CN105574341A - 一种低温工况下工作的螺栓常温预紧力计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种低温工况下工作的螺栓常温预紧力计算方法，可用于工作在-40℃以下螺栓的常温预紧力设计计算。其设计步骤包含有计算螺栓、螺母、螺栓头、垫片轴向刚度；计算被连接件轴向刚度；计算受压件整体刚度和变形分配系数；计算螺栓推荐装配预紧力；通过以上流程，可以使螺栓预紧力在低温下处于适中的水平，不会因为温度变化产生的热应力使螺栓预紧力过低或过高。

Description

一种低温工况下工作的螺栓常温预紧力计算方法

【技术领域】

本发明属于螺栓技术领域，具体涉及一种低温工况下工作的螺栓常温预紧力计算方法。

【背景技术】

螺栓在装配过程中在其横截面会逐渐产生预紧拉应力，适当的预紧力取值对螺栓连接的安全和有效十分重要。对于一些处于低温工况的设备(如超低温BOG压缩机)，其螺栓工作温度与装配温度不同，而螺栓连接件经常由不同材料组成，此时由于连接件不同的热变形，螺栓工作温度下的预紧力会发生变化。根据螺栓连接件材料的组合，其低温预紧力相比常温的预紧力既可能上升，也可能下降。当螺栓材料热膨胀率高于被连接件时，低温下螺栓较高的收缩会使预紧力上升，而反之则预紧力下降。而预紧力的取值需要保证其在工作温度下处于适中的水平，不能使连接松动也不能使螺栓发生受拉屈服或破坏。因此有必要据此调整螺栓常温预紧力的取值。

【发明内容】

本发明旨在基于解析法，提出一种在低温工况下工作的螺栓常温预紧力计算的方法，可用于工作在-40℃以下螺栓的常温预紧力设计计算。利用该方法，已知螺栓结构尺寸、材料参数、工作温度以及对预紧水平的要求即可对常温下的预紧力进行计算。并且可根据螺栓所处的特殊工作特性，如应力集中、外载荷、工作温度变化等，对预紧力进行调整。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：

一种低温工况下工作的螺栓常温预紧力计算方法，包括以下步骤：

1)计算各部件的轴向刚度

1-1)分别计算螺栓、螺母、螺栓头以及垫片的轴向刚度；

$k_b=\frac{E_b{A}_b}{L_b}---\left(1\right)$

$k_n=\frac{E_n{A}_n}{L_n}---\left(2\right)$

$k_h=\frac{E_h{A}_h}{L_h}---\left(3\right)$

$k_w=\frac{E_w{A}_w}{L_w}---\left(4\right)$

其中，k_b为螺栓的轴向刚度，k_n为螺母的轴向刚度，k_h为螺栓头的轴向刚度，k_w为垫片的轴向刚度，E_b为螺栓的材料弹性模量，E_n为螺母的材料弹性模量，E_h为螺栓头的材料弹性模量，E_w为垫片的材料弹性模量，A_b为螺栓的轴向截面积，A_n为螺母的轴向截面积，A_h为螺栓头的轴向截面积，A_w为垫片的轴向截面积，L_b为螺栓的轴向长度，L_n为螺母的轴向长度，L_h为螺栓头的轴向长度，L_w为垫片的轴向长度；

1-2)当被连接件的外径d_a≤βd时，利用式(5)计算被连接件的轴向刚度k_c：

$k_c=\frac{{\mathrm{\πE}}^{\′}}{4L^{\′}}({d_a}^2-{\left(\mathrm{\α}d\right)}^2)---\left(5\right)$

当被连接件的外径d_a≥βd+L时，利用式(6)计算被连接件的轴向刚度k_cmax：

$k_{cmax}=E^{\′}d\left(0.59\right({\mathrm{\β}}^2-{\mathrm{\α}}^2)\frac{d}{L^{\′}}+0.2(\mathrm{\β}+\mathrm{\α}\left)\right)---\left(6\right)$

