器结构；
图4是Line-of-Sight引导律；
图5是多关节蛇形机器人的法向运动轨迹误差对比曲线；
图6是多关节蛇形机器人的切向运动轨迹误差对比曲线；
图7是多关节蛇形机器人的连杆角与理想连杆角曲线；
图8是多关节蛇形机器人的连杆角误差对比曲线；
图9是多关节蛇形机器人在改进Serpenoid方法控制下的关节角曲线；
图10是多关节蛇形机器人在Serpenoid方法控制下的关节角曲线。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步说明。
本实施例从多关节蛇形机器人的需求出发，结合多关节蛇形机器人的运动特点，本实施例公开一种基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，包括如下步骤：
步骤一：多关节蛇形机器人由N个长度为2h的刚性连杆组成，连杆与连杆之间有N-1个转动关节，每个连杆中间设置从动轮。通过坐标变换(1)，如图1所示。得到机器人新的质心位置为
Figure BDA0002851763480000031
建立机器人的运动学模型(2)，如图2所示。
Figure BDA0002851763480000041
其中，多关节蛇形机器人的关节由N个长度为2h的刚性连杆组成，机器人位置坐标沿切线方向运动的距离为
Figure BDA0002851763480000042
机器人的连杆角集合为
Figure BDA0002851763480000043
机器人的关节质心位置为p＝[px，py]T，机器人的连杆角速度为
Figure BDA0002851763480000044
机器人的法向量速度为vn∈RN，坐标变换后的法向量速度为
Figure BDA0002851763480000045
Figure BDA0002851763480000046
其中，
Figure BDA0002851763480000047
和
Figure BDA0002851763480000048
多关节蛇形机器人的关节角度组成的集合为
Figure BDA0002851763480000049
机器人的关节角速度集合为
Figure BDA00028517634800000410
机器人的切向速度为vt∈RN。多关节蛇形机器人连杆模型中的切向和法向摩擦系数分别为λ1＞0和λ2＞0，摩擦系数的大小受地理环境影响。设置机器人关节旋转速度到旋转加速度的映射比例为μ1＞0。设置机器人关节角度均值和切向速度到旋转加速度的映射比例为μ2＞0。机器人的关节质量为m，辅助矩阵为
Figure BDA00028517634800000411
系统的控制输入量为
Figure BDA00028517634800000412
步骤二：制定多关节蛇形机器人轨迹跟踪控制器的四个控制目标，多关节蛇形机器人的自适应轨迹跟踪控制器如图3所示，制定的四个目标分别是：目标一是设置多关节蛇形机器人的期望连杆角为
Figure BDA0002851763480000051
实际连杆角为θ。连杆角误差目标是控制机器人的实际连杆角θ跟踪期望连杆角
Figure BDA0002851763480000052
最终实现连杆角误差
Figure BDA0002851763480000053
收敛到0且渐进稳定；目标二是设置多关节蛇形机器人的期望关节角为
Figure BDA0002851763480000054
实际关节角为φ。关节角误差目标是控制实际关节角φ跟踪期望关节角
Figure BDA0002851763480000055
最终达到关节角误差
Figure BDA0002851763480000056
收敛到0且渐进稳定；目标三是机器人在y轴方向上的实际运动轨迹
Figure BDA0002851763480000057
与理想路径
Figure BDA0002851763480000058
之间的法向运动位置误差为
Figure BDA0002851763480000059
机器人的法向运动速度为
Figure BDA00028517634800000510
目标是实现机器人的法向运动位置误差ey收敛和法向运动速度
Figure BDA00028517634800000511
一致有界；目标四是机器人在x轴方向上的实际运动轨迹
Figure BDA00028517634800000512
与理想路径
Figure BDA00028517634800000513
之间的切向运动位置误差为
Figure BDA00028517634800000514
机器人沿着理想路径的切向运动速度为
Figure BDA00028517634800000515
同时满足
Figure BDA00028517634800000516
实现机器人的切向运动位置误差
Figure BDA00028517634800000517
和切向运动速度误差
Figure BDA00028517634800000518
