CN110212505B - 基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法，属于直流输电技术领域。本方法针对模块化多电平柔性直流输电系统发生直流侧线路故障时，计算直流线路限流电抗配合超导限流器来抑制故障电流而保证多电平换流器在不闭锁情况下完成故障的清除。本发明方法改进选取固定阻抗的带入计算方法，基于最小二乘法将超导限流器阻值分段线性化拟合而优化求解。本发明方法可计算出基于超导限流器动态阻值影响下限流电抗合理取值裕度，有效提升系统稳定性及动态响应能力，对未来实际工程具有指导与借鉴意义。本发明方法综合考虑了多种一次设备参数之间的配合，更加合理选取一次设备，提高一次设备利用效率，降低系统投资成本提高经济性。

Description

基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法

技术领域

本发明涉及一种基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法，属于直流输电技术领域。

背景技术

柔性直流输电系统(Voltage Source Converter-High Voltage DirectCurrent，VSC-HVDC)由于不必考虑相联的交流系统的频率与相位问题，互联系统之间的干扰与影响小，可以快速准确地控制传送功率等优点可有效提升系统的稳定性。然而相较于交流系统，柔性直流系统由于自身阻抗较小，因此当发生故障时短路电流上速度极快，伴随柔性直流系统自身故障电流无自然过零点，导致柔性直流系统故障清除困难增加。

从提高直流输电网供电可靠性角度，利用直流断路器进行故障隔离可以有效实现在最小范围内有选择性的故障隔离功能。但鉴于目前直流短路器的发展瓶颈，如开断速度以及开断容量等问题，基于相关限流技术以降低对直流断路器的动作以及容量要求则成为未来发展的所需。通过分析可知，在直流线路侧装配限流电抗可以有效抑制故障电流，对直流故障电流的动态特性有重要影响。然而该方案主要矛盾集中在电感参数选取上，考虑到系统的稳定性、动态响应速度以及网架等因素，直流输电网中无法装设过大的限流阻抗，因此限流能力也比较有限。

超导限流器(以下简称SFCL，Superconducting Fault Current Limiter)由于不同状态下变化阻值特性，配合直流侧限流电抗器可有效抑制故障电流幅值及蔓延速度而进入再次研究人员的视线。不同于传统被动式限流器较恒定阻抗特性，超导限流器进入耗散状态的暂态过程中，磁通流阻的过渡过程会使其阻抗随超导态至失超态间变化同时动态变化。此时，采用选取的某一时刻固定阻抗值在不同故障阶段进行限流分析已不再适用，特别对故障初期，实际超导限流器本身能量累积不足而阻抗过小，而预想效果则较乐观，造成限流电抗选取不当对系统稳定性造成影响。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法，在考虑超导限流器动态变化阻抗值的柔性直流系统中，计算合理的限流电抗范围，以提升系统响应能力和稳定性。

本发明提出的基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取，包括以下步骤：

(1)构建带有超导限流器的双端模块化多电平柔性直流输电系统，该双端柔性直流输电系统包括第一交流线路模拟阻抗Z₁、第二交流线路模拟阻抗Z₂、第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁、第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂、第一直流断路器DCB₁、第二直流断路器DCB₂、第三直流断路器DCB₃、第四直流断路器DCB₄、第一限流电抗器L_d1、第二限流电抗器L_d2、第三限流电抗器L_d3、第四限流电抗器L_d4和超导限流器；所述的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的进口端和第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂的出口端分别通过第一交流线路模拟阻抗Z₁和第二交流线路模拟阻抗Z₂与交流电网AC₁和交流电网AC₂相连，第一限流电抗器L_d1和第二限流电抗器L_d2分别设置在第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的出口端，第三限流电抗器L_d3和第四限流电抗器L_d4分别设置在第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂的进口端，第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂分别设置在第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的出口端，第三直流断路器DCB₂和第四直流断路器DCB₂分别设置在第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂的进口端，超导限流器SFCL设置在双端柔性直流输电系统的负极直流线路上，位于第二直流断路器DCB₂和第二直流断路器DCB₂之间；