当被连接件的外径βd≤d_a≤βd+L时，利用式(7)计算被连接件的轴向刚度k_c：

$k_c=\frac{k_{c0}-k_{c\max }}{\exp \left(\frac{{\mathrm{\πE}}^{\′}d(d_a-\mathrm{\β}d)}{2L^{\′}(k_{c\max }-k_{c0})}\right)}---\left(7\right)$

其中，β表示螺栓头外径的比例系数；d表示螺栓直径；α被连接件内径的比例系数；k_c0表示当式(5)中d_a＝βd时的取值；E′表示被连接件的材料弹性模量；L′表示被连接件的轴向长度

2)计算受压件整体刚度k_c'和变形分配系数m：

${k_c}^{\′}=\frac{1}{\frac{1}{k_c}+\frac{1}{k_n}+\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_w}}---\left(8\right)$

$m=\frac{{k_c}^{\′}}{{k_c}^{\′}+k_b}---\left(9\right)$

3)计算螺栓预紧力F_n的取值

3-1)计算螺栓预紧力F_n的取值推荐值：

F_n＝xσ_sA_b+m(α_b-α_c)ΔT·L_b·k_b(10)

其中，x为工作温度下对螺栓预紧应力水平的要求，σ_s为螺栓材料屈服应力，ΔT为工作温度与预紧温度的差值，α_b为螺栓材料的热膨胀率，α_c为被连接件材料的热膨胀率；

3-2)如需保证螺栓应力集中处的强度时，预紧力F_n的取值范围按照下式计算：

bσ_sA_b+m(α_b-α_c)ΔT·L_b·k_b≤F_n≤σ_sA_b/a+m(α_b-α_c)ΔT·L_b·k_b(11)

式中，b为工作温度下保持预紧性能的比例系数，a为螺栓连接结构最大应力集中系数；

3-3)如需考虑螺栓在工作温度范围内的预紧力变化时，预紧力F_n的取值按照下式计算：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_n\≤min\{{\mathrm{\σ}}_s{A}_b/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L_b\·k_b,{\mathrm{\σ}}_s{A}_b/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L_b\·k_b\}\\ F_n\≥max\{{\mathrm{b\σ}}_s{A}_b+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L_b\·k_b,{\mathrm{b\σ}}_s{A}_b+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L_b\·k_b\}\end{array}\right.---\left(12\right)$

式中，ΔT₁和ΔT₂分别为工作温度上下限与常温的差值；

3-4)当有外载荷叠加时，式(11)与式(12)可进一步改善为：

bσ_sA_b+m(α_b-α_c)ΔT·L_b·k_b≤F_n≤σ_sA_b/a+m(α_b-α_c)ΔT·L_b·k_b-P(13)

$\left\{\begin{array}{c}{F}_n\≤min\{{\mathrm{\σ}}_{s}A/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L\·k_b-P,{\mathrm{\σ}}_{s}A/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L\·k_b-P\}\\ F_n\≥max\{{\mathrm{b\σ}}_{s}A+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L\·k_b,{\mathrm{b\σ}}_{s}A+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L\·k_b\}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，P为外载荷的轴向分量。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

1)本发明能够更加准确地预测螺栓低温预紧力的变化。现有计算螺栓预紧力变化的文献未考虑螺栓连接件内部组件刚度对变形分配以至于预紧力的影响，或只考虑了螺栓与被连接件的刚度与变形关系。而本发明将螺栓头、螺母以及垫片等受压件的刚度同样考虑入内，计算出受压件整体刚度和变形分配系数。改进后的变形分配系数计算公式可以更准确地计算低温下热变形差值分配到螺栓上的比例，从而更准确地计算低温下螺栓预紧力的变化。

2)本发明能够针对各种工况计算螺栓预紧力的常温装配推荐值。螺栓在工作时会面对各种不同工况以及力学状态。在本发明中，可根据设计要求将各种工况及力学状态考虑入内。其中包括：可以保证工作温度下螺栓结构应力集中处的强度合格；可以保证螺栓在较大工作温度范围内其预紧力均处于适中水平；可以保证螺栓在外载荷与预紧力的叠加下其强度仍然合格；以上多因素的联合作用；

