CN103325086B - 一种基于四面体坐标系的三维图形的变形方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于四面体坐标系的三维图形的变形方法，其包括步骤：输入三维图形；标定四面体的顶点；获得三维图形上的每一个点在四面体中的四面体坐标值；拖动四面体的顶点，以使四面体变形；获得变形后的三维图形。本发明通过在输入的三维图形上标注少量特征点，自动生成网格包络住整个三维图形，再通过直接拖动特征点的位置变化而插值一次得到最终的变形效果。且本发明的变形方法可以用并行计算实现，所以有操作简便、计算量小、实时观看效果，易于控制等优点。此外，本发明的变形方法属于线性变形，因此前后变换可逆，既可以在变形中能保持平面、直线所具有特定性质不变，也能利用特征点加密法实现平面向曲面的变形，具有灵活多用的特点。

Description

一种基于四面体坐标系的三维图形的变形方法

技术领域

本发明涉及计算机图形图像处理技术领域；更具体地讲，涉及一种基于四面体坐标系的三维图形的变形方法。

背景技术

随着计算机图形学的发展和三维（ThreeDimensions，3D）物体数据采集技术的进步，三维物体数据生成与三维图形数据处理技术在短时间里得到很好的发展，其中，三维图形处理技术融合了计算数学、图像处理、计算机图形学等多学科知识，在影视广告、游戏动漫、医学分析、地理图像等方面有很广泛的应用。三维图形的变形技术作为三维图形处理的一个重要组成部分，在计算机动画关键帧间连续光滑渐变与特效制作或者角色姿态表情等动态设计中起很关键的作用，同时也可以应用于广告游戏制作等方面。

目前最主要的3D变形技术是自由变形技术，基于样条曲线与样条曲面的自由变形技术是20世纪80年代被首次正式提出的，在20多年发展中虽然得到许多改进，但本质都是：将原始模型嵌入到一个比较容易处理的参数空间中,得到原始模型在该空间中的参数表示,在变形时,只需要对该参数空间进行操作,并利用两者之间的关系计算得到变形后的模型。该技术被广泛地应用在Maya、3DMax等主流3D设计软件中。此外3Ｄ变形技术还包括轴向变形，主要应用于皮肤变形等方面。

虽然自由变形技术在目前有很广泛的应用，但是由于自由变形技术一般是通过调节控制点的位置，再插值计算得到网格曲面上其它网格点的位置，再对各个网格进行一次纹理插值得到最终的模型变形效果，需要两次插值才能得到最终结果，这样时间代价高。且虽然自由变形的控制点个数相对于网格曲面的网格点个数是少了许多，但是数目仍然不少，造成计算复杂度高。最后，由于自由变形技术的控制点不直接作用到图形上，所以不能精确控制图形中特征点要变形到的位置，很难保持输入图形的几何细节,它一般只适用于光滑图形的变形。

发明内容

为了解决上述现有技术存在的问题，本发明公开一种基于四面体坐标系的三维图形的变形方法，所述变形方法包括步骤：a）输入三维图形；b）标定四面体的顶点；c）获得三维图形上的每一个点在四面体中的四面体坐标值；d）拖动四面体的顶点，以使四面体变形；e）获得变形后的三维图形。

此外，当所述三维图形的变形是基于多个四面体坐标系时，在步骤b）中，通过标定多个四面体的顶点，以将所述三维图形进行四面体网格划分，所述四面体网格的划分方法包括如下步骤：b1）建立一长方体；b2）在所述三维图形上顺序标注n个特征点，且任意四个特征点不共面，其中，n为正整数；b3）按照标注所述特征点的顺序，生成多个四面体作为四面体网格。

此外，所述四面体网格将所述三维图形完全包络。

此外，所述长方体将所述三维图形完全包络。

此外，在步骤b3）中，生成所述四面体网格的具体实现方法包括如下步骤：b31）所述n个特征点中的第一个特征点将所述长方体划分为12个四面体；b32）所述n个特征点中的第二个特征点将其所属的四面体划分为四个新四面体，而后将所述第二个特征点所属的四面体删除，保留划分形成的四个新四面体，进而在所述长方体中形成15个四面体；b33）从所述n个特征点中的第三个特征点到第n个特征点，按照步骤b32）中的所述第二个特征点对其所属的四面体进行划分的方式对它们各自所属的四面体进行划分，而后将它们各自所属的四面体删除，进而在长方体中形成3n-9个四面体，该3n-9个四面体形成所述四面体网格。