(2)利用下式，计算双端柔性直流输电系统中超导限流器SFCL的出口端出现直流线路极间故障时，超导限流器的动态阻抗R_s(t)：

其中，R_m为超导限流器接入双端模块化多电平柔性直流输电系统时，超导限流器处于失超状态下的最大阻值，T_s为超导限流器由超导态转换至失超态的状态时间常数，由超导限流器的铭牌获取，t为双端柔性直流输电系统的运行时刻，t_q为临界电流流经超导限流器时刻；

(3)利用最小二乘拟合法，将步骤(2)中超导限流器动态阻抗R_s(t)进行分段线性化为n个随时刻t变化的一阶阻抗函数R′_s(t)：

R′_s(t)＝R_i(t_i)(i＝1,2,3,…,n)

(4)根据第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的子模块数目N以及子模块电容C₀，利用下式计算双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，故障回路的等效电容C′：

其中，N为第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁中的子模块数量SM，C₀为单个模块化多电平子模块SM中的电容大小；

(5)利用下式，计算双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，输电系统故障回路的等效电感L′：

其中，L_s为短路电流通过第一模块化多电平换流器MMC1的桥臂电感L_l为双端模块化多电平柔性直流输电系统直流线路电抗，L_d为待求解的双端模块化多电平柔性直流输电系统直流线路限流电抗；

(6)利用下式，计算故障回路等效电阻R′：

其中，R_arm为双端模块化多电平柔性直流输电系统中第一模块化多电平柔性直流换流器MMC1的桥臂电阻，R_l为双端模块化多电平柔性直流输电系统中直流线路电阻，R_f为当双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时的故障电阻，R₁(t₁)为双端模块化多电平柔性直流输电系统发生故障时超导限流器失超态下阻抗大小；

(7)根据步骤(4)的等效电容C′、步骤(5)的故障回路等效电感L′、步骤(6)的故障回路等效电阻R′以及故障回路的等效电容电压v_c，得到在双端模块化多电平柔性直流输电系统出现直流线路极间故障时的阶段数学表达式为：

(8)根据步骤(7)的阶段数学表达式，利用下式，计算双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，在t₁阶段流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂的故障电流i₁：

其中，σ为衰减系数，σ＝R′/2L′，ω′为振荡角频率，

(9)设定双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，交流电网与模块化多电平换流器的传输功率平衡，根据下式，得到双端模块化多电平柔性直流输电系统的交流电流i_p：

其中，V_dc为双端模块化多电平柔性直流输电系统的直流电压，I_d为双端模块化多电平柔性直流输电系统的直流电流，V_l为双端模块化多电平柔性直流输电系统的交流电网线电压；

(10)根据步骤(8)故障电流i₁和步骤(9)的交流电流i_p，利用下式计算得到双端模块化多电平柔性直流输电系统中的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁在超导限流器阻抗处于t₁阶段时流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁桥臂的故障电流i₂：

(11)当双端模块化多电平柔性直流输电系统出现直流线路极间故障时，设流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂的故障电流均为i_b，并设双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障下，第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂动作前，第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的桥臂电流允许极限值为i_a，根据步骤(8)的直流线路极间故障时在t₁阶段流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂的故障电流i₁、步骤(9)计算的双端模块化多电平柔性直流输电系统交流电流i_p以及步骤(10)的流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁桥臂的故障电流i₂，得到直流线路极间故障时第一模块化多电平换流器MMC₁闭锁前的边界限定条件为：

(12)利用步骤(11)的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC1闭锁前边界限定条件，根据步骤(4)～步骤(6)中的等效电容C′、等效电感L′、等效电阻R′以及步骤(8)～步骤(10)中的直流线路极间故障时在t₁阶段流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路DCB₂的故障电流i₁、交流电流i_p与流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁桥臂的故障电流i₂，计算得到双端模块化多电平柔性直流输电系统故障时配合超导限流器在t₁阶段内直流线路装设限流电抗L_d的取值范围；

