CN111618858B - 一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法，采用滑模控制实现机械手轨迹跟踪，并通过自适应模糊逻辑系统调节滑模控制算法的切换增益，减小滑模控制抖振；再针对未建模动态以及外部扰动的影响，采用鲁棒控制器进行补偿。通过对二自由度机械手进行仿真实验表明，在本发明公开的基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法作用下，滑模控制输入信号平滑，机械手具有较高的轨迹跟踪精度。

Description

一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法

技术领域

本发明属于机械手系统控制技术领域，具体是一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法。

背景技术

多关节机械手系统具有强耦合、时变、非线性等特点，近年来，机械手高精度控制吸引了学术界和工业界的广泛关注。目前对机械手关节空间的轨迹跟踪问题的研究，已经取得了一系列的成果，提出了滑模控制、自适应控制以及鲁棒控制等控制算法。其中，滑模控制器算法简单、对参数变化和扰动具有较强的鲁棒性，特别适合机械手这类非线性系统的高精度跟踪控制。但滑模控制存在高频抖振问题，振动大小受滑模控制器切换增益大小的影响，通常为了保证系统稳定而选择足够大的切换增益，从而加剧滑模控制的抖振现象。这种抖振可能会引起系统中存在的未建模高频成分，甚至造成系统不稳定。

模糊控制由于具有万能逼近特性，可以逼近紧集内的任意连续函数，且不依赖于系统模型，在机器人的自适应控制中得到了广泛的应用。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法，该算法能够有效消除滑模控制算法产生的抖振，并且实现机械手的精确轨迹跟踪。

总体来讲，本发明的一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法，在滑模控制器的基础上，采用模糊逻辑系统自适应调节滑模控制器的切换增益，有效消除滑模控制算法的抖振。其次，考虑机械手参数不确定性、未建模动态以及外部扰动等因素，会降低控制器性能，引入鲁棒控制器，对外部扰动及未建模动态等不确定性进行补偿，实现机械手的精确轨迹跟踪。

另外大部分工业机械手，都是通过末端执行器在任务空间中完成作业，机械手的期望轨迹也是用任务空间来描述，因此要实施关节空间控制，需要将机械手任务空间坐标转换成关节空间，再通过高性能的机械手关节空间跟踪控制算法作用，实现机械手高精度跟踪控制的要求

为解决上述技术问题，本发明采用以下技术方案：

一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法，包括以下步骤：

1)建立机械手任务空间轨迹模型

以两关节机械手为例，以机械手起始端节点为直角坐标系原点，任务空间轨迹模型包括位于直角坐标系内的机械手，机械手末端节点运动坐标为(x,y)，机械手第一连杆质量为m₁，机械手第二连杆质量为m₂，机械手第一连杆长度为l₁，机械手第二连杆长度为l₂，第一关节角为q₁，第二关节角为q₂。

2)将机械手任务空间轨迹转换为关节空间轨迹

将机械手任务空间轨迹转换为关节空间轨迹，即为将任务空间中的机械手末端节点运动坐标(x,y)转换为二关节角位置(q₁,q₂)，得到：

其中，

3)建立机械手动力学模型

机械手动力学方程为：

其中，_q,

和

分别表示各个关节角位移、速度和加速度矢量。M(q)为n×n阶对称正定的惯量矩阵，

为n×1阶离心力和哥氏力矩阵，G(q)为n×1阶重力矩阵。d∈Rⁿ表示外部扰动，τ∈Rⁿ为各关节控制转矩向量，即控制输入。

4)设计基于自适应模糊控制的滑模控制器

定义滑模函数为：

其中，e＝q_d-q，

q_d为关节期望轨迹。Λ为正定对角常数矩阵。

定义辅助信号：

设计滑模控制器为

其中，

分别为M(q),

G(q)的估计值，K,A为正定矩阵。结合式(10-11)，并将式(12)代入机械手动力学方程(6)得：

令

整理式(13)，可得

其中

为未建模动态以及扰动项。

定义李雅普诺夫函数

其中，M代表公式(6)中的惯量矩阵M(q)，

求导，将式(8)带入，得

将式(17)带入上式，得出

其中，C代表离心力和哥氏力矩阵

假设

有界，满足||Δf||≤K

则

5)设计模糊系统

本发明采用基于乘积推理方法和中心平均反模糊器设计模糊系统，来自适应调节滑模控制的切换增益K。令K＝[k₁,…,k_i,…k_n]^T，k_i为第i个模糊系统的输出。

模糊系统的输出为

其中θ＝[y¹,…,y^m]^T为参数向量，ξ(x)＝[ξ₁(x),…,ξ_m(x)]^T，m为模糊规则数量

定义

由式(21)可见，为了保证

应使s^TK≥0，s＝[s₁,…,s_i,…s_n]^T，且应满足s^TΔf-s^TKsgn(s)≤0，则s_i与k_i应取同号，且|s_i|与|k_i|应变化趋势一致。