此外，在步骤b31）中，所述第一个特征点将所述长方体划分为12个四面体的具体实现方法是：将所述长方体的每个面按该面的任意一条对角线分成两个三角形，所述第一个特征点与每个三角形构成一个四面体，进而将所述长方体划分为12个四面体。

此外，在步骤c）中，获得所述三维图形上的每一个点在其所属四面体中的四面体坐标值，其中，该每一个点的所属四面体为步骤b33）中形成的3n-9个四面体中的一个。

此外，在步骤d）中，将步骤b33）中形成的四面体的顶点进行移动，使得步骤b33）中形成的四面体变形为新四面体。

此外，在步骤e）中，根据步骤c）中求得的所述三维图形上的每一个点在其所属四面体中的四面体坐标值和该每一个点所属的四面体在步骤d）中形成的新四面体的顶点的笛卡尔坐标值，求得变形后的三维图形上的每一个点的笛卡尔坐标值，进而获得变形后的三维图形。

此外，变形前的多个四面体之间不交叉且不脱离，并且变形后的多个四面体之间不交叉且不脱离。

此外，当所述三维图形的变形是基于一个四面体坐标系时，在步骤b）中，通过在所述三维图形上标定四个不在同一个面上的特征点而构成一个四面体。

此外，在步骤c）中，根据所述三维图形上的每一个点的笛卡尔坐标值以及所述四面体的顶点的笛卡尔坐标值，获得所述三维图形上的每一个点在四面体中的四面体坐标值。

此外，在步骤e）中，根据步骤c）中求得的所述三维图形上的每一个点的四面体坐标值和步骤d）中形成的变形后的四面体的顶点的笛卡尔坐标值，求得变形后的三维图形上的每一个点的笛卡尔坐标值，进而获得变形后的三维图形。

本发明的基于四面体坐标系的三维图形的变形方法，通过在输入的三维图形上标注少量特征点，自动生成网格包络住整个三维图形，再通过直接拖动特征点的位置变化而插值一次得到最终的变形效果。且本发明的变形方法可以用并行计算实现，所以有操作简便、计算量小、实时观看效果，易于控制等优点。此外，本发明的变形方法属于线性变形，因此前后变换可逆，既可以在变形中能保持平面、直线所具有特定性质不变，也能利用特征点加密法实现平面向曲面的变形，具有灵活多用的特点。

附图说明

图1是根据本发明的实施例的用于定义四面体坐标系的四面体的示意图。

图2是根据本发明的实施例的基于四面体坐标系的三维图形的变形方法的流程图。

具体实施方式

现在对本发明的实施例进行详细的描述，其示例表示在附图中，其中，相同的标号始终表示相同部件。下面通过参照附图对实施例进行描述以解释本发明。在附图中，为了清晰起见，可以夸大层和区域的厚度。在下面的描述中，为了避免公知结构和/或功能的不必要的详细描述所导致的本发明构思的混淆，可省略公知结构和/或功能的不必要的详细描述。

实际中，通常利用笛卡尔坐标系来描述一个点的位置，但本发明提出了一种新的坐标系——四面体坐标系来描述一个点的位置，在这种坐标系里可以很容易实现三维图形的拓扑变形，因此，可以将这种方法应用到三维图形变形中。

以下将对本发明提出的四面体坐标系进行详细的说明。图1是根据本发明的实施例的用于定义四面体坐标系的四面体的示意图。

如图1所示，四面体ABCD内部有一个点P。在笛卡尔坐标系下，标记点P、A、B、C和D的笛卡尔坐标值分别为（Px，Py，Pz）、(Ax，Ay，Az)、(Bx，By，Bz)、(Cx，Cy，Cz)和(Dx，Dy，Dz)，则在四面体ABCD的四面体坐标系下，点P的四面体坐标值为（Pa，Pb，Pd），其中，Pa、Pb和Pd的值被下面的式（1）所定义。

