CN103203371B - 冷轧机辊缝位置压力双闭环控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及冷轧带钢轧制领域冷轧机辊缝位置压力双闭环控制方法，适用于冷轧机主压上为轧制力控制模式。该方法包括的内容是：轧机附加倾斜后双侧非对称轧制力计算；根据卡氏能量定理推导了适于非对称轧制计算的支撑辊、工作辊简支梁形式的弹性弯曲影响函数；辊系变形理论和金属横向流动理论的有效整合；对传统辊系变形理论中的变形协调方程进行了有效的改进；考虑到理论计算的误差，对理论计算模型进行实时在线自适应修正。本技术的应用能够有效抑制因倾斜调整过量而导致的断带事故的发生，同时对单边浪的控制具有显著的效果。

Description

冷轧机辊缝位置压力双闭环控制方法

技术领域

本发明涉及冷轧带钢轧制领域，适用于冷轧机主压上为轧制力控制模式。本技术的应用能够有效抑制因倾斜调整过量而导致的断带事故的发生，同时对单边浪的控制具有显著的效果。

背景技术

板厚精度和板形是决定板带材几何尺寸精度的两大质量指标。板厚精度的控制，经过多年的发展已日趋完善。而板形控制由于影响因素复杂多变，在基础理论、检测技术和控制技术等方面还有许多问题没有得到根本解决，时至今日，有关板形控制理论和控制技术的研究仍然在不断完善和更新。

冷轧带钢板形控制包括：目标板形的设定、板形的测量、实测数据的处理及板形控制执行机构的调整。对采集到的板形实际测量数据，通常采用一个多项式进行回归和正交分解，分解成一次、二次、三次、四次和高次板形分量，以各分量的实测值和目标值的偏差为调整量，利用弯辊、轧辊横移、分段冷却和轧辊倾斜来消除各种板形缺陷。调整弯辊力可以改变辊缝的凸度，消除板形偏差中的二次和四次分量。轧辊横移可以改变辊系的接触状态，消除工作辊有害弯矩的影响，提高弯辊效率及减小带钢的边部减薄。无法通过轧辊倾斜和弯辊控制消除的高次分量板形缺陷，可用分段冷却进行控制。

轧辊倾斜是通过调整传动侧和操作侧支撑辊液压缸的位置实现的，属于位置控制。轧辊倾斜后，构成楔形辊缝，用于消除板形偏差分量中的一次和三次非对称板形缺陷。冷轧机的倾斜控制系统嵌入在压上控制系统中，压上系统的控制方式有两种：位置控制和轧制力控制。若压上系统采用位置控制方式，倾斜控制嵌入其中后，设定值均属于位置量纲，其控制系统的稳定性是毋庸置疑的。如图1所示，若压上系统采用轧制力控制方式，倾斜控制嵌入其中，就构成了位置和压力双闭环控制系统。受液压系统油源压力和压上缸尺寸限制，轧制力设定值无需限幅控制，而倾斜设定值给定一个2.0mm的定值限幅。倾斜控制的设定值由人工干预量、轧机标定倾斜量、带钢张力偏差调整量和板形倾斜调整量叠加构成。

不同厚度、不同宽度、不同来料楔形和不同材质的冷轧带钢，同时受边部厚度、边部质量和板形测量系统精度的影响，倾斜设定值的2.0mm固定值限幅显然过大，倾斜设定值稍有调节不当，就会导致带钢断带。图2为实际轧制断带过程中的倾斜、两侧轧制力和轧制力差值的PDA曲线，当倾斜设定值恒定时，传动侧和操作侧的轧制力差值基本保持恒定，随着倾斜实际值的增大，轧制力差值本应继续增大，但却保持定值，至后来急剧减小，说明带钢已出现边部裂纹，断带过程开始。分析原因：一是倾斜设定值调节过大；二是带钢的边部质量存在缺陷。判断轧制过程中是否断带的PDA曲线如图3所示，断带停车信号由轧机主传动系统发出，判断依据为：轧制速度不为0且张力为0。

在带钢发生断带前，已开始出现明显的断带征兆：轧辊的倾斜已发生较大的变化，但操作侧与传动侧的轧制力差值仍然保持不变。由于倾斜的限幅值为±1.0mm，断带前20s内，倾斜已达到限幅值，而轧制力的差值未随着倾斜的变化而变化。这时若能限制倾斜值的继续增大或及时停车，则能避免断带事故的发生。

发明内容

本发明的目的是提供一种冷轧机辊缝位置压力双闭环控制方法，该方法的应用能够有效抑制因倾斜调整过量而导致的断带事故的发生，同时对单边浪的控制具有显著的效果。

为实现上述目的，本发明通过以下技术方案实现：

冷轧机辊缝位置压力双闭环控制方法，轧机附加倾斜后双侧非对称轧制力计算；根据卡氏能量定理推导了适于非对称轧制计算的支撑辊、工作辊简支梁形式的弹性弯曲影响函数；辊系变形理论和金属横向流动理论的有效整合；对传统辊系变形理论中的变形协调方程进行了有效的改进；考虑到理论计算的误差，对理论计算模型进行实时在线自适应修正；

轧机支撑辊附加倾斜后轧制变形区已不再是传统意义上的以轧制中心线为中心左右对称，而是非对称的，进行非对称计算时，左右两侧的轧制力是未知数；进行计算时单元划分为沿辊全身自左向右排列，推导支撑辊弯曲影响函数为：

$g_b(i,j)=\frac{1}{{3E}_b{I}_{b1}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\frac{l_b-x_j}{l_b}{l}_O^3+\frac{1}{{3E}_b{I}_{b2}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\frac{l_b-x_j}{l_b}(x_j^3-l_O^3)$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b2}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\{-\frac{x_j}{l_b}\frac{1}{3}[x_i^3-x_j^3]+\frac{1}{2}{x}_j[x_i^2-x_j^2\left]\right\}$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b2}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_b^2}\frac{1}{3}\right[l_D^3-x_i^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_b}[l_D^2-x_i^2]+x_i{x}_j[l_D-x_i\left]\right\}$

$\begin{array}{cc}+\frac{1}{E_b{I}_{b1}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_b^2}\frac{1}{3}\right[l_b^3-l_D^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_b}[l_b^2-l_D^2]+x_i{x}_j[l_b-l_D\left]\right\}& \left(x_i{>x}_j\right)\end{array}$

$+\frac{\mathrm{\Φ}}{{\mathrm{GA}}_{b1}}\frac{l_b-x_j}{l_b}\frac{l_b-x_i}{l_b}{l}_O+\frac{\mathrm{\Φ}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}\frac{l_b-x_j}{l_b}\frac{l_b-x_i}{l_b}(x_j-l_O)$

