CN111984913B - 实际地层和电离层情况下的vlf模方程根的求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法，首先初始化参数并设置地层参数、电离层参数、VLF电波的参数以及模方程根需要满足的预设精度；求解出理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根；以理想情况下的模方程根为初值，利用粗步长的改进欧拉法求解实际的地层和电离层情况下的近似模方程根；然后使用牛顿迭代法对近似模方程根进一步修正；判断修正后的模方程根是否满足预设精度，若未满足预设精度，则返回，若满足预设精度，则输出修正后的模方程根并结束，输出的结果便为实际的地层和电离层情况下的模方程根。本发明保证较高模方程根求解精度和可靠性的同时，拥有更高的求解效率。

Description

实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法

技术领域

本发明属于电磁学计算技术领域，具体涉及一种实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法。

背景技术

甚低频(VLF，Very Low Frequency)电磁波是频率在3-30kHz范围内的无线电波，其波长为100-10km。VLF波传播损耗小、幅度和相位稳定、渗透性强，被广泛应用于超远程导航和授时、潜艇通信、天气监测、电离层监测和地震预测等方面。由于VLF电波的波长与地面和电离层间的距离可比拟，且地面与电离层都具有良好的反射特性，故而VLF波在这两个反射壁之间来回反射，并被其引导向前传播(称为地-电离层波导传播模式)。受传播信道内低电离层与地层媒质复杂空时变化的影响，VLF波表现出复杂的传播特性。掌握并预测甚低频电波在地-电离层波导结构中的传播特性对于提高VLF导航/授时系统精度、地震预报准确度等具有重要意义。

当VLF波在球形波导中传播时，总场可以表示为几种模式的场的叠加。每种模式必须满足亥姆霍兹方程和上下阻抗边界条件，由上下阻抗边界条件推导得到的方程称为模方程。波导中每一个传播模式的波，都可以看作是由以倾角θ_n向地面传播的波和它的反射波组成，由于每个模式都必须满足上下边界条件，故而θ_n只能取满足一定条件的特定值，也就是模方程的根。因此，精确计算模方程的根是甚低频场量计算与传播特性分析的根本前提。

求解模方程根的方法有：基于改进欧拉法(Improved Euler method)和龙格-库塔法(Runge-Kutta method)的微分方程数值解法，以及牛顿迭代法(Newton’s method)。但是由于模方程根求解的复杂性，上述方法都有局限性。微分方程数值解法的精度受限于步长大小，步长越小，精度越高，但耗时也就越长，且步长减小到一定程度后将无法进一步提升精度；此外，与龙格-库塔方法相比，改进欧拉法更便捷、高效。与微分方程数值解法相比，牛顿迭代法计算速度快，但由于对初值过度依赖，使得在某些情况下存在无法收敛或收敛到其它零点的情况。因此，需要找到一种高精度，高可靠性与高效率的模方程根求解方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法，保证较高模方程根求解精度和可靠性的同时，拥有更高的求解效率。

本发明所采用的技术方案是，一种实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1、初始化参数并设置地层参数、电离层参数、VLF电波的参数以及模方程根需要满足的预设精度；

步骤2：求解出理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根；

步骤3：以步骤2求出的理想情况下的模方程根为初值，利用粗步长的改进欧拉法求解实际的地层和电离层情况下的近似模方程根；

步骤4：使用牛顿迭代法对步骤3求出的近似模方程根进一步修正；

步骤5：判断修正后的模方程根是否满足预设精度，若未满足预设精度，则返回步骤4，若满足预设精度，则输出步骤4修正后的模方程根并结束，输出的结果便为实际的地层和电离层情况下的模方程根。

本发明的特点还在于，

步骤1具体如下：

将模方程根t_n初始化为0，设地层的相对介电常数为ε_r，电导率σ₁；电离层的参考高度H，梯度系数β，电离层的离地高度范围H_min～H_max，H_min为电离层的下边界离地面的高度，H_max为电离层的上边界离地面的高度，电离层的分层层数m，电离层入射角θ′；VLF电波的频率f，传播波数k；地球半径a；未进行牛顿迭代修正前的理想情况下的模方程根需要满足的预设精度Eps1，进行牛顿迭代修正后理想情况和实际的地层和电离层情况下模方程根需要满足的预设精度Eps2。