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Pa}=\frac{V_{\mathrm{PBCD}}}{V_{\mathrm{ABCD}}}=\frac{\stackrel{\→}{\mathrm{CP}\·}(\stackrel{\→}{\mathrm{CB}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CD}})*\frac{1}{6}}{\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CA}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CB}})*\frac{1}{6}}=\frac{\stackrel{\→}{\mathrm{CP}\·}(\stackrel{\→}{\mathrm{CB}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CD}})}{\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CA}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CB}})}\\ \mathrm{Pb}=\frac{V_{\mathrm{PDAC}}}{V_{\mathrm{ABCD}}}=\frac{\stackrel{\→}{\mathrm{CP}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CA}})*\frac{1}{6}}{\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CA}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CB}})*\frac{1}{6}}=\frac{\stackrel{\→}{\mathrm{CP}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CA}})}{\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CA}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CB}})}\\ \mathrm{Pd}=\frac{V_{\mathrm{PABC}}}{V_{\mathrm{ABCD}}}=\frac{\stackrel{\→}{\mathrm{CP}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CA}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CB}})*\frac{1}{6}}{\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CA}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CB}})*\frac{1}{6}}=\frac{\stackrel{\→}{\mathrm{CP}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CA}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CB}})}{\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}\·(\stackrel{\→}{\mathrm{CA}}\×\stackrel{\→}{\mathrm{CB}})}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，V_PBCD、V_PDCA、V_PABC和V_ABCD分别表示四面体PBCD、PDCA、PABC和ABCD的体积；‘×’表示向量的叉乘；‘·’表示向量的点乘。

以下文中，将对上述的四面体坐标系的逆变换进行说明。四面体坐标系的逆变换指的是将四面体坐标系转换到笛卡尔坐标系。具体是：在笛卡尔坐标系下，当四面体ABCD的四个顶点A、B、C和D的位置发生移动变为顶点A′、B′、C′和D′，点P的位置也同样发生移动变为点P′，但是移动后点P′与四面体A′B′C′D′的各面形成的四面体与四面体A′B′C′D′的体积比与移动前点P与四面体ABCD的各面形成的四面体与四面体ABCD的体积比保持不变，即点P的四面体坐标不随所在四面体顶点的笛卡尔坐标的变化而改变。移动后的点P′的笛卡尔坐标就可以通过下面的式（2）得出。

$\left\{\begin{array}{c}{P}^{\′}x=\mathrm{Pa}*A^{\′}x+\mathrm{Pb}*B^{\′}x+\mathrm{Pd}*D^{\′}x+(1-\mathrm{Pa}-\mathrm{Pb}-\mathrm{Pd})*C^{\′}x\\ P^{\′}y=\mathrm{Pa}*A^{\′}y+\mathrm{Pb}*B^{\′}y+\mathrm{Pd}*D^{\′}y+(1-\mathrm{Pa}-\mathrm{Pb}-\mathrm{Pd})*C^{\′}y\\ P^{\′}z=\mathrm{Pa}*A^{\′}z+\mathrm{Pb}*B^{\′}z+\mathrm{Pd}*D^{\′}z+(1-\mathrm{Pa}-\mathrm{Pb}-\mathrm{Pd})*C^{\′}z\end{array}\right.---\left(2\right)$

此处： $P^{\′}=\left(\begin{array}{c}{P}^{\′}x\\ P^{\′}y\\ P^{\′}z\end{array}\right),$ $O=\left(\begin{array}{cccc}{A}^{\′}x& B^{\′}x& D^{\′}x& C^{\′}x\\ A^{\′}y& B^{\′}y& D^{\′}y& C^{\′}y\\ A^{\′}z& B^{\′}z& D^{\′}z& C^{\′}z\end{array}\right),$ $W=\left(\begin{array}{c}\mathrm{Pa}\\ \mathrm{Pb}\\ \mathrm{Pd}\\ 1-\mathrm{Pa}-\mathrm{Pb}-\mathrm{Pd}\end{array}\right)$

