CN102291363B

CN102291363B - 一种用于ofdm系统的信道估计及数据检测方法

Info

Publication number: CN102291363B
Application number: CN201110280843.8A
Authority: CN
Inventors: 薛艳明; 高飞; 冀鹏飞; 安建平; 卜祥元; 李祥明
Original assignee: Beijing Institute of Technology BIT
Current assignee: Beijing Institute of Technology BIT
Priority date: 2011-09-21
Filing date: 2011-09-21
Publication date: 2014-07-16
Anticipated expiration: 2031-09-21
Also published as: CN102291363A

Abstract

本发明涉及一种用于OFDM系统信道估计及数据检测方法，特别涉及一种高速移动场景下基于时延域基分解的OFDM系统的信道估计及数据检测方法，属于无线通信领域。本方法将信道频域响应矩阵分解为表征时延域和表征ICI的两个部分，并通过对各自的简化实现了高速移动场景下OFDM系统的信道估计。本发明能够有效解决时变信道下OFDM系统子载波之间由于正交失调引起的ICI问题，在一定意义上克服了参数时变所造成的影响，可大大减低误码率，能够很好的应对高速移动场景，性能不随移动载体和基站相对移动速度的增加而递减。

Description

一种用于OFDM系统的信道估计及数据检测方法

技术领域

本发明涉及一种用于OFDM系统的信道估计及数据检测方法，特别涉及一种高速移动场景下基于时延域基分解的OFDM系统的信道估计及数据检测方法，属于无线通信领域。

技术背景

正交频分复用(简称OFDM：Orthogonal Frequency Division Multiplexing)技术由于具有数据传输速率高，抗多径干扰能力强，频谱效率高、易于实现多址接入及资源分配灵活等优点，越来越受到重视。目前它已成功用于有线和无线通信，并被应用于新一代移动通信系统。当然，OFDM技术在移动通信系统中的实现也还存在许多实际的技术问题，子载波正交性问题正是其中一个较为关键的问题。

在无线通信系统中，收发台的相对运动使得信道产生多普勒效应及快衰落。而多普勒频移和信道快衰落会使得OFDM系统子载波之间的正交性遭到破坏，从而导致子载波间的相互干扰(ICI，Inter-Carrier Interference)，使系统性能恶化。在高速移动场景下，终端的移动性更强，信道时变特性更加明显，由此产生的多普勒效应及信道快衰落更为严重，ICI也愈加严重。这种由信道时变性而导致的ICI，使得OFDM系统在进行信道估计的过程中，不仅要考虑如何消除加性噪声还必须消除ICI。克服ICI对于信道估计的不良影响，获取准确的信道状态，从而最终实现OFDM系统相干解调，还原发送端发送的数据信息，是当前OFDM技术的一个研究重点。

许多常用的信道估计算法不考虑ICI的影响或把ICI当作噪声处理，因此不能获取准确的信道状态信息。一些研究通过预处理来克服信道时变性导致的ICI，从而实现利用一般信道估计算法来获取信道状态信息。在这些预处理技术研究中，采用编码技术可消除ICI，其系统设计简单且实现方便，但频谱利用率低，不满足现代通信中的高效传输要求，制约了其在实际中的应用；采用时域成形滤波技术可抑制成形波形的旁瓣和成形后的带外泄漏，减小子载波间的相互影响降低ICI从而使得一般的信道估计算法能够被采用，但移动速度相对较高时，这种方法不再适用；采用空间域线性天线阵列确定虚拟不动点或多普勒分集接收的方法能够对抗Doppler频偏，从而消除ICI，但其增加了设备复杂性，且有待深入研究。当然，适用于OFDM系统时变信道的估计算法也在不断提出。其中有些针对于特殊或有限制的信道，如当归一化Doppler频偏小于0.1时，认为信道抽头以线性变化，以此为条件来进行信道估计，但由于存在前提条件，实际应用有限。有的研究通过采用最小均方误差准则(MMSE，Minimum MeanSquared Error)对接收信号进行时频域滤波处理从而消除ICI并实现信道估计，但其复杂度高且需要已知信道统计信息。也有一些算法通过增加导频点数量来进行信道估计，但是时变性越强所需导频点数量越大，这大大降低了频谱利用率。