(13)根据步骤(12)限流电抗L_d的取值范围，以该限流电抗L_d取值范围中的最大值作为双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时直流线路限流电抗；

(14)遍历步骤(3)中超导限流器阻抗线性化的n个分段与相对应的一阶阻抗函数R′_s(t)，重复步骤(8)～步骤(13)，计算得到双端模块化多电平柔性直流输电系统故障时直流线路限流电抗的取值范围，实现双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时对模块化多电平换流器MMC在不闭锁情况下的有效保护。

本发明提出的基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法，其特点和优点是：

1、本发明方法可计算出基于超导限流器动态阻值影响下限流电抗的合理取值裕度，有效提升柔性直流输电系统的稳定性及动态响应能力，对未来实际工程具有指导与借鉴意义。

2、本发明方法综合考虑多种一次设备参数之间的配合，更加合理地选取一次设备，提高一次设备的利用效率，降低柔性直流输电系统的投资成本，提高输电系统运行的经济性。

3、本发明的基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法，不仅适用于双端柔性直流输电系统单极安设超导限流器，也可以适用于双极同时装设超导限流器双端柔性直流输电系统。

4、本发明的基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法，不仅适用于双端柔性直流输电系统装设超导限流器，也同时适用于多端柔性直流输电系统装设超导限流器；取值的超导限流器不仅可以是电阻性超导限流器，还可以是其它类型超导限流器。

5、本发明的基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法，其中线性拟合不仅可通过最小二乘法实现拟合，其他线性拟合方法同样适用。

附图说明

图1是本发明方法涉及双端柔性直流系统结构图。

图2是本发明涉及的超导限流器阻抗分段线性化示意图。

图3是本发明涉及的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC1闭锁前故障电流通路图。

图4是本发明涉及的双端模块化多电平柔性直流输电系统放电回路简化等效图。

具体实施方式

本发明提出的基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取，包括以下步骤：

(1)构建带有超导限流器的双端模块化多电平柔性直流输电系统，结构如图1所示，该双端柔性直流输电系统包括第一交流线路模拟阻抗Z₁、第二交流线路模拟阻抗Z₂、第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁、第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂、第一直流断路器DCB₁、第二直流断路器DCB₂、第三直流断路器DCB₃、第四直流断路器DCB₄、第一限流电抗器L_d1、第二限流电抗器L_d2、第三限流电抗器L_d3、第四限流电抗器L_d4和超导限流器；所述的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的进口端和第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂的出口端分别通过第一交流线路模拟阻抗Z₁和第二交流线路模拟阻抗Z₂与交流电网AC₁和交流电网AC₂相连，第一限流电抗器L_d1和第二限流电抗器L_d2分别设置在第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的出口端，第三限流电抗器L_d3和第四限流电抗器L_d4分别设置在第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂的进口端，第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂分别设置在第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的出口端，第三直流断路器DCB₂和第四直流断路器DCB₂分别设置在第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂的进口端，超导限流器SFCL设置在双端柔性直流输电系统的负极直流线路上，位于第二直流断路器DCB₂和第二直流断路器DCB₂之间；

(2)利用下式，计算双端柔性直流输电系统中超导限流器SFCL的出口端(如图1中所示的FA处)出现直流线路极间故障时，超导限流器的动态阻抗R_s(t)：

其中，R_m为超导限流器接入双端模块化多电平柔性直流输电系统时，超导限流器处于失超状态下的最大阻值，T_s为超导限流器由超导态转换至失超态的状态时间常数，由超导限流器的铭牌获取，t为双端柔性直流输电系统的运行时刻，t_q为临界电流流经超导限流器时刻；

本发明方法考虑双端柔性直流输电系统故障时刻，超导限流器失超态下阻值变化情况，因此不考虑柔性直流输电系统正常运行状态阻值呈现零阻值特性，即忽略R_s(t)＝0情况。