步骤2具体如下：

步骤2.1、透地一定深度的地层作为波导结构的下边界，被看作是纵向均匀且具有等效电参量而横向变化的分段均匀媒质，等效电参量为：介电常数ε₁和大地等效电导率σ₁，则地面的归一化表面阻抗Δ_g为

其中，i为虚数单位，ε₀为真空中的介电常数，ε₁＝ε₀ε_r，ω为VLF电波的角频率；

步骤2.2、电离层由部分被离化的气体包括电子、离子和中性分子组成，当不考虑地磁场的影响时，看作是非磁化各向同性连续媒质，其中，电离层的碰撞频率ν和电子密度N变化是影响电离层的电特性的两个关键参量，电离层的碰撞频率ν随离地高度z的分布函数ν(z)为

ν(z)＝1.82×10¹¹e^-0.15z (2)

电离层的电子密度N随离地高度z的分布函数N(z)为

N(z)＝1.43×10⁷e^-0.15He^{[(β-0.15)(z-H)]} (3)

式中，H为电离层参考高度，单位为km；β为梯度系数，单位为1/km，则电离层的复介电常数表示为

其中，e为电子电量，m_e为电子质量，记

其中，磁导率μ认为与真空中相同，即μ＝μ₀，μ₀为真空中的磁导率；

对于VLF电波，将电离层分为m层，每层厚度记为h_m，第m+1层的表面阻抗Z_m+1为

其中，k₀为空气中的传播波数，η₀为空气中的波阻抗，第m层的表面阻抗Z_m到第1层的表面阻抗Z₁的递推公式为

其中，

z_m为第m层离地面的距离，z_m+1为第m+1层离地面的距离，假设电离层的等效归一化表面阻抗不随入射角方向而变，将电离层入射角度θ′统一取为80°，因此，根据式(7)计算出第一层的表面阻抗Z₁；

步骤2.3、在电离层参考高度H处，上行波与下行波之比R_v(0)为

其中，f_er(0)为电离层参考高度H处的反射系数，z₀为电离层参考高度H距电离层下边界的距离，电离层下边界处的反射系数f_er(-z₀)为

所以，电离层在参考高度H处的等效归一化表面阻抗Δ_i为

步骤2.4、假设信号源为一个垂直电偶极子Idl，位于地-电离层波导中，忽略地球磁场的影响，根据上下阻抗边界条件，推导得到VLF电波的模方程为

A(t_n)B(t_n)＝1 (13)

其中，

q＝i(ka/2)^1/3Δ_g，q_i＝i(ka/2)^1/3Δ_i，y₀＝(2/ka)^1/3kH (15)

W₁和W₂为Airy函数，k为传播波数，t_n为第n阶模式的VLF电波的模方程根；

步骤2.5、理想情况下，地面完全导电Δ_g＝0，电离层完全导磁Δ_i＝∞，则模方程式(13)化简为

又因理想情况下VLF电波在地-电离层波导中传播没有损耗，衰减率为0，所以Airy函数W₁和W₂表示为

W₁(t_n)＝u(t_n)-iv(t_n),W₂(t_n)＝u(t_n)+iv(t_n) (17)

其中，t_n为实数时，Airy函数W₁和W₂的实部u(t_n)和虚部v(t_n)都为实数，所以式(16)写为

令

步骤2.6、求得式(19)中曲线f(t_n)和g(t_n)的交点，得到理想情况下的模方程根：将y₀＝(2/ka)^1/3kH代入式(19)，并设置t_n的范围，求出精度小于等于预设精度Eps1的交点

步骤2.7、以为迭代结束的条件，利用牛顿迭代法进行修正，从而得到理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根