发明内容

本发明的目的是为了在移动场景特别是高速移动场景的OFDM信道估计中降低运算复杂度、提高实用性且避免利用信道统计信息，提出了一种用于OFDM系统的信道估计及数据检测方法，本方法将信道频域响应矩阵分解为表征时延域和表征ICI的两个部分，并通过对各自的简化实现了高速移动场景下OFDM系统的信道估计。

本发明的思路为：将ICI看做子载波间可确定的相互影响，并通过在系统发送端添加窗函数来减小子载波间的相互影响范围；将OFDM系统信道频域响应分解为表征时延域和表征ICI的两个部分；通过对表征时延域部分的矩阵进行基于离散长椭球体序列的分解和对表征ICI部分的矩阵进行基于物理实际的约束，减小了待确定未知参量的个数并得到了可求解的关系方程；利用最小二乘法来求解关系方程，并通过迭代归零去噪，可得到信道频域响应矩阵，从而实现信道估计；利用所得信道频域响应矩阵的特殊结构，实现逐点递进式的数据检测。

本发明是通过以下技术方案实现的。

本发明提供的一种用于OFDM系统的信道估计及数据检测方法，所适用的OFDM系统具有以下特征：本发明发射端进行过时域加窗处理以抑制旁瓣减小泄漏；本发明是基于块状导频的信道估计方法，要求导频不存在非零元素且OFDM数据符号中设置有虚拟子载波。本方法的具体步骤如下：

1)接收端建立信道估计的目标函数：

其中，R为接收信号的频域表示；是接收信号中信号部分的频域表示；W为加性噪声；H为信道频域相应矩阵；X＝[X₀X₁…X_N-1]且X为已知导频序列，X_i(i＝0...N-1)为发送端发送的各子载波上的码元；U_j＝diag(μ_j)(j＝1...P)，其中μ_j为离散长椭球体基序列；是由导频序列重组而成的矩阵；为表征多普勒扩展的矩阵， p＝1...P；信道频域相应矩阵H满足如下关系：

2)接收端利用接收信号R和已知矩阵通过最小二乘法由式(1)求解得到含有噪声的表征多普勒扩展的矩阵

3)接收端对接收信号R进行归零去噪，具体步骤为：

3.1设置归零门限M，对满足i＜M与j＜M的项置零，其中i、j∈[1，L]；

3.2利用置零后的和等式求取接受信号中的部分噪声；

3.3利用等式求取去噪后的接受信号；

4)迭代去噪并求取信道频域响应矩阵H，包括：

4.1重复步骤1)、2)、3)实现迭代归零去噪以使加性噪声W＝0，其重复次数由信噪比来决定；

4.2执行步骤2)得到

4.3利用得到信道频域响应矩阵H；

5)建立数据检测目标函数，并利用目标函数求取待检测数据，所建立的目标函数为：

X(i+2)＝{R(i)-H(i，i-M:i+1)X(i-M:i+1)}/H(i，i+2)(2)

其中，i∈[M，N_d]，M为归零门限，N_d为待检测数据个数；X(i-M:i+1)表示取数据序列第i-M至i+1组成矩阵；H(i，i-M:i+1)表示取H矩阵第i行i-M至i+1列组成矩阵；

6)对步骤5)所求待检测数据进行检测判别；

7)重复步骤5)和步骤6)，直到所有接收到的数据均实现了检测判别；

经过上述七个步骤即完成了基于时延域基分解的OFDM信道估计及数据检测。

下面对该发明的算法推导过程进行说明，具体如下：

1)OFDM系统信道频域响应矩阵的分解

考虑一无线通信系统，假设其发送端发送的信号为：

s (t) = x (t) e^{j 2 π f_{c} t} - - - (3)

其中，是发送端发送信号s(t)的等效基带信号，X(k)为导频序列或数据，等效基带信号带宽为B；f_c为发送端发送信号的载波频率。s(t)的频域表示为：

S(w)＝X(w+w_c)(4)