【附图说明】

图1为本发明的流程图示；

图2为本发明螺栓连接件的结构示意图。

【具体实施方式】

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

螺栓连接件一般由螺栓、螺母、被连接件、垫片构成。螺栓在预紧过程中在螺栓截面上产生轴向预紧力，而在低温下由于螺栓与被连接件的材料不同，二者拥有不同的热收缩量，由此预紧力会产生变化。在常温下适中的预紧力水平，在低温下可能会过高或过低，因此需要根据低温下预紧力的变化调整常温螺栓装配时的预紧力取值。要计算螺栓预紧力的变化，首先需要计算各组件的轴向刚度。轴向刚度是各组件所受轴向力与轴向变形之比，其值取决于各组件材料和形状等。之后，由各部件接触关系和受力特点得到受压件的整体刚度以及变形分配比例，该比例决定热收缩量差值引起的预紧力变化量。最后，需要计算热变形的差值，这可由各组件材料的热膨胀率差值以及温差得出，由热变形量差值、螺栓轴向刚度、以及变形系数的乘积即可得到低温下螺栓预紧力的变化值。

参见图1，本发明包括以下步骤：

1)分别计算螺栓、螺母、螺栓头以及垫片的轴向刚度；

$k_b=\frac{E_b{A}_b}{L_b}---\left(1\right)$

$k_n=\frac{E_n{A}_n}{L_n}---\left(2\right)$

$k_h=\frac{E_h{A}_h}{L_h}---\left(3\right)$

$k_w=\frac{E_w{A}_w}{L_w}---\left(4\right)$

其中，k_b为螺栓的轴向刚度，k_n为螺母的轴向刚度，k_h为螺栓头的轴向刚度，k_w为垫片的轴向刚度，E_b为螺栓的材料弹性模量，E_n为螺母的材料弹性模量，E_h为螺栓头的材料弹性模量，E_w为垫片的材料弹性模量，A_b为螺栓的轴向截面积，A_n为螺母的轴向截面积，A_h为螺栓头的轴向截面积，A_w为垫片的轴向截面积，L_b为螺栓的轴向长度，L_n为螺母的轴向长度，L_h为螺栓头的轴向长度，L_w为垫片的轴向长度；

以上几个组件，在预紧状态下可以认为其整体截面均匀受拉或受压，因此可以使用材料力学经典公式计算其轴向刚度。

2)计算被连接件的轴向刚度。不同螺栓连接件其被连接件形状各异，并且其在预紧状态下被连接件只有和螺母及螺栓头接触的部分受压，因此不能使用经典公式计算其轴向刚度。目前被连接件轴向刚度尚无统一计算公式，对于被连接件形状为盘片状的，可利用下述公式计算。对于其他形状的，可以参考其他文献或利用有限元法计算。

如图2所示，根据被连接件的外径d_a而选择不同的计算公式。当d_a很小，其全部截面均受压时，同样可利用上式计算轴向刚度：

$k_c=\frac{{\mathrm{\πE}}^{\′}}{4L^{\′}}({d_a}^2-{\left(\mathrm{\α}d\right)}^2),d_a\≤\mathrm{\β}d---\left(5\right)$

而当d_a很大时，假设被连接件刚度不随其外径继续变化：

$k_{cmax}=E^{\′}d\left(0.59\right({\mathrm{\β}}^2-{\mathrm{\α}}^2)\frac{d}{L^{\′}}+0.2(\mathrm{\β}+\mathrm{\α}\left)\right),d_a\≥\mathrm{\β}d+L^{\′}---\left(6\right)$

当d_a居中时，采用指数关联式计算其轴向刚度：

$k_c=\frac{k_{c0}-k_{c\max }}{\exp \left(\frac{{\mathrm{\πE}}^{\′}d(d_a-\mathrm{\β}d)}{2L^{\′}(k_{c\max }-k_{c0})}\right)},\mathrm{\β}d\≤d_a\≤\mathrm{\β}d+L^{\′}---\left(7\right)$

