CN109039152B - 一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法，提供一超声波电机伺服控制系统，包括基座和设于基座上的超声波电机，所述超声波电机一侧输出轴与光电编码器相连接，超声波电机另一侧输出轴与飞轮惯性负载相连接，所述飞轮惯性负载输出轴经联轴器与力矩传感器相连接，所述光电编码器的信号输出端、力矩传感器的信号输出端分别接至控制系统；该方法建立在位置和速度信息模型基础上，在只有位置信息的情况下同时也使得伺服系统轮廓跟踪误差最小，从而能获得更好的轮廓控制效能。

Description

一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法

技术领域

本发明涉及涉及电机控制器领域,具体涉及一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法。

背景技术

现有的超声波电机伺服控制系统，由于轴只配备了线性或角位置编码器，它导致了只有系统的位置信息可用。然而，当系统以低速运行时其产生的速度信号往往非常嘈杂。在低速运行时，噪声很容易控制测量信号。为了避免这种情况的发生，控制系统的实践必须解决状态信息的不足，控制器的操作只能依赖于位置信息。在此部分，提出了一种基于滑动摩擦模型的输出反馈轮廓控制器设计方法。通过将状态观测器设计纳入控制方案中，整个方法可以只利用位置信息完成轮廓控制器设计，也避免了许多输出反馈设计实例中出现的设计约束。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法，有效的增进系统的控制效能，并进一步减少系统对于不确定性的影响程度。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法，提供一超声波电机伺服控制系统，包括基座和设于基座上的超声波电机，所述超声波电机一侧输出轴与光电编码器相连接，超声波电机另一侧输出轴与飞轮惯性负载相连接，所述飞轮惯性负载输出轴经联轴器与力矩传感器相连接，所述光电编码器的信号输出端、力矩传感器的信号输出端分别接至控制系统；该方法建立在位置和速度信息模型基础上，在只有位置信息的情况下同时也使得伺服系统轮廓跟踪误差最小，从而能获得更好的轮廓控制效能。

进一步的，所述控制系统包括超声波电机驱动控制电路，所述超声波电机驱动控制电路包括控制芯片电路和驱动芯片电路，所述光电编码器的信号输出端与所述控制芯片电路的相应输入端相连接，所述控制芯片电路的输出端与所述驱动芯片电路的相应输入端相连接，以驱动所述驱动芯片电路，所述驱动芯片电路的驱动频率调节信号输出端和驱动半桥电路调节信号输出端分别与所述超声波电机的相应输入端相连接。

进一步的，该方法具体实现为：

超声波电机驱动系统的动态方程可以写为：

其中A_p＝-B/J,B_P＝J/K_t＞0,C_P＝-1/J；B为阻尼系数，J为转动惯量，K_t为电流因子，T_f(v)为摩擦阻力力矩，T_L为负载力矩，U(t)是电机的输出力矩，θ_r(t)为通过光电编码器测量得到的位置信号；x是电机转子的位移，表示加速度，D是超声波电机的线性摩擦系数；为通过计算得到的速度信号，为通过计算得到的加速度信号；

考虑一个由x轴和y轴表示的二维坐标，在轮廓误差模型的基础上，将轮廓误差ε_c定义为法线方向，记为

ε_c＝-sinφ·e_x+cosφ·e_y (1)

相应的就具有切线方向分量，记为

ε_t＝cosφ·e_x+sinφ·e_y (2)

其中，e_x和e_y表示x轴和y轴的轴向跟踪误差；

φ为一个随时间变化的量，用φ(t)表示；并且根据工作坐标系，通过关系式将物理坐标(x,y)中的轴向跟踪误差转换为任务坐标(ε_c,ε_t)，关系式如下：

可以用矩阵表示为：

ε_p＝Te_p (4)

其中ε_p＝[ε_c ε_t]^T表示轮廓误差向量；e_p＝[e_x e_y]^T表示系统的跟踪误差向量；T表示变换矩阵；T满足单一性，可以表述为：

T^T＝T和T^-1＝T (5)

基于单一性质，公式(4)其相反式写为：

e_p＝Tε_p (6)