$+\frac{\mathrm{\Φ}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}(-\frac{x_j}{l_b})\frac{l_b-x_i}{l_b}(x_i-x_j)+\frac{\mathrm{\Φ}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}(-\frac{x_j}{l_b})\frac{l_b-x_i}{l_b}(l_D-x_i)$

$+\frac{\mathrm{\Φ}}{{\mathrm{GA}}_{b1}}\left(\frac{x_j{x}_i}{l_b^2}\right)(l_b-l_D)$

$g_b(i,j)=\frac{1}{{3E}_b{I}_{b1}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\frac{l_b-x_j}{l_b}{l}_O^3+\frac{1}{{3E}_b{I}_{b2}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\frac{l_b-x_j}{l_b}(x_i^3-l_O^3)$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b2}}\frac{l_b-x_j}{l_b}[\frac{x_i}{2}(x_j^2-x_i^2)-\frac{x_i}{{3l}_b}(x_j^3-x_i^3)]$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b2}}[\frac{x_i{x}_j}{l_b^2}\frac{1}{3}(l_D^3-x_j^3)-\frac{x_i{x}_j}{l_b}(l_D^2-x_j^2)+x_i{x}_j(l_D-x_j)]$

$\begin{array}{cc}+\frac{1}{E_b{I}_{b1}}[\frac{x_i{x}_j}{l_b^2}\frac{1}{3}(l_b^3-l_D^3)-\frac{x_i{x}_j}{l_b}(l_b^2-l_D^2)+x_i{x}_j(l_b-l_D)]& \left(x_i{<x}_j\right)\end{array}$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b1}}\frac{l_b-x_j}{l_b}\frac{l_b-x_i}{l_b}{l}_O+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}\frac{l_b-x_j}{l_b}\frac{l_b-x_i}{l_b}(x_i-l_O)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}\frac{l_b-x_j}{l_b}(-\frac{x_i}{l_b})(x_j-x_i)+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}\left(\frac{x_j{x}_i}{l_b^2}\right)(l_D-x_j)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b1}}\left(\frac{x_j{x}_i}{l_b^2}\right)(l_b-l_D)$

工作辊弯曲影响函数为：

$g_w(i,j)=\frac{1}{{3E}_w{I}_{w1}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\frac{l_w-x_j}{l_w}{l}_{\mathrm{OW}}^3+\frac{1}{{3E}_w{I}_{w2}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\frac{l_w-x_j}{l_w}(x_j^3-l_{\mathrm{OW}}^3)$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w2}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\{-\frac{x_j}{l_w}\frac{1}{3}[x_i^3-x_j^3]+\frac{1}{2}{x}_j[x_i^2-x_j^2\left]\right\}$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w2}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_w^2}\frac{1}{3}\right[l_{\mathrm{DW}}^3-x_i^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_w}[l_{\mathrm{DW}}^2-x_i^2]+x_i{x}_j[l_{\mathrm{DW}}-x_i\left]\right\}$

$\begin{array}{cc}+\frac{1}{E_w{I}_{w1}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_w^2}\frac{1}{3}\right[l_w^3-l_{\mathrm{DW}}^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_w}[l_w^2-l_{\mathrm{DW}}^2]+x_i{x}_j[l_w-l_{\mathrm{DW}}\left]\right\}& \left(x_i{>x}_j\right)\end{array}$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w1}}\frac{l_w-x_j}{l_w}\frac{l_w-x_i}{l_w}{l}_{\mathrm{OW}}+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}\frac{l_w-x_j}{l_w}\frac{l_w-x_i}{l_w}(x_j-l_{\mathrm{OW}})$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}(-\frac{x_j}{l_w})\frac{l_w-x_i}{l_w}(x_i-x_j)+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}(-\frac{x_j}{l_w})\frac{l_w-x_i}{l_w}(l_{\mathrm{DW}}-x_i)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w1}}\left(\frac{x_j{x}_i}{l_w^2}\right)(l_w-l_{\mathrm{DW}})$

$g_w(i,j)=\frac{1}{{3E}_w{I}_{w1}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\frac{l_w-x_j}{l_w}{l}_{\mathrm{OW}}^3+\frac{1}{{3E}_w{I}_{w2}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\frac{l_w-x_j}{l_w}(x_j^3-l_{\mathrm{OW}}^3)$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w2}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\{-\frac{x_j}{l_w}\frac{1}{3}[x_i^3-x_j^3]+\frac{1}{2}{x}_j[x_i^2-x_j^2\left]\right\}$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w2}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_w^2}\frac{1}{3}\right[l_{\mathrm{DW}}^3-x_i^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_w}[l_{\mathrm{DW}}^2-x_i^2]+x_i{x}_j[l_{\mathrm{DW}}-x_i\left]\right\}$

$\begin{array}{cc}+\frac{1}{E_w{I}_{w1}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_w^2}\frac{1}{3}\right[l_w^3-l_{\mathrm{DW}}^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_w}[l_w^2-l_{\mathrm{DW}}^2]+x_i{x}_j[l_w-l_{\mathrm{DW}}\left]\right\}& \left(x_i{<x}_j\right)\end{array}$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w1}}\frac{l_w-x_j}{l_w}\frac{l_w-x_i}{l_w}{l}_{\mathrm{OW}}+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}\frac{l_w-x_j}{l_w}\frac{l_w-x_i}{l_w}(x_j-l_{\mathrm{OW}})$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}(-\frac{x_j}{l_w})\frac{l_w-x_i}{l_w}(x_i-x_j)+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}(-\frac{x_j}{l_w})\frac{l_w-x_i}{l_w}(l_{\mathrm{DW}}-x_i)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w1}}\left(\frac{x_j{x}_i}{l_w^2}\right)(l_w-l_{\mathrm{DW}})$

工作辊和支撑辊间的变形协调方程为：

式中

$\stackrel{r}{T}={\left[\begin{array}{cccc}t\left(1\right)& t\left(2\right)& L& t\left(\mathrm{NB}\right)\end{array}\right]}^T$ 为支撑辊的倾斜向量；

${\stackrel{r}{Y}}_{\mathrm{wb}}={\left[\begin{array}{cccc}{y}_{\mathrm{wb}}\left(1\right)& y_{\mathrm{wb}}\left(2\right)& L& y_{\mathrm{wb}}\left(n\right)\end{array}\right]}^T$ 为辊间压扁向量，

${\stackrel{r}{Y}}_{\mathrm{wb}0}={\left[\begin{array}{cccc}{y}_{\mathrm{wb}0}\left(0\right)& y_{\mathrm{wb}0}\left(0\right)& L& y_{\mathrm{wb}0}\left(0\right)\end{array}\right]}^T$ 是常向量，即辊面中心处的压扁量；