其中，k_c0为式(5)中d_a＝βd时的取值。

3)计算受压件连接刚度k_c'及变形分配系数m：

${k_c}^{\′}=\frac{1}{\frac{1}{k_c}+\frac{1}{k_n}+\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_w}}---\left(8\right)$

$m=\frac{{k_c}^{\′}}{{k_c}^{\′}+k_b}---\left(9\right)$

螺栓预紧状态下，螺栓头、螺母、被连接件和垫片均属于受压状态，而螺栓则属于受拉状态。因此可以根据刚度并联公式得出受压件的整体刚度k_c'。而受压件整体刚度与螺栓刚度之间的比例关系称为变形分配系数，其值代表热变形差值引起螺栓预紧力变化的比例。下面举例对该系数的物理意义进行说明：假设受压件属于塑性材料，其刚度近似为0，如被连接件热收缩量大于螺栓，二者之间有产生缝隙的倾向，此时由于受压件为纯塑性，全部变形均分配到受压件上，m＝0，此时螺栓预紧力不会发生变化。而假设受压件为纯刚体，受力时不会产生变形，其轴向刚度为+∞，m＝1，全部热变形差由螺栓承担，此时预紧力变化最大。对于实际螺栓连接件，各组件均有一定刚度，m的取值由各组件刚度比例决定。

4)计算常规螺栓预紧力取值推荐值：

F_n＝xσ_sA+m(α_b-α_c)ΔT·L·k_b(10)

此式由两项相加而成，后项代表温度变化带来的预紧力差值，ΔT为工作温度与预紧温度的差值。α_bα_c分别为螺栓材料和被连接件材料的热膨胀率，(α_b-α_c)ΔT·L为低温下螺栓整体的热变形差值。m(α_b-α_c)ΔT·L·k_b为螺栓预紧力的变化量。x为工作温度下对螺栓预紧应力的要求，σ_s为螺栓材料屈服应力。如要求螺栓工作温度下预紧应力达到屈服应力的60％，则x＝0.6。

将两项相加即可得到常温下的装配预紧力推荐值。例如：当螺栓热膨胀率较高时，低温下螺栓收缩量高于被连接件，低温下螺栓预紧力会增加，因此须降低常温下预紧力取值。式中低温时ΔT为负值，(α_b-α_c)为正值，后项整体为负，即常温预紧力取值应减小。

5)将应力集中考虑入内的预紧力取值范围：

bσ_sA+m(α_b-α_c)ΔT·L·k_b≤F_n≤σ_sA/a+m(α_b-α_c)ΔT·L·k_b(11)

螺栓连接件在工作状态下在螺栓头、螺纹处等会产生明显的应力集中，即使螺栓截面平均拉应力不高，应力集中处应力也可能超过材料屈服强度。利用(11)式可以保证螺栓工作状态下应力集中处应力仍然处于适中状态。

式中b为工作温度下保持预紧性能的比例系数，可根据螺栓具体设计要求确定。a为螺栓连接结构最大应力集中系数。(11)式中确定的螺栓预紧力范围即工作状态下能保持预紧性能的预紧力最低值和应力集中处达到最大许用应力的预紧力最高值。

6)螺栓在一定温度范围内工作时的预紧力取值范围：

当螺栓在一定温度范围内工作时，需要保证其在工作范围内预紧力水平均适中，即预紧力既能满足最低预紧性能，同时保证应力集中处应力水平低于材料许用应力，其预紧力取值可参考下式：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_n\≤min\{{\mathrm{\σ}}_{s}A/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L\·k_b,{\mathrm{\σ}}_{s}A/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L\·k_b\}\\ F_n\≥max\{{\mathrm{b\σ}}_{s}A+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L\·k_b,{\mathrm{b\σ}}_{s}A+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L\·k_b\}\end{array}\right.---\left(12\right)$

式中ΔT₁和ΔT₂分别为工作温度上下限与常温的差值。F_n3的取值下限代表在工作温度范围内保持预紧性能的最高预紧力，取值上限代表使应力集中处最大应力达到许用应力的最小预紧力。

