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CN110543618A - 基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法 - Google Patents

基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法 Download PDF

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CN110543618A
CN110543618A CN201910845682.9A CN201910845682A CN110543618A CN 110543618 A CN110543618 A CN 110543618A CN 201910845682 A CN201910845682 A CN 201910845682A CN 110543618 A CN110543618 A CN 110543618A
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张珂
成果
刘思源
侯捷
郭长健
阎卫增
莫琼杰
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Abstract

本发明提供了一种基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，包括对被测对象进行圆度采样，获得一组测量点数据的采集；根据测量点数据拟合出圆，计算出圆度误差；进行多组测量点数据的采集，获得多个圆度误差，将多个圆度误差作为一组随机变量；建立随机变量概率密度函数，将根据随机变量计算生成样本原点矩代替理论原点矩作数学变化，构造概率密度的约束条件；将样本原点矩作为条件，以概率密度约束条件作为目标函数，得到圆度误差的概率密度函数；对概率密度函数进行数值积分计算概率密度的标准偏差实现圆度测量的不确定度评定。本发明能够实现小样本的圆度误差测量不确定度评定，具有算法收敛快、计算数值稳定的特点。

Description

基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法
技术领域
本发明涉及精密计量与计算机应用领域，具体地，涉及一种基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法。
背景技术
圆度误差作为评价圆柱零件的一个重要指标，在机械制造、电力、运输、航空航天、自动检测等领域中的精密测量工具和圆柱度零件高精度误差评定方面起着非常重要的作用。根据现代误差理论，在对工件尺寸进行测量时，不仅要获得尺寸测量结果，还必须包含结果的不确定度，在新一代产品几何技术规范(GPS)中，测量不确定度称为执行不确定度纳入体系。另外，几何误差的不确定度的评定必须在误差评定的基础上展开。
对于圆度误差的不确定度评定，过去的文献主要依据《测量不确定度指南》(guideto the expression of uncertainty in measurement，GUM)的基本原理和方法(GUM法)和蒙特卡洛仿真技术(MCM法)。GUM法需要求出各误差项的传递系数，再通过合成公式进行评定，计算过程复杂，尤其误差间相关性难以确定时，难以给出较为准确的不确定度评定值。MCM方法基于随机数原理，虽然不需要计算误差间传递系数和相关性，但需依据经验假定测量数据的概率统计分布情况，生成大样本的数据后通过对误差参数的统计特征进行评定。这两种方法针对圆度误差评定的小样本数据，均不能兼顾简化计算和避免假设的评定优势。
为实现主观假设少的不确定度评定，目前，利用最大熵原理按测量数据估计其概率分布及参数，得到概率密度函数(probability density function，PDF)，然后通过数值计算评定测量结果的不确定度。该评定过程的核心问题是在极大熵原理推导的约束条件下的PDF参数多变量寻优问题，一般采用梯度下降法、牛顿法或拟牛顿法等统计学习方法，但这几种方法均需要考虑目标函数导数问题，计算较为繁琐。另外，以上研究主要针对单一变量的测量不确定度评定，暂未推广至几何误差的不确定度评定。
针对以上描述，针对圆度误差等几何公差的小样本测量数据，不做分布假设的情况下的不确定度评定方法研究非常有限，尤其是引入智能寻优算法的过程中局限性非常大。
发明内容
针对现有技术中的缺陷，本发明的目的是提供一种基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，能够进行几何公差不确定度评定，实现小样本、无分布假设的圆度误差不确定度评定过程。