收敛到0并渐进稳定。当目标一实现时，多关节蛇形机器人的连杆角到达期望目标。当目标二实现时，多关节蛇形机器人的关节角到达期望目标。此时，机器人朝向指定的方向，机器人的连杆进行周期性的蜿蜒摆动，这推动了机器人的前向运动。当目标三实现时，多关节蛇形机器人的法向运动位置误差实现了收敛，机器人的实际法向运动位置将在理想路径附近上下波动，这个波动是微幅有界的。当目标四完成时，多关节蛇形机器人的实际切向运动位置和实际切向运动速度实现了收敛，机器人实现了完全意义上的轨迹跟踪运动。实现基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器的控制目标，可以使机器人的所有状态误差收敛到0。
步骤三：提出多关节蛇形机器人改进Serpenoid曲线的控制方程。改进Serpenoid曲线控制方程建立了机器人摆动幅值与机器人运动位置和运动速度的关系，它被定义为公式(3)，作为机器人的第i关节夹角。
Figure BDA00028517634800000519
其中，多关节蛇形机器人关节振动的时变增益幅值为
Figure BDA00028517634800000520
机器人的关节偏移量为
Figure BDA00028517634800000521
机器人关节的相移为δ，机器人关节运动的频率为ω，控制机器人前进速度和偏移方向的两个补偿器的解为
Figure BDA00028517634800000522
和φ0。
特别的，多关节蛇形机器人的期望关节角
Figure BDA0002851763480000061
与改进Serpenoid曲线的控制方程相关联得到公式(4)。
Figure BDA0002851763480000062
其中，
Figure BDA0002851763480000063
步骤四：采用Line-of-Sight(LOS)引导律使多关节蛇形机器人的运动方向指向期望路径。LOS方法是引导机器人跟踪期望路径的常用方法。在LOS方法中，机器人的理想连杆角为(5)，如图4所示。
Figure BDA0002851763480000064
其中，多关节蛇形机器人的整体期望连杆角为
Figure BDA0002851763480000065
该角度是机器人实际运动方向的期望值。机器人的跟踪距离误差为ey，前向距离为Δ。多关节蛇形机器人在t1时刻与期望路径的最近点为F，以F点作长度为Δ的切线得到机器人的运动路径引导点(xLOS,yLOS)。机器人会产生一个连杆角θ来追踪引导点。在这个过程中，希望机器人的实际连杆角θ能跟踪期望连杆角
Figure BDA0002851763480000066
当多关节蛇形机器人运动到t2时刻时，机器人的引导点发生变化，这导致期望连杆角
Figure BDA0002851763480000067
发生变化。因此，机器人的实际连杆角θ也需要做出调整。如此循环往复，推动多关节蛇形机器人的运动轨迹不断逼近期望路径，达到轨迹跟踪的目的。因此，虽然期望路径是人为设定的，但是，无论机器人在任意位置，都可以跟踪设定的期望路径。只不过机器人在不同位置和不同时刻跟踪的期望连杆角
Figure BDA0002851763480000068
不同，机器人跟踪路径所需要的时间不同。影响多关节蛇形机器人跟踪期望连杆角
Figure BDA0002851763480000069
的因素包括法向位置误差ey和前向距离Δ。其中，跟踪距离误差ey与机器人运动状态相关，前向距离Δ影响误差的收敛速度和收敛精度，是人为设计的一个参数。Δ＞0表示机器人的运动方向向前，Δ＜0表示机器人的运动方向向后。并且，前向距离Δ还影响机器人的连杆角速度。Δ越大，则
Figure BDA0002851763480000071
越小，那么连杆角速度vθ越慢。由于连杆角速度与关节转动相关联，所以当Δ越大时，机器人的关节角转动速度vφ也会减慢。同理，当Δ越小，则
Figure BDA0002851763480000072
越大，连杆角速度vθ和关节角转动速度vφ会加快。由于Δ极大的影响了多关节蛇形机器人运动轨迹收敛到期望路径的速率。因此，选取合适的Δ值，可以使机器人获得高效、平滑的轨迹跟踪过程。
步骤五：根据步骤二制定的目标一，设置多关节蛇形机器人的连杆角误差变量为eθ。构造机器人的连杆角反馈辅助函数，利用Backstepping方法设计关节角补偿器φ0，实现机器人的连杆角误差收敛到0。
多关节蛇形机器人的连杆角误差和连杆角速度误差分别为(6)和(7)。
Figure BDA0002851763480000073
Figure BDA0002851763480000074
对连杆角误差和连杆角速度误差进行微分得到(8)和(9)。
Figure BDA0002851763480000075
Figure BDA0002851763480000076
设置连杆角误差的辅助函数为(10)。可以得到连杆角误差微分的另一种形式为(11)。
Figure BDA0002851763480000077
Figure BDA0002851763480000078
使用Backstepping控制方法设计机器人的连杆方向角补偿器为φ0。
Figure BDA0002851763480000079
步骤六：根据步骤二制定的目标二，设置多关节蛇形机器人的关节角误差变量为eφ。利用自适应控制方法设计机器人的摩擦系数估计值函数和关节角输入控制函数，实现关节角误差收敛到0。
机器人的关节角误差为eφ。
Figure BDA0002851763480000081
多关节蛇形机器人关节角误差的微分为(14)。