则式（2）可以表示为下面的式（3）。

P′=OW（3）

由式（2）和式（3）可以看出，笛卡尔坐标系与四面体坐标系之间的转换是线性变换。因此，上述的四面体坐标系所具有的性质包括如下几点：

（1）平移、旋转、缩放不变性。在四面体坐标系中，一个点的位置随着坐标系顶点而平移、旋转、放缩。

（2）在四面体坐标系中，线段随着坐标系原点而拓扑变形之后仍是线段。

（3）在四面体坐标系中，平面随着坐标系原点而拓扑变形之后仍是平面。

（4）拓扑变形的连续性。几何图形在相邻的2个四面体坐标系中的拓扑变形是连续的，这保证了拓扑变形的连续性。

以下将对基于四面体坐标系的三维图形的变形方法进行详细的描述。图2是根据本发明的实施例的基于四面体坐标系的三维图形的变形方法的流程图。

如图2所示，根据本发明的实施例的基于四面体坐标系的三维图形的变形方法包括步骤：

S1：输入三维图形；

S2：标定四面体的顶点；

S3：获得三维图形上每一个点在四面体中的四面体坐标值；

S4：拖动四面体的顶点，以使四面体变形；

S5：获得变形后的三维图形。

由于基于单个四面体坐标系的三维图形的变形方法和基于多个四面体坐标系的三维图形的变形方法在上述步骤的实现过程中并不完全相同，因此以下我们将对二者分别进行描述。首先，对基于单个四面体坐标系的三维图形的变形方法进行描述。

对基于单个四面体坐标系的三维图形的变形方法而言，在步骤S1中，输入的三维图形可以由现有技术中的一些3D设计软件设计而产生，例如，3DMax或Maya软件，也可以通过类似于OpenGL（OpenGraphicsLibrary）等开发工具开发而产生，在此不再详细阐述。

在步骤S2中，可在输入的三维图形上标定四个不在同一个面上的特征点，构成一个四面体。此外，也可在三维图形的周围标定四个不在同一个面上的特征点。

在步骤S3中，根据上述的式（1）求得三维图形上的每一个点的四面体坐标值。

在步骤S4中，可将步骤S2中形成的四面体的顶点（即上述的特征点）进行移动，使得步骤S2中形成的四面体改变为一个新四面体。另外，在该步骤中，可以通过移动步骤S2中形成的四面体的任意一个顶点、任意两个顶点、任意三个顶点或四个顶点来将步骤S2中形成的四面体改变为新四面体。

在步骤S5中，将步骤S3中根据式（1）求得的三维图形上的每一个点的四面体坐标值和步骤S4中形成的新四面体的顶点的笛卡尔坐标值代入上述的式（2）中，以求得变形后的三维图形上的每一个点的笛卡尔坐标值，继而获得变形后的三维图形。

此外，变形后的新四面体的各个顶点之间的连线不交叉。

由于基于单个四面体坐标系的三维图形只能进行简单的变形，例如，动画角色的表情设计、五官夸张变形或其他连续变形的设计中，当需要对三维图形进行较为复杂的变形时，就需要建立多个四面体坐标系（即形成四面体坐标系网格）。以下将对基于多个四面体坐标系的三维图形的变形方法进行描述。

对于基于多个四面体坐标系的三维图形的变形方法而言，在步骤S1中，输入的三维图形可以由现有技术中的一些3D设计软件设计而产生，例如，3DMax或Maya软件，也可以通过类似于OpenGL（OpenGraphicsLibrary）等开发工具开发而产生，在此也不再详细阐述。

在步骤S2中，通过标定多个四面体的顶点，以将三维图形进行四面体网格划分。此处，对三维图形进行四面体网格的划分方法在很大程度上决定了三维图形的变形效果的好坏，为了使得三维图形的变形效果好，本实施例提供了一种对三维图形自动进行四面体网格的划分方法，但本发明并不限于该划分方法，由于在实际中为了实现自然连续的变形效果，针对不同结构的三维图形，需要建立不同的四面体网格来覆盖和划分，例如球面四面体网格：即所有的四面体都有一个共同的顶点（即球心），所有四面体的其它三个顶点都在球面上，要求球面四面体网格互不交叉、互不脱离（此处的互不脱离指的是相邻四面体之间有且只有1个公共面）、完全包络三维图形。同样，也可以是球面四面体网格外接长方体网格，即在球面四面体网格外再加一个长方体，同样需要满足上述条件。。本实施例提供的划分方法要求将三维图形用四面体网格完全包络，其具体实现方法包括如下步骤：