对方程(4)和(6)分别求一阶导数和二阶导数，其中一阶导数为：

二阶导数为：

考虑到φ(t)的时变特性，和可以进一步推导为：

和

控制器设计：

设定x和y轴相关的变量或参数简单地用指数i表示，其中i＝1和2分别表示x和y；根据牛顿第二定律，系统的运动方程可写为：

其中p＝[p₁ p₂]^T和u＝[u₁ u₂]^T分别表示位置矢量和输入矢量；f_r＝[f_r1 f_r2]^T表示摩擦力矢量；M表示惯性矩阵，由于多级系统的非耦合性质；

然后根据滑动摩擦模型，f_r可写为：

其中z＝[z₁ z₂]^T表示直立变形状态向量；是速度矢量；同时，类M，Σ₀，Σ₁和Σ₂是三个对角矩阵：

z是符合下式的动态状态：

其中γ(v)是由下式定义的向量函数：

函数g_i(v_i)是非线性的，定义如下：

g_i(v_i)＝[f_ci+(f_si-f_ci)exp(-(v_i/v_si)²)]/σ_0i (16)

f_ci，f_si和v_si是轴的相应正系数；g_i(·)是正函数，用0＜f_ci/σ_0i≤g_i(v_i)≤f_si/σ_0i表示；

方程(11)～(16)形成整个动力学系统，表示为：

直立挠度矢量z总是一个有界的量，定义为：

存在一个集合Ω_z使得如果z(0)∈Ω_z则有z(t)∈Ω_z

根据(14)和(15)的控制方程，令Lyapunov函数z为V_z＝1/2z^Tz，则V_z的时间导数为:

当|z₁|＞g₁(v₁)和|z₂|＞g₂(v₂)时，为负；根据(16)，和

g₁(v₁)和g₂(v₂)的正边界分别为0＜g₁(v₁)≤f_s1/σ₀₁和0＜g₂(v₂)≤f_s2/σ₀₂；

如果|z₁|＞f_s1/σ₀₁和|z₂|＞f_s2/σ₀₂，则被满足；存在一个不变集是一个半径为b的圆盘，若z(0)∈Ω_z，则在所有连续的时间里有z(t)∈Ω_z。

将上述方程从物理坐标转换到任务坐标，位置跟踪误差向量定义为e_p＝p-p_d；

在误差动力学中，(11)中运动的系统方程为:

基于(8)的原导出转换，并在(5)中应用单式属性，则可以将上述误差动态转换为任务坐标:

方程(14)～(16)和(19)构成了整个系统动力学在任务坐标中的表述；

基于上述式(19)中的任务坐标误差动力学，首先应用前馈控制，使得通过输入轮廓控制器u被前馈，其可以写为：

则等式(19)变成：

由于虚拟状态z的不可量测，为了补偿摩擦力f_r，构造了一种非线性摩擦观测器；这个非线性摩擦观测器具有基于摩擦模型的形式为：

其中表示摩擦力的估值，表示z的估值；状态是动态的，控制方程为：

然后，将合成为：

其中A_p和A_v是两个常量设计矩阵。

将z的估计误差定义为并将方程(24)代入方程(21)得到：

和

利用上面的两个等式并且用ε_v表示状态空间定义为：

系统闭环稳定性的定义如下：

如果令矩阵A_p和A_v使得常数矩阵是赫尔维茨矩阵，则方程(27)中的闭环系统是全局渐近稳定的；

引入一个新的非奇异变换，新的状态定义为 则状态方程(27)变为：

上述系统可以分为线性系统和非线性系统，线性系统为：

非线性系统为：

令的Lyapunov函数为V的导数为

其中g_i(·)为正；是全局渐近稳定的；

方程(29)的中是通过时变输入矩阵对线性系统输入；根据T和的形式(9)和(10)，这两个条件都是有保证的；系统矩阵是赫尔维茨矩阵，A_v也是有界的，这使得系统方程(29)满足BIBO稳定性；

轮廓控制器u可以借助转换回物理(x,y)坐标，写为：

从方程(24)中u的结构可以看出，前馈，反馈，交叉耦合和摩擦补偿控制在一个单独的过程中被合成，而轮廓控制的目的，轴的协调是通过u中的交叉耦合项来完成的。

进一步的，所述联轴器为弹性联轴器。

进一步的，所述超声波电机、光电编码器、力矩传感器分别经超声波电机固定支架、光电编码器固定支架、力矩传感器固定支架固定于所述基座上。

本发明与现有技术相比具有以下有益效果：

本发明系统在具有轮廓的跟踪效果上有着显著的改善且参数的变动、噪声、交叉耦合的干扰和摩擦力等因素几乎无法对于运动系统效果造成影响，故基于位置与速度信息的超声波电机伺服控制系统能有效的增进系统的动态性能，并进一步减少系统对于不确定性的影响程度，提高了控制的准确性，可以获得较好的动态特性。此外，该装置设计合理，结构简单、紧凑，制造成本低，具有很强的实用性和广阔的应用前景。