7)外载荷叠加时的螺栓预紧力取值：

当螺栓在工作状态下受外载荷作用时，外载荷与预紧力叠加可能进一步提高螺栓应力水平，因此需要将外载荷的影响考虑入内，调整常温装配时的预紧力取值。式(11)与式(12)可改善为：

bσ_sA+m(α_b-α_c)ΔT·L·k_b≤F_n≤σ_sA/a+m(α_b-α_c)ΔT·L·k_b-P(13)

$\left\{\begin{array}{c}{F}_n\≤min\{{\mathrm{\σ}}_{s}A/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L\·k_b-P,{\mathrm{\σ}}_{s}A/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L\·k_b-P\}\\ F_n\≥max\{{\mathrm{b\σ}}_{s}A+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L\·k_b,{\mathrm{b\σ}}_{s}A+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L\·k_b\}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中P为外载荷的轴向分量。

实施例：

本实施例中螺栓连接结构相关尺寸可见下表：

表1螺栓连接结构尺寸参数

本实施例中螺栓材料为SIC815合金钢，被连接件材料为304不锈钢，二者相关物理性质如下表所示：

表2螺栓连接件材料物理性质

此时，螺栓热膨胀率低于被连接件，在低温下螺栓预紧力将会减小，即螺栓有产生松弛的倾向，需要提高常温装配时预紧力的取值。

首先需要计算螺栓连接件刚度以及分配系数m，计算结果如下表：

表3刚度和变形分配系数计算

螺栓强度规格按8.8级，即屈服应力σ_s＝640MPa。常温T₀＝25℃，工作温度T＝-100℃，即温差ΔT＝-125℃。

如螺栓工作状态单纯或仅对螺栓预紧力进行粗算，可利用公式(10)进行简易计算。x可取0.6，代表螺栓在工作温度下预紧应力达到屈服应力的60％。计算可得常温装配时推荐预紧力为F_n＝1600kN；常温装配时预紧拉应力为498MPa。

如将螺栓连接应力集中现象考虑在内，即不希望螺栓应力集中处应力过高，可采用公式(11)。式中b为螺栓工作时保持最低预紧的系数，在此取0.3，a为螺栓结构应力集中系数，可参考手册确定，在此取1.67。计算可得常温装配预紧力范围为F_n＝985-1600kN

当螺栓工作温度范围波动较大时，需要在工作温度范围内均保持适中预紧力，可参考公式(12)。假设螺栓工作温度范围设置为-100～-50℃，计算可得常温装配预紧力范围为F_n＝985-1450kN。

当螺栓工作时还受外部载荷叠加，其所受轴向应力应叠加考虑至预紧力取值中。本例中螺栓受最大300kN的往复惯性力，即P＝160kN。可按照公式(13)和(14)计算。按照式(13)与(14)计算得F_n＝985-1300kN。

通过公式(11)、(12)、(13)、(14)可以得到不同工况、设计条件下的预紧力取值范围，如通过上述公式得不到可行解，说明预紧力在该工况下无法满足设计条件，需要调整有关系数(a、b)的取值。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种低温工况下工作的螺栓常温预紧力计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)计算各部件的轴向刚度

1-1)分别计算螺栓、螺母、螺栓头以及垫片的轴向刚度；

$k_b=\frac{E_b{A}_b}{L_b}---\left(1\right)$

$k_n=\frac{E_n{A}_n}{L_n}---\left(2\right)$

$k_h=\frac{E_h{A}_h}{L_h}---\left(3\right)$

$k_w=\frac{E_w{A}_w}{L_w}---\left(4\right)$

其中，k_b为螺栓的轴向刚度，k_n为螺母的轴向刚度，k_h为螺栓头的轴向刚度，k_w为垫片的轴向刚度，E_b为螺栓的材料弹性模量，E_n为螺母的材料弹性模量，E_h为螺栓头的材料弹性模量，E_w为垫片的材料弹性模量，A_b为螺栓的轴向截面积，A_n为螺母的轴向截面积，A_h为螺栓头的轴向截面积，A_w为垫片的轴向截面积，L_b为螺栓的轴向长度，L_n为螺母的轴向长度，L_h为螺栓头的轴向长度，L_w为垫片的轴向长度；