S21：建立一长方体。其中，该长方体需将整个三维图形完全包络；

S22：在三维图形上顺序标注n个特征点作为特征点集（P1，P2，…，Pn），且任意四个特征点不共面，其中，n为正整数；

S23：按标注特征点时的顺序，生成多个四面体作为四面体集（T1，T2，…，Tm），即生成四面体网格。

在步骤S23中，生成多个四面体的具体实现方法包括如下步骤：

S231：步骤S22中的特征点集中的第一个特征点P1将步骤S21中建立的长方体划分为12个四面体；

S232：步骤S22中的特征点集中的第二个特征点P2将其所属的四面体划分为四个新四面体，而后将第二个特征点P2所属的四面体删除，保留划分形成的四个新四面体，进而在长方体中形成15个四面体。

S233：从所述第三个特征点到第n个特征点，按照步骤S232中的第二个特征点对其所属的四面体进行划分的方式对它们各自所属的四面体进行划分，而后将它们各自所属的四面体删除，进而在长方体中形成3n-9个四面体，即步骤S23中的四面体集（T1，T2，…，Tm）中的m为3n-9，该3n-9个四面体形成四面体网格。

步骤S23中的第一个特征点P1将步骤S21中建立的长方体划分为12个四面体的具体实现方法是：将长方体的每个面按该面的任意一条对角线分成两个三角形，第一个特征点P1与每个三角形构成一个四面体，进而将长方体划分为12个四面体。

在步骤S3中，根据上述的式（1）求得三维图形上的每一个点在其所属四面体（该所属四面体为步骤S233中形成的3n-9个四面体中的一个）中的四面体坐标值。

在步骤S4中，可将步骤S233中形成的四面体的顶点（即上述的特征点以及步骤S21中建立的长方体的8个顶点）进行移动，使得步骤S233中形成的四面体改变为新四面体。在该步骤中，按照三维图形变形的需求，可以移动步骤S233中形成的3n-9个四面体中的任意数量个四面体的顶点，并且对于3n-9个四面体中的一个四面体而言，可以移动该一个四面体的任意一个顶点、任意两个顶点、任意三个顶点或四个顶点。

在步骤S5中，将步骤S3中根据式（1）求得的三维图形上的每一个点在其所属四面体中的四面体坐标值和该每一个点所属的四面体在步骤S4中形成的新四面体的顶点的笛卡尔坐标值代入上述的式（2）中，以求得变形后的三维图形上的每一个点的笛卡尔坐标值，继而获得变形后的三维图形。

此外，四面体网格的拓扑结构在变形中是保持不变的。这就保证了三维图形变形前后的连续一致有效性。换句话说，在变形前，步骤S233中形成的3n-9个四面体之间不交叉且不脱离；在变形后，步骤S233中形成的3n-9个四面体之间亦不交叉且不脱离，并且变形前后的四面体网格（即3n-9个四面体）中各顶点间的连接关系不发生改变。

综上所述，根据本发明的实施例的基于四面体坐标系的三维图形的变形方法，通过在输入的三维图形上标注少量特征点，自动生成网格包络住整个三维图形，再通过直接拖动特征点的位置变化而插值一次得到最终的变形效果。且本发明的变形方法可以用并行计算实现，所以有操作简便、计算量小、实时观看效果，易于控制等优点。此外，本发明的变形方法属于线性变形，因此前后变换可逆，既可以在变形中能保持平面、直线所具有特定性质不变，也能利用特征点加密法实现平面向曲面的变形，具有灵活多用的特点。

尽管已经参照其示例性实施例具体显示和描述了本发明，但是本领域的技术人员应该理解，在不脱离权利要求所限定的本发明的精神和范围的情况下，可以对其进行形式和细节上的各种改变。

Claims (13)