${\stackrel{r}{M}}_b={\left[\begin{array}{cccc}{m}_b\left(1\right)& m_b\left(2\right)& L& m_b\left(n\right)\end{array}\right]}^T$ 是支撑辊凸度向量；

${\stackrel{r}{M}}_w={\left[\begin{array}{cccc}{m}_w\left(1\right)& m_w\left(2\right)& L& m_w\left(n\right)\end{array}\right]}^T$ 是工作辊凸度向量。

附加倾斜后通过辊系变形和变形区金属横向流动计算，最终可获得两侧轧制力及差值为：

传动侧轧制力： $F_D=\frac{1}{l_b}\underset{i=1}{\overset{\mathrm{NB}}{\mathrm{\&Sigma;}}}q\left(i\right)X\left(i\right)$

操作侧轧制力为： $F_O=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{NB}}{\mathrm{\&Sigma;}}}q\left(i\right)-F_D$

两侧轧制力差为：ΔF＝F_D-F_O

以轧制力差值为自变量，以倾斜为因变量，用多项式拟合出轧制力差值和倾斜的函数关系为

$\mathrm{tilt}=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_0\left(i\right){\left(\mathrm{\&Delta;F}\right)}^i$

式中：a₀为拟合系数。

为消除理论计算模型的误差，可根据检测的实际轧制力差和实际倾斜数据对[ΔF_act(k)，tilt_act(k)](k＝1，2，3，…)，用最小二乘法，依据误差平方和最小原理动态修正倾斜-轧制力差多项式中的各项系数，修正后轧制力差值和倾斜的函数关系为

$\mathrm{tilt}=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_1\left(i\right){\left(\mathrm{\&Delta;F}\right)}^i.$

式中：a₁为修正后多项式系数。

本发明的有益效果是：该方法的应用能够有效抑制因倾斜调整过量而导致的断带事故的发生，同时对单边浪的控制具有显著的效果。

附图说明

图1冷轧机位置和压力双闭环控制系统图2轧机工作辊对称弯辊液压原理图；

图2实际断带过程的轧制力和倾斜PDA曲线；

图3实际轧制过程中断带信号PDA曲线；

图4两侧轧制力差值计算流程；

图5轧辊轧件离散编码；

图6支撑辊受力图(xi＞xj)；

图7支撑辊受力图(xi＜xj)；

图8工作辊受力图(xi＞xj)；

图9工作辊受力图(xi＜xj)；

图10悬臂梁式工作辊受力图；

图11横向分布张力计算中带钢单元划分；

图12支撑辊受力分析；

图13计算结果；

图14改进后的位置轧制力双闭环控制系统。

具体实施方式

一种冷轧机辊缝位置压力双闭环控制方法，通过影响函数法计算附加倾斜后辊系变形，同时用三次样条函数拟合轧制入、出口厚度分布进行张力修正，最后得出不同厚度、不同宽度和不同材质坯料在附加倾斜后双侧轧制力差值和倾斜之间的关系，用轧制力差值动态修正倾斜设定值的限幅。

板带材的轧制过程是一个极其复杂的金属压力加工过程，轧后板带材的板凸度和板形决定于轧件在辊缝中的三维变形。金属三维塑性变形模型为辊系变形模型提供轧制压力及其横向分布，辊系变形模型为金属三维塑性变形模型提供轧后带材厚度横向分布。因此依据金属的三维变形模型和辊系变形模型，可以计算出倾斜与两侧轧制力差间的关系，具体计算流程见图4。

影响函数方法是一种离散化的方法。它的基本思想是，将轧辊离散成若干单元，将轧辊所承受的载荷及轧辊弹性变形也按相同单元离散化，应用数学物理中关于影响函数的概念先确定对各单元施加单位力时在各点引起的变形，然后将全部载荷作用时在各单元引起的变形叠加，就得出各单元的变形量，从而可以计算出口处的厚度分布，结合金属在辊缝中的横向流动可计算出出口带钢张力分布。

本文以四辊轧制为例计算附加倾斜与两侧轧制力差值的关系，该方法也可以推广到六辊轧机。

1离散化

轧件和轧辊离散化过程有两种编号方法，第1中方法是沿辊全身自左向右排列，第2种方法是由轧辊中心向左右两端排列。考虑轧制的对称性，目前国内外的参考文献均采用第2中离散编号方法。由于本技术应用的特殊性，附加倾斜后轧制变形区已不再是以轧制线为中心左右对称，因此工作辊和支撑辊的单元离散编码方法采用第1种编码方法，见图5。

2支撑辊弹性弯曲影响函数g_b

2.1支撑辊弹性弯曲影响函数g_b(xi＞xj)

支撑辊的受力可简化为如图6所示的简支梁形式，影响函数可用卡氏定理求出。在距离左支撑点距离为xj点作用单位力1，在距离左支撑点距离为xi点作用虚力且xi＞xj，则在xi点的变形量，即xj点对xi点的影响函数为：

$g_b(i,j)=\frac{1}{{3E}_b{I}_{b1}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\frac{l_b-x_j}{l_b}{l}_O^3+\frac{1}{{3E}_b{I}_{b2}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\frac{l_b-x_j}{l_b}(x_j^3-l_O^3)$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b2}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\{-\frac{x_j}{l_b}\frac{1}{3}[x_i^3-x_j^3]+\frac{1}{2}{x}_j[x_i^2-x_j^2\left]\right\}$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b2}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_b^2}\frac{1}{3}\right[l_D^3-x_i^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_b}[l_D^2-x_i^2]+x_i{x}_j[l_D-x_i\left]\right\}$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b1}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_b^2}\frac{1}{3}\right[l_b^3-l_D^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_b}[l_b^2-l_D^2]+x_i{x}_j[l_b-l_D\left]\right\}$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b1}}\frac{l_b-x_j}{l_b}\frac{l_b-x_i}{l_b}{l}_O+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}\frac{l_b-x_j}{l_b}\frac{l_b-x_i}{l_b}(x_j-l_O)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}(-\frac{x_j}{l_b})\frac{l_b-x_i}{l_b}(x_i-x_j)+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}(-\frac{x_j}{l_b})\frac{l_b-x_i}{l_b}(l_D-x_i)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b1}}\left(\frac{x_j{x}_i}{l_b^2}\right)(l_b-l_D)$

式中，E_b为支撑辊弹性模量；I_b1、I_b2为支撑辊轴径和辊身的抗弯截面系数；Φ为剪切变形能系数，Φ＝10//9；G为剪切弹性模量；A_b1为轴径处的横截面积；A_b2为辊身的横截面积。

2.2支撑辊弹性弯曲影响函数g_b(xi＜xj)