1-2)当被连接件的外径d_a≤βd时，利用式(5)计算被连接件的轴向刚度k_c：

$k_c=\frac{{\mathrm{\πE}}^{\′}}{4L^{\′}}({d_a}^2-{\left(\mathrm{\α}d\right)}^2)---\left(5\right)$

当被连接件的外径d_a≥βd+L时，利用式(6)计算被连接件的轴向刚度k_cmax：

$k_{cmax}=E^{\′}d\left(0.59\right({\mathrm{\β}}^2-{\mathrm{\α}}^2)\frac{d}{L^{\′}}+0.2(\mathrm{\β}+\mathrm{\α}\left)\right)---\left(6\right)$

当被连接件的外径βd≤d_a≤βd+L时，利用式(7)计算被连接件的轴向刚度k_c：

$k_c=\frac{k_{c0}-k_{cmax}}{\exp \left(\frac{{\mathrm{\πE}}^{\′}d(d_a-\mathrm{\β}d)}{2L^{\′}(k_{cmax}-k_{c0})}\right)}---\left(7\right)$

其中，β表示螺栓头外径的比例系数；d表示螺栓直径；α被连接件内径的比例系数；k_c0表示当式(5)中d_a＝βd时的取值；E′表示被连接件的材料弹性模量；L′表示被连接件的轴向长度

2)计算受压件整体刚度k_c'和变形分配系数m：

${k_c}^{\′}=\frac{1}{\frac{1}{k_c}+\frac{1}{k_n}+\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_w}}---\left(8\right)$

$m=\frac{{k_c}^{\′}}{{k_c}^{\′}+k_b}---\left(9\right)$

3)计算螺栓预紧力F_n的取值

3-1)计算螺栓预紧力F_n的取值推荐值：

F_n＝xσ_sA_b+m(α_b-α_c)ΔT·L_b·k_b(10)

其中，x为工作温度下对螺栓预紧应力水平的要求，σ_s为螺栓材料屈服应力，ΔT为工作温度与预紧温度的差值，α_b为螺栓材料的热膨胀率，α_c为被连接件材料的热膨胀率；

3-2)如需保证螺栓应力集中处的强度时，预紧力F_n的取值范围按照下式计算：

bσ_sA_b+m(α_b-α_c)ΔT·L_b·k_b≤F_n≤σ_sA_b/a+m(α_b-α_c)ΔT·L_b·k_b(11)

式中，b为工作温度下保持预紧性能的比例系数，a为螺栓连接结构最大应力集中系数；

3-3)如需考虑螺栓在工作温度范围内的预紧力变化时，预紧力F_n的取值按照下式计算：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_n\≤\min \{{\mathrm{\σ}}_s{A}_b/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L_b\·k_b,{\mathrm{\σ}}_s{A}_b/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L_b\·k_b\}\\ F_n\≥\max \{{\mathrm{b\σ}}_s{A}_b+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L_b\·k_b,{\mathrm{b\σ}}_s{A}_b+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L_b\·k_b\}\end{array}\right.---\left(12\right)$

式中，ΔT₁和ΔT₂分别为工作温度上下限与常温的差值；

3-4)当有外载荷叠加时，式(11)与式(12)可进一步改善为：

bσ_sA_b+m(α_b-α_c)ΔT·L_L·k_b≤F_n≤σ_sA_b/a+m(α_b-α_c)ΔT·L_b·k_b-P(13)

$\left\{\begin{array}{c}{F}_n\≤\min \{{\mathrm{\σ}}_{s}A/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L\·k_b-P,{\mathrm{\σ}}_{s}A/a+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L\·k_b-P\}\\ F_n\≥\max \{{\mathrm{b\σ}}_{s}A+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_1\·L\·k_b,{\mathrm{b\σ}}_{s}A+m({\mathrm{\α}}_b-{\mathrm{\α}}_c){\mathrm{\ΔT}}_2\·L\·k_b\}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，P为外载荷的轴向分量。