CN110428905B

CN110428905B - 一种肿瘤生长趋势预测方法

Info

Publication number: CN110428905B
Application number: CN201910587445.7A
Authority: CN
Inventors: 龚芳; 蒋飞达; 胡慧敏; 李刚
Original assignee: Affiliated Hospital of Jiangnan University
Current assignee: Affiliated Hospital of Jiangnan University
Priority date: 2019-07-02
Filing date: 2019-07-02
Publication date: 2022-03-29
Anticipated expiration: 2039-07-02
Also published as: CN110428905A

Abstract

本发明提供一种肿瘤生长趋势预测方法，通过速度场u把肿瘤体积和癌细胞密度耦合在一起，其可以给出肿瘤体积、半径和癌细胞密度随时间的变化过程，具有更好的适用性。其包括步骤：S1：通过现有的技术获取待预测对象中的同一时间点的T细胞、癌细胞的密度；S2：通过现有技术获取T细胞对癌细胞的杀灭率、癌细胞的密度C等数据：S3：把获取的参数代入到本发明的数学模型中；S4：对步骤S3中的公式进行数值模拟，通过数值模拟的结果对肿瘤中的癌细胞的密度C的趋势进行预测；S5：根据本发明的对于肿瘤半径R的公式计算肿瘤半径R的变化：S6：结合步骤S3中癌细胞的密度C和步骤S5肿瘤半径R，得出根据时间t的变化的肿瘤的变化趋势。

Description

一种肿瘤生长趋势预测方法

技术领域

本发明涉及生物技术领域，具体为一种肿瘤生长趋势预测方法。

背景技术

癌症是世界上一个主要的公共卫生问题,它可能发生在各个年龄段。在癌症治疗的过程中，肿瘤的生长趋势预测有助于确认使用的治疗方法是否有效、或者确认使用的治疗药物是否有效。但是，癌细胞的生长是一个高度复杂的过程,预测肿瘤的生长趋势是一个还处于探索过程的课题。

现有的技术中，常见的对于肿瘤的生长预测的方法包括：通过肿瘤体积(或半径)来建立其生长模型，或者通过肿瘤中的癌细胞密度建立其生长模型，如：通过肿瘤体积(或半径)建立的生长模型Logistic模型为例，假设V是体积，r是生长率，V_m是肿瘤最大体积，其模型为：

通过肿瘤中癌细胞密度建立的生长模型，假设σ是癌细胞密度，其模型为：

上述两种模式的模型，预测方式比较单一，仅考虑了体积和密度中的某一个量的增长。事实上，肿瘤的生长中应同时考虑肿瘤体积和密度的变化。并且由于肿瘤生长的复杂性，还应考虑肿瘤细胞的对流扩散作用、凋亡、受免疫T细胞的杀灭等因素。所以，通过现有模型预测结果在实际工作中的适用性很低。

T细胞是一种淋巴细胞(白细胞亚型),在细胞介导的免疫中起重要作用，被称为CD4+T细胞的T辅助细胞可以在免疫过程中帮助其他白细胞,包括细胞毒性T细胞和巨噬细胞的激活。被称为CD8+T细胞的细胞毒性T细胞可以破坏病毒感染的细胞和癌细胞C,并且还与移植排斥有关，关于T细胞和癌细胞的提取、测量、分析，已经有很多研究具体可以参照：已经公开的专利文件CN200780014169.0T细胞测定、CN201810454480.7通过使用流式细胞术的RNA测量快速检测T细胞活化。在研究过程中，我们发现肿瘤体积的变化由癌细胞C的增殖和死亡决定，而与癌细胞的增殖和死亡相关的T细胞对癌细胞的杀灭率、癌细胞的logistic生长速率、环境的承载能力等数据的都可以通过现有技术进行测量，现行的比较常用的方法如：稳定同位素质谱法，具体的测量步骤参照已经公开的专利文件：CN201610362514.0一种肉碱类化合物全同位素内标质谱定量方法、CN201510778281.8基于同位素质谱技术鉴别橄榄油产地的方法；在径向对称的情况下,肿瘤体积随着肿瘤半径R(t)的变化而变化；所以，可以通过T细胞T、癌细胞C、正常健康细胞N在肿瘤中的关系，来预测肿瘤的生长趋势。