处理信号需要首先提取信号，而提取必然要在时间域内截取信号。时域截取信号的主要方式是进行加窗；一般OFDM系统可认为是进行了加矩形窗的截取，因此，X(w)为加窗后的等效基带信号的频域表示。

数字信号处理理论指出，时域加窗会造成频谱的扩展，这种扩展造成了频谱能量的泄露。为了减小频谱扩展范围，可选用布拉克曼-哈里斯窗、汉宁窗、海明窗等旁瓣衰减迅速地窗函数来替代矩形窗。

OFDM系统无线通信过程中，接收端所接收到的信号r(t)是直射信号分量及所有多径分量之和，表示为：

其中，n＝0对应直射路径，N(t)为多径的数目；τ_n(t)为各径的时延且其中r_n(t)为各径的路径长度，c为光速；为多普勒相移且其中v是物体移动速度，θ_n(t)是v与各径入射方向的夹角，为多普勒频移，f_c为载波频率；x(t)为发射端发送的加窗后的基带信号，x(t-τ_n(t))为发射端发送的经各径延时后的基带信号；α_n(t)为各径的幅度；w为信道加性噪声；

下面将通过对接收信号r(t)进行频域表示和深入分析来实现信道频域响应的分解。

在两个OFDM符号关注时间内，多径的数目N(t)、幅度α_n(t)、多径时延τ_n(t)和多普勒频移基本保持不变，将其分别设定为常数，即N(t)＝Z，α_n(t)＝α_n，τ_n(t)＝τ_n，则对式(5)进行傅里叶变换可得接收信号r(t)的频域表示：

R (w) = HX + W

= Σ_{n = 0}^{Z} α_{n} e^{j w_{d_{n}} τ_{n}} e^{jw τ_{n}} X (w - w_{c} - w_{d_{n}}) + W - - - (6)

其中，H为信道频域相应矩阵；X(*)为发送端加窗基带信号x(t)的频域表示；w_c＝2πf_c；W为加性噪声的频域表示；

对于OFDM系统，接收端将对接收信号进行去载波调制、时域采样量化和离散傅里叶变换，其中时域采样间隔为ts，离散傅里叶变换的频域间隔为Δf，且存在关系：ts*Δf＝1/N，N为OFDM系统子载波的个数。于是，式(6)可化为：

R (k) = Σ_{n = 0}^{Z} α_{n} e^{j w_{d_{n}} τ_{n}} e^{j 2 πkΔf τ_{n}} X (kΔf - w_{d_{n}}) + W - - - (7)

其中，k＝0，1，2，......，N-1；将式(7)改写为矩阵形式为：

R = Σ_{n = 0}^{Z} α_{n} e^{jw d_{n} τ_{n}} F_{n} X_{n} + W - - - (8)

其中，

F_{n} = diag (e^{- j 2 π * 0 * Δf τ_{n}} e^{- j 2 π * 1 * Δf τ_{n}} \cdot \cdot \cdot e^{- j 2 π * (N - 1) * Δf τ_{n}});

X_{n} =

{[\begin{matrix} \overset{&OverBar;}{X_{0}} & \overset{&OverBar;}{X_{1}} & \cdot \cdot \cdot & {\overset{&OverBar;}{X}}_{N - 1} \end{matrix}]}^{T},

{\overset{&OverBar;}{X}}_{1} = X (iΔf - w_{d_{n}}) i &Element; [\begin{matrix} 0 & N - 1 \end{matrix}];

R = {[\begin{matrix} R_{0} & R_{1} & \cdot \cdot \cdot & R_{N - 1} \end{matrix}]}^{T},

W为信道加性噪声矩阵；

从式(8)中可以看出，项与子载波位置无关，即所有的信号带宽内的频点处的相同，因此，可看作各径不随频率变化的一个未知量；F_n项描述了时延对于不同子载波的影响，可用于表征多径时延；而从X_n的内容或表达式可以看出，X_n中各元素仅与子载波和多普勒频移有关。因此，可用X_n来表征各径多普勒频移，也可认为是用X_n来表征ICI。

2)F_n矩阵和X_n矩阵的展开及简化

由前面推导可知，

F_{n} = diag (e^{- j 2 π * 0 * Δf τ_{n}} e^{- j 2 π * 1 * Δf τ_{n}} \cdot \cdot \cdot e^{- j 2 π * (N - 1) * Δf τ_{n}}) .