根据本发明提供的基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，包括如下步骤：
步骤S1：对被测对象进行圆度采样，获得一组测量点数据的采集；
步骤S2：根据所述测量点数据拟合出圆，获得拟合圆心坐标以及距拟合圆心距离最远测量点和最近测量点坐标，进而计算出圆度误差；
步骤S3：重复执行步骤S1进行多组测量点数据的采集，并对每组测量点数据分别执行步骤S2的计算出圆度误差，获得多个圆度误差，将多个圆度误差作为一组随机变量；
步骤S4：建立随机变量概率密度函数，将根据所述随机变量计算生成样本原点矩代替理论原点矩作数学变化，构造概率密度的约束条件；
步骤S5：将所述样本原点矩作为条件，以所述概率密度约束条件作为目标函数，进行参数寻优，得到概率密度函数未知参数，进而得到圆度误差的概率密度函数；
步骤S6：对所述概率密度函数进行数值积分计算概率密度的标准偏差实现圆度测量的不确定度评定。
优选地，所述步骤S1中采样方法具体为：每隔10度设置一个测量点，则对圆形的被测对象共设置36个测量点，获得一组测量点数据Pi(xi，yi)。
优选地，步骤S2具体为：根据所述测量点数据采用最小二乘法拟合圆，获得拟合圆心坐标以及距拟合圆心距离最远测量点坐标和最近测量点坐标，进而计算出圆度误差。
优选地，所述步骤S4中通过最大熵原理构造概率密度函数的一般形式和约束条件，具体构造过程如下：
步骤S401：在最大熵函数中引入Lagrange乘子λi(i＝1，2，…，n)，
其中，为引入乘子后的熵函数，H(x)为原熵函数，f(x)为随机变量的概率密度函数，λ0为拉格朗日乘子，n为正整数；
步骤S402：根据最大熵函数的极值条件，令得：
步骤S403：给出最大熵函数约束条件，其中函数条件为：
样本的第i阶原点矩mi为：
步骤S404：联立(2)、(3)、(4)可得：
步骤S405：将式(6)可看作含有未知参数λi(i＝1，2，…，n)的n个方程组，由于依据已知样本的圆度误差估计未知参数，参数的估值会有偏差，为估计出尽可能准确的λi，可令真实值与估计值的残差平方和尽可能小，做数学变换：
步骤S406：记残差ri，
当残差平方和R最小时，即：
得到一组λi的最优估值，即获得最大熵条件下的概率密度函数。
优选地，在步骤S5中，通过粒子群算法进行参数寻优时，设置粒子群算法的拟最大进化次数为100，种群规模为30，变量维数与样本原点矩阶数一致取3并对应到速度区间的设置，限定粒子位置区间[-200，200]。
优选地，步骤S6中，将先验分布与另一组随机变量的概率密度函数计算合成后验分布f(θ，x)的过程表示为：
f(θ，x)＝f(θ)f(x|θ) (10)
其中，f(θ)是先验分布，f(x|θ)是另一组随机变量的概率，通过贝叶斯原理可确定后验分布：
在f(x)＝∫f(θ)f(x|θ)dθ中，固定随机变量x，后验分布可简化为：
f(θ|x)∝f(θ)f(x|θ) (12)。
优选地，在步骤S6中，通过数值积分计算随机变量的样本期望及标准偏差，实现圆度测量不确定度评定。
本发明提供的零件的圆形面圆度不确定度评定方法，采用所述的基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法。
与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：
本发明提供的圆度误差测量不确定度评定方法，能够实现小样本、无分布假设的非统计评定过程，填补国标对于非统计方法的空白，为轴承等工程实际圆柱体零件保证测量精度、实现测量不确定度智能评定提供新方法，具有重要的理论意义和社会经济效益。
附图说明
通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：
图1是本发明评定过程实现的总体流程图。
图2是本发明中引入粒子群算法迭代流程图。
图3是本发明中粒子群算法迭代过程收敛图。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进。这些都属于本发明的保护范围。
在本发明实施例中，本发明提供的一种基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，包括以下步骤：
步骤S1：通过三坐标测量机对被测对象进行圆度采样，获得一组测量点数据的采集。
在本发明实施例中，具体采样方法为：每隔10度设置一个测量点，则圆形被测对象共设置36个测量点，获得一组测量点Pi(xi，yi)。Pi(xi，yi)如下表所示，
序号 X Y 序号 X Y 序号 X Y
