CN111964876B - 基于lrte-nufft的平行平板光学均匀性的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于低秩近似和泰勒展开的非均匀快速傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法。首先使用菲索型波长移相干涉仪进行波长调谐移相干涉，分别获得放置待测平行平板和空腔下的干涉图；接着，对干涉图各点的干涉光强数据，进行基于低秩近似和泰勒展开的非均匀快速傅里叶变换，将其转化至频域进行频谱分析；最后，提取不同干涉腔长下对应的频率分量进行逆傅里叶变换获得干涉图的相位信息。将其恢复为波面信息后，计算得到待测平行平板的光学均匀性。本发明采用基于LRTE‑NUFFT的频谱分析法，不需要采用过采样技术，可以大大节约计算机运行时的内存空间，快速计算非均匀干涉数据的频谱估计。

Description

基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法

技术领域

本发明涉及光干涉计量测试领域，特别是一种基于低秩近似和泰勒展开的非均匀快速傅里叶变换(LRTE-NUFFT)的平行平板光学均匀性的测量方法。

背景技术

光学平行平板是一种常用的光学元件，其光学性能的好坏直接影响系统的正常运行。其中，光学均匀性是评价光学平行平板性能的一项重要指标，反映的是同一块光学材料内部折射率的不一致性。如果光学平行平板的光学均匀性差，会直接引起透射波前的变化，改变光学系统的波像差，进而影响光学系统的性能。因此，对光学平行平板的光学均匀性高精度的测量，是十分必要且具有重要的实际意义。

在众多的光学均匀性测量方法中，干涉测量法是精度最高的测量方法。干涉测量法包括有样品翻转法、直接测量法和绝对测量法等。其中绝对测量法于1991年由Chiayu Ai和James C·Wyant等人在《Measurement of the inhomogeneity of a window》(Journalof Fluids Engineering,1991,30(9):602-610)提出，不断发展至今，由于其将待测材料的前后表面的面形误差和干涉仪的系统误差考虑在内，具有很高的检测精度。DeGroot等人在《Grating interferometer for flatness testing》(ol/21/3/ol-21-3-228.pdf,1996,21(3):228-0)中将两片衍射光栅置于平行平板前，光束透过时先经过衍射分束再合束，可以通过控制入射角度使其合束于样品的某一表面，避免了前后表面干涉的影响。Novak等人在《Analysis of a micropolarizer array-based simultaneous phase-shiftinginterferometer》提出基于微偏振阵列的移相干涉仪，采用短相干偏振光干涉获得特定表面的干涉从而测量光学均匀性。

为了避免硬件移相带来的移相误差，Deck等人在《Multiple-surface phase-shifting interferometry》(Proceedings of SPIE-The International Society forOptical Engineering,2001,4451:424-431.)提出基于波长调谐时域傅里叶变换的平行平板类光学元件的光学均匀性测量方法。该方法使用波长移相干涉仪，分别对光学平行平板干涉腔和空腔进行测量，将待测平板和参考面之间的干涉条纹分离，实现对光学均匀性高精度的测量，但是该方法需要采集大量干涉图，且非均匀移相产生的移相误差在一定程度会影响测量结果。在2019年，郭仁慧等人在《Optical homogeneity measurement ofparallel plates by wavelength-tuning interferometry using nonuniform fastFourier transform》(Opt Express 2019；27(9):13072-13082)又提出一种基于快速高斯网格非均匀快速傅里叶变换的平行平板光学均匀性测量方法，该方法可以有效解决非均匀移相问题，但还是需要大量计算。本文提出的测量方法，在解决非均匀移相干扰的基础上，计算量小，可以节约计算机运行时的存储空间。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法，避免使用过采样技术，在减少运算量和储存空间的同时，对非均匀干涉数据的频谱估计进行快速计算。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法，包括以下步骤：