如图7所示，当xi＜xj时，在距离左支撑点距离为xj点作用单位力1，在距离左支撑点距离为xi点作用虚力xj点对xi点的影响函数可用卡氏定理求出。

$g_b(i,j)=\frac{1}{{3E}_b{I}_{b1}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\frac{l_b-x_j}{l_b}{l}_O^3+\frac{1}{{3E}_b{I}_{b2}}\frac{l_b-x_i}{l_b}\frac{l_b-x_j}{l_b}(x_i^3-l_O^3)$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b2}}\frac{l_b-x_j}{l_b}[\frac{x_i}{2}(x_j^2-x_i^2)-\frac{x_i}{{3l}_b}(x_j^3-x_i^3)]$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b2}}[\frac{x_i{x}_j}{l_b^2}\frac{1}{3}(l_D^3-x_j^3)-\frac{x_i{x}_j}{l_b}(l_D^2-x_j^2)+x_i{x}_j(l_D-x_j)]$

$+\frac{1}{E_b{I}_{b1}}[\frac{x_i{x}_j}{l_b^2}\frac{1}{3}(l_b^3-l_D^3)-\frac{x_i{x}_j}{l_b}(l_b^2-l_D^2)+x_i{x}_j(l_b-l_D)]$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b1}}\frac{l_b-x_j}{l_b}\frac{l_b-x_i}{l_b}{l}_O+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}\frac{l_b-x_j}{l_b}\frac{l_b-x_i}{l_b}(x_j-l_O)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}\frac{l_b-x_j}{l_b}(-\frac{x_i}{l_b})(x_j-x_i)+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b2}}(-\frac{x_j{x}_i}{l_b^2})(l_D-x_j)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{b1}}\left(\frac{x_j{x}_i}{l_b^2}\right)(l_b-l_D)$

式中，E_b为支撑辊弹性模量；I_b1、I_b2为支撑辊轴径和辊身的抗弯截面系数；Φ为剪切变形能系数，Φ＝10//9；G为剪切弹性模量；A_b1为轴径处的横截面积；A_b2为辊身的横截面积。

支撑辊弯曲影响函数写成矩阵形式为

3工作辊弹性弯曲影响函数g_w

3.1工作辊弹性弯曲影响函数g_w(xi＞xj)

如图8所示，当xi＞xj时，在距离左支撑点距离为xj点作用单位力1，在距离左支撑点距离为xi点作用虚力xj点对xi点的影响函数可用卡氏定理求出。

$g_w(i,j)=\frac{1}{{3E}_w{I}_{w1}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\frac{l_w-x_j}{l_w}{l}_{\mathrm{OW}}^3+\frac{1}{{3E}_w{I}_{w2}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\frac{l_w-x_j}{l_w}(x_j^3-l_{\mathrm{OW}}^3)$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w2}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\{-\frac{x_j}{l_w}\frac{1}{3}[x_i^3-x_j^3]+\frac{1}{2}{x}_j[x_i^2-x_j^2\left]\right\}$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w2}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_w^2}\frac{1}{3}\right[l_{\mathrm{DW}}^3-x_i^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_w}[l_{\mathrm{DW}}^2-x_i^2]+x_i{x}_j[l_{\mathrm{DW}}-x_i\left]\right\}$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w1}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_w^2}\frac{1}{3}\right[l_w^3-l_{\mathrm{DW}}^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_w}[l_w^2-l_{\mathrm{DW}}^2]+x_i{x}_j[l_w-l_{\mathrm{DW}}\left]\right\}$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w1}}\frac{l_w-x_j}{l_w}\frac{l_w-x_i}{l_w}{l}_{\mathrm{OW}}+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}\frac{l_w-x_j}{l_w}\frac{l_w-x_i}{l_w}(x_j-l_{\mathrm{OW}})$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}(-\frac{x_j}{l_w})\frac{l_w-x_i}{l_w}(x_i-x_j)+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}(-\frac{x_j}{l_w})\frac{l_w-x_i}{l_w}(l_{\mathrm{DW}}-x_i)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w1}}\left(\frac{x_j{x}_i}{l_w^2}\right)(l_w-l_{\mathrm{DW}})$

式中，E_w为工作辊弹性模量；I_w1、I_w2为工作辊轴径和辊身的抗弯截面系数；Φ为剪切变形能系数，Φ＝10//9；G为剪切弹性模量；A_w1为工作辊轴径处的横截面积；A_w2为工作辊辊身的横截面积。

3.2工作辊弹性弯曲影响函数g_w(xi＜xj)

如图9所示，当xi＜xj时，在距离左支撑点距离为xj点作用单位力1，在距离左支撑点距离为xi点作用虚力xj点对xi点的影响函数可用卡氏定理求出。

$g_w(i,j)=\frac{1}{{3E}_w{I}_{w1}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\frac{l_w-x_j}{l_w}{l}_{\mathrm{OW}}^3+\frac{1}{{3E}_w{I}_{w2}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\frac{l_w-x_j}{l_w}(x_j^3-l_{\mathrm{OW}}^3)$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w2}}\frac{l_w-x_i}{l_w}\{-\frac{x_j}{l_w}\frac{1}{3}[x_i^3-x_j^3]+\frac{1}{2}{x}_j[x_i^2-x_j^2\left]\right\}$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w2}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_w^2}\frac{1}{3}\right[l_{\mathrm{DW}}^3-x_i^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_w}[l_{\mathrm{DW}}^2-x_i^2]+x_i{x}_j[l_{\mathrm{DW}}-x_i\left]\right\}$

$+\frac{1}{E_w{I}_{w1}}\left\{\frac{x_i{x}_j}{l_w^2}\frac{1}{3}\right[l_w^3-l_{\mathrm{DW}}^3]-\frac{x_i{x}_j}{l_w}[l_w^2-l_{\mathrm{DW}}^2]+x_i{x}_j[l_w-l_{\mathrm{DW}}\left]\right\}$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w1}}\frac{l_w-x_j}{l_w}\frac{l_w-x_i}{l_w}{l}_{\mathrm{OW}}+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}\frac{l_w-x_j}{l_w}\frac{l_w-x_i}{l_w}(x_j-l_{\mathrm{OW}})$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}(-\frac{x_j}{l_w})\frac{l_w-x_i}{l_w}(x_i-x_j)+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w2}}(-\frac{x_j}{l_w})\frac{l_w-x_i}{l_w}(l_{\mathrm{DW}}-x_i)$

$+\frac{\mathrm{\&Phi;}}{{\mathrm{GA}}_{w1}}\left(\frac{x_j{x}_i}{l_w^2}\right)(l_w-l_{\mathrm{DW}})$