附图说明

图1是本发明实施例的结构示意图。

图2是本发明实施例的控制电路原理图。

图中，1-光电编码器，2-光电编码器固定支架，3-超声波电机输出轴，4-超声波电机，5-超声波电机固定支架，6-超声波电机输出轴，7-飞轮惯性负载，8-飞轮惯性负载输出轴，9-弹性联轴器，10-力矩传感器，11-力矩传感器固定支架，12-基座，13-控制芯片电路，14-驱动芯片电路，15、16、17-光电编码器输出的A、B、Z相信号，18、19、20、21-驱动芯片电路产生的驱动频率调节信号，22-驱动芯片电路产生的驱动半桥电路调节信号，23、24、25、26、27、28-控制芯片电路产生的驱动芯片电路的信号，29-超声波电机驱动控制电路。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。

请参照图1，本发明提供一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法，提供一超声波电机伺服控制系统，包括基座12和设于基座12上的超声波电机4，所述超声波电机4一侧输出轴3与光电编码器1相连接，另一侧输出轴6与飞轮惯性负载7相连接，所述飞轮惯性负载7的输出轴8经弹性联轴器9与力矩传感器10相连接，所述光电编码器1的信号输出端、所述力矩传感器10的信号输出端分别接至控制系统。该方法建立在位置和速度信息模型基础上，在只有位置信息的情况下同时也使得伺服系统轮廓跟踪误差最小，从而能获得更好的轮廓控制效能。

上述超声波电机4、光电编码器1、力矩传感器10分别经超声波电机固定支架5、光电编码器固定支架2、力矩传感器固定支架11固定于所述基座12上。

如图2所示，上述控制系统包括超声波电机驱动控制电路29，所述超声波电机驱动控制电路29包括控制芯片电路13和驱动芯片电路14，所述光电编码器1的信号输出端与所述控制芯片电路13的相应输入端相连接，所述控制芯片电路13的输出端与所述驱动芯片电路14的相应输入端相连接，以驱动所述驱动芯片电路14，所述驱动芯片电路14的驱动频率调节信号输出端和驱动半桥电路调节信号输出端分别与所述超声波电机4的相应输入端相连接。所述驱动芯片电路14产生驱动频率调节信号和驱动半桥电路调节信号，对超声波电机输出A、B两相PWM的频率、相位及通断进行控制。通过开通及关断PWM波的输出来控制超声波电机的启动和停止运行；通过调节输出的PWM波的频率及两相的相位差来调节电机的最佳运行状态。

在本发明一实施例中，该方法具体实现为：

超声波电机驱动系统的动态方程可以写为：

其中A_p＝-B/J,B_P＝J/K_t＞0,C_P＝-1/J；B为阻尼系数，J为转动惯量，K_t为电流因子，T_f(v)为摩擦阻力力矩，T_L为负载力矩，U(t)是电机的输出力矩，θ_r(t)为通过光电编码器测量得到的位置信号；x是电机转子的位移，表示加速度，D是超声波电机的线性摩擦系数；为通过计算得到的速度信号，为通过计算得到的加速度信号；

考虑一个由x轴和y轴表示的二维坐标，在轮廓误差模型的基础上，将轮廓误差ε_c定义为法线方向，记为

ε_c＝-sinφ·e_x+cosφ·e_y (1)

相应的就具有切线方向分量，记为

ε_t＝cosφ·e_x+sinφ·e_y (2)

其中，e_x和e_y表示x轴和y轴的轴向跟踪误差；

φ为一个随时间变化的量，用φ(t)表示；并且根据工作坐标系，通过关系式将物理坐标(x,y)中的轴向跟踪误差转换为任务坐标(ε_c,ε_t)，关系式如下：

可以用矩阵表示为：

ε_p＝Te_p (4)

其中ε_p＝[ε_c ε_t]^T表示轮廓误差向量；e_p＝[e_x e_y]^T表示系统的跟踪误差向量；T表示变换矩阵；T满足单一性，可以表述为：

T^T＝T和T^-1＝T (5)