Figure BDA0002851763480000082
为了实现关节角误差的收敛，设置带有关节角误差系数估计值的辅助函数为(15)。
Figure BDA0002851763480000083
其中
Figure BDA0002851763480000084
为参数kφ＞0的时变量估计值。
Figure BDA0002851763480000085
的作用是抑制
Figure BDA0002851763480000086
中的未知有界函数
Figure BDA0002851763480000087
得到关节角误差的导数的另一种形式为(16)。
Figure BDA0002851763480000088
多关节蛇形机器人的关节角速度误差及其微分分别为(17)和(18)。
Figure BDA0002851763480000089
Figure BDA00028517634800000810
利用自适应控制方法设置系统的输入为u。同时，设计一个反馈输入-输出控制器
Figure BDA00028517634800000811
Figure BDA00028517634800000812
Figure BDA00028517634800000813
其中，
Figure BDA00028517634800000814
和
Figure BDA00028517634800000815
分别为λ1和λ2的时变量估计值，
Figure BDA00028517634800000816
kv,i＞0为正常数对角阵。
步骤七：根据步骤二制定的目标三，设置多关节蛇形机器人的法向运动速度和法向运动位置误差。通过鲁棒控制设计控制器，找到误差的受控条件，使机器人的法向运动位置误差快速收敛。
多关节蛇形机器人跟踪的期望法向运动路径为
Figure BDA0002851763480000091
机器人的实际法向运动轨迹为
Figure BDA0002851763480000092
其中，
Figure BDA0002851763480000093
是关于时间的函数。机器人的法向运动速度为
Figure BDA0002851763480000094
根据均值不等式可以得到(21)。
Figure BDA0002851763480000095
多关节蛇形机器人的实际法向运动位置与期望法向运动路径之间的误差为(22)。
Figure BDA0002851763480000096
Figure BDA0002851763480000097
由于在步骤五中已经实现了连杆角误差eθ收敛为0。并且，根据LOS方法可以得到三角函数关系为
Figure BDA0002851763480000098
和
Figure BDA0002851763480000099
因此(23)可以简化为(24)。同时，有vt∈[Vmin,Vmax]＞0。
Figure BDA00028517634800000910
步骤八：根据步骤二制定的目标四，使用改进Serpenoid步态曲线控制方程作为附加控制项来控制机器人的切向运动位置和切向运动速度。利用自适应控制方法设计多关节蛇形机器人摆动幅值补偿的估计值，并用估计值代替实际摆动幅值来实时对控制器进行调整，实现机器人的切向运动位置误差和切向运动速度误差收敛到0。
定义机器人沿着理想路径的切向速度为
Figure BDA00028517634800000911
机器人理想路径的切向位置为
Figure BDA00028517634800000912
同时满足
Figure BDA00028517634800000913
机器人的实际切向运动位置为
Figure BDA00028517634800000914
实际运动速度为vt。机器人的切向运动位置误差为ex，切向运动速度误差为es。
Figure BDA0002851763480000101
对(25)进行微分并代入(2)得到(26)。
Figure BDA0002851763480000102
设置辅助函数σ1。
Figure BDA0002851763480000103
Figure BDA0002851763480000104
使用自适应控制方法设计机器人摆动幅值补偿的跟踪函数为β。
Figure BDA0002851763480000105
为了使
Figure BDA0002851763480000106
设置辅助函数为σ2。
Figure BDA0002851763480000107
Figure BDA0002851763480000108
多关节蛇形机器人的时变摆动幅值被定义为(32)。
Figure BDA0002851763480000109
步骤九：利用Lyapunov方法验证步骤五中的连杆角误差、步骤六中的关节角误差、步骤七中的法向运动位置误差和法向速度、步骤八中的切向运动位置误差和切向速度误差的稳定性。
设置Lyapunov候选方程L1为(33)。
Figure BDA00028517634800001010
Figure BDA00028517634800001011
得到
Figure BDA00028517634800001012
的另一种形式为(35)。
Figure BDA00028517634800001013
存在不等式关系式(36)和(37)。