式中，E_w为工作辊弹性模量；I_w1、I_w2为工作辊轴径和辊身的抗弯截面系数；Φ为剪切变形能系数，Φ＝10//9；G为剪切弹性模量；A_w1为工作辊轴径处的横截面积；A_w2为工作辊辊身的横截面积。

工作辊弹性弯曲影响函数写成矩阵形式为

4轧件和工作辊弹性压扁影响函数g_ws

轧件和工作辊间由轧制压力引起的工作辊弹性压扁采用户泽推导的工作辊弹性压扁影响函数公式，按照中岛修正理论进行修正后，工作辊弹性压扁影响函数为

$g_{\mathrm{ws}}(i,j)=\frac{1-v_w^2}{{\mathrm{\&pi;E}}_w\mathrm{\&Delta;x}}\{\ln \frac{\sqrt{l_d^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}{\sqrt{l_d^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}$

$+\frac{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}{l_d}\ln \frac{\sqrt{l_d^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+l_d}{|X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}|}-\frac{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}{l_d}\ln \frac{\sqrt{l_d^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+l_d}{|X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}|}\}$

$-\frac{1}{2(1-v_w)}\&times;[\frac{X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}{\sqrt{{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_w^2}}-\frac{X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}{\sqrt{{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_w^2}}]$

$-\ln \frac{\sqrt{{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_w^2}-(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}{\sqrt{{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_w^2}-(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}\}$

式中E_w为工作辊的弹性模量；v_w为工作辊的泊松比；Δx为各单元宽度；l_d为第j单元轧件和工作辊接触弧长度，可由希契柯克公式确定，l_d沿板宽方向是一个变量，随各单元轧制压力不同而不同；X_i为第j单元中心点至第i单元中心点的距离；R_w为工作辊半径。

轧制压力引起的工作辊弹性压扁影响函数写成矩阵形式为

5工作辊弯辊力影响函数Gf

如图10所示，在轧制中心xj处的工作辊轴端支撑处作用单位载荷，由其引起的工作辊弹性变形，即工作辊弯辊力影响函数，可由卡氏定理求出。

$g_f\left(i\right)=\frac{1}{{2E}_w{I}_{w1}}[x_i^2{x}_j-\frac{1}{3}{x}_i^3]=\frac{1}{{6E}_w{I}_{w1}}[x_i^2(\frac{{3l}_B}{2}-x_i)+\frac{5}{6}(1+\mathrm{\&upsi;})D_w^2{x}_i]$

式中，E_w为工作辊弹性模量；I_w1为工作辊辊身的抗弯截面系数；D_w为工作辊直径。

工作辊弯辊力影响函数的矩阵形式为

${\stackrel{r}{G}}_f={\left[\begin{array}{cccc}{g}_f\left(1\right)& g_f\left(2\right)& L& g_f\left(\mathrm{NW}\right)\end{array}\right]}^T$

6辊间压扁影响函数g_wb

辊间压扁影响函数为：

$g_{\mathrm{wb}}^b(i,j)=\frac{1-v_b^2}{{\mathrm{\&pi;E}}_b}.\frac{3}{4\mathrm{b\&Delta;x}}\&times;\{2b\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}$

$+2(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+b}{|X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}|}-2(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+b}{|X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}|}$

$-\frac{1}{b^2}[-\frac{b}{3}(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+\frac{b}{3}(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}$

$+\frac{2}{3}{b}^3\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}-(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}-(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}+\frac{1}{6}{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^3\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+b}{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}-b}$

$-\frac{1}{6}{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^3\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+b}{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}-b}\left]\right\}$

$-\frac{1-v_b^2}{{\mathrm{\&pi;E}}_b\mathrm{\&Delta;x}}\left\{\frac{1}{2(1-v_b)}\right[\frac{X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}{\sqrt{{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_b^2}}-\frac{X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}{\sqrt{{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_b^2}}]$

$+\ln \frac{\sqrt{{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_b^2}-(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}{\sqrt{{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_b^2}-(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}\}$

式中，v_b为支撑辊的泊松比；E_b为支承辊的弹性模量；b为j单元辊间接触区宽度的一半，由Herz公式计算；X_i为第j单元中点至第i单元中点的距离；Δx为各单元的宽度；R_b为支撑辊的半径。

工作辊的压扁影响函数为

$g_{\mathrm{wb}}^w(i,j)=\frac{1-v_w^2}{{\mathrm{\&pi;E}}_w}.\frac{3}{4\mathrm{b\&Delta;x}}\&times;\{2b\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}$

$+2(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+b}{|X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}|}-2(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+b}{|X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}|}$

$-\frac{1}{b^2}[-\frac{b}{3}(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+\frac{b}{3}(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}$

$+\frac{2}{3}{b}^3\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}-(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}-(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}+\frac{1}{6}{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^3\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+b}{\sqrt{b^2+{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}-b}$

$-\frac{1}{6}{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^3\ln \frac{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}+b}{\sqrt{b^2+{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2}-b}\left]\right\}$

$-\frac{1-v_w^2}{{\mathrm{\&pi;E}}_w\mathrm{\&Delta;x}}\left\{\frac{1}{2(1-v_b)}\right[\frac{X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}{\sqrt{{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_w^2}}-\frac{X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2}}{\sqrt{{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_w^2}}]$

$+\ln \frac{\sqrt{{(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_w^2}-(X_i-\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}{\sqrt{{(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}^2+R_w^2}-(X_i+\frac{\mathrm{\&Delta;x}}{2})}\}$

式中，v_w为工作辊的泊松比；E_w为工作辊的弹性模量；b为j单元辊间接触区宽度的一半，由Herz公式计算；X_i为第j单元中点至第i单元中点的距离；Δx为各单元的宽度；R_w为工作辊的半径。

辊间压扁影响函数为

$g_{\mathrm{wb}}(i,j)=g_{\mathrm{wb}}^b(i,j)+g_{\mathrm{wb}}^w(i,j)$

辊间压扁影响函数的矩阵形式为

${\stackrel{\mathrm{\&rho;}}{G}}_{\mathrm{wb}}=\left[\begin{array}{ccc}{g}_{\mathrm{wb}}\left(\mathrm{1,1}\right)& \mathrm{\&Lambda;}& g_{\mathrm{wb}}(1,n)\\ M& & M\\ g_{\mathrm{wb}}(n,1)& \mathrm{\&Lambda;}& g_{\mathrm{wb}}(n,n)\end{array}\right]$

式中n＝min{NW，NB}。

7静力平衡方程

工作辊静力平衡方程为

式中，为轧制压力；F_WD为工作辊传动侧的弯辊力；F_WO为工作辊操作侧的弯辊力；为辊间压力； $\stackrel{r}{P}={\left[\begin{array}{cccc}p\left(1\right)& p\left(2\right)& L& p\left(\mathrm{NS}\right)\end{array}\right]}^T,$ $\stackrel{r}{Q}={\left[\begin{array}{cccc}q\left(1\right)& q\left(2\right)& L& q\left(n\right)\end{array}\right]}^T.$