基于单一性质，公式(4)其相反式写为：

e_p＝Tε_p (6)

对方程(4)和(6)分别求一阶导数和二阶导数，其中一阶导数为：

二阶导数为：

考虑到φ(t)的时变特性，和可以进一步推导为：

和

控制器设计：

设定x和y轴相关的变量或参数简单地用指数i表示，其中i＝1和2分别表示x和y；根据牛顿第二定律，系统的运动方程可写为：

其中p＝[p₁ p₂]^T和u＝[u₁ u₂]^T分别表示位置矢量和输入矢量；f_r＝[f_r1 f_r2]^T表示摩擦力矢量；M表示惯性矩阵，由于多级系统的非耦合性质；

然后根据滑动摩擦模型，f_r可写为：

其中z＝[z₁ z₂]^T表示直立变形状态向量；是速度矢量；同时，类M，Σ₀，Σ₁和Σ₂是三个对角矩阵：

z是符合下式的动态状态：

其中γ(v)是由下式定义的向量函数：

函数g_i(v_i)是非线性的，定义如下：

g_i(v_i)＝[f_ci+(f_si-f_ci)exp(-(v_i/v_si)²)]/σ_0i (16)

f_ci，f_si和v_si是轴的相应正系数；g_i(·)是正函数，用0＜f_ci/σ_0i≤g_i(v_i)≤f_si/σ_0i表示；

方程(11)～(16)形成整个动力学系统，表示为：

直立挠度矢量z总是一个有界的量，定义为：

存在一个集合Ω_z使得如果z(0)∈Ω_z则有z(t)∈Ω_z

根据(14)和(15)的控制方程，令Lyapunov函数z为V_z＝1/2z^Tz，则V_z的时间导数为:

当|z₁|＞g₁(v₁)和|z₂|＞g₂(v₂)时，为负；根据(16)，和g₁(v₁)和g₂(v₂)的正边界分别为0＜g₁(v₁)≤f_s1/σ₀₁和0＜g₂(v₂)≤f_s2/σ₀₂；

如果|z₁|＞f_s1/σ₀₁和|z₂|＞f_s2/σ₀₂，则被满足；存在一个不变集是一个半径为b的圆盘，若z(0)∈Ω_z，则在所有连续的时间里有z(t)∈Ω_z。

将上述方程从物理坐标转换到任务坐标，位置跟踪误差向量定义为e_p＝p-p_d；

在误差动力学中，(11)中运动的系统方程为:

基于(8)的原导出转换，并在(5)中应用单式属性，则可以将上述误差动态转换为任务坐标:

方程(14)～(16)和(19)构成了整个系统动力学在任务坐标中的表述；

基于上述式(19)中的任务坐标误差动力学，首先应用前馈控制，使得通过输入轮廓控制器u被前馈，其可以写为：

则等式(19)变成：

由于虚拟状态z的不可量测，为了补偿摩擦力f_r，构造了一种非线性摩擦观测器；这个非线性摩擦观测器具有基于摩擦模型的形式为：

其中表示摩擦力的估值，表示z的估值；状态是动态的，控制方程为：

然后，将合成为：

其中A_p和A_v是两个常量设计矩阵。

将z的估计误差定义为并将方程(24)代入方程(21)得到：

和

利用上面的两个等式并且用ε_v表示状态空间定义为：

系统闭环稳定性的定义如下：

如果令矩阵A_p和A_v使得常数矩阵是赫尔维茨矩阵，则方程(27)中的闭环系统是全局渐近稳定的；

引入一个新的非奇异变换，新的状态定义为 则状态方程(27)变为：

上述系统可以分为线性系统和非线性系统，线性系统为：

非线性系统为：

令的Lyapunov函数为V的导数为

其中g_i(·)为正；是全局渐近稳定的；

方程(29)的中是通过时变输入矩阵对线性系统输入；根据T和的形式(9)和(10)，这两个条件都是有保证的；系统矩阵是赫尔维茨矩阵，A_v也是有界的，这使得系统方程(29)满足BIBO稳定性；