发明内容

为了解决现有的预测方法中没有考虑肿瘤的变化状态，而导致适用性低的问题，本发明提供一种肿瘤生长趋势预测方法，其可以给出肿瘤体积、半径和癌细胞密度随时间的变化过程，具有更好的适用性。本发明的技术方案是这样的：一种肿瘤生长趋势预测方法，其包括以下步骤：

S1：获取待预测对象中的癌细胞的待检测样品；

其特征在于：

步骤S1中获取的所述待检测样品中，包括与癌细胞同一时间点的T细胞的待检测样品；

S2：结合癌细胞、T细胞的样本进行分析，获取下面的数据：

η：是T细胞对癌细胞的杀灭率、正常数，

γ₀：是T细胞对癌细胞的杀灭率的阈值、正常数，

λ_C：为癌细胞的logistic生长速率、正常数，

K：是环境的承载能力；

S3：把获取的参数代入到下面的数学模型中：

式中：

C是癌细胞的密度，

t表示时间，

η是T细胞对癌细胞的杀灭率,正常数，

γ₀是T细胞对癌细胞的杀灭率的阈值，正常数，

ξ是正常数；

S4：对步骤S3中的公式进行数值模拟，通过数值模拟的结果对肿瘤中的癌细胞的密度C的趋势进行预测；

S5：根据下面的公式计算肿瘤半径R的变化：

式中u为细胞的移动速度；

S6：结合步骤S3中癌细胞的密度C和步骤S5肿瘤半径R，得出根据时间t的变化的肿瘤的变化趋势。

其进一步特征在于：

步骤S3中，γ₀的表达式为：

λ_C：癌细胞的logistic生长速率、正常数，

K：是环境的承载能力；

步骤S3中，λ_C、η、δ_C和γ₀满足等式：2(λ_C-δ_C)＝η+γ₀

式中：δ_C为细胞凋亡或癌细胞的死亡或坏死率，

λ_C：癌细胞的logistic生长速率、正常数

η：是T细胞对癌细胞的杀灭率、正常数，

γ₀：是T细胞对癌细胞的杀灭率的阈值、正常数；

步骤S5中，u(R(t),t)的表达式如下所示：

式中：

s相当于r(0<r<R(t))，

f(c)为癌细胞的增殖功能,即每单位时间每单位体积癌细胞的净增加，其表达公式为：

步骤S6中，肿瘤的所述变化趋势包括下面的情况：

C₀(r)代表C在初始时刻的密度，

时，有如下关系：

(1-1)

时，

(1-2)0<γ₀-η<4时，

R↓R_∞；

(1-3)-2<γ₀-η<0时，

R↓R_∞；

(1-4)-4<γ₀-η<-2、0<C₀<ξ时，

R↓R_∞；

(1-5)-4<γ₀-η<-2、

时，C→0，R↓0；

(1-6)γ₀-η<-4时，C→0，R↓0；

时，有如下关系：

(2-1)γ₀-η>4时，

R↓R_∞；

(2-2)0<γ₀-η<2时，

R↑R^∞；

(2-3)-4<γ₀-η<0时，

R↑R^∞

(2-4)γ₀-η<-4、

时，C→ξ，R↑+∞；

(2-5)γ₀-η<-4、ξ<C₀<1时，C→ξ，R↑+∞

其中：

R^∞是大于R(0)的常数，

R_∞是小于R(0)的常数。

本发明中的一种肿瘤生长趋势预测方法，通过把肿瘤体积(或半径)和癌细胞密度耦合在一起，同时预测癌细胞密度和肿瘤体积的变化情况；因为肿瘤体积的变化由癌细胞的增殖和死亡决定，在径向对称的情况下,肿瘤体积随着半径R(t)的变化而变化，所以通过癌细胞的密度C，来标记癌细胞的生长趋势；通过肿瘤半径R来确定肿瘤本身的尺寸变化趋势。与现有的技术相比，本文的技术方案在logistic增长上还考虑了癌细胞具有的对流扩散作用、凋亡、竞争情况和自由边界的变化，使得癌细胞的模型比之前的更加全面，根据肿瘤细胞的倍增特点并结合导数的应用、微分方程的比较原理以及自由边界条件，给出肿瘤细胞的渐近性、半径与时间的关系，基于对流扩散模型分析癌细胞随时间的变化过程，所得到的预测结果更具适用性。