支撑辊的静力平衡方程为

式中FR_WD为支撑辊传动侧轧制力；FR_WO为支撑辊操作侧轧制力。

8变形协调关系方程

8.1工作辊和支撑辊间的变形协调关系

式中

$\stackrel{r}{T}={\left[\begin{array}{cccc}t\left(1\right)& t\left(2\right)& L& t\left(\mathrm{NB}\right)\end{array}\right]}^T$ 为支撑辊的倾斜向量。

${\stackrel{r}{Y}}_{\mathrm{wb}}={\left[\begin{array}{cccc}{y}_{\mathrm{wb}}\left(1\right)& y_{\mathrm{wb}}\left(2\right)& L& y_{\mathrm{wb}}\left(n\right)\end{array}\right]}^T$ 为辊间压扁向量，

${\stackrel{r}{Y}}_{\mathrm{wb}0}={\left[\begin{array}{cccc}{y}_{\mathrm{wb}0}\left(0\right)& y_{\mathrm{wb}0}\left(0\right)& L& y_{\mathrm{wb}0}\left(0\right)\end{array}\right]}^T$ 是常向量，即辊面中心处的压扁量。

${\stackrel{r}{M}}_b={\left[\begin{array}{cccc}{m}_b\left(1\right)& m_b\left(2\right)& L& m_b\left(n\right)\end{array}\right]}^T$ 是支撑辊凸度向量。

${\stackrel{r}{M}}_w={\left[\begin{array}{cccc}{m}_w\left(1\right)& m_w\left(2\right)& L& m_w\left(n\right)\end{array}\right]}^T$ 是工作辊凸度向量。

8.2工作辊和带钢之间的变形协调关系

式中

式中是轧件轧后厚度向量；

是常向量，即板中心处轧后厚度；

是常向量，即板中心处的压扁量；

${\stackrel{r}{Y}}_{\mathrm{ws}}={\left[\begin{array}{cccc}{y}_{\mathrm{ws}}\left(1\right)& y_{\mathrm{ws}}\left(2\right)& L& y_{\mathrm{ws}}\left(\mathrm{NS}\right)\end{array}\right]}^T,$ 由轧制压力引起的工作辊弹性压扁向量，

${\stackrel{r}{Y}}_w={\left[\begin{array}{cccc}{y}_w\left(1\right)& w_w\left(2\right)& L& y_w\left(\mathrm{NW}\right)\end{array}\right]}^T,$ 为工作辊挠度向量；

9张应力分布计算

冷轧生产过程采用大张力轧制，张力分布影响轧制力分布，从而影响辊缝形状和出口带钢厚度分布。因此冷轧机出口厚度的分布必须考虑张力的影响。冷轧带钢张力分布计算方法有变分法、条元法、边界元法和实验方法。本专利中张应力的计算采用变分能量法，考虑到轧制的非对称性，带钢的出、入口厚度采用三次样条函数拟合，并没有采用基于对称性的高次多项式拟合，最终可求得出口带钢横向张应力分布。

${\mathrm{\&sigma;}}_1\left(y\right)=\stackrel{\&OverBar;}{{\mathrm{\&sigma;}}_1}+\frac{E}{1-{\mathrm{\&upsi;}}^2}[1+\frac{h\left(y\right)}{\stackrel{\&OverBar;}{h}}-\frac{H\left(y\right)}{\stackrel{\&OverBar;}{H}}-\frac{L\left(y\right)}{\stackrel{\&OverBar;}{L}}+u^{\&prime;}\left(y\right)-\frac{\mathrm{\&Delta;b}}{B}]$

式中，H(y)、h(y)——入、出口板厚横向分布函数，mm；

E、υ——带材弹性模量和泊松比；

——带材的平均前张应力，MPa；

L(y)——来料长度横向分布函数，mm；

H，h，L——H(y)，h(y)，L(y)的平均值，mm；

u(y)——带材出口横向位移函数，mm；

Δb——带材宽展量，mm；

如图11所示，带钢横向张应力计算过程中将带钢分成NS个单元，每个单元的宽度为Δx。各单元带钢的出入口厚度和入口带钢长度用三次样条函数拟合为

H(y)＝A_jy³+B_jy²+C_jy+D_j

h(y)＝F_jy³+G_jy²+M_jy+N_j

L(y)＝P_jy³+Q_jy²+R_jy+T_j

根据轧制过程中变性能最小原理，通过变分求解欧拉方程的方法，可求得第j个单元内金属的横向位移函数为

u(j)＝C₁ch(Ky)+C₂sh(Ky)+d_jy²+e_jy+f_j

式中， $C_1=-\frac{{\mathrm{\&xi;}}_1+{\mathrm{\&xi;}}_3+{\mathrm{\&xi;}}_5}{{\mathrm{\&xi;}}_2+{\mathrm{\&xi;}}_4+{\mathrm{\&xi;}}_6}$

${\mathrm{\&xi;}}_1=\frac{{\mathrm{kh}}_c}{\mathrm{\&Delta;h}}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left\{\begin{array}{c}[({4d}_j{y}_j+{2e}_j)\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)-({4d}_j{y}_{j-1}+{2e}_j)\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)]\\ -\frac{4}{K}{d}_j[\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)-\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)]\end{array}\right\}$

${\mathrm{\&xi;}}_2=\frac{h_c}{\mathrm{\&Delta;h}}\mathrm{kK}[\mathrm{sh}\left(\mathrm{KB}\right)-\mathrm{KB}]$

${\mathrm{\&xi;}}_3=\left\{\begin{array}{c}\frac{8t}{\mathrm{\&Delta;hl}}\frac{1}{K^2}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[({2d}_j{y}_{j-1}+e_j)\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)-({2d}_j{y}_j+e_j)\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)]\\ +\frac{8t}{\mathrm{\&Delta;hl}}\frac{1}{K^3}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{2d}_j+f_j{K}^2+e_j{K}^2{y}_j+d_j{K}^2{y}_j^2]\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)\\ -\frac{8t}{\mathrm{\&Delta;hl}}\frac{1}{K^3}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{2d}_j+f_j{K}^2+e_j{K}^2{y}_{j-1}+d_j{K}^2{y}_{j-1}^2]\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)\end{array}\right\}$

${\mathrm{\&xi;}}_4=\frac{4t}{\mathrm{\&Delta;hlK}}[\mathrm{sh}\left(\mathrm{KB}\right)+\mathrm{KB}]$