步骤3具体如下：

令p＝1/q_i，则将t_n看作q和p的函数t_n(q,p)，则由式(13)得到t_n(q,p)的方程：

分别对式(20)两端q和p求导，并根据Airy函数的性质和伏龙斯基公式化简，得到q满足的微分方程f₁(q,t_n)和p满足的微分方程f₂(p,t_n)：

将0～q等分为N_q段，每段长度即步长为h₁＝q/N_q，将0～p等分为N_p段，每段长度即步长为h₂＝p/N_p，令

q_m＝mh₁,m＝0,1,2,……,N_q

p_M＝Mh₂,M＝0,1,2,……,N_p

根据改进欧拉法的理论及式(21)和(22)，分别得到关于q和p的公式：

其中m＝0,1,2,……,N_q，M＝0,1,2,……,N_p，则根据式(23)和式(24)，采用粗步长h₁和h₂，以理想情况下的为初值进行迭代，得到实际阻抗边界条件下，即实际的地层和电离层情况下的近似模方程根t′_n。

步骤4具体如下：

以所述步骤3得到的近似模方程根t_n′为初值，利用牛顿迭代法进行修正，即令

Q(t_n)＝A(t_n)B(t_n)-1＝0 (25)

则Q(t_n)在t′_n的某领域内展开成泰勒级数：

取式(26)的线性部分即式(26)的前两项作为非线性方程(25)的近似方程，即

P(t_n)＝Q(t′)+Q′(t′_n)(t_n-t′_n)＝0 (27)

由此得到模方程根的牛顿迭代形式：

其中，则根据式(28)对近似模方程根进行修正，得到修正后的近似模方程根

步骤5具体如下：

令

判断所述步骤4修正后的模方程根是否满足式(29)的结果小于预设精度Eps2，若未满足，则返回步骤4，若满足，则输出模方程根并结束，输出的结果即为实际的地层和电离层情况下的模方程根t_n。

本发明的有益效果是，一种实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法，利用粗步长的改进欧拉法对牛顿迭代初值进行预处理，使其处于零点所在的邻域内，不但避免了单一牛顿迭代法无法收敛的问题，同时规避了改进欧拉法计算时间过长的缺点，具有高精度、高可靠性与高效率的特点。

附图说明

图1是本发明VLF模方程根求解方法的流程图；

图2是地面为平均海水路径时，本发明方法与改进欧拉法的模方程根计算结果对比图；

图3是地面为平均陆地路径时，本发明方法与改进欧拉法的模方程根计算结果对比图；

图4(a)是地面为平均陆地路径时，本发明方法与改进欧拉法的基模模方程根的计算精度对比图；

图4(b)是地面为平均陆地路径时，本发明方法与改进欧拉法的基模模方程根的计算精度差值图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法，所依据的原理为：首先求解出理想情况下的模方程根；然后计算出非理想情况下地面和电离层的归一化表面阻抗后，以理想情况下的模方程根为初值根据改进欧拉法求出一个近似模方程根；最后利用牛顿迭代法进一步修正。

基于球面波导模理论，地面被理解为位于r＝a、归一化表面阻抗为Δ_g的反射壁，低电离层被理解为位于r＝a+H、归一化表面阻抗为Δ_i的反射壁。垂直电偶极子在地-电离层波导中激起的VLF场，总可以描述成若干个满足上、下边界条件(模方程)的波型(模式)的叠加。因此，寻找并确定满足条件的波型，即求解模方程的根成为VLF场量求解以及特性分析的关键。

本发明一种实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法，流程图如图1所示，具体按照以下步骤实施：

步骤1、初始化参数并设置地层参数、电离层参数、VLF电波的参数以及模方程根需要满足的预设精度；

步骤1具体如下：

将模方程根t_n初始化为0，设地层的相对介电常数为ε_r，电导率σ₁；电离层的参考高度H，梯度系数β，电离层的离地高度范围H_min～H_max，H_min为电离层的下边界离地面的高度，H_max为电离层的上边界离地面的高度，电离层的分层层数m，电离层入射角θ′；VLF电波的频率f，传播波数k；地球半径a；未进行牛顿迭代修正前的理想情况下的模方程根需要满足的预设精度Eps1，进行牛顿迭代修正后理想情况和实际的地层和电离层情况下模方程根需要满足的预设精度Eps2。