以s_i为模糊系统的输入，切换增益k_i作为输出，对输入、输出变量进行模糊化处理。系统输入和输出的模糊量分别用负中、负小、零、正小、正中，这5个变量来描述。模糊推理规则如表1所示。

表1模糊推理规则

用于表示模糊集的隶属函数设计为

则第i个模糊系统的输出为：

取

为Δf_i的逼近，根据万能逼近定理，存在ω_i＞0，有

选择自适应律为

则基于自适应模糊切换增益控制的滑模控制律为：

6)设计自适应鲁棒控制器

设计鲁棒控制器为

式中，ε为一个很小的正常数,β为扰动及不确定上界，满足：

||Δf||≤β＝ρμ (30)

式中，ρ＝max(1,||e||,||e||²)为系数向量；μ为系统的不确定项，其值采用以下自适应算法自动调节：

式中，γ为正定常数矩阵。并满足

因此，自适应鲁棒控制器u_r可以重新描述为

则总的控制律为

u＝u₀+u_r (33)

本发明公开的一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法，是针对具有参数不确定和外界扰动的机械手控制系统，提出的一种自适应模糊滑模鲁棒跟踪控制算法。本发明算法结合了自适应模糊控制、滑模控制以及鲁棒控制算法，实现了对建模误差和干扰的补偿，削弱了滑模控制抖振，保证了不确定机械手系统的精确轨迹跟踪。

附图说明

图1是本发明实施例中两关节机械手任务空间轨迹模型示意图；

图2是本发明基于自适应模糊控制的滑模鲁棒控制系统框图；

图3是本发明实施例中基于固定增益的滑模控制输入信号曲线图；

图4是本发明实施例中基于模糊自适应增益的滑模控制输入信号曲线图；

图5是本发明实施例中两关节自适应增益变化曲线图；

图6是本发明实施例中第一关节和第二关节的位置跟踪曲线图；

图7是本发明实施例中第一关节和第二关节的跟踪误差曲线图；

图8是本发明实施例中机械臂末端轨迹跟踪曲线图；

图9是本发明实施例中机械臂位姿运动轨迹图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明提出的一种伺服系统轮廓误差的控制算法进行详细说明。在本发明的描述中，需要理解的是，术语“左侧”、“右侧”、“上部”、“下部”、“底部”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，“第一”、“第二”等并不表示零部件的重要程度，因此不能理解为对本发明的限制。本实施例中采用的具体尺寸只是为了举例说明技术方案，并不限制本发明的保护范围。

本发明公开的一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法，包括以下步骤：

1)建立机械手任务空间轨迹模型

如图1所示，m₁和m₂为机械手两连杆质量，l₁和l₂为两连杆长度，s₁和s₂分别为质心到转动关节的距离，q₁和q₂为两关节角。

机械手轨迹跟踪是指在任务空间内机械手末端执行器跟踪期望轨迹，然而大多数机械手的执行结构是安装在机械手本体及各关节上，使得机械手在关节空间内的轨迹跟踪是使机器人的各关节角逐个地跟踪给定的各期望关节角。因此，为了能在关节空间实现控制，首先需要把任务空间轨迹转换为关节空间轨迹。

2)将机械手任务空间轨迹转换为关节空间轨迹

将任务空间中的机械手末端节点运动坐标(x,y)转换为二关节角位置(q₁,q₂)。

根据图1可得：

x＝l₁cosq₁+l₂cos(q₁+q₂) (1)

y＝l₁sinq₁+l₂sin(q₁+q₂) (2)

将式(1)平方加上式(2)的平方，可得

x²+y²＝l₁ ²+l₂ ²+2l₁l₂cosq₂ (3)

从而可得到

取

则

3)建立机械手动力学模型

机械手是一类复杂的多输入多输出非线性时变系统，其动力学方程可描述为

其中，q,

和

分别表示各个关节角位移、速度和加速度矢量.M(q)为n×n阶对称正定的惯量矩阵，

为n×1阶离心力和哥氏力矩阵，G(q)为n×1阶重力矩阵。d∈Rⁿ表示外部扰动，τ∈Rⁿ为各关节控制转矩向量，即控制输入。

机器人动力学系统具有如下动力学特性：

性质1：惯性矩阵M(q)为对称正定矩阵，且对于所有的q是一致有界的，即存在正数λ_m，λ_M，使满足

0＜λ_mI≤M(q)＜λ_MI (7)