轮廓控制器u可以借助转换回物理(x,y)坐标，写为：

从方程(24)中u的结构可以看出，前馈，反馈，交叉耦合和摩擦补偿控制在一个单独的过程中被合成，而轮廓控制的目的，轴的协调是通过u中的交叉耦合项来完成的。

在本发明一实施例中，联轴器为弹性联轴器。

在本发明一实施例中，超声波电机、光电编码器、力矩传感器分别经超声波电机固定支架、光电编码器固定支架、力矩传感器固定支架固定于所述基座上。

在本发明一实施例中，考虑不确定参数的鲁棒性，无论是在滑动状态还是在挤压状态下，测量到的摩擦行为定量数据往往随位置和时间而变化。这导致了这样一种情况：尽管两种模型都能充分捕捉到滑动和挤压状态下的摩擦的定性行为，但它们的模型参数仍然有变化。这意味着参数不确定性应该被考虑到模型描述中，所以对于参数不确定性的鲁棒设计是必要的。

设滑动摩擦模型中参数的虚值为其对应的实际参数值为S＝{σ_0i,σ_1i,σ_2i,f_si,f_ci,f_si,m_i}。是对角矩阵Σ₀第i行的初值，是对角矩阵Σ₁第i行的初值，是对角矩阵Σ₂第i行的初值，f_ci，f_si是轴的相应正系数初值，是第i个质量的初值。一旦参数不确定性被考虑到模型中，那么先前推导出的动力学应该被重新修改和相应修改，以纳入不确定性引起的影响。

然而，在试图从虚拟动力学中分离参数不确定性的影响之后，发现由于该模型的非线性，不确定项的显式表达式很难得到。相反，我们发现符号表达式是处理这种情况的更好的方法，其中符号μ_j(·)被用来表示不确定的项，并且指数j被用于任何不同的指示。当考虑参数不确定性时，经过一定的推导，可以发现方程(29)中原有的动力学可以写成如下形式：

经过一些重新排列之后，系统表示一个取决于系统速度v的不确定集合；刚毛形变z和和等式(2.37)的输出u；系统表示一个取决于系统速度v的不确定集合和刚毛形变z和由于系统速度v是一个可测量的量，根据引理2.1中的分析，刚毛形变z和是两个有界的量，则可以推导出μ_ε(·)和μ_z(·)具有以下关系：

||μ_ε(·)||≤μ₁||u||+μ₂||v||+μ₃和||μ_z(·)||≤μ₄||v|| （34）

其中μ_j,j＝1,2,3,4是正常数。因此，式(33)中的系统可以看成是一个受到两个不确定干扰的非线性系统；一个是输入方向，另一个不是。控制器设计中这类不确定性问题属于鲁棒控制领域。对于这种情况，滑模控制(SMC)是针对这种类型的问题的优选设计，这是一种鲁棒的非线性设计方法，并且这可以使闭环系统性能对干扰完全不敏感。因此，在这种情况下，为了将鲁棒的SMC控制结合到控制器设计中，提出了两步方法，其中控制器u在下面以分量方式合成。

让轮廓控制器按照以下方式分解：

u＝u_c+M^oTu_r

(35)

其中u_c是等式(20)中完全相同的轮廓控制组件，u_r是鲁棒控制组件。然后等式(33)变成：

由于上述系统的结构，可以发现系统可以进一步划分为两个子系统：

和

从这个划分可以看出，由于μ_z(·)的存在，e_z的动力学是复杂的。然而，根据定理的分析，由于z和有界，总是一个有界的量。因此，方程(36)右边的复数项可以进一步简化为一个单一的不确定性表达式，写成：

其中不确定性干扰在这种形式下，方程(39)中的动力学可以看作是受到不确定输入干扰的线性系统。此外，与(34)类似，可以推导出μ_ε(·)具有以下关系：

||μ_ε(·)||≤μ₁||u||+μ₅||v||+μ₆ (40)

其中μ₅和μ₆是正常数。对于这种情况，SMC控制u_r可以在下面合成。让滑动面合成为：

s＝ε_v+Γε_p

其中Γ是一个常数设计矩阵。在状态转换之后，方程(39)中的系统可以转换成如下的新状态：

让控制器u_r被合成为：

其中s/||s||是伴随SMC的非线性控制，ρ是设计常数，选择为：

ρ＝μ₁||u||+μ₅||v||+μ₆+η (43)

其中η是一个正常数。基于式(42)中u_r的综合，假设μ₁＜1满足，则可以通过下面来验证渐进条件。设s的Lyapunov函数为V_s(t)＝1/2s^Ts，则V_s(t)的时间导数变为：