Figure BDA0002851763480000111
Figure BDA0002851763480000112
Figure BDA0002851763480000113
得到
Figure BDA0002851763480000114
的放缩形式为(39)。
Figure BDA0002851763480000115
设置Lyapunov候选方程V21为(40)。
Figure BDA0002851763480000116
Figure BDA0002851763480000117
设置Lyapunov候选方程V22为(42)。
Figure BDA0002851763480000118
Figure BDA0002851763480000119
其中，η1＞0为正常数增益。
设置Lyapunov候选方程L2为(44)。
Figure BDA00028517634800001110
Figure BDA00028517634800001111
其中，η2＞0和η3＞0均为正常数增益。
设置时变量估计值
Figure BDA00028517634800001112
Figure BDA00028517634800001113
和
Figure BDA00028517634800001114
的微分分别为
Figure BDA00028517634800001115
和
Figure BDA00028517634800001116
同时，将
Figure BDA00028517634800001117
(20)和(19)代入(45)得到(46)。
Figure BDA0002851763480000121
我们始终保持
Figure BDA0002851763480000122
其中，χφ＞0为正常数增益。得到
Figure BDA0002851763480000123
的放缩形式为(47)。
Figure BDA0002851763480000124
证明法向运动速度的一致有界性。设置法向运动速度的Lyapunov候选方程为(48)。
Figure BDA0002851763480000125
Figure BDA0002851763480000126
可以得到
Figure BDA0002851763480000127
的另一种形式为(50)。
Figure BDA0002851763480000128
设置边界条件为
Figure BDA0002851763480000129
和
Figure BDA00028517634800001210
由于Y＞0，只要
Figure BDA00028517634800001211
足够小，就能使-ρ1为负定的。对
Figure BDA00028517634800001212
进行放缩得到(51)。
Figure BDA00028517634800001213
对(51)求解得到(52)。
Figure BDA00028517634800001214
因此，
Figure BDA00028517634800001215
是有界的且收敛到
Figure BDA00028517634800001216
由于
Figure BDA00028517634800001217
中的vθ是有界的，因此vn也是有界的，不妨设vn的边界为εn，即||vn||≤εn。
设计法向运动位置误差的Lyapunov方程为(53)。
Figure BDA00028517634800001218
Figure BDA0002851763480000131
根据均值不等式可以得到
Figure BDA0002851763480000132
和
Figure BDA0002851763480000133
同时，
Figure BDA0002851763480000134
是有界的，即
Figure BDA0002851763480000135
可以得到
Figure BDA0002851763480000136
的另一种形式为(55)。
Figure BDA0002851763480000137
不妨设
Figure BDA0002851763480000138
和
Figure BDA0002851763480000139
同时应该满足
Figure BDA00028517634800001310
得到
Figure BDA00028517634800001311
的放缩形式为(56)。
Figure BDA00028517634800001312
对(56)求解得到(57)。
Figure BDA00028517634800001313
因此，机器人的法向运动位置误差是有界的且收敛到
Figure BDA00028517634800001314
为了增加误差的收敛速度，可以有增大Vmin的数值，减小前向距离Δ，增加机器人在法向方向上的摩擦力，减小法向速度vn的边界值εn和减小|X|的数值。
设置Lyapunov候选方程V41为(58)。
Figure BDA00028517634800001315
Figure BDA00028517634800001316
Figure BDA00028517634800001317
设置Lyapunov候选方程V42为(61)。
Figure BDA0002851763480000141