1 8.3572 -11.3008 13 -13.9484 -1.7293 25 5.4804 12.8044
2 6.2795 -12.5886 14 -14.0218 0.7224 26 7.6332 11.6543
3 4.0056 -13.4958 15 -13.6791 3.1211 27 9.5543 10.1454
4 1.6219 -13.9933 16 -12.9064 5.4561 28 11.1890 8.3117
5 -0.8157 -14.0706 17 -11.7489 7.6081 29 12.4705 6.2460
6 -3.2280 -13.7250 18 -10.2251 9.5447 30 13.3815 3.9556
7 -5.5392 -12.9598 19 -8.4031 11.1605 31 13.8733 1.5884
8 -7.6952 -11.8073 20 -6.3228 12.4433 32 13.9509 -0.8663
9 -9.6076 -10.3035 21 -4.0701 13.3401 33 13.6014 -3.2793
10 -11.2532 -8.4668 22 -1.6816 13.8352 34 12.8572 -5.5526
11 -12.5568 -6.3425 23 0.7599 13.9117 35 11.7042 -7.7191
12 -13.4558 -4.0691 24 3.1672 13.5653 36 10.1761 -9.6745
步骤S2：根据所述测量点数据采用最小二乘法拟合圆，获得距拟合圆心距离最远测量点坐标和最近测量点的坐标，进而计算出圆度误差。
在本发明实施例中，拟合圆心坐标为(-0.0348，-0.077)，计算的圆度误差为0.0099mm。
步骤S3：重复执行步骤S1进行多组测量点数据的采集，并对每组测量点数据分别执行步骤S2的计算出圆度误差，将获得小样本圆度误差，作为一组随机变量。
在本发明实施例中，所述测量点数据的组数为10组，则生成10个圆度误差，具体如下表：
序号 1 2 3 4 5
圆度误差δ 0.0099 0.0081 0.0091 0.0023 0.0028
序号 6 7 8 9 10
圆度误差δ 0.0064 0.0036 0.0075 0.0094 0.0076
步骤S4：根据最大熵原理构造概率密度函数的一般形式和约束条件，具体构造过程如下：
步骤S401：在最大熵熵函数中引入Lagrange乘子λi(i＝1，2，…，n)，
其中，为引入乘子后的熵函数，H(x)为原熵函数，f(x)为随机变量的概率
密度函数，λ0为拉格朗日乘子，n为正整数。
步骤S402：根据最大熵函数的极值条件，令得：
步骤S403：给出最大熵函数约束条件，其中函数条件为：
样本的第i阶原点矩mi为：
步骤S404：联立(2)、(3)、(4)可得：
步骤S405：将式(6)可看作含有未知参数λi(i＝1，2，…，n)的n个方程组，由于依据已知样本的圆度误差估计未知参数，未知参数的估值会有偏差，为估计出尽可能准确的λi，可令真实值与估计值的残差平方和尽可能小，从而做数学变换：
步骤S406：记残差ri，
当残差平方和R最小时，即：
得到一组λi的最优估值，即获得最大熵条件下的概率密度函数。
在本发明实施例中，最大熵原理构造概率密度函数的一般形式和约束条件，首先确定积分区间[0.0023，0.0099]，取三阶样本矩作为最大熵条件，计算步骤S3中的10组圆度误差样本的三阶原点矩为mi＝[0.0067，5.1585e+05，4.2897e+07]，作为最大熵约束。三阶下的圆度误差PDF的一般形式为：
步骤S5：根据步骤S4中构造的概率密度约束跳进作为目标函数，所述随机变量作为样本值，引入粒子群算法进行参数寻优，设置粒子群算法的拟最大进化次数为100，种群规模为30，变量维数与样本原点矩阶数一致取3并对应到速度区间的设置，限定粒子位置区间[-200，200]，求解出λi的最佳估值，进而估计出样本下圆度误差的概率密度函数f(x)。
在本发明实施例中，λi＝[171.4036，166.2738，110.7145]，进而计算出λ0＝3.7556，回代步骤4中的PDF一般形式可得测量值样本下的圆度误差PDF为：
f(x)＝exp(3.7556+171.4036x+166.2738x2+110.7145x3)
步骤S6：通过对步骤S5估计的PDF数值积分可得圆度误差的测量不确定度u＝0.0021mm。
以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变形或修改，这并不影响本发明的实质内容。