步骤2：求解出理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根；

步骤2具体如下：

步骤2.1、透地一定深度的地层作为波导结构的下边界，被看作是纵向均匀且具有等效电参量而横向变化的分段均匀媒质，等效电参量为：介电常数ε₁和大地等效电导率σ₁，则地面的归一化表面阻抗Δ_g为

其中，i为虚数单位，ε₀为真空中的介电常数，ε₁＝ε₀ε_r，ω为VLF电波的角频率；

步骤2.2、电离层由部分被离化的气体包括电子、离子和中性分子组成，当不考虑地磁场的影响时，看作是非磁化各向同性连续媒质，其中，电离层的碰撞频率ν和电子密度N变化是影响电离层的电特性的两个关键参量，电离层的碰撞频率ν随离地高度z的分布函数ν(z)为

ν(z)＝1.82×10¹¹e^-0.15z (2)

电离层的电子密度N随离地高度z的分布函数N(z)为

N(z)＝1.43×10⁷e^-0.15He^{[(β-0.15)(z-H)]} (3)

式中，H为电离层参考高度，单位为km；β为梯度系数，单位为1/km，则电离层的复介电常数表示为

其中，e为电子电量，m_e为电子质量，记

其中，磁导率μ认为与真空中相同，即μ＝μ₀，μ₀为真空中的磁导率；

对于VLF电波，将电离层分为m层，每层厚度记为h_m，第m+1层的表面阻抗Z_m+1为

其中，k₀为空气中的传播波数，η₀为空气中的波阻抗，第m层的表面阻抗Z_m到第1层的表面阻抗Z₁的递推公式为

其中，

z_m为第m层离地面的距离，z_m+1为第m+1层离地面的距离，假设电离层的等效归一化表面阻抗不随入射角方向而变，将电离层入射角度θ′统一取为80°，因此，根据式(7)计算出第一层的表面阻抗Z₁；

步骤2.3、在电离层参考高度H处，上行波与下行波之比R_v(0)为

其中，f_er(0)为电离层参考高度H处的反射系数，z₀为电离层参考高度H距电离层下边界的距离，电离层下边界处的反射系数f_er(-z₀)为

所以，电离层在参考高度H处的等效归一化表面阻抗Δ_i为

步骤2.4、假设信号源为一个垂直电偶极子Idl，位于地-电离层波导中，忽略地球磁场的影响，根据上下阻抗边界条件，推导得到VLF电波的模方程为

A(t_n)B(t_n)＝1 (13)

其中，

q＝i(ka/2)^1/3Δ_g，q_i＝i(ka/2)^1/3Δ_i，y₀＝(2/ka)^1/3kH (15)

W₁和W₂为Airy函数，k为传播波数，t_n为第n阶模式的VLF电波的模方程根；

步骤2.5、理想情况下，地面完全导电Δ_g＝0，电离层完全导磁Δ_i＝∞，则模方程式(13)化简为

又因理想情况下VLF电波在地-电离层波导中传播没有损耗，衰减率为0，所以Airy函数W₁和W₂表示为

W₁(t_n)＝u(t_n)-iv(t_n),W₂(t_n)＝u(t_n)+iv(t_n) (17)

其中，t_n为实数时，Airy函数W₁和W₂的实部u(t_n)和虚部v(t_n)都为实数，所以式(16)写为

令

步骤2.6、求得式(19)中曲线f(t_n)和g(t_n)的交点，得到理想情况下的模方程根：将y₀＝(2/ka)^1/3kH代入式(19)，并设置t_n的范围，求出精度小于等于预设精度Eps1的交点

步骤2.7、以为迭代结束的条件，利用牛顿迭代法进行修正，从而得到理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根