性质2：

为斜对称矩阵，即对任意向量

有

特性3：重力项G(q)满足对所有的q∈Rⁿ一直有界。

以下进行控制器设计：

针对机械手轨迹跟踪，设计了一个基于自适应模糊的滑模鲁棒控制算法。控制系统框图如图2所示。

4)设计基于自适应模糊控制的滑模控制器

定义滑模函数为

其中，e＝q_d-q，

q_d为关节期望轨迹，轨迹由机械臂末端座标移动形成。Λ为正定对角常数矩阵。

定义辅助信号

设计滑模控制器为

其中，

分别为M(q),

G(q)的估计值，K,A为正定矩阵。

结合式(10-11)，并将式(12)代入机械手动力学方程(6)得：

令

整理式(13)，可得

其中

为未建模动态以及扰动项。

定义李雅普诺夫函数

其中，M代表公式(6)中的惯量矩阵M(q)，

求导，将式(8)带入，得

将式(17)带入上式，得出

其中，C代表离心力和哥氏力矩阵

假设

有界，满足||Δf||≤K

则

系统稳定。

滑模控制器简单有效，但滑模控制律中，抖振是该解决的主要问题，其中切换增益K是造成抖振的主要原因，K越大，抖振越明显。K用于补偿外部扰动的影响，若要充分补偿需要采取足够大的切换增益值，进一步加剧了系统抖振。

为了解决滑模控制固定增益存在抖振的问题，在滑模控制器中加入自适应模糊控制，用模糊控制器自适应调节切换增益值，使得滑模控制器切换增益可以随时间调整，从而改善抖振现象。

5)设计模糊系统

本实施例中，采用基于乘积推理方法和中心平均反模糊器设计模糊系统，来自适应调节滑模控制的切换增益K。令K＝[k₁,…,k_i,…k_n]^T，k_i为第i个模糊系统的输出。

模糊系统的输出为

其中θ＝[y¹,…,y^m]^T为参数向量，ξ(x)＝[ξ₁(x),…,ξ_m(x)]^T，m为模糊规则数量

定义

由式(21)可见，为了保证

应使s^TK≥0，s＝[s₁,…,s_i,…s_n]^T，且应满足s^TΔf-s^TKsgn(s)≤0，则s_i与k_i应取同号，且|s_i|与|k_i|应变化趋势一致。

以s_i为模糊系统的输入，切换增益k_i作为输出，对输入、输出变量进行模糊化处理。系统输入和输出的模糊量分别用负中、负小、零、正小、正中，这5个变量来描述。模糊推理规则如表1所示。

表1模糊推理规则

用于表示模糊集的隶属函数设计为

则第i个模糊系统的输出为：

取

为Δf_i的逼近，根据万能逼近定理，存在ω_i＞0，有

选择自适应律为

则基于自适应模糊切换增益控制的滑模控制律为

6)设计自适应鲁棒控制器

这部分针对未建模动态和外部扰动d，设计鲁棒控制项来消除其影响。

设计鲁棒控制器为

式中，ε为一个很小的正常数,β为扰动及不确定上界，满足：

||Δf||≤β＝ρμ (30)

式中，ρ＝max(1,||e||,||e||²)为系数向量；μ为系统的不确定项，其值采用以下自适应算法自动调节：

式中，γ为正定常数矩阵。并满足

因此，自适应鲁棒控制器u_r可以重新描述为

则总的控制律为

u＝u₀+u_r (33)

仿真分析：

为了验证本实施例设计控制器的有效性，以二连杆机械手为对象进行仿真研究。其动力学方程具体表达式如下：

其中，

C₁₂＝C₂₁＝m₂l₁s₂sinq₂

G₂＝2m₂l₁s₂gcos(q₁+q₂)

其中，g为重力加速度。

机械手对象仿真参数如表2所示

表2两自由度机械手仿真参数

选取机械手任务空间跟踪运动轨迹

初始位置为[x_d0 y_d0]＝[-0.25 0]^T。两关节扰动分别选取函数d_x＝sin(πt)，d_y＝sin(2πt)。

为了能在关节空间实施控制，根据前述内容，进行逆向求解得到关节期望轨迹以及初始关节角度。

滑模控制器参数为Λ＝diag(10,10),A＝diag(150,150)，鲁棒控制器参数为γ＝2,ε＝0.01。选择模糊隶属函数为μ_NM(x_i)＝exp[-((x_i+π/6)/(π/24))²],μ_NS(x_i)＝exp[-((x_i+π/12)/(π/24))²],μ_Z(x_i)＝exp[-(x_i/(π/24))²],μ_PS(x_i)＝exp[-((x_i-π/12)/(π/24))²],μ_PM(x_i)＝exp[-((x_i-π/6)/(π/24))²]，

首先采用基于固定增益(K＝diag(15,15))的传统滑模控制律以及基于模糊自适应增益调整的滑模控制律分别进行仿真，以体现自适应模糊控制调整滑模切换增益对改善滑模控制抖振现象的效果。两种情况滑模控制输入信号如图3和图4所示。