考虑F_n矩阵对角线元素：

e^{- j 2 π * 0 * Δ {fτ}_{n}} e^{- j 2 π * 1 * Δ {fτ}_{n}} \cdot \cdot \cdot e^{- j 2 π * (N - 1) * Δf τ_{n}},

若信道最大多径时延为：τ_max，则可将任意F_n矩阵对角线元素看做时宽为[0，(N-1)Δf]，带宽为[0，τ_max]的带限函数。

而研究表明，利用相对较少的长椭球体序列能够最好的近似一个带限函数，长椭球体序列的显著特征就是能够将带限函数的绝大部分能量集中在少数序列上而使得在时窗外具有最小的能量泄漏。基于此研究成果，可对F_n矩阵进行基于长椭球体序列的展开，设带限函数的绝大部分能量集中P个长椭球体序列μ_p(p＝1...P)上，则：

F_{n} = Σ_{p = 1}^{P} y_{p}^{n} diag (μ_{p}) - - - (9)

其中，为F_n基于长椭球体序列的展开系数；P越大则基于长椭球体序列的展开性能越好，即展开后F_n矩阵的能量损失越小。

下面对X_n矩阵进行分析简化。

如前所述，发送端的加窗处理使得信号产生了频谱扩展，从而使得一个子载波能量扩展到其他子载波上，因此，X_n矩阵中的元素等同于加窗前所有子载波上对应码元的加权，且其加权系数由窗函数来决定。可用公式表示为：

X_n＝T_nX (10)

其中，X＝[X₀X₁…X_N-1]，X_i(i＝0...N-1)为发送端发送的各子载波上的码元；表示加权矩阵；t_ij为加权项，表示第j个子载波对第i个子载波的影响。

由数字信号处理理论可知，各子载波的频谱扩展函数完全一致，即同方向、同间隔的子载波间的相互影响一样；且频谱扩展随着频域距离的增加而迅速递减，一定间隔后基本可以忽略。采用四项系数布拉克曼-哈里斯窗时，间隔超过2个子载波，则其影响可忽略；采用海明窗或汉宁窗时，间隔超过3个子载波则其影响可忽略。

因此，可对加权矩阵T_n的元素作如下约束：

当满足i-j＝m-n时，t_ij＝t_mn，i、j、m、n∈[1，N]；当满足|i-j |＞L时，tij＝0，其中L为常量，表示子载波对其左右影响的范围或门限。采用四项系数布拉克曼-哈里斯窗时，可置L＝2；采用海明窗或汉宁窗时，可置L＝3。经此约束之后：

将式(10)和约束后的T_n矩阵带入式(8)并适当调整可得：

R = {Σ_{p = 1}^{P} diag (μ_{p}) (Σ_{n = 0}^{Z} y_{p}^{n} α_{n} e^{j w_{d_{n}} τ_{n}} T_{n})} * X + W - - - (12)

显然，式(12)中项的不会改变经约束后的加权矩阵T_n的结构及其内在约束关系，因此项的结构及其内在约束关系与约束后的加权矩阵T_n相同。可取：

其中，i、j∈[1，N]；

表示中的元素表示T_n中的元素t_ij。式(13)实现了元素项的简化，其带来的一个有益效果是，简化后的元素不再对应于单径，而是所有径的加权和，这使得能够在一定意义上跟踪信道主能量，从而克服部分参量时变性带来的影响。

将代入式(12)取代

Σ_{n = 0}^{Z} y_{p}^{n} α_{n} e^{j w_{d_{n}} τ_{n}} T_{n}

得：

R = Σ_{p = 1}^{P} diag (μ_{p}) {\overset{&OverBar;}{T}}_{p} X + W - - - (14)

当进行基于导频的信道估计时，式(14)中R、X、diag(μ_p)为已知项，W为信道加性噪声，为待求矩阵，共有P*(2L-1)个未知参量待求解。此时，信道频域响应矩阵H被完全分解为表征多径时延的diag(μ_p)和表征多普勒频移或ICI的且：

H = Σ_{p = 1}^{P} diag (μ_{p}) {\overset{&OverBar;}{T}}_{p} .