步骤3：以步骤2求出的理想情况下的模方程根为初值，利用粗步长的改进欧拉法求解实际的地层和电离层情况下的近似模方程根；

步骤3具体如下：

令p＝1/q_i，则将t_n看作q和p的函数t_n(q,p)，则由式(13)得到t_n(q,p)的方程：

分别对式(20)两端q和p求导，并根据Airy函数的性质和伏龙斯基公式化简，得到q满足的微分方程f₁(q,t_n)和p满足的微分方程f₂(p,t_n)：

将0～q等分为N_q段，每段长度即步长为h₁＝q/N_q，将0～p等分为N_p段，每段长度即步长为h₂＝p/N_p，令

q_m＝mh₁,m＝0,1,2,……,N_q

p_M＝Mh₂,M＝0,1,2,……,N_p

根据改进欧拉法的理论及式(21)和(22)，分别得到关于q和p的公式：

其中m＝0,1,2,……,N_q，M＝0,1,2,……,N_p，则根据式(23)和式(24)，采用粗步长h₁和h₂，以理想情况下的为初值进行迭代，得到实际阻抗边界条件下，即实际的地层和电离层情况下的近似模方程根t_n′。

步骤4：使用牛顿迭代法对步骤3求出的近似模方程根进一步修正；

步骤4具体如下：

以所述步骤3得到的近似模方程根t_n′为初值，利用牛顿迭代法进行修正，即令

Q(t_n)＝A(t_n)B(t_n)-1＝0 (25)

则Q(t_n)在t′_n的某领域内展开成泰勒级数：

取式(26)的线性部分即式(26)的前两项作为非线性方程(25)的近似方程，即

P(t_n)＝Q(t′)+Q′(t′_n)(t_n-t′_n)＝0 (27)

由此得到模方程根的牛顿迭代形式：

其中，则根据式(28)对近似模方程根进行修正，得到修正后的近似模方程根

步骤5：判断修正后的模方程根是否满足预设精度，若未满足预设精度，则返回步骤4，若满足预设精度，则输出步骤4修正后的模方程根并结束，输出的结果便为实际的地层和电离层情况下的模方程根。

步骤5具体如下：

令

判断所述步骤4修正后的模方程根是否满足式(29)的结果小于预设精度Eps2，若未满足，则返回步骤4，若满足，则输出模方程根并结束，输出的结果即为实际的地层和电离层情况下的模方程根t_n。

实施例

按照本发明的方法步骤进行实施，实验中，地面为平均海水的参数为：相对介电常数ε_r＝70，电导率σ₁＝5S/m，地面为平均陆地的参数为：相对介电常数ε_r＝22，电导率σ₁＝3×10^-3S/m；电离层的参数为：电离层参考高度H＝72km、梯度系数β＝0.3、电离层下边界离地面的距离H_min＝0、电离层上边界边界离地面的距离H_max＝120km，电离层的分层层数m＝200，电离层入射角θ′＝80°；地球半径a＝6371.12km；未进行牛顿迭代修正前的理想情况下的模方程根需要满足的预设精度Eps1＝1×10^-2，进行牛顿迭代修正后理想情况和实际的地层和电离层情况下模方程根需要满足的预设精度Eps2＝1×10^-6。本发明方法的N_p＝200，改进欧拉法的N_p＝2000。N_q和N_p的关系为：当地面为平均海水时N_q＝0.01N_p，当地面为平均陆地时N_q＝N_p。

图2给出了地面为平均海水时，本发明方法与改进欧拉法在不同频率下求得的前四阶模式的根t_n。从图2(a)中可见，本发明方法与改进欧拉法得到的基模的模方程根t_n的实部与虚部几乎相同。从图2(b)中可见，本发明方法与改进欧拉法得到的二阶模式的模方程根t_n的实部与虚部几乎相同。从图2(c)中可见，本发明方法与改进欧拉法得到的三阶模式的模方程根t_n的实部与虚部几乎相同。从图2(d)中可见，本发明方法与改进欧拉法得到的四阶模式的模方程根t_n的实部与虚部也几乎相同。