步骤1，在菲索波长移相干涉仪的干涉腔内，依次放置透射参考平面T、待测平行平板(设前表面为A，后表面为B)和反射参考平面R；设置移相步长和采集干涉图数量N，其中干涉图数量N满足N＝2ⁿ，n为符合精度需要的正整数；然后进行移相采样，得到N幅干涉图的干涉光强数据。由于待测平行平板面积要比透射平板和反射平板小，所得的每一幅干涉图的干涉光强数据分为非多表面干涉叠加区域(仅平面T和R参与干涉)和多表面干涉叠加区域(平面T、A、B和R均参与干涉)，采集多表面干涉叠加区域的非均匀干涉数据，记为非均匀干涉数据c，转入步骤2；

步骤2，选取上述每幅干涉图的非多表面干涉叠加区域，对其进行相位恢复，计算得到每次波长移相的非均匀移相量

将所有的非均匀移相量的集合记为原始非均匀采样序列x_j，转入步骤3；

步骤3，通过所需测量精度ε与不等间隔的移相量中的最大偏移量γ计算秩参数K，然后由K值和原始非均匀采样序列x_j计算低秩矩阵A_K以及向量u、v，转入步骤4；

步骤4，将向量u、v与步骤1中干涉图中的多表面干涉区域的单个像素点的非均匀干涉数据c进行矩阵计算，得到频谱数据f，完成了对该像素点的非均匀离散傅里叶变换；然后以相同的方式对多表面干涉区域的所有像素点进行计算，得到频谱数据集F_deconv，转入步骤5；

步骤5，对频谱数据集F_deconv中的峰值区域加窗提取，进行逆傅里叶变换，得到各组干涉条纹对应的相位信息，将其转化为波面信息W₁～W₆，转入步骤6；

步骤6，进行空腔测量，保持干涉腔内透射参考平面T和反射参考平面R的位置固定不变，将待测平行平板撤去，进行波长调谐移相测量，以相同方式计算得到波面信息W₇，转入步骤7；

步骤7，综合波面信息W₁～W₇，计算得到待测平行平板光学均匀性信息Δn。

本发明与现有测量技术相比，其显著优点：(1)无需使用过采样技术，节约了计算机运行时的存储空间。(2)可以减少波长调谐非线性移相带来的系统误差，解决了FFT不能直接处理非均匀数据的问题。(3)操作简单，只需测量两次。

附图说明

图1为本发明的基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法流程示意图。

图2为本发明的波长调谐干涉测量原理示意图。

图3为本发明的波长调谐干涉采样所得干涉图。

图4为本发明的波长调谐干涉采样过程中存在非线性误差的移相量示意图。

图5为本发明的干涉条纹数据经非均匀傅里叶变换后所得频谱图。

图6为本发明的仿真模拟结果图，其中图(a)为模拟结果图，图(b)是相机干涉计算结果图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步说明。

结合图1，本发明的一种基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法，包括以下步骤：

步骤1，在菲索波长移相干涉仪的干涉腔内，依次放置透射参考平面T、待测平行平板(设前表面为A，后表面为B)和反射参考平面R；设置移相步长和采集干涉图数量N，其中干涉图数量N满足N＝2ⁿ，n为符合精度需要的正整数；然后进行移相采样，得到N幅干涉图的干涉光强数据。由于待测平行平板面积要比透射平板和反射平板小，所得的每一幅干涉图的干涉光强数据分为非多表面干涉叠加区域(仅平面T和R参与干涉)和多表面干涉叠加区域(平面T、A、B和R均参与干涉)。如图2所示，TF为透射参考镜，RF为反射参考镜，中间为待测平行平板，T、A、B和R依次为TF的反射面、待测平行平板的前、后表面和RF的反射面。若仅考虑一次反射，多表面干涉叠加区域一共产生T和A、T和B、T和R、A和B、A和R与B和R六组干涉条纹，每组干涉条纹的光强c_i可表示为：

δ_i≈-4πh_ikΔλ/λ₀ ² (3)