Figure BDA0002851763480000142
得到
Figure BDA0002851763480000143
的另一种形式为(63)。
Figure BDA0002851763480000144
设置Lyapunov函数L4为(64)。
Figure BDA0002851763480000145
Figure BDA0002851763480000146
得到
Figure BDA0002851763480000147
的另一种形式为(66)。
Figure BDA0002851763480000148
系统的Lyapunov函数为L＝L1+L2+L3+L4。
Figure BDA0002851763480000149
因此，基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器是一致有界的，也是稳定的。只要调整参数的数值，就能将误差控制在一个很小的可接受的范围内。
步骤十：通过MATLAB对基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人进行仿真实验，多关节蛇形机器人的法向运动轨迹误差对比曲线如图5所示，多关节蛇形机器人的切向运动轨迹误差对比曲线如图6所示，多关节蛇形机器人的连杆角与理想连杆角曲线如图7所示，多关节蛇形机器人的连杆角误差对比曲线如图8所示，多关节蛇形机器人在改进Serpenoid方法控制下的关节角曲线如图9所示，多关节蛇形机器人在Serpenoid方法控制下的关节角曲线如图10所示。根据仿真结果可以发现基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器能使机器人较原Serpenoid控制方法具有更快的轨迹跟踪收敛速度，更快的连杆角误差收敛速度，更稳定的关节角误差曲线，更高的的连杆角速度误差稳定性，更好的关节角速度误差稳定性。这充分体现了所提出的改进Serpenoid曲线的自适应轨迹跟踪控制器的优越性。
以上仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤一：分析多关节蛇形机器人的运动机理，通过坐标变换建立多关节蛇形机器人的运动学模型；
步骤二：制定多关节蛇形机器人轨迹跟踪控制器的控制目标，分别是：目标一是控制机器人的实际连杆角θ跟踪期望连杆角
Figure FDA0003777455550000011
最终实现连杆角误差
Figure FDA0003777455550000012
收敛到0且渐进稳定；目标二是控制实际关节角φ跟踪期望关节角
Figure FDA0003777455550000013
最终达到关节角误差
Figure FDA0003777455550000014
收敛到0且渐进稳定；目标三是设置机器人在y轴方向上的实际运动轨迹
Figure FDA0003777455550000015
与理想路径
Figure FDA0003777455550000016
之间的法向运动位置误差为
Figure FDA0003777455550000017
实现机器人的法向运动位置误差ey收敛和法向运动速度
Figure FDA0003777455550000018
一致有界；目标四是设置多关节蛇形机器人在x轴方向上的实际运动轨迹
Figure FDA0003777455550000019
与理想路径
Figure FDA00037774555500000110
之间的切向运动位置误差为
Figure FDA00037774555500000111
机器人沿着理想路径的切向运动速度为
Figure FDA00037774555500000112
同时满足
Figure FDA00037774555500000113
实现机器人的切向运动位置误差
Figure FDA00037774555500000114
和切向运动速度误差
Figure FDA00037774555500000115
收敛到0并渐进稳定；
步骤三：提出一个多关节蛇形机器人的改进Serpenoid曲线的控制方程；
步骤四：利用LOS引导率使多关节蛇形机器人的运动方向指向期望路径；
步骤五：根据步骤二制定的目标一，设置一个理想的多关节蛇形机器人连杆角函数
Figure FDA00037774555500000116
加入一个辅助函数，构造一个反馈控制器，设计连杆方向角补偿器φ0，实现连杆角误差渐进稳定；
步骤六：根据步骤二制定的目标二，根据多关节蛇形机器人的改进Serpenoid曲线的控制方程，通过设置一个反馈输入—输出控制器ū 来控制系统的输入u，设计一个反馈控制器，实现关节角误差渐近稳定；
步骤七：根据步骤二制定的目标三，设置多关节蛇形机器人的法向运动速度和法向运动位置误差，通过鲁棒控制设计控制器，找到误差的受控条件，使机器人的法向运动位置误差快速收敛；
步骤八：根据步骤二制定的目标四，使用改进Serpenoid步态曲线控制方程作为附加控制项来控制机器人的切向运动位置和切向运动速度，利用自适应控制方法设计多关节蛇形机器人摆动幅值补偿的估计值，并用估计值代替实际摆动幅值来实时对控制器进行调整，实现机器人的切向运动位置误差和切向运动速度误差收敛到0并渐近稳定；