图3给出了地面为平均陆地时，本发明方法与改进欧拉法在不同频率下求得的前四阶模式的根t_n。从图3(a)中可见，本发明方法与改进欧拉法得到的基模的模方程根t_n的实部与虚部几乎相同。从图3(b)中可见，本发明方法与改进欧拉法得到的二阶模式的模方程根t_n的实部与虚部几乎相同。从图3(c)中可见，本发明方法与改进欧拉法得到的三阶模式的模方程根t_n的实部与虚部几乎相同。从图3(d)中可见，本发明方法与改进欧拉法得到的四阶模式的模方程根t_n的实部与虚部也几乎相同。

图4是地面为平均陆地时，本发明方法与改进欧拉法在不同频率下基模的模方程根t_n的计算精度对比结果，其中

δ′＝ERR_{Improved Euler}-ERR_Euler-Newton

从图4(a)中可见，本发明方法的计算精度达到了10^-7，而改进欧拉法的计算精度仅为10^-5，本发明方法具有更高的计算精度。从图4(b)中可见，与改进欧拉法相比(即与微分方程数值解法相比)，本发明方法的计算精度提高了10^-5。

表1是本发明方法与改进欧拉法的平均用时对比。

表1本发明方法与改进欧拉法的平均用时对比

从表1可见，当地面为平均海水时，与改进欧拉法相比，本发明方法的计算效率提升了近十倍。当地面为平均陆地时，与改进欧拉法相比，本发明方法的计算效率提升了近百倍。

Claims (1)

1.一种实际地层和电离层情况下的VLF模方程根的求解方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施：

步骤1、初始化参数并设置地层参数、电离层参数、VLF电波的参数以及模方程根需要满足的预设精度；

所述步骤1具体如下：

将模方程根t_n初始化为0，设地层的相对介电常数为ε_r，电导率σ₁；电离层的参考高度H，梯度系数β，电离层的离地高度范围H_min～H_max，H_min为电离层的下边界离地面的高度，H_max为电离层的上边界离地面的高度，电离层的分层层数m，电离层入射角θ′；VLF电波的频率f，传播波数k；地球半径a；未进行牛顿迭代修正前的理想情况下的模方程根需要满足的预设精度Eps1，进行牛顿迭代修正后理想情况和实际的地层和电离层情况下模方程根需要满足的预设精度Eps2；

步骤2：求解出理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根；

所述步骤2具体如下：

步骤2.1、透地一定深度的地层作为波导结构的下边界，被看作是纵向均匀且具有等效电参量而横向变化的分段均匀媒质，等效电参量为：介电常数ε₁和大地等效电导率σ₁，则地面的归一化表面阻抗Δ_g为

其中，i为虚数单位，ε₀为真空中的介电常数，ε₁＝ε₀ε_r，ω为VLF电波的角频率；

步骤2.2、电离层由部分被离化的气体包括电子、离子和中性分子组成，当不考虑地磁场的影响时，看作是非磁化各向同性连续媒质，其中，电离层的碰撞频率ν和电子密度N变化是影响电离层的电特性的两个关键参量，电离层的碰撞频率ν随离地高度z的分布函数ν(z)为

ν(z)＝1.82×10¹¹e^-0.15z (2)

电离层的电子密度N随离地高度z的分布函数N(z)为

N(z)＝1.43×10⁷e^-0.15He^{[(β-0.15)(z-H)]} (3)

式中，H为电离层参考高度，单位为km；β为梯度系数，单位为1/km，则电离层的复介电常数表示为

其中，e为电子电量，m_e为电子质量，记

其中，磁导率μ认为与真空中相同，即μ＝μ₀，μ₀为真空中的磁导率；

对于VLF电波，将电离层分为m层，每层厚度记为h_m，第m+1层的表面阻抗Z_m+1为

其中，k₀为空气中的传播波数，η₀为空气中的波阻抗，第m层的表面阻抗Z_m到第1层的表面阻抗Z₁的递推公式为

其中，

z_m为第m层离地面的距离，z_m+1为第m+1层离地面的距离，假设电离层的等效归一化表面阻抗不随入射角方向而变，将电离层入射角θ′统一取为80°，因此，根据式(7)计算出第一层的表面阻抗Z₁；