附图说明

图1为本发明具体实施例中C₀(r)∈(0，1/2)、γ₀-η>0时的肿瘤预测趋势图；

图2为本发明具体实施例中C₀(r)∈(0，1/2)、γ₀-η<-4时的肿瘤预测趋势图；

图3为本发明具体实施例中C₀(r)∈(0，1/2)、-4<γ₀-η<-2时的肿瘤预测趋势图；

图4为本发明具体实施例中C₀(r)∈(1/2，1)、γ₀-η>0时的肿瘤预测趋势图；

图5为本发明具体实施例中C₀(r)∈(1/2，1)、-4<γ₀-η<-2时的肿瘤预测趋势图；

图6为本发明具体实施例中C₀(r)∈(1/2，1)、γ₀-η<-4时的肿瘤预测趋势图。

具体实施方式

如图1～图4所示，本发明一种肿瘤生长趋势预测方法，基于对流扩散方程对肿瘤生产趋势进行预测。

为了建立由癌细胞C、正常健康细胞N、T细胞T表达的癌症模型，使用C(x,t)、N(x,t)、T(x,t),来分别表示点(x,t)∈R³×[0,+∞)处的癌细胞C、正常健康细胞N、T细胞T的密度，假设所有空间变量是径向对称的,并且肿瘤是球形r:＝|x|<R(t)，其中半径R(t)随时间变化。肿瘤的边界r＝R(t)是自由边界。假设细胞的密度在整个肿瘤中是均匀的，即：

C(r,t)+N(r,t)+T(r,t)＝θ， (1.1)

其中：0≤r≤R(t)，t>0

θ是常数，C(r,t)、N(r,t)、T(r,t)分别表示癌细胞、正常健康细胞、T细胞在点(r,t)的密度。

由于肿瘤细胞生长异常快,公式(1.1)意味着细胞之间存在内部压力,从而产生速度场

假设：

其中

是单位径向矢量。

公式(1.1)中T为常数，且θ-T＝1；假设，N＝0且θ＝1，则公式(1.1)变换为：

C(r,t)+T(r,t)＝1 (1.3)

式中，0≤r≤R(t)，t>0。

假设癌细胞经历logistic生长“恒定×C(1-C/k)”，并且以“恒定×TC”的速率被T细胞杀死，其中K是环境承载能力，假设癌细胞以细胞凋亡或坏死死亡,速率为δ_C。则，癌细胞C的密度满足以下对流-扩散方程：

u是速度，K是环境的承载能力，λ_C是癌细胞的logistic生长速率、正常数，η是T细胞对癌细胞的杀灭率、正常数，δ_C癌细胞以细胞凋亡或坏死死亡的速率。

癌细胞被树突细胞识别,树突细胞可以激活T细胞，通过在以下T细胞的对流扩散方程中引入增长项λ_TC来表示这种活化：

通过缩放，在公式(1.5)中取λ_T＝δ_T＝1。

在肿瘤区域中，癌细胞C、T细胞T理想情况下最终达到平衡，即稳定。而一般寻找一个稳定点，则是令方程的右端项为0，再利用公式(1.3)有：

求得稳定点，

令公式(1.4)的右端项为0，将稳定点代入可得：

化简得到：

取

即得到：2(λ_C-δ_C)＝η+γ₀ (1.7)

在假设条件(1.6),(1.7)下很容易看出C≡T≡1/2是该公式(1.4)、(1.5)的解,因为当C≡T≡1/2时(1.4)和(1.5)右边的值都是为0。通过公式(1.7)，得到了癌细胞和T细胞的非线性增殖功能。

施加无通量边界条件：

公式(1.8)是自由边界上的C、T的齐次Neumann边界条件r＝R(t)，假设自由边界r＝R(t)随着细胞速度u移动，即：

即，肿瘤体积的变化的公式。

肿瘤体积的变化由癌细胞的增殖和死亡决定。在径向对称的情况下,体积随着半径R(t)的变化而变化。通过公式(1.4)和公式(1.5)可得：

从公式(1.3)可知，0≤r≤R(t)，t>0，且C+T≡1，则公式(2.1)变化为:

其中

通过公式(2.2)可得：

通过公式(1.9)和公式(2.4)可知：

即，得到肿瘤半径R的变化的公式。

癌细胞的生长速度取决于它们中包含的细胞数量。将公式(2.3)中函数f(C)称为癌细胞的增殖功能，即每单位时间每单位体积癌细胞的净增加。则，结合公式(1.7)和公式(2.3)，可知：

如果η≠γ₀，函数f(C)在公式(2.6)中是非线性的。否则,f(C)在公式(2.6)中是一个线性函数。

从公式(2.4)和公式(2.6)，当C≡1/2成立时,我们立即得到u≡0。即，自由边界r＝R(t)对于该特殊解C≡T≡1/2保持不变。

通过公式(1.4)计算平流项推导出C的等式，即：

将公式(2.2)代入到公式(2.7)中，可以得到：

其中：

其中：

令η≠γ₀，使得ξ成立。

假设C和T是正数，则：

C(r,t),T(r,t)∈(0,1)，对于0≤r≤R(t),t>0。

T细胞的变化预测公式T(r,t)，通过公式(2.2)、公式(1.3)计算公式(1.5)的平流项，即：

其中：

表示T细胞的增殖功能。

通过公式(2.10)重写公式(1.5)，如下：

其中：

则：

令η≠γ₀，使得

成立。

通过ODE模型的解充分拟合肿瘤生长的实验数据。则，通过边界条件公式(1.8)对公式(2.8)、公式(2.11)进行简化，代入常微分方程。

在r＝R(t)上的无通量边界条件(1.8)，分别比较公式(2.8)、公式(2.11)式中的C(r,t)、T(r,t)的解和常微分方程的解

和

假设：

a<C(r,0)<b，0≤r≤R(0) (2.14)

对于常数a和b，使用抛物方程的比较原理推断，如果：

a<C₁₀≤C(r,0)≤C₂₀<b

对于0≤r≤R(0)

是公式(2.13)第一个方程初始值为

的解，j＝1,2，则：

其中：0≤r≤R(t)，t≥0 (2.15)

同理，假设a<T₁₀≤T(r,0)≤T₂₀<b，0≤r≤R(t)，t≥0，

是公式(2.13)的第二个方程初始值为

的解，j＝1,2，则：

其中：0≤r≤R(t)，t≥0 (2.16)。

综上，可以得出：

肿瘤体积的变化公式为：

癌细胞C的变化公式为：

结合癌细胞的密度C和肿瘤半径R，得出根据时间t的变化的肿瘤的变化趋势包括下面的情况：

C₀(r)代表C在初始时刻的密度，C₀(r)∈(0,1/2)时，有如下关系：

(1-1)

时，

R↑R^∞；

(1-2)0<γ₀-η<4时，

R↓R_∞；

(1-3)-2<γ₀-η<0时，

R↓R_∞；

(1-4)-4<γ₀-η<-2、0<C₀<ξ时，

R↓R_∞；

(1-5)-4<γ₀-η<-2、

时，C→0，R↓0；

(1-6)γ₀-η<-4时，C→0，R→0；

C₀(r)∈(1/2,1)时，有如下关系：

(2-1)γ₀-η>4时，

R↓R_∞；

(2-2)0<γ₀-η<2时，

R↑R^∞；

(2-3)-4<γ₀-η<0时，

R↑R^∞

(2-4)γ₀-η<-4、

时，C→ξ，R↑+∞；

(2-5)γ₀-η<-4、ξ<C₀<1时，C→ξ，R↑+∞

其中：

R^∞是大于R(0)的常数，

R_∞是小于R(0)的常数。

在本发明的技术方案中，癌细胞生长的侵袭性是通过C和R的值来测量的。在肿瘤的早期阶段，即：C₀(r)∈(0,1/2)时,如果T细胞以低速率杀死癌细胞,肿瘤体积将不断增加或减少；如果杀灭率η大于γ₀,则肿瘤体积将持续减少。此外，如果杀灭率η足够大，T细胞可以非常有效地杀死癌细胞，甚至成功杀死癌细胞。在肿瘤的晚期，即：C₀(r)∈(1/2,1)时，如果T细胞以低速率杀死癌细胞，肿瘤体积将不断增加或减少，虽然T细胞以更高的速率杀死癌细胞，但肿瘤体积会增加。事实上，在肿瘤晚期，癌细胞占据主导地位，可以诱导T细胞使其被同化。癌细胞分泌的干扰素可以抑制T细胞的功能，促进癌细胞的生长。一旦T细胞被癌细胞抑制，它们就不再起作用。