(3)利用最小二乘拟合法，将步骤(2)中超导限流器动态阻抗R_s(t)进行分段线性化为n个随时刻t变化的一阶阻抗函数R′_s(t)：

R′_s(t)＝R_i(t_i)(i＝1,2,3,…,n)

如图2，实线部分为实际超导限流器失超态下电阻特性曲线，虚线为基于最小二乘法分段拟合后超导限流器失超态下电阻特性曲线线性化后曲线。

(4)当带有超导限流器的双端模块化多电平柔性直流输电系统第一模块化多电平柔性直流换流站MMC1与第二模块化多电平柔性直流换流站MMC2之间，超导限流器SFCL出口端出现直流线路极间故障时，此时第一模块化多电平换流器MMC1中子模块SM的电容，第一模块化多电平换流器MMC1中桥臂电感Ls，第一模块化多电平换流器MMC1中桥臂电阻R_arm，柔性直输电系统线路电阻Rl，柔性直流输电系统直流线路自身电抗Ll，柔性直流输电系统直流线路限流电抗Ld，柔性直流输电系统故障时故障电阻Rf与超导限流器电阻R_s(t)串联构成故障回路。

根据图3所示的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的子模块数目N以及子模块电容C₀，利用下式计算双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，故障回路的等效电容C′：

其中，N为第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁中的子模块数量SM，本发明方法以第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁近区出现故障为例，MMC₂的结构参数与MMC₁可以相同也可以不同，C₀为单个模块化多电平子模块SM中的电容大小；图3为第一模块化多电平柔性直流换流器MMC1闭锁前故障电流通路图，图4为双端模块化多电平柔性直流输电系统放电回路简化等效图。

(5)利用下式，计算双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，输电系统故障回路的等效电感L′：

其中，L_s为短路电流通过第一模块化多电平换流器MMC1的桥臂电感(桥臂电感为第一模块化多电平换流器MMC₁中部分元件，第一模块化多电平换流器一旦确定，此电感亦确定)，L_l为双端模块化多电平柔性直流输电系统直流线路电抗(该电抗由直流线路长度决定)，L_d为待求解的双端模块化多电平柔性直流输电系统直流线路限流电抗；

(6)利用下式，计算故障回路等效电阻R′：

其中，R_arm为双端模块化多电平柔性直流输电系统中第一模块化多电平柔性直流换流器MMC1的桥臂电阻(MMC₁一旦确定，此桥臂电阻亦确定)，R_l为双端模块化多电平柔性直流输电系统中直流线路电阻(如图3中所示，该线路电阻由第一模块化多电平换流器MMC₁和第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂之间的直流线路的长度决定)，R_f为当双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时的故障电阻(此电阻为出现故障时可能出现的包括线路与大地，或故障线路之间相互不正常连接导致)，R₁(t₁)为双端模块化多电平柔性直流输电系统发生故障时超导限流器失超态下阻抗大小；

(7)根据步骤(4)的等效电容C′、步骤(5)的故障回路等效电感L′、步骤(6)的故障回路等效电阻R′以及故障回路的等效电容电压v_c，得到在双端模块化多电平柔性直流输电系统出现直流线路极间故障时的阶段数学表达式为：

双端模块化多电平柔性直流输电系统子模块放电等效电路如图4所示。

(8)根据步骤(7)的阶段数学表达式，利用下式，计算双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，在t₁阶段流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂的故障电流i₁：

其中，σ为衰减系数，σ＝R′/2L′，ω′为振荡角频率，

(9)设定双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，交流电网与模块化多电平换流器的传输功率平衡，根据下式，得到双端模块化多电平柔性直流输电系统的交流电流i_p：

其中，V_dc为双端模块化多电平柔性直流输电系统的直流电压，I_d为双端模块化多电平柔性直流输电系统的直流电流，V_l为双端模块化多电平柔性直流输电系统的交流电网线电压；