步骤2.3、在电离层参考高度H处，上行波与下行波之比R_v(0)为

其中，f_er(0)为电离层参考高度H处的反射系数，z₀为电离层参考高度H距电离层下边界的距离，电离层下边界处的反射系数f_er(-z₀)为

所以，电离层在参考高度H处的等效归一化表面阻抗Δ_i为

步骤2.4、假设信号源为一个垂直电偶极子Idl，位于地-电离层波导中，忽略地球磁场的影响，根据上下阻抗边界条件，推导得到VLF电波的模方程为

A(t_n)B(t_n)＝1 (13)

其中，

q＝i(ka/2)^1/3Δ_g，q_i＝i(ka/2)^1/3Δ_i，y₀＝(2/ka)^1/3kH (15)

W₁和W₂为Airy函数，k为传播波数，t_n为第n阶模式的VLF电波的模方程根；

步骤2.5、理想情况下，地面完全导电Δ_g＝0，电离层完全导磁Δ_i＝∞，则模方程式(13)化简为

又因理想情况下VLF电波在地-电离层波导中传播没有损耗，衰减率为0，所以Airy函数W₁和W₂表示为

W₁(t_n)＝u(t_n)-iv(t_n),W₂(t_n)＝u(t_n)+iv(t_n) (17)

其中，t_n为实数时，Airy函数W₁和W₂的实部u(t_n)和虚部v(t_n)都为实数，所以式(16)写为

令

步骤2.6、求得式(19)中曲线f(t_n)和g(t_n)的交点，得到理想情况下的模方程根：将y₀＝(2/ka)^1/3kH代入式(19)，并设置t_n的范围，求出精度小于等于预设精度Eps1的交点

步骤2.7、以为迭代结束的条件，利用牛顿迭代法进行修正，从而得到理想情况下，即地层完全导电，电离层完全导磁情况下的模方程根

步骤3：以步骤2求出的理想情况下的模方程根为初值，利用粗步长的改进欧拉法求解实际的地层和电离层情况下的近似模方程根；

所述步骤3具体如下：

令p＝1/q_i，则将t_n看作q和p的函数t_n(q,p)，则由式(13)得到t_n(q,p)的方程：

分别对式(20)两端q和p求导，并根据Airy函数的性质和伏龙斯基公式化简，得到q满足的微分方程f₁(q,t_n)和p满足的微分方程f₂(p,t_n)：

将0～q等分为N_q段，每段长度即步长为h₁＝q/N_q，将0～p等分为N_p段，每段长度即步长为h₂＝p/N_p，令

根据改进欧拉法的理论及式(21)和(22)，分别得到关于q和p的公式：

则根据式(23)和式(24)，采用粗步长h₁和h₂，以理想情况下的为初值进行迭代，得到实际阻抗边界条件下，即实际的地层和电离层情况下的近似模方程根t′_n；

步骤4：使用牛顿迭代法对步骤3求出的近似模方程根进一步修正；

所述步骤4具体如下：

以所述步骤3得到的近似模方程根t′_n为初值，利用牛顿迭代法进行修正，即令

Q(t_n)＝A(t_n)B(t_n)-1＝0 (25)

则Q(t_n)在t′_n的某领域内展开成泰勒级数：

取式(26)的线性部分即式(26)的前两项作为非线性方程(25)的近似方程，即

P(t_n)＝Q(t′_n)+Q′(t′_n)(t_n-t′_n)＝0 (27)

由此得到模方程根的牛顿迭代形式：

其中，则根据式(28)对近似模方程根进行修正，得到修正后的近似模方程根

步骤5：判断修正后的模方程根是否满足预设精度，若未满足预设精度，则返回步骤4，若满足预设精度，则输出步骤4修正后的模方程根并结束，输出的结果便为实际的地层和电离层情况下的模方程根；

所述步骤5具体如下：

令

判断所述步骤4修正后的模方程根是否满足式(29)的结果小于预设精度Eps2，若未满足，则返回步骤4，若满足，则输出模方程根并结束，输出的结果即为实际的地层和电离层情况下的模方程根t_n。