这保证了滑动面的接近动作，并实现了滑动模式。一旦达到滑动模式，即s＝0随后所有的时间，该系统就像一个降阶系统，由以下部分控制：

这是一个完全独立于干扰的线性系统。Γ的设计变得非常简单，它缩小了线性系统的极点配置问题。

在这个范围内，系统受到参数不确定性影响的问题可以通过所提出的两步设计方法来解决，其中鲁棒滑模控制被结合到轮廓控制器中。在这种情况下，由于存在不确定性，估计误差状态e_z的原始渐近稳定性不能保持。这意味着真实的摩擦力与其估计之间存在偏差。通过将这些不确定的影响和摩擦估计的偏差收集到一个单一的不确定性表达式中，进行系统的鲁棒控制器设计。

这种设计的精神是通过基于强模型的滑动摩擦模型的摩擦估计来补偿摩擦力。然而，由于参数不确定性的存在以及缺乏e_z测量，这个估计不能很精确。这就是引入鲁棒控制并作为一个子系统来补偿参数不确定性造成的影响以及由不精确的摩擦估计造成的偏差。尽管这种稳定的设计可以成功地保证系统性能不受参数不确定性的影响，但是，这并不意味着可以避免精确的参数估计过程。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，凡依本发明申请专利范围所做的均等变化与修饰，皆应属本发明的涵盖范围。

Claims (4)

1.一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法，其特征在于：提供一超声波电机伺服控制系统，包括基座和设于基座上的超声波电机，所述超声波电机一侧输出轴与光电编码器相连接，超声波电机另一侧输出轴与飞轮惯性负载相连接，所述飞轮惯性负载输出轴经联轴器与力矩传感器相连接，所述光电编码器的信号输出端、力矩传感器的信号输出端分别接至控制系统；该方法建立在位置和速度信息模型基础上，在只有位置信息的情况下同时也使得伺服系统轮廓跟踪误差最小，从而能获得更好的轮廓控制效能；该方法具体实现为：

超声波电机驱动系统的动态方程可以写为：

其中A_p＝-B/J,B_P＝J/K_t＞0,C_P＝-1/J；B为阻尼系数，J为转动惯量，K_t为电流因子，T_f(v)为摩擦阻力力矩，T_L为负载力矩，U(t)是电机的输出力矩，θ_r(t)为通过光电编码器测量得到的位置信号；x是电机转子的位移，表示加速度，D是超声波电机的线性摩擦系数；为通过计算得到的速度信号，为通过计算得到的加速度信号；

考虑一个由x轴和y轴表示的二维坐标，在轮廓误差模型的基础上，将轮廓误差ε_c定义为法线方向，记为

ε_c＝-sinφ·e_x+cosφ·e_y (1)

相应的就具有切线方向分量，记为

ε_t＝cosφ·e_x+sinφ·e_y (2)

其中，e_x和e_y表示x轴和y轴的轴向跟踪误差；

φ为一个随时间变化的量，用φ(t)表示；并且根据工作坐标系，通过关系式将物理坐标(x,y)中的轴向跟踪误差转换为任务坐标(ε_c,ε_t)，关系式如下：

可以用矩阵表示为：

ε_p＝Te_p (4)

其中ε_p＝[ε_c ε_t]^T表示轮廓误差向量；e_p＝[e_x e_y]^T表示系统的跟踪误差向量；T表示变换矩阵；T满足单一性，可以表述为：

T^T＝T和T^-1＝T (5)

基于单一性质，公式(4)其相反式写为：

e_p＝Tε_p (6)

对方程(4)和(6)分别求一阶导数和二阶导数，其中一阶导数为：

二阶导数为：

考虑到φ(t)的时变特性，和可以进一步推导为：

和

轮廓控制器设计：

设定x和y轴相关的变量或参数简单地用指数i表示，其中i＝1和2分别表示x和y；根据牛顿第二定律，系统的运动方程可写为：

其中p＝[p₁ p₂]^T和u＝[u₁ u₂]^T分别表示位置矢量和输入矢量；f_r＝[f_r1 f_r2]^T表示摩擦力矢量；M表示惯性矩阵，由于多级系统的非耦合性质；