(10)根据步骤(8)故障电流i₁和步骤(9)的交流电流i_p，利用下式计算得到双端模块化多电平柔性直流输电系统中的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁在超导限流器阻抗处于t₁阶段时流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁桥臂的故障电流i₂：

(11)当双端模块化多电平柔性直流输电系统出现直流线路极间故障时，为避免第一模块化多电平换流器MMC₁因故障闭锁，此时流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的故障电流大小必须在安全运行的限定范围内。设流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂的故障电流均为i_b，并设双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障下，第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂动作前，第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的桥臂电流允许极限值为i_a，根据步骤(8)的直流线路极间故障时在t₁阶段流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂的故障电流i₁、步骤(9)计算的双端模块化多电平柔性直流输电系统交流电流i_p以及步骤(10)的流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁桥臂的故障电流i₂，得到直流线路极间故障时第一模块化多电平换流器MMC₁闭锁前的边界限定条件为：

(12)利用步骤(11)的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC1闭锁前边界限定条件，根据步骤(4)～步骤(6)中的等效电容C′、等效电感L′、等效电阻R′以及步骤(8)～步骤(10)中的直流线路极间故障时在t₁阶段流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路DCB₂的故障电流i₁、交流电流i_p与流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁桥臂的故障电流i₂，计算得到双端模块化多电平柔性直流输电系统故障时配合超导限流器在t₁阶段内直流线路装设限流电抗L_d的取值范围；

(13)根据步骤(12)限流电抗L_d的取值范围，以该限流电抗L_d取值范围中的最大值作为双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时直流线路限流电抗；

(14)遍历步骤(3)中超导限流器阻抗线性化的n个分段与相对应的一阶阻抗函数R′_s(t)，重复步骤(8)～步骤(13)，计算得到双端模块化多电平柔性直流输电系统故障时直流线路限流电抗的取值范围，实现双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时对模块化多电平换流器MMC在不闭锁情况下的有效保护。

Claims (1)

1.一种基于超导限流器的柔性直流输电系统限流电抗选取方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)构建带有超导限流器的双端模块化多电平柔性直流输电系统，该双端模块化多电平柔性直流输电系统包括第一交流线路模拟阻抗Z₁、第二交流线路模拟阻抗Z₂、第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁、第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂、第一直流断路器DCB₁、第二直流断路器DCB₂、第三直流断路器DCB₃、第四直流断路器DCB₄、第一限流电抗器L_d1、第二限流电抗器L_d2、第三限流电抗器L_d3、第四限流电抗器L_d4和超导限流器；所述的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的进口端和第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂的出口端分别通过第一交流线路模拟阻抗Z₁和第二交流线路模拟阻抗Z₂与交流电网AC₁和交流电网AC₂相连，第一限流电抗器L_d1和第二限流电抗器L_d2分别设置在第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的出口端，第三限流电抗器L_d3和第四限流电抗器L_d4分别设置在第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂的进口端，第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂分别设置在第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的出口端，第三直流断路器DCB₂和第四直流断路器DCB₂分别设置在第二模块化多电平柔性直流换流器MMC₂的进口端，超导限流器SFCL设置在双端柔性直流输电系统的负极直流线路上，位于第二直流断路器DCB₂和第二直流断路器DCB₂之间；

(2)利用下式，计算双端柔性直流输电系统中超导限流器SFCL的出口端出现直流线路极间故障时，超导限流器的动态阻抗R_s(t)：

其中，R_m为超导限流器接入双端模块化多电平柔性直流输电系统时，超导限流器处于失超状态下的最大阻值，T_s为超导限流器由超导态转换至失超态的状态时间常数，由超导限流器的铭牌获取，t为双端柔性直流输电系统的运行时刻，t_q为临界电流流经超导限流器时刻；

(3)利用最小二乘拟合法，将步骤(2)中超导限流器动态阻抗R_s(t)进行分段线性化为n个随时刻t变化的一阶阻抗函数R′_s(t)：

R′_s(t)＝R_i(t_i)(i＝1，2，3，...，n)