步骤九：构造Lyapunov函数L，验证步骤五中的机器人连杆角误差、步骤六中的机器人关节角误差、步骤七中的机器人法向运动速度和法向运动位置误差和步骤八中的机器人切向运动位置和切向运动速度误差的稳定性；
步骤一中建立的多关节蛇形机器人运动学模型，通过坐标变换(1)，得到机器人新的质心位置为
Figure FDA0003777455550000021
建立机器人的运动学模型(2)；
Figure FDA0003777455550000022
其中，多关节蛇形机器人的关节由N个长度为2h的刚性连杆组成，机器人位置坐标沿切线方向运动的距离为
Figure FDA0003777455550000023
机器人的连杆角集合为
Figure FDA0003777455550000024
机器人的关节质心位置为p＝[px，py]T，机器人的连杆角速度为
Figure FDA0003777455550000025
机器人的法向量速度为vn∈RN，坐标变换后的法向量速度为
Figure FDA0003777455550000026
Figure FDA0003777455550000027
其中，
Figure FDA0003777455550000028
和
Figure FDA0003777455550000029
多关节蛇形机器人的关节角度组成的集合为
Figure FDA00037774555500000210
机器人的关节角速度集合为
Figure FDA00037774555500000211
机器人的切向速度为vt∈RN；多关节蛇形机器人连杆模型中的切向和法向摩擦系数分别为λ1＞0和λ2＞0，摩擦系数的大小受地理环境影响；设置机器人关节旋转速度到旋转加速度的映射比例为μ1＞0；设置机器人关节角度均值和切向速度到旋转加速度的映射比例为μ2＞0；机器人的关节质量为m，辅助矩阵为
Figure FDA0003777455550000031
系统的控制输入量为
Figure FDA0003777455550000032
步骤三的具体实现方法为，
提出多关节蛇形机器人改进Serpenoid曲线的控制方程，改进Serpenoid曲线控制方程建立了机器人摆动幅值与机器人运动位置和运动速度的关系，它被定义为公式(3)，作为机器人的第i关节夹角；
Figure FDA0003777455550000033
其中，多关节蛇形机器人关节振动的时变增益幅值为
Figure FDA0003777455550000034
机器人的关节偏移量为
Figure FDA0003777455550000035
机器人关节的相移为δ，机器人关节运动的频率为ω，控制机器人前进速度和偏移方向的两个补偿器的解为
Figure FDA0003777455550000036
和φ0；
多关节蛇形机器人的期望关节角
Figure FDA0003777455550000037
与改进Serpenoid曲线的控制方程相关联得到公式(4)；
Figure FDA0003777455550000038
其中，
Figure FDA0003777455550000039
步骤五的具体实现方法为，
多关节蛇形机器人的连杆角误差和连杆角速度误差分别为(6)和(7)；
Figure FDA00037774555500000310
Figure FDA00037774555500000311
对连杆角误差和连杆角速度误差进行微分得到(8)和(9)；
Figure FDA00037774555500000312
Figure FDA0003777455550000041
设置连杆角误差的辅助函数为(10)，可以得到连杆角误差微分的另一种形式为(11)；
Figure FDA0003777455550000042
Figure FDA0003777455550000043
使用Backstepping控制方法设计机器人的连杆方向角补偿器为φ0；
Figure FDA0003777455550000044
步骤六的具体实现方法为，
机器人的关节角误差为eφ；
Figure FDA0003777455550000045
多关节蛇形机器人关节角误差的微分为(14)；
Figure FDA0003777455550000046
为了实现关节角误差的收敛，设置带有关节角误差系数估计值的辅助函数为(15)；
Figure FDA0003777455550000047
其中
Figure FDA0003777455550000048
为参数kφ＞0的时变量估计值；
得到关节角误差的导数的另一种形式为(16)；
Figure FDA0003777455550000049
多关节蛇形机器人的关节角速度误差及其微分分别为(17)和(18)；
Figure FDA00037774555500000410
Figure FDA00037774555500000411
利用自适应控制方法设置系统的输入为u；同时，设计一个反馈输入-输出控制器
Figure FDA0003777455550000051
Figure FDA0003777455550000052
Figure FDA0003777455550000053
其中，
Figure FDA0003777455550000054
和
Figure FDA0003777455550000055