从图3和图4中可以直观的看出，采用固定增益的滑模控制算法，滑模控制输入信号具有较明显的抖振，而采用基于模糊自适应增益调整的机器人滑模控制，有效的改善了抖振现象，控制输入信号平滑。两关节增益自适应变化如图5所示。

将本实施例提出的自适应模糊滑模鲁棒控制器用于两关节机械手轨迹跟踪，仿真结果如图6-9所示。其中，图6为两关节位置跟踪，其中图中上面一条曲线表示期望关节轨迹，图中下面一条曲线为实际跟踪轨迹。图7为两关节跟踪误差。图8为机械手任务空间末端轨迹跟踪。图9为机械手位姿运动轨迹。

从仿真结果可以看出，该机械手控制方法具有较高的轨迹跟踪精度，除了初始阶段有微小的跟踪误差，基本实现跟踪误差为零的高精度跟踪。

基于对本发明优选实施方式的描述，应该清楚，由所附的权利要求书所限定的本发明并不仅仅局限于上面说明书中所阐述的特定细节，未脱离本发明宗旨或范围的对本发明的许多显而易见的改变同样可能达到本发明的目的。

Claims (1)

1.一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立机械手任务空间轨迹模型

以机械手起始端节点为直角坐标系原点，任务空间轨迹模型包括位于直角坐标系内的机械手，机械手末端节点运动坐标为(x,y)，机械手第一连杆质量为m₁，机械手第二连杆质量为m₂，机械手第一连杆长度为l₁，机械手第二连杆长度为l₂，第一关节角为q₁，第二关节角为q₂；

2)将机械手任务空间轨迹转换为关节空间轨迹

将机械手任务空间轨迹转换为关节空间轨迹，即为将任务空间中的机械手末端节点运动坐标(x,y)转换为二关节角位置(q₁,q₂)，得到：

其中，

3)建立机械手动力学模型

机械手动力学方程为：

其中，_q,

和

分别表示各个关节角位移、速度和加速度矢量；M(q)为n×n阶对称正定的惯量矩阵，

为n×1阶离心力和哥氏力矩阵，G(q)为n×1阶重力矩阵；d∈Rⁿ表示外部扰动，τ∈Rⁿ为各关节控制转矩向量，即控制输入；

4)设计基于自适应模糊控制的滑模控制器

定义滑模函数为：

其中，e＝q_d-q，

q_d为关节期望轨迹；Λ为正定对角常数矩阵；

定义辅助信号：

设计滑模控制器为

其中，

分别为M(q),

G(q)的估计值，K,A为正定矩阵；

结合式(10-11)，并将式(12)代入机械手动力学方程(6)得：

令

整理式(13)，可得

其中

为未建模动态以及扰动项；

定义李雅普诺夫函数

其中，M代表公式(6)中的惯量矩阵M(q)，

求导，将式(8)带入，得

将式(17)带入上式，得出

其中，C代表离心力和哥氏力矩阵

假设

有界，满足||Δf||≤K

则

5)设计模糊系统

采用基于乘积推理方法和中心平均反模糊器设计模糊系统，来自适应调节滑模控制的切换增益K；令K＝[k₁,…,k_i,…k_n]^T，k_i为第i个模糊系统的输出；

模糊系统的输出为

其中θ＝[y¹,…,y^m]^T为参数向量，ξ(x)＝[ξ₁(x),…,ξ_m(x)]^T，m为模糊规则数量

定义

由式(21)可见，为了保证

应使s^TK≥0，s＝[s₁,…,s_i,…s_n]^T，且应满足s^TΔf-s^TKsgn(s)≤0，则s_i与k_i应取同号，且|s_i|与|k_i|应变化趋势一致；

以s_i为模糊系统的输入，切换增益k_i作为输出，对输入、输出变量进行模糊化处理；系统输入和输出的模糊量分别用负中、负小、零、正小、正中，这5个变量来描述；模糊推理规则如表1所示；

表1模糊推理规则

用于表示模糊集的隶属函数设计为

则第i个模糊系统的输出为：

取

为Δf_i的逼近，根据万能逼近定理，存在ω_i＞0，有

选择自适应律为

则基于自适应模糊切换增益控制的滑模控制律为：

6)设计自适应鲁棒控制器

设计鲁棒控制器为

式中，ε为一个很小的正常数,β为扰动及不确定上界，满足：

||Δf||≤β＝ρμ (30)

式中，ρ＝max(1,||e||,||e||²)为系数向量；μ为系统的不确定项，其值采用以下自适应算法自动调节：

式中，γ为正定常数矩阵；并满足

因此，自适应鲁棒控制器u_r可以重新描述为

则总的控制律为

u＝u₀+u_r (33)。

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