(4)根据第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的子模块数目N以及子模块电容C₀，利用下式计算双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，故障回路的等效电容C′：

其中，N为第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁中的子模块数量SM，C₀为单个模块化多电平子模块SM中的电容大小；

(5)利用下式，计算双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，输电系统故障回路的等效电感L′：

其中，L_s为短路电流通过第一模块化多电平换流器MMC1的桥臂电感L₁为双端模块化多电平柔性直流输电系统直流线路电抗，L_d为待求解的双端模块化多电平柔性直流输电系统直流线路限流电抗；

(6)利用下式，计算故障回路等效电阻R′：

其中，R_arm为双端模块化多电平柔性直流输电系统中第一模块化多电平柔性直流换流器MMC1的桥臂电阻，R₁为双端模块化多电平柔性直流输电系统中直流线路电阻，R_f为当双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时的故障电阻，R₁(t₁)为双端模块化多电平柔性直流输电系统发生故障时超导限流器失超态下阻抗大小；

(7)根据步骤(4)的等效电容C′、步骤(5)的故障回路等效电感L′、步骤(6)的故障回路等效电阻R′以及故障回路的等效电容电压v_c，得到在双端模块化多电平柔性直流输电系统出现直流线路极间故障时的阶段数学表达式为：

(8)根据步骤(7)的阶段数学表达式，利用下式，计算双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，在t₁阶段流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂的故障电流i₁：

其中，σ为衰减系数，σ＝R′/2L′，ω′为振荡角频率，

(9)设定双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时，交流电网与模块化多电平换流器的传输功率平衡，根据下式，得到双端模块化多电平柔性直流输电系统的交流电流i_p：

其中，V_dc为双端模块化多电平柔性直流输电系统的直流电压，I_d为双端模块化多电平柔性直流输电系统的直流电流，V_l为双端模块化多电平柔性直流输电系统的交流电网线电压；

(10)根据步骤(8)故障电流i₁和步骤(9)的交流电流i_p，利用下式计算得到双端模块化多电平柔性直流输电系统中的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁在超导限流器阻抗处于t₁阶段时流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁桥臂的故障电流i₂：

(11)当双端模块化多电平柔性直流输电系统出现直流线路极间故障时，设流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂的故障电流均为i_b，并设双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障下，第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂动作前，第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁的桥臂电流允许极限值为i_a，根据步骤(8)的直流线路极间故障时在t₁阶段流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路器DCB₂的故障电流i₁、步骤(9)计算的双端模块化多电平柔性直流输电系统交流电流i_p以及步骤(10)的流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁桥臂的故障电流i₂，得到直流线路极间故障时第一模块化多电平换流器MMC₁闭锁前的边界限定条件为：

(12)利用步骤(11)的第一模块化多电平柔性直流换流器MMC1闭锁前边界限定条件，根据步骤(4)～步骤(6)中的等效电容C′、等效电感L′、等效电阻R′以及步骤(8)～步骤(10)中的直流线路极间故障时在t₁阶段流经第一直流断路器DCB₁和第二直流断路DCB₂的故障电流i₁、交流电流i_p与流经第一模块化多电平柔性直流换流器MMC₁桥臂的故障电流i₂，计算得到双端模块化多电平柔性直流输电系统故障时配合超导限流器在t₁阶段内直流线路装设限流电抗L_d的取值范围；

(13)根据步骤(12)限流电抗L_d的取值范围，以该限流电抗L_d取值范围中的最大值作为双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时直流线路限流电抗；

(14)遍历步骤(3)中超导限流器阻抗线性化的n个分段与相对应的一阶阻抗函数R′_s(t)，重复步骤(8)～步骤(13)，计算得到双端模块化多电平柔性直流输电系统故障时直流线路限流电抗的取值范围，实现双端模块化多电平柔性直流输电系统发生直流线路极间故障时对模块化多电平换流器MMC在不闭锁情况下的有效保护。

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