1.一种基于四面体坐标系的三维图形的变形方法，其特征在于，所述变形方法包括步骤：

a)输入三维图形，并在所述三维图形中形成四面体；

b)标定四面体的顶点；

c)获得三维图形上的每一个点在四面体中的四面体坐标值；其中，所述四面体坐标值为三维图形上的每一个点与对应的四面体的三个顶点构成的四面体与在所述三维图形中形成的四面体的体积比；

d)拖动四面体的顶点，以使四面体变形；

e)获得变形后的三维图形。

2.根据权利要求1所述的变形方法，其特征在于，当所述三维图形的变形是基于多个四面体坐标系时，在步骤b)中，通过标定多个四面体的顶点，以将所述三维图形进行四面体网格划分，所述四面体网格的划分方法包括如下步骤：

b1)建立一长方体；

b2)在所述三维图形上顺序标注n个特征点，且任意四个特征点不共面，其中，n为正整数；

b3)按照标注所述特征点的顺序，生成多个四面体作为所述四面体网格。

3.根据权利要求2所述的变形方法，其特征在于，所述长方体将所述三维图形完全包络。

4.根据权利要求3所述的变形方法，其特征在于，所述四面体网格将所述三维图形完全包络。

5.根据权利要求4所述的变形方法，其特征在于，在步骤b3)中，生成所述四面体网格的具体实现方法包括如下步骤：

b31)所述n个特征点中的第一个特征点将所述长方体划分为12个四面体；

b32)所述n个特征点中的第二个特征点将其所属的四面体划分为四个新四面体，而后将所述第二个特征点所属的四面体删除，保留划分形成的四个新四面体，进而在所述长方体中形成15个四面体；

b33)从所述n个特征点中的第三个特征点到第n个特征点，按照步骤b32)中的所述第二个特征点对其所属的四面体进行划分的方式对它们各自所属的四面体进行划分，而后将它们各自所属的四面体删除，进而在长方体中形成3n-9个四面体，该3n-9个四面体形成所述四面体网格。

6.根据权利要求5所述的变形方法，其特征在于，在步骤b31)中，所述第一个特征点将所述长方体划分为12个四面体的具体实现方法是：将所述长方体的每个面按该面的任意一条对角线分成两个三角形，所述第一个特征点与每个三角形构成一个四面体，进而将所述长方体划分为12个四面体。

7.根据权利要求5或6所述的变形方法，其特征在于，在步骤c)中，获得所述三维图形上的每一个点在其所属四面体中的四面体坐标值，其中，该每一个点的所属四面体为步骤b33)中形成的3n-9个四面体中的一个。

8.根据权利要求7所述的变形方法，其特征在于，在步骤d)中，将步骤b33)中形成的四面体的顶点进行移动，使得步骤b33)中形成的四面体变形为新四面体。

9.根据权利要求8所述的变形方法，其特征在于，在步骤e)中，根据步骤c)中求得的所述三维图形上的每一个点在其所属四面体中的四面体坐标值和该每一个点所属的四面体在步骤d)中形成的新四面体的顶点的笛卡尔坐标值，求得变形后的三维图形上的每一个点的笛卡尔坐标值，进而获得变形后的三维图形。

10.根据权利要求8所述的变形方法，其特征在于，变形前的3n-9个四面体之间不交叉且不脱离，变形后的3n-9个四面体之间不交叉且不脱离，并且变形前后的所述四面体网格中各顶点间的连接关系不发生改变。

11.根据权利要求1所述的变形方法，其特征在于，当所述三维图形的变形是基于一个四面体坐标系时，在步骤b)中，通过在所述三维图形上标定四个不在同一个面上的特征点而构成一个四面体。

12.根据权利要求11所述的变形方法，其特征在于，在步骤c)中，根据所述三维图形上的每一个点的笛卡尔坐标值以及所述四面体的顶点的笛卡尔坐标值，获得所述三维图形上的每一个点在四面体中的四面体坐标值。

13.根据权利要求12所述的变形方法，其特征在于，在步骤e)中，根据步骤c)中求得的所述三维图形上的每一个点的四面体坐标值和步骤d)中形成的变形后的四面体的顶点的笛卡尔坐标值，求得变形后的三维图形上的每一个点的笛卡尔坐标值，进而获得变形后的三维图形。