分别为λ1和λ2的时变量估计值，
Figure FDA0003777455550000056
为正常数对角阵；
步骤七的具体实现方法为，
多关节蛇形机器人跟踪的期望法向运动路径为
Figure FDA0003777455550000057
机器人的实际法向运动轨迹为
Figure FDA0003777455550000058
其中，
Figure FDA0003777455550000059
是关于时间的函数；机器人的法向运动速度为
Figure FDA00037774555500000510
根据均值不等式可以得到(21)；
Figure FDA00037774555500000511
多关节蛇形机器人的实际法向运动位置与期望法向运动路径之间的误差为(22)；
Figure FDA00037774555500000512
Figure FDA00037774555500000513
由于在步骤五中已经实现了连杆角误差eθ收敛为0；并且，根据LOS方法可以得到三角函数关系为
Figure FDA00037774555500000514
和
Figure FDA00037774555500000515
因此(23)可以简化为(24)；同时，有vt∈[Vmin,Vmax]＞0；
Figure FDA00037774555500000516
步骤八的具体实现方法为，
定义机器人沿着理想路径的切向速度为
Figure FDA0003777455550000061
机器人理想路径的切向位置为
Figure FDA0003777455550000062
同时满足
Figure FDA0003777455550000063
机器人的实际切向运动位置为
Figure FDA0003777455550000064
实际运动速度为vt；机器人的切向运动位置误差为ex，切向运动速度误差为es；
Figure FDA0003777455550000065
对(25)进行微分并代入(2)得到(26)；
Figure FDA0003777455550000066
设置辅助函数σ1；
Figure FDA0003777455550000067
Figure FDA0003777455550000068
使用自适应控制方法设计机器人摆动幅值补偿的跟踪函数为β；
Figure FDA0003777455550000069
为了使
Figure FDA00037774555500000610
设置辅助函数为σ2；
Figure FDA00037774555500000611
Figure FDA00037774555500000612
多关节蛇形机器人的时变摆动幅值被定义为(32)；
Figure FDA00037774555500000613
步骤九的具体实现方法为，
设置Lyapunov候选方程L1为(33)；
Figure FDA00037774555500000614
Figure FDA00037774555500000615
得到
Figure FDA00037774555500000616
的另一种形式为(35)；
Figure FDA0003777455550000071
存在不等式关系式(36)和(37)；
Figure FDA0003777455550000072
Figure FDA0003777455550000073
Figure FDA0003777455550000074
得到
Figure FDA0003777455550000075
的放缩形式为(39)；
Figure FDA0003777455550000076
设置Lyapunov候选方程V21为(40)；
Figure FDA0003777455550000077
Figure FDA0003777455550000078
设置Lyapunov候选方程V22为(42)；
Figure FDA0003777455550000079
Figure FDA00037774555500000710
其中，η1＞0为正常数增益；
设置Lyapunov候选方程L2为(44)；
Figure FDA00037774555500000711
Figure FDA00037774555500000712
其中，η2＞0和η3＞0均为正常数增益；
设置时变量估计值
Figure FDA00037774555500000713
和
Figure FDA00037774555500000714
的微分分别为
Figure FDA00037774555500000715
和
Figure FDA0003777455550000081
同时，将
Figure FDA0003777455550000082
(20)和(19)代入(45)得到(46)；
Figure FDA0003777455550000083
始终保持
Figure FDA0003777455550000084
其中，χφ＞0为正常数增益；得到
Figure FDA0003777455550000085
的放缩形式为(47)；
Figure FDA0003777455550000086
证明法向运动速度的一致有界性；设置法向运动速度的Lyapunov候选方程为(48)；
Figure FDA0003777455550000087