非均匀干涉数据c即为六组干涉数据叠加形成：

式中，a_i为背景光强，b_i为光强调制度，

为初始相位，δ_i为移相量，λ₀为初始波长，h_i为干涉腔长，W_i为光程差，k为移相次数，Δλ为移相时的波长变换量，i＝1～6。

步骤2，选取上述每幅干涉图的非多表面干涉叠加区域，进行相位恢复，计算得到每次波长移相的非均匀移相量

将所有的非均匀移相量的集合记为原始非均匀采样序列x_j。如图3所示，由于干涉腔截面面积要大于待测平行平板截面面积，仅有中间待测平行平板截面部分是多表面干涉叠加区域，其余部分为非多表面干涉叠加区域，即仅T和R产生的干涉。利用傅里叶变换相位测量法对非多表面干涉叠加区域的干涉数据进行相位重建，可得到对应的移相量。傅里叶变换相位测量法也称作附加空间线性载频相位测量法，它通过使T和R的反射光产生一个固定的夹角，即可在条纹图中引入线性变化的相位，一般来说，为了简化计算，这里只考虑相位沿着x轴方向变化，第l幅干涉图中该区域的干涉条纹光强为：

I_l(x)＝a_l+b_l cos(φ_l+2πf_xx) (5)

式中，φ_l为总相位，即初始相位与移相量之和，f_x为干涉条纹的空间频率，l＝2～N。

利用欧拉公式对公式(5)进行变形得：

式中，i为虚数。

对公式(6)两边同时进行傅里叶变换，得：

式中，a_lδ(0)为直流项，频谱出现了干涉光强频率的正负一级旁瓣，干涉图的相位φ_l被锁定在幅度谱的峰值位置f_v＝±f_x中,使用合适的滤波器，选取正一级(或负一级)谱进行加窗处理，得频谱Ψ(f_v)：

对公式(8)进行逆傅里叶变换，得：

对公式(9)取幅角计算，可得相位φ_l：

对N幅干涉图进行同样的操作，计算得到每幅干涉图相对应的相位φ_l，即可得到每次波长移相的非均匀移相量

式中，k＝1～N。将所有的非均匀移相量的集合记为原始非均匀采样序列x_j：

所得的原始非均匀采样序列如图4所示。

步骤3，通过所需测量精度ε与不等间隔的移相量中的最大偏移量γ计算秩参数K，然后由K值和原始非均匀采样序列x_j计算低秩矩阵A_K以及向量u、v。为了与单位矩阵I区分，将非均匀干涉数据改用c表示，c＝(c₁，c₂，c₃，...，c_N)^T，原始非均匀采样序列x_j归一化至[0,1]之间，x_j＝(x₁，x₂，x₃，...，x_N)^T。c的非均匀离散傅里叶变换为：

式中，1<<j，k<<N。令

F_jk＝e^-2πijk/N(下文分别用F₂、A、F简化表示)，则：

式中，

为哈达玛积，即若C_ij＝A_ij×B_ij，

如果采样是近似均匀采样，即采样点x_j与其理想均匀采样点j/N存在参数0＜＜γ＜＜1/2,满足

这时

足够小，A_jk可以近似为一个秩为K的低秩矩阵，分解成两个向量的乘积：

令x＝(x₀，x₁，...，x_N-1)^T，e＝(0，1/N，...，(N-1)/N)^T，ω＝(0，1，...，N-1)^T，可以得到：

式中，A为

的简化，K为与精度ε和最大偏移量γ相关的整数，当多项式由无穷多项式近似为有限多项式，近似成K项时刚好能满足精度要求，此时多项式数量即为K值，有||A-A_K||_max≤ε时，

根据公式(17)即可得到向量u和v：

u＝(N(x-j/N))^r (18)

步骤4，将向量u、v与步骤1中干涉图中的多表面干涉区域的单个像素点的非均匀干涉数据c进行矩阵计算，得到频谱数据f，完成了对该像素点的非均匀离散傅里叶变换。将公式(13)改写成矩阵形式，有：

f＝F₂·c (20)

由公式(14)以及A近似于A_K的关系，有：

式中，F₂为

的简化，F为F_jk＝e^-2πijk/N的简化，D_u和D_v为对角矩阵，u向量的值位于矩阵D_u的对角线上，v向量的值位于矩阵D_v的对角线上。然后以相同的方式对多表面干涉区域的所有像素点进行计算，得到频谱数据集F_deconv。