采用本发明的技术方案，首先，利用稳定同位素质谱法来测量细胞的增殖，以C或T细胞为例，通过得到细胞的增殖率，从而得到其它参数的估计；获得以下具体数据：

λ_C＝1.86/day,δ_C＝0.18/day，K＝0.75g/cm³，γ₀＝λ_C/K＝2.48cm³/g·day；

然后，由公式(1.7)2(λ_C-δ_C)＝η+γ₀得η＝0.88cm³/g·day

γ₀-η＝2.48-0.88＝1.6cm³/g·day

由于：γ₀-η∈(0,2)

当，

则：

R(t)↓R_∞，t→+∞；

当，

则：

R(t)↑R_∞，t→+∞。

详细的预测结果，参照说明书附图的图1～图6，图1～图6中横坐标表示的是时间t，纵坐标表示癌细胞的密度C。

图1～图3为C₀(r)∈(0，1/2)的情况下，γ₀-η不同取值范围的时候，肿瘤的生长预测情况。图1为γ₀-η>0时的情况，图中的曲线呈现递增的趋势，表明在C₀(r)∈(0，1/2)时，癌细胞的密度会随着时间的增长而变大，但是最后它会趋于一个稳定的状态，癌细胞的密度不会无限制的增大；图2为γ₀-η<-4的情况，图中的曲线呈现的是递减的趋势，表明在C₀(r)∈(0，1/2)时，癌细胞的密度会随着时间的增长而变小，因为此时癌细胞的初始密度还小，且T细胞杀死癌细胞的速率增大，最后癌细胞的密度趋于0，即肿瘤得到治愈的情况；图3为-4<γ₀-η<-2的情况，此时会发生图中出现两条曲线：一条递增，一条递减。当0<C₀<ξ时，癌细胞的密度会随着时间增长而变大，但它的半径会收缩；相反地，当ξ<C₀<1/2时，癌细胞的密度会随着时间增长而变小，最后为0。

图4～图6为C₀(r)∈(1/2，1)的情况下，γ₀-η不同取值范围的时候，肿瘤的生长预测情况。图4为γ₀-η>0的情况，图中的曲线呈现递减的趋势，表明在C₀(r)∈(1/2，1)时，癌细胞的密度会随着时间的增长而变小，即癌细胞的扩散得到了控制，但是它的半径还在增大，最后癌细胞的密度会趋于一个稳定的状态，不会无限制的缩小；图5为-4<γ₀-η<-2的情况，与图4的意思类似，但是图5中因为杀灭率的增大，癌细胞密度的变化比图2的更快；图6为γ₀-η<-4的情况，此时会发生图中出现两条曲线：一条递增，一条递减。当0<C₀<ξ时，癌细胞的密度会随着时间增长而变大；相反地，当ξ<C₀<1/2时，癌细胞的密度会随着时间增长而变小，但最后在T细胞不起作用后，那么就只有癌细胞增长的曲线。

背景技术中介绍的两种现有的预测模型，一个是肿瘤体积(或者半径)的生长模型，一个是肿瘤中癌细胞密度的生长模型，分别仅考虑了体积和密度中的某一个量的增长，如果把这两种情形结合，而组成下面的模型：

这个结合后的模型也不能同时解决癌细胞密度和肿瘤体积的变化，只能通过固定一边的条件，从而得到另一个变量，例如，假设癌细胞C的密度不变，解决体积的变化；或者假设体积V不变(固定边界)，解决癌细胞密度的变化。

本发明技术方案中的模型的未知函数是T细胞、C细胞的密度，区域边界的变化体现的是肿瘤大小的变化：

本发明的肿瘤模型是前面两者的耦合，通过速度场u把肿瘤体积和癌细胞密度耦合在一起。比如当u＝0时，本文的模型就是癌细胞密度的模型，相当于前面的模型是本发明中的肿瘤模型的一种特殊情况。本发明中的肿瘤模型可以同时解决肿瘤体积和癌细胞密度的变化。