${\mathrm{\&xi;}}_6=\frac{E}{1-{\mathrm{\&upsi;}}^2}\frac{K}{2}[\mathrm{sh}\left(\mathrm{KB}\right)-\mathrm{KB}]$

$C_2=-\frac{{\mathrm{\&zeta;}}_2+{\mathrm{\&zeta;}}_3+{\mathrm{\&zeta;}}_5+{\mathrm{\&zeta;}}_7+{\mathrm{\&zeta;}}_8+{\mathrm{\&zeta;}}_9+{\mathrm{\&zeta;}}_{10}+{\mathrm{\&zeta;}}_{11}+{\mathrm{\&zeta;}}_{12}}{{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_4+{\mathrm{\&zeta;}}_6}$

${\mathrm{\&zeta;}}_1=\frac{{\mathrm{kh}}_{c}K}{\mathrm{\&Delta;h}}[\mathrm{sh}\left(\mathrm{KB}\right)+\mathrm{KB}]$

${\mathrm{\&zeta;}}_2=-2\mathrm{ksh}\left(\frac{\mathrm{KB}}{2}\right)$

${\mathrm{\&zeta;}}_3=\frac{{2\mathrm{kh}}_c}{\mathrm{\&Delta;h}}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left\{\right[(e_j+{2d}_j{y}_j)\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)-(e_j+{2d}_j{y}_{j-1})\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)]-\frac{{2d}_j[\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)-\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)]}{K}\}$

${\mathrm{\&zeta;}}_4=\frac{4t}{\mathrm{\&Delta;hlk}}[\mathrm{sh}\left(\mathrm{KB}\right)-\mathrm{KB}]$

${\mathrm{\&zeta;}}_5=\left\{\begin{array}{c}\frac{8t}{\mathrm{\&Delta;hl}}\frac{1}{K^3}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{2d}_j+f_j{K}^2+e_j{K}^2{y}_j+d_j{K}^2{y}_j^2]\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)\\ -\frac{8t}{\mathrm{\&Delta;hl}}\frac{1}{K^3}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{2d}_j+f_j{K}^2+e_j{K}^2{y}_{j-1}+d_j{K}^2{y}_{j-1}^2]\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)\\ +\frac{8t}{\mathrm{\&Delta;hl}}\frac{1}{K^2}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left\{\right[(e_j+{2d}_j{y}_{j-1})\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)-(e_j+{2d}_j{y}_j)\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)\left]\right\}\end{array}\right\}$

${\mathrm{\&zeta;}}_6=\frac{E}{2B(1-{\mathrm{\&upsi;}}^2)}[B^2{K}^2+\mathrm{BKsh}\left(\mathrm{KB}\right)-{8\mathrm{sh}}^2\left(\frac{\mathrm{KB}}{2}\right)]$

${\mathrm{\&zeta;}}_7=-\frac{E}{1-{\mathrm{\&upsi;}}^2}\frac{1}{K^3}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{6g}_j+l_j{K}^2+{2d}_j{K}^2+{2h}_j{K}^2{y}_j+{3g}_j{K}^2{y}_j^2]\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)$

${\mathrm{\&zeta;}}_8=\frac{E}{1-{\mathrm{\&upsi;}}^2}\frac{1}{K^3}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{6g}_j+l_j{K}^2+{2d}_j{K}^2+{2h}_j{K}^2{y}_{j-1}+{3g}_j{K}^2{y}_{j-1}^2]\mathrm{ch}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)$

${\mathrm{\&zeta;}}_9=-\frac{E}{6B(1-{\mathrm{\&upsi;}}^2)}\mathrm{sh}\left(\frac{\mathrm{KB}}{2}\right)\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{12m}_j{y}_j+{12e}_j{y}_j+{12d}_j{y}_j^2+{6l}_j{y}_j^2+{4h}_j{y}_j^3+{3g}_j{y}_j^4]$

${\mathrm{\&zeta;}}_{10}=\frac{E}{6B(1-{\mathrm{\&upsi;}}^2)}\mathrm{sh}\left(\frac{\mathrm{KB}}{2}\right)\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{12m}_j{y}_{j-1}+{12e}_j{y}_{j-1}+{12d}_j{y}_{j-1}^2+{6l}_j{y}_{j-1}^2+{4h}_j{y}_{j-1}^3+{3g}_j{y}_{j-1}^4]$

${\mathrm{\&zeta;}}_{11}=\frac{E}{1-{\mathrm{\&upsi;}}^2}\frac{1}{K^2}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{2h}_j+m_{j}K+e_{j}K+{6g}_j{y}_j+{2d}_j{K}^2{y}_j+l_j{K}^2{y}_j+h_j{K}^2{y}_j^2+g_j{K}^2{y}_j^3]\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_j\right)$

${\mathrm{\&zeta;}}_{12}=-\frac{E}{1-{\mathrm{\&upsi;}}^2}\frac{1}{K^2}\underset{j=1}{\overset{\mathrm{NS}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[{2h}_j+m_{j}K+e_{j}K+{6g}_j{y}_{j-1}+{2d}_j{K}^2{y}_{j-1}+l_j{K}^2{y}_{j-1}+h_j{K}^2{y}_{j-1}^2+g_j{K}^2{y}_{j-1}^3]\mathrm{sh}\left({\mathrm{Ky}}_{j-1}\right)$

$d_j=-\frac{a_j}{K^2}$

$e_j=-\frac{b_j}{K^2}$

$f_j=-\frac{{2a}_j}{K^4}-\frac{c_j}{K^2}$

$a_j=-\frac{3}{\mathrm{\&xi;}}(\frac{F_j}{h}-\frac{A_j}{H}-\frac{P_j}{L})$

$b_j=-\frac{2}{\mathrm{\&xi;}}(\frac{G_j}{h}-\frac{B_j}{H}-\frac{Q_j}{L})$

$c_j=-\frac{1}{\mathrm{\&xi;}}(\frac{M_j}{h}-\frac{C_j}{H}-\frac{R_j}{L})$

各式中，k为剪切应变强度；h_c为变形区带钢平均厚度；Δh带钢出入口厚度平均值差；K是与h_c、k、Δh、E、υ等相关的过程计算变量；t为变形区表面平均摩擦力；l为轧辊压扁弧长；ξ是与υ、E、k、h_c、Δh等相关的过程计算变量。

10操作侧轧制力和传动侧轧制力差值计算

支撑辊受力分析见图12，轧辊沿轴线分成NB个单元，每个单元的宽度为Δx，各单元作用集中载荷q(i)，操作侧支点的载荷为F_o，传动侧支撑点的载荷为F_D。根据力矩平衡条件，各力相对于操作侧支撑点的和力矩为零，即

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{NB}}{\mathrm{\&Sigma;}}}q\left(i\right)X\left(i\right)-F_D{l}_b=0$