3)中未知参数的求解方法及可求解条件为了便于处理，对的第二项约束进行调整：

当满足i-j＞L或i-j＜-(L+1)时，t_ij＝0，其中L为常量，表示子载波对其左右影响的范围或门限。采用四项系数布拉克曼-哈里斯窗时，可置L＝2；采用海明窗或汉宁窗时，可置L＝3。

此时，矩阵共有P*2L个未知参量待求解。且式(15)可等价表示为：

其中，X_i(i∈[0...N-1])为导频序列X的第i项；p＝1...P；上标T表示转置。

可以证明，当导频序列X不存在非零元素或仅边界两端存在零元素但边界各端零元素个数小于L时，矩阵可逆，本发明建议采用不存在零元素的导频序列。式(16)可解为：

\tilde{T} = \tilde{X} \ R + \tilde{X} \ W - - - (17)

由于噪声的存在，通过式(17)所求中所有元素上都叠加了噪声。而中元素下标满足|i-j |＞L时，因此，存在噪声时，中应为零的元素不再为零。可基于此来提取噪声，然后从接收信号中将去去除，从而实现接受信号去噪。

4)信道频域响应矩阵H的求解和数据检测由式(17)得到即等同于得到了(进行矩阵重组即可)。由此，可利用来求解得到信道频域响应矩阵H。

对于OFDM符号中的非导频数据部分，满足式R＝HX，R为接收端接收到数据部分信号的频域表示，X为待检测确定的数据。

由于而U_p和线性叠加运算仅改变了的第一项内在约束，却并未改变第二部分约束，此时H的结构与类似，满足|i-j |＞L时，t_ij＝0，其中L为常量，表示子载波对其左右影响的范围或门限。采用四项系数布拉克曼-哈里斯窗时，可置L＝2；采用海明窗或汉宁窗时，可置L＝3。

若采用海明窗，则结合R＝HX可以得到：

R(i)＝H(i，i-2:i+1)X(i-2:i+1)+H(i，i+2)X(i+2)(18)

其中，R(i)表示接收信号频域表示R的第i个子载波上数据；H(i，i-2:i+1)表示取H第i行i-2至i+1列构成1*4矩阵；X(i-2:i+1)表示取X第i-2至i+1行构成4*1矩阵；H(i，i+2)表示取H第i行i+2列的元素和X(i+2)表示取X第i+2处的元素。

可见，接收信号频域表示R的第i个子载波上数据仅与发送端第i个子载波附近的有限几个有关。若R(i)和X(i-2:i+1)已知，则可利用信道频域响应矩阵H和式(18)来求解X(i+2)。

X(i+2)＝{R(i)-H(i，i-2:i+1)X(i-2:i+1)}/H(i，i+2)(19)

因此，若X(1:4)已知，则可递推判别出所有的未知数据X(5:N)，从而实现数据检测。这种检测方法简单，但要求必须有已知的初始数据，若采用虚拟子载波，则初始数据为零。

需要特别说明的是，存在噪声时，需要对式(19)进行调整，利用H(i，i)而非H(i，i+2)来进行后续数据检测。于是，式(19)可调整为：

X(i)＝{R(i)-H(i，i-2:i-1)X(i-2:i-1)}/H(i，i)(20)

对X(i)做出判别后，方可将其作为已知数据来进行后续数据检测。

有益效果

本发明实用性强，算法实现简单，能够有效解决时变信道下OFDM系统子载波之间由于正交失调引起的ICI问题；本发明的算法推导过程中由于将信道各径幅度和多普勒影响进行了所有径的加权求和，因此在一定意义上克服了参数时变所造成的影响；本发明关于数据检测部分复杂度低且形式结构简单，并可结合预编码和其他检测手段来大大减低误码率；该算法能够很好的应对高速移动场景，性能不随移动载体和基站相对移动速度的增加而递减。