Figure FDA0003777455550000088
可以得到
Figure FDA0003777455550000089
的另一种形式为(50)；
Figure FDA00037774555500000810
设置边界条件为
Figure FDA00037774555500000811
和
Figure FDA00037774555500000812
由于Y＞0，只要
Figure FDA00037774555500000813
足够小，就能使-ρ1为负定的；对
Figure FDA00037774555500000814
进行放缩得到(51)；
Figure FDA00037774555500000815
对(51)求解得到(52)；
Figure FDA00037774555500000816
因此，
Figure FDA00037774555500000817
是有界的且收敛到
Figure FDA00037774555500000818
由于
Figure FDA00037774555500000819
中的vθ是有界的，因此vn也是有界的，不妨设vn的边界为εn，即||vn||≤εn；
设计法向运动位置误差的Lyapunov方程为(53)；
Figure FDA00037774555500000820
Figure FDA0003777455550000091
根据均值不等式可以得到
Figure FDA0003777455550000092
和
Figure FDA0003777455550000093
同时，
Figure FDA0003777455550000094
是有界的，即
Figure FDA0003777455550000095
可以得到
Figure FDA0003777455550000096
的另一种形式为(55)；
Figure FDA0003777455550000097
不妨设
Figure FDA0003777455550000098
和
Figure FDA0003777455550000099
同时应该满足
Figure FDA00037774555500000910
得到
Figure FDA00037774555500000911
的放缩形式为(56)；
Figure FDA00037774555500000912
对(56)求解得到(57)；
Figure FDA00037774555500000913
因此，机器人的法向运动位置误差是有界的且收敛到
Figure FDA00037774555500000914
为了增加误差的收敛速度，可以有增大Vmin的数值，减小前向距离Δ，增加机器人在法向方向上的摩擦力，减小法向速度vn的边界值εn和减小|X|的数值；
设置Lyapunov候选方程V41为(58)；
Figure FDA00037774555500000915
Figure FDA00037774555500000916
Figure FDA00037774555500000917
设置Lyapunov候选方程V42为(61)；
Figure FDA0003777455550000101
Figure FDA0003777455550000102
得到
Figure FDA0003777455550000103
的另一种形式为(63)；
Figure FDA0003777455550000104
设置Lyapunov函数L4为(64)；
Figure FDA0003777455550000105
Figure FDA0003777455550000106
得到
Figure FDA0003777455550000107
的另一种形式为(66)；
Figure FDA0003777455550000108
系统的Lyapunov函数为L＝L1+L2+L3+L4；
Figure FDA0003777455550000109
因此，基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器是一致有界的，也是稳定的；只要调整参数的数值，就能将误差控制在一个很小的可接受的范围内。
2.根据权利要求1所述的基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：还包括步骤十，通过MATLAB进行模拟仿真实验，验证基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器的有效性。
3.根据权利要求1或2所述的基于改进Serpenoid曲线的多关节蛇形机器人自适应轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：步骤四的具体实现方法为，
采用LOS引导律使多关节蛇形机器人的运动方向指向期望路径；在LOS方法中，机器人的理想连杆角为(5)；
Figure FDA0003777455550000111
其中，多关节蛇形机器人的期望连杆角为
Figure FDA0003777455550000112
该角度是机器人实际运动方向的期望值，机器人的跟踪距离误差为ey，前向距离为Δ。
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