步骤5，对频谱数据集F_deconv中的峰值区域加窗提取，进行逆傅里叶变换，得到各组干涉条纹对应的相位信息，将其转化为波面信息W₁～W₆。如图5所示，在多表面干涉区域每个像素点的频谱数据f包含六个峰值，分别对应六组不同干涉条纹的腔长值。对每个像素点的六个频率峰值分别进行加窗提取，逆傅里叶变换，得到整个多表面干涉区域在每一组干涉条纹频率下的相位信息，再通过解包裹、消倾斜，就可以获取相对应的波面信息W₁～W₆。各波面信息与干涉腔长的关系如下表所示：

表1各组条纹的光程差以及干涉腔长

序号	干涉表面	光程差	干涉腔长
				1	T和A	W<sub>1</sub>＝2A-2T	h<sub>1</sub>＝L<sub>1</sub>
2	T和B	W<sub>2</sub>＝2A-2T+2n<sub>0</sub>(B-A)+2Δn·t	h<sub>2</sub>＝2(L<sub>1</sub>+n<sub>0</sub>t)
				3	T和R	W<sub>3</sub>＝2R-2T+2n<sub>0</sub>(B-A)+2Δn·t+2A-2B	h<sub>3</sub>＝2(L<sub>1</sub>+L<sub>2</sub>+n<sub>0</sub>t)
4	A和B	W<sub>4</sub>＝2n<sub>0</sub>(B-A)+2Δn·t	h<sub>4</sub>＝2n<sub>0</sub>t
				5	A和R	W<sub>5</sub>＝2R+2n<sub>0</sub>(B-A)+2Δn·t-2B	h<sub>5</sub>＝2(L<sub>2</sub>+n<sub>0</sub>t)
6	B和R	W<sub>6</sub>＝2R-2B	h<sub>6</sub>＝2L<sub>2</sub>

表中，n₀为待测平行平板的折射率，t为待测平行平板的厚度。

步骤6，进行空腔测量，保持干涉腔内透射参考平面T和反射参考平面R的位置固定不变，将待测平行平板撤去，进行波长调谐移相测量，得到波面信息W₇。此时干涉条纹仅由T和R干涉产生，波面信息W₇和干涉腔长分别为：

W₇＝2R-2T (22)

h₇＝2(L₁+L₂+t) (23)

步骤7，综合波面信息W₁～W₇，计算得到待测平行平板光学均匀性信息Δn：

实施例

为了验证算法的可行性，利用测得的波前数据，对透射参考平面T、反射参考平面R、待测板前表面A及待测板后表面B的表面轮廓和待测板的光学均匀性进行模拟，并用二次方程模拟出不均匀的相移，通过公式(1)～(4)模拟出干涉结果。然后采用本文算法对模拟出的干涉结果进行计算，得到待测板的光学均匀性，将其与模拟的光学均匀性进行比较，即可验证算法的可行性。

假设L₁＝45mm，t＝60mm，L₂＝165mm，n₀＝1.5，再根据波长调谐激光器的波长与控制电压之间的非线性关系，设置二次系数为0.0065nm/V，以获得不均匀的相移。通过模拟共生成六组干涉条纹，然后通过叠加这六组强度获得总干涉强度，一共获得了256个相移干涉图。最后，通过本文提出的算法对256幅相移干涉图进行计算得出光学均匀性分布，并与模拟的光学均匀性分布进行比较。如图6所示，左图为模拟的光学均匀性分布，右图为通过相移干涉图计算得到的光学均匀性分布，两者的光学均匀性分布基本一致，说明此算法具有可行性。

Claims (6)

1.一种基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，在菲索波长移相干涉仪的干涉腔内，依次放置透射参考平面T、待测平行平板和反射参考平面R；所述待测平行平板前表面为A、后表面为B，设置采集干涉图数量N和移相步长，其中干涉图数量N满足N＝2ⁿ，n为符合精度需要的正整数；进行移相采样，得到N幅干涉图的干涉光强数据；由于待测平行平板面积要比透射平板和反射平板小，所得的每一幅干涉图的干涉光强数据分为非多表面干涉叠加区域和多表面干涉叠加区域，采集多表面干涉叠加区域的非均匀干涉数据，记为非均匀干涉数据c，转入步骤2；