Claims (8)

1.一种基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤S1：对被测对象进行圆度采样，获得一组测量点数据的采集；
步骤S2：根据所述测量点数据拟合出圆，获得拟合圆心坐标以及距拟合圆心距离最远测量点和最近测量点坐标，进而计算出圆度误差；
步骤S3：重复执行步骤S1进行多组测量点数据的采集，并对每组测量点数据分别执行步骤S2的计算出圆度误差，获得多个圆度误差，将多个圆度误差作为一组随机变量；
步骤S4：建立随机变量概率密度函数，将根据所述随机变量计算生成样本原点矩代替理论原点矩作数学变化，构造概率密度的约束条件；
步骤S5：将所述样本原点矩作为条件，以所述概率密度约束条件作为目标函数，进行参数寻优，得到概率密度函数未知参数，进而得到圆度误差的概率密度函数；
步骤S6：对所述概率密度函数进行数值积分计算概率密度的标准偏差实现圆度测量的不确定度评定。
2.根据权利要求1所述的基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，其特征在于，所述步骤S1中采样方法具体为：每隔10度设置一个测量点，则对圆形的被测对象共设置36个测量点，获得一组测量点数据Pi(xi，yi)。
3.根据权利要求1所述的基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，其特征在于，步骤S2具体为：根据所述测量点数据采用最小二乘法拟合圆，获得拟合圆心坐标以及距拟合圆心距离最远测量点坐标和最近测量点坐标，进而计算出圆度误差。
4.根据权利要求1所述的基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，其特征在于，所述步骤S4中通过最大熵原理构造概率密度函数的一般形式和约束条件，具体构造过程如下：
步骤S401：在最大熵函数中引入Lagrange乘子λi(i＝1，2，…，n)，
其中，为引入乘子后的熵函数，H(x)为原熵函数，f(x)为随机变量的概率密度函数，λ0为拉格朗日乘子，n为正整数；
步骤S402：根据最大熵函数的极值条件，令得：
步骤S403：给出最大熵函数约束条件，其中函数条件为：
样本的第i阶原点矩mi为：
步骤S404：联立(2)、(3)、(4)可得：
步骤S405：将式(6)可看作含有未知参数λi(i＝1，2，…，n)的n个方程组，由于依据已知样本的圆度误差估计未知参数，参数的估值会有偏差，为估计出尽可能准确的λi，可令真实值与估计值的残差平方和尽可能小，做数学变换：
步骤S406：记残差ri，
当残差平方和R最小时，即：
得到一组λi的最优估值，即获得最大熵条件下的概率密度函数。
5.根据权利要求1所述的基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，其特征在于，在步骤S5中，通过粒子群算法进行参数寻优时，设置粒子群算法的拟最大进化次数为100，种群规模为30，变量维数与样本原点矩阶数一致取3并对应到速度区间的设置，限定粒子位置区间[-200，200]。
6.根据权利要求1所述的基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，其特征在于，步骤S6中，将先验分布与另一组随机变量的概率密度函数计算合成后验分布f(θ，x)的过程表示为：
f(θ，x)＝f(θ)f(x|θ) (10)
其中，f(θ)是先验分布，f(x|θ)是另一组随机变量的概率，通过贝叶斯原理可确定后验分布：
在f(x)＝∫f(θ)f(x|θ)dθ中，固定随机变量x，后验分布可简化为：
f(θ|x)∝f(θ)f(x|θ) (12)。
7.根据权利要求1所述的基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法，其特征在于，在步骤S6中，通过数值积分计算随机变量的样本期望及标准偏差，实现圆度测量不确定度评定。
8.一种零件的圆形面圆度不确定度评定方法，其特征在于，采用权利要求1至7任一项所述的基于概率密度函数估计的圆度不确定度评定方法。
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