然后根据滑动摩擦模型，f_r可写为：

其中z＝[z₁ z₂]^T表示直立变形状态向量；是速度矢量；同时，类M，Σ₀，Σ₁和Σ₂是三个对角矩阵：

z是符合下式的动态状态：

其中γ(v)是由下式定义的向量函数：

函数g_i(v_i)是非线性的，定义如下：

g_i(v_i)＝[f_ci+(f_si-f_ci)exp(-(v_i/v_si)²)]/σ_0i (16)

f_ci，f_si和v_si是轴的相应正系数；g_i(·)是正函数，用0＜f_ci/σ_0i≤g_i(v_i)≤f_si/σ_0i表示；

方程(11)～(16)形成整个动力学系统，表示为：

直立挠度矢量z总是一个有界的量，定义为：

存在一个集合Ω_z使得如果z(0)∈Ω_z则有z(t)∈Ω_z

根据(14)和(15)的控制方程，令Lyapunov函数z为V_z＝1/2z^Tz，则V_z的时间导数为:

当|z₁|＞g₁(v₁)和|z₂|＞g₂(v₂)时，为负；根据(16)，和

g₁(v₁)和g₂(v₂)的正边界分别为0＜g₁(v₁)≤f_s1/σ₀₁和0＜g₂(v₂)≤f_s2/σ₀₂；

如果|z₁|＞f_s1/σ₀₁和|z₂|＞f_s2/σ₀₂，则被满足；存在一个不变集是一个半径为b的圆盘，若z(0)∈Ω_z，则在所有连续的时间里有z(t)∈Ω_z；

将上述方程从物理坐标转换到任务坐标，位置跟踪误差向量定义为e_p＝p-p_d；

在误差动力学中，(11)中运动的系统方程为:

基于(8)的原导出转换，并在(5)中应用单式属性，则可以将上述误差动态转换为任务坐标:

方程(14)～(16)和(19)构成了整个系统动力学在任务坐标中的表述；

基于上述式(19)中的任务坐标误差动力学，首先应用前馈控制，使得通过输入轮廓控制器u被前馈，其可以写为：

则等式(19)变成：

由于虚拟状态z的不可量测，为了补偿摩擦力f_r，构造了一种非线性摩擦观测器；这个非线性摩擦观测器具有基于摩擦模型的形式为：

其中表示摩擦力的估值，表示z的估值；状态是动态的，控制方程为：

然后，将合成为：

其中A_p和A_v是两个常量设计矩阵；

将z的估计误差定义为并将方程(24)代入方程(21)得到：

和

利用上面的两个等式并且用ε_v表示状态空间定义为：

系统闭环稳定性的定义如下：

如果令矩阵A_p和A_v使得常数矩阵是赫尔维茨矩阵，则方程(27)中的闭环系统是全局渐近稳定的；

引入一个新的非奇异变换，新的状态定义为 则状态方程(27)变为：

上述系统可以分为线性系统和非线性系统，线性系统为：

非线性系统为：

令的Lyapunov函数为V的导数为

其中g_i(·)为正；是全局渐近稳定的；

方程(29)的中是通过时变输入矩阵对线性系统输入；根据T和的形式(9)和(10)，这两个条件都是有保证的；系统矩阵是赫尔维茨矩阵，A_v也是有界的，这使得系统方程(29)满足BIBO稳定性；

轮廓控制器u可以借助转换回物理(x,y)坐标，写为：

从方程(24)中u的结构可以看出，前馈，反馈，交叉耦合和摩擦补偿控制在一个单独的过程中被合成，而轮廓控制的目的，轴的协调是通过u中的交叉耦合项来完成的。

2.根据权利要求1所述的一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法，其特征在于：所述控制系统包括超声波电机驱动控制电路，所述超声波电机驱动控制电路包括控制芯片电路和驱动芯片电路，所述光电编码器的信号输出端与所述控制芯片电路的相应输入端相连接，所述控制芯片电路的输出端与所述驱动芯片电路的相应输入端相连接，以驱动所述驱动芯片电路，所述驱动芯片电路的驱动频率调节信号输出端和驱动半桥电路调节信号输出端分别与所述超声波电机的相应输入端相连接。

3.根据权利要求1所述的一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法，其特征在于：所述联轴器为弹性联轴器。

4.根据权利要求1所述的一种超声波电机伺服控制系统轮廓控制方法，其特征在于：所述超声波电机、光电编码器、力矩传感器分别经超声波电机固定支架、光电编码器固定支架、力矩传感器固定支架固定于所述基座上。