附图说明

图1为本发明的信道估计及检测方法流程图；

图2为本发明实施例中的OFDM系统子载波设置示意图；

图3为本发明实施例中的接收发射系统原理图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

一种基于时延域基分解的OFDM信道估计和数据检测方法，其流程如图1所示，本发明应用于多径时变信道。本发明是基于导频的信道估计方法，其导频及数据子载波设置如图2所示。

在无线通信系统中，发送端通过加窗从而抑制成形波形的旁瓣和成形后的带外泄漏，从而将子载波之间的干扰约束在有限的范围。当接收端接收到OFDM信号后，提出导频部分，根据接收信号频域表达R，利用长椭球体序列并结合本地已知导频信号X建立目标函数，通过最小二乘法求解目标函数，并对所得解进行迭代归零去噪，从而获取较为准确的信道状态信息；接收端获得基于导频的信道估计结果后，利用式(20)给出的数据信号之间的关系，逐点计算判别从而实现数据的有效检测；

实施例1

终端速度为120km/h时，信噪比为25dB时的误码率为：0.0021；

终端速度为200km/h时，信噪比为25dB时的误码率为：0.0026；

终端速度为360km/h时，信噪比为25dB时的误码率为：0.0036。

表1

参数名称	参数设置
		系统载频	2GHz
系统带宽	10MHz
		子载波间隔	15kHz
OFDM调制点数	1024
		调制方式	QPSK
窗函数	海明窗
		发天线数目	1XnT
信道条件	Rayleigh+awgn
		移动台运动速度(km/h)	120、200、360
数据块长(调度时长)	0.5ms
		接收测同步	理想

实施例2

终端速度为120km/h，信噪比为25dB时的误码率为：0.0024；

终端速度为200km/h，信噪比为25dB时的误码率为：0.0037；终端速度为360km/h，信噪比为25dB时的误码率为：0.0048。

表2

以上所述为本发明的较佳实施例而已，本发明不应该局限于该实施例和附图所公开的内容。凡是不脱离本发明所公开的精神下完成的等效或修改，都落入本发明保护的范围。

Claims

1.一种用于OFDM系统的信道估计及数据检测方法，所述OFDM系统的发射端进行时域加窗处理以抑制旁瓣泄露，该方法使用块状导频，导频不存在非零元素且OFDM数据符号中设置有子载波，其特征在于，该方法的具体步骤如下：

1）接收端建立信道估计的目标函数：

其中，R为接收信号的频域表示；是接收信号中信号部分的频域表示；W为加性噪声；H为信道频域响应矩阵；X=[X₀ X₁ … X_N-1]为已知导频序列，X_a为发送端发送的各子载波上的码元，a=0，...，N-1，N表示OFDM系统有N个子载波；U_j=diag(μ_j)，j=1，...，P，其中μ_j为离散长椭球体基序列，P表示长椭球体序列的个数；

是由导频序列重组而成的矩阵；为表征多普勒扩展的矩阵，L为常量，表示子载波对其左右影响的范围，表示中的元素表示第j个子载波对第i个子载波的影响的所有径的加权和，i，j∈[1，L]；信道频域响应矩阵H满足如下关系：

2）接收端利用接收信号R和已知矩阵通过最小二乘法由式（1）求解得到含有噪声的表征多普勒扩展的矩阵

3）接收端对接收信号R进行归零去噪，具体步骤为：

3.1设置归零门限M，对满足i＜M与j＜M的项置零，其中i，j∈[1，L]；

3.2利用置零后的和等式求取接收信号中的部分噪声；

3.3利用等式求取去噪后的接收信号；

4）迭代去噪并求取信道频域响应矩阵H，包括：

4.1重复步骤1）、2)、3)实现迭代归零去噪以使加性噪声W=0，其重复次数由信噪比来决定；

4.2执行步骤2）得到

4.3利用得到信道频域响应矩阵H；

5）建立数据检测目标函数，并利用目标函数求取待检测数据，所建立的目标函数为：

X(i+2)＝{R(i)-H(i，i-M:i+1)X(i-M:i+1)}/H(i，i+2) (2)