步骤2，选取上述每幅干涉图的干涉光强数据中非多表面干涉叠加区域，对其进行相位恢复，计算得到每次波长移相的非均匀移相量

将所有的非均匀移相量的集合记为原始非均匀采样序列x_j，转入步骤3；

步骤3，通过所需测量精度ε与不等间隔的移相量中的最大偏移量γ计算秩参数K，由K和原始非均匀采样序列x_j计算低秩矩阵A_K以及向量u、v，所述低秩矩阵A_K以及向量u、v，计算公式如下：

u＝(N(x-j/N))^r (18)

式中，A为中间变量

的简化，x,e和ω均为中间变量，x＝(x₀,x₁,…,x_N-1)^T，e＝(0,1/N,…,(N-1)/N)^T，ω＝(0,1,…,N-1)^T，K为与最大偏移量γ和精度ε有关的整数，N为采集的干涉图数量；

转入步骤4；

步骤4，将向量u、v与步骤1中多表面干涉区域的单个像素点的非均匀干涉数据c进行矩阵计算，得到频谱数据f，完成了对该像素点的非均匀离散傅里叶变换；再以相同的方式对多表面干涉区域的所有像素点进行计算，得到频谱数据集F_deconv，转入步骤5；

步骤5，对频谱数据集F_deconv中的峰值区域加窗提取，进行逆傅里叶变换，得到各组干涉条纹对应的相位信息，将其转化为波面信息W₁～W₆，转入步骤6；

步骤6，进行空腔测量，保持菲索波长移相干涉仪的干涉腔内透射参考平面T和反射参考平面R的位置固定不变，将待测平行平板撤去，进行波长调谐移相测量，以相同方式计算得到波面信息W₇，转入步骤7；

步骤7，综合波面信息W₁～W₇，计算得到待测平行平板光学均匀性信息Δn。

2.根据权利要求1所述的基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于：所述干涉图的干涉光强数据中的非多表面干涉叠加区域为透射参考平面T和反射参考平面R参与干涉的区域；多表面干涉叠加区域为透射参考平面T、待测平行平板前表面A、待测平行平板后表面B和反射参考平面R均参与干涉的区域。

3.根据权利要求1所述的基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于：上述步骤1的干涉图中干涉光强数据的多表面干涉叠加区域，由六组不同腔长下的多表面干涉叠加形成，各组干涉条纹的光强c_i为：

δ_i≈-4πh_ikΔλ/λ₀ ² (3)

非均匀干涉数据c即为六组干涉数据叠加形成：

式中，a_i为背景光强，b_i为光强调制度，

为初始相位，δ_i为移相量，λ₀为初始波长，h_i为干涉腔长，W_i为光程差，k为移相次数，Δλ为移相时的波长变换量，i＝1～6。

4.根据权利要求1所述的基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于：所述步骤2所述原始非均匀采样序列x_j为每一次非均匀移相量的集合，公式如下：

式中，

为每次波长移相的非均匀移相量，φ_l为相位恢复得到的第l幅干涉图的总相位，k＝1～N，l＝2～N。

5.根据权利要求1所述的基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于：所述步骤4所述频谱数据f，其计算公式为：

式中，F₂为中间变量

的简化，F为中间变量F_jk＝e^-2πijk/N的简化，D_u和D_v为对角矩阵，u向量的值位于矩阵D_u的对角线上，v向量的值位于矩阵D_v的对角线上，°为哈达玛积，即若C_ij＝A_ij×B_ij，C＝A°B。

6.根据权利要求1所述的基于LRTE-NUFFT的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于：所述步骤7所述待测平行平板光学均匀性信息Δn，计算公式为：

式中，W₁～W₇依次为透射参考平面T和待测平行平板前表面A、透射参考平面T和待测平行平板后表面B、透射参考平面T和反射参考平面R、待测平行平板前表面A和待测平行平板后表面B、待测平行平板前表面A和待测平行平板后表面R、待测平行平板后表面B和反射参考平面R以及空腔测量干涉下的波面信息，n₀为待测平行平板的折射率，t为待测平行平板的厚度。

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