$F_D=\frac{1}{l_b}\underset{i=1}{\overset{\mathrm{NB}}{\mathrm{\&Sigma;}}}q\left(i\right)X\left(i\right)$

$F_O=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{NB}}{\mathrm{\&Sigma;}}}q\left(i\right)-F_D$

两侧轧制力差值为

ΔF＝F_D-F_O

带钢的屈服强度σ_s＝600MPa，带钢宽度为1380mm，入口厚度为6mm，压下率为0.32，入口设定张力为130MPa，出口带钢设定张力136MPa，支撑辊直径0.9906m，工作辊直径0.60007m，工作辊凸度为0.02mm，支撑辊凸度0.05mm，各划分单元宽度为20mm，弯辊力为30KN，计算结果如图13所示。

拟合多项式为

tilt＝3.9×10^-10ΔF+2.4×10^-9

11模型自适应修正

影响函数法计算辊系变形和能量变分法求解辊缝中金属横向流动问题，是实用的计算带钢出口横向厚度分布和张力分布的工程计算方法。但在求解辊系变形、张力公式的推导和求解欧拉微分方程的过程中做了许多近似和简化，使得出口横向厚度分布和张应力分布的计算结果存在一定的误差。实际应用时可根据实际带钢的入口厚度、出口厚度、压下量、变形抗力、带钢宽度、出口设定张力、入口设定张力、工作辊和支撑辊辊径、工作辊和支撑辊凸度、带钢跑偏值等预计算出倾斜与两侧轧制力差值间的关系，并用多项式进行拟合，在线使用时依据实测倾斜和两侧轧制力差值在线修正多项式模型中各项系数。根据两侧轧制力差值，计算出相应的倾斜值，以该倾斜值作为设定倾斜的限幅值，其原理如图14所示。

实施例：根据实际带钢的入口厚度、出口厚度、压下量、变形抗力、带钢宽度、出口设定张力、入口设定张力、工作辊和支撑辊辊径、工作辊和支撑辊凸度、带钢跑偏值等预计算出倾斜与两侧轧制力差值间的关系，以轧制力差值为自变量，以倾斜为因变量，用多项式拟合出轧制力差值和倾斜的函数关系

应用时根据实际检测的两侧轧制力差值ΔE_DO，通过上式计算出轧辊的倾斜值，并把它作为设定倾斜值的限幅。当带钢出现部裂纹、原料板形问题导致两侧张力差或板形系统检测元件精度下降，致使倾斜调整量不断增加，通过有效的限幅，可以限制倾斜调整量幅值，避免倾斜值过大而导致断带事故的发生，其原理见图13。

为消除理论计算模型的误差，可根据检测的实际轧制力差和实际倾斜数据对[ΔF_act(k)，tilt_act(k)](k＝1，2，3，…)，用最小二乘法，依据误差平方和最小原理动态修正倾斜-轧制力差多项式中的各项系数，修正后的多项式为下一次修正前的倾斜限幅值，可根据修正后的多项式计算。

Claims (3)

1.冷轧机辊缝位置压力双闭环控制方法，其特征在于，轧机附加倾斜后双侧非对称轧制力计算；根据卡氏能量定理推导了适于非对称轧制计算的支撑辊、工作辊简支梁形式的弹性弯曲影响函数；辊系变形理论和金属横向流动理论的有效整合；对传统辊系变形理论中的变形协调方程进行了有效的改进；考虑到理论计算的误差，对理论计算模型进行实时在线自适应修正；

轧机支撑辊附加倾斜后轧制变形区已不再是传统意义上的以轧制中心线为中心左右对称，而是非对称的，进行非对称计算时，左右两侧的轧制力是未知数；进行计算时单元划分为沿辊全身自左向右排列，推导支撑辊弯曲影响函数为：

式中，E_b为支撑辊弹性模量；I_b1为支撑辊轴径的抗弯截面系数；I_b2为支撑辊辊身的抗弯截面系数；Φ为剪切变形能系数，Φ＝10//9；G为剪切弹性模量；A_b1为支撑辊轴径处的横截面积；A_b2为支撑辊辊身的横截面积；l_b为支撑辊两端支撑点间距；l_O为轴端支撑点到辊身端面的距离；x_i为虚力作用点距轴端支撑点的距离；x_j为单位力作用点距轴端支撑点的距离；l_D为轴端支撑点距另一侧辊身端面的距离；

工作辊弯曲影响函数为：

式中，E_w为工作辊弹性模量；I_w1为工作辊轴径的抗弯截面系数；I_w2为工作辊辊身的抗弯截面系数；Φ为剪切变形能系数，Φ＝10//9；G为剪切弹性模量；A_w1为工作辊轴径处的横截面积；A_w2为工作辊辊身的横截面积；l_w为工作辊两端支撑距离；x_i为虚力作用点距轴端支撑点的距离；x_j为单位力作用点距轴端支撑点的距离；l_OW操作侧支撑点距操作侧辊身端面的距离；l_DW为操作侧支撑点距传动侧辊身端面的距离；

工作辊和支撑辊间的变形协调方程为：

式中

为支撑辊的倾斜向量；

为辊间压扁向量，

是常向量，即辊面中心处的压扁量；

是支撑辊凸度向量；

是工作辊凸度向量；

NB为支撑辊分割单元数量；为工作辊弯曲挠度向量。

2.根据权利要求1所述的冷轧机辊缝位置压力双闭环控制方法，其特征在于，附加倾斜后通过辊系变形和变形区金属横向流动计算，最终可获得两侧轧制力及差值为：

传动侧轧制力：

操作侧轧制力为：

两侧轧制力差为：ΔF＝F_D-F_O

式中l_b为支撑辊两端支撑点间距；NB为支撑辊分割单元数量；q(i)为第i个分割单元作用的载荷；X(i)为第i个分割单元距操作侧支撑点的距离；以轧制力差值为自变量，以倾斜值为因变量，用多项式拟合出轧制力差值和倾斜值的函数关系为

式中：tilt为倾斜值；a₀(i)为拟合多项式第i次项的系数；n为拟合多项式的最高次数。

3.根据权利要求1所述的冷轧机辊缝位置压力双闭环控制方法，其特征在于，为消除理论计算模型的误差，可根据检测的实际轧制力差和实际倾斜数据对[ΔF_act(k)，tilt_act(k)]k＝1，2，3，…，用最小二乘法，依据误差平方和最小原理动态修正倾斜-轧制力差多项式中的各项系数，修正后轧制力差值和倾斜值的函数关系为

式中：tilt为倾斜值；a₁(i)为修正后的拟合多项式第i次项的系数；n为拟合多项式的最高次数；ΔF为传动侧轧制与操作侧轧制力的差值。