其中，i∈[M，N_d]，M为归零门限，N_d为待检测数据个数；X(i-M:i+1)表示取数据序列第i-M至i+1个元素组成矩阵；H(i，i-M:i+1)表示取H矩阵第i行i-M至i+1列组成矩阵；

6）对步骤5）所求待检测数据进行检测判别；

7）重复步骤5）和步骤6），直到所有接收到的数据均实现了检测判别；

2.根据权利要求1所述的一种用于OFDM系统的信道估计及数据检测方法，其特征在于对OFDM系统频域表达式的建模过程为：

1）对OFDM系统频域表达式分解为

R = Σ_{n = 0}^{Z} α_{n} e^{j w_{d_{n}} τ_{n}} F_{n} X_{n} + W - - - (3)

其中，R=[R₀ R₁ … R_N-1]^T为接收信号频域表示；z表示多径的数目；α_n为对应于第n径的幅度增益；为第n径的多普勒频移；τ_n为第n径的时延；W为信道加性噪声矩阵；

F_{n} = diag (\begin{matrix} e^{- j 2 π * 0 * Δf τ_{n}} & e^{- j 2 π * 1 * Δf τ_{n}} & . . . & e^{- j 2 π * (N - 1) * Δf τ_{n}} \end{matrix}),

描述了时延对于不同子载波的影响，用于表征多径时延，其中Δf为离散傅里叶变换的频域间隔，

X_{n} = {[\begin{matrix} {\overset{&OverBar;}{X}}_{0} & {\overset{&OverBar;}{X}}_{1} & . . . & {\overset{&OverBar;}{X}}_{N - 1} \end{matrix}]}^{T}, {\overset{&OverBar;}{X}}_{a} = X (aΔf - w_{dn}), a &Element; [0, N - 1],

X_n中各元素仅与子载波和多普勒频移有关，用来表征各径多普勒频移或子载波之间的ICI；

2）F_n的推导过程为：

将任意F_n矩阵对角线元素看作时宽为[0,(N-1)Δf]，带宽为[0，τ_max]的带限函数，其中Δf为离散傅里叶变换的频域间隔，τ_max为信道最大多径时延；

对F_n矩阵进行基于长椭球体序列的展开，设带限函数的绝大部分能量集中在P个长椭球体序列μ_p，p=1...P，则：

F_{n} = Σ_{p = 1}^{P} y_{p}^{n} diag (μ_{p}) - - - (4)

其中，为F_n基于长椭球体序列的展开系数，P的数值表征了基于长椭球体序列的展开性能以及展开后F_n矩阵的能量损失；

3）X_n的简化过程为：

由X_n矩阵中的元素等同于加窗前所有子载波上对应码元的加权，且其加权系数由窗函数来决定，得到：

X_n=T_nX^T （5）

其中，X=[X₀ X₁ … X_N-1]，X_a为发送端发送的各子载波上的码元，a=0，...，N-1；表示加权矩阵，在加权矩阵中，表示T_n中的元素t_ij，t_ij表示单径的加权项，指第j个子载波对第i个子载波的影响；

对加权矩阵T_n的元素作如下约束：

当满足i-j=m-n时，t_ij=t_mn，此时i、j、m、n满足i、j、m、n∈[1，N]；当满足|i-j|＞L时，t_ij=0，其中L为常量，表示子载波对其左右影响的范围，采用四项系数布拉克曼—哈里斯窗时，置L=2；采用海明窗或汉宁窗时，置L=3；

则经此约束之后：

4）将式（5）和约束后的T_n矩阵带入OFDM系统频域表达式可得：

R = {Σ_{p = 1}^{P} diag (μ_{p}) (Σ_{n = 0}^{Z} y_{p}^{n} α_{n} e^{j w_{d_{n}} τ_{n}} T_{n})} * X + W - - - (7)

取

其中，

表示中的元素表示T_n中的元素t_ij；

将代入式（7）取代得：

当进行基于导频的信道估计时，式（9）中R、X、diag(μ_p)为已知项，W为信道加性噪声，为待求矩阵，共有P*(2L-1)个未知参量待求解；此时，信道频域响应矩阵H被完全分解为表征多径时延的diag(μ_p)和表征多普勒频移或ICI的且：