CN105547179A - 一种非球面方程的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非球面方程的测量方法，包括：1)利用移相干涉仪测量被测非球面的环形面形图，利用测距干涉仪测量被测非球面距离上一测量点的相对位移量；2)依据所述移相干涉仪测量的环形面形图，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径；3)依据所述“零条纹”半径和所述测距干涉仪测量的相对位移量，计算获得被测非球面在测量点对应的矢高导数值；4)依据在测量点对应的矢高导数值，计算获得被测非球面方程的导数表达式；5)依据所述被测非球面方程的导数表达式，计算获得被测非球面方程。该方法具有测量方法简单，成本低，便于操作等优点。

Description

一种非球面方程的测量方法

技术领域

本发明涉及光学检测领域，特别提供了一种非球面方程的测量方法。

背景技术

在光学设计中，单个球面可以供优化的自由度只有曲率半径；而非球面除了顶点曲率半径之外，还有二次曲面常数和高阶项系数。由于非球面比球面拥有更多设计的自由度，所以在很多光学系统中，都普遍采用非球面元件来减小系统的复杂度，并提高系统的成像质量。

当前，对于非球面的检测，大多都集中在非球面的面形上，即采用拼接法(环形子孔径拼接或者圆形子孔径拼接)或零位补偿法(补偿镜法或计算全息法)来对非球面检测检测，很少关注对非球面方程的检测。

因此，研发一种非球面方程的检测方法，成为人们亟待解决的问题。

发明内容

鉴于此，本发明的目的在于提供一种非球面方程的测量方法，以实现在完全未知非球面方程的情况下测量获得非球面方程。

本发明提供的技术方案具体为，一种非球面方程的测量方法，其特征在于，包括：

1)利用移相干涉仪测量被测非球面的环形面形图，利用测距干涉仪测量被测非球面距离上一环形面形图测量点的相对位移量；

2)依据所述移相干涉仪测量的环形面形图，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径；

3)依据所述“零条纹”半径、所述测距干涉仪测量的相对位移量以及非球面方程的导数表达式，采用迭代优化法计算出被测非球面的方程。

优选，所述依据所述移相干涉仪测量的环形面形图，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径，包括：

如果环形干涉条纹与图像中心点不连通，在环形面形图上采用数值微分法计算出满足阈值要求的坐标，而后采用最小二乘法计算获得在测量点对应的“零条纹”半径；

如果环形干涉条纹与图像中心点连通，采用Zernike的离焦和球差拟合法，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径。

进一步优选，所述采用Zernike的离焦和球差拟合法，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径公式为：

${\mathrm{\ρ}}_i=\sqrt{\frac{3a_2-a_1}{6a_2}}$

其中，a₁表示离焦系数，a₂表示球差系数，且所述a₁和a₂可通过对环形面形图进行Zernike拟合获得。

进一步优选，所述非球面方程的导数表达式为：

$z^{\′}\left(\mathrm{\ρ}\right)=\frac{c\mathrm{\ρ}}{\sqrt{1-c^2{\mathrm{\ρ}}^2}}+\underset{n=0}{\overset{M}{\Σ}}{b}_n{P}_n(\mathrm{\ρ}/{\mathrm{\ρ}}_{\max })$

其中，c表示最佳拟合球曲率，ρ表示“零条纹”半径，ρ_max表示非球面径向坐标最大值，M表示整数，b_n表示多项式{P_n(x)}的系数，且多项式{P_n(x)}满足： ${\∫}_0^1{P}_n\left(x\right)P_m\left(x\right)dx={\mathrm{\δ}}_{mn},m\≥0,n\≥0.$

进一步优选，M＝6。

进一步优选，所述迭代优化法具体为：

1)利用测距干涉仪测量“猫眼”位置与所述环形面形图中间环带位置的距离，并将测量得到的距离作为所述被测非球面方程中最佳拟合球曲率c的初值，并依据最佳拟合球曲率c的初值，估算出对应的矢高值z(ρ_i)；

2)依据最佳拟合球曲率c和矢高值z(ρ_i)，利用公式(a)和最小二乘法，计算获得多项式{P_n(x)}的系数b_n，

$\underset{n=0}{\overset{M}{\Σ}}{b}_n{P}_n(\mathrm{\ρ}/{\mathrm{\ρ}}_{max})=\frac{{\mathrm{\ρ}}_i}{s_i-z\left({\mathrm{\ρ}}_i\right)}-\frac{c\mathrm{\ρ}}{\sqrt{1-c^2{\mathrm{\ρ}}^2}}---\left(a\right)$

其中，ρ_i表示在测量点对应的“零条纹”半径，sⁱ表示测距干涉仪测量的相对位移量，ρ表示“零条纹”半径；

3)依据系数b_n获得被测非球面方程的导数具体表达式，并依据所述具体表达式计算获得非球面方程；

4)依据所述非球面方程，重新计算获得最佳拟合球曲率c以及矢高值z(ρ_i)，将计算获得的最佳拟合球曲率c与步骤2)代入的最佳拟合球曲率c相减，获得差值；

5)将所述差值与阈值比较，当大于阈值时，重复步骤2)～步骤4)，直至所述差值小于等于阈值。

本发明提供的非球面方程的测量方法，可实现在完全未知非球面方程的情况下测量获得非球面方程，丰富了光学元件的可测量参数，具有测量方法简单，成本低，便于操作等优点。

附图说明

图1为非球面方程的测量系统示意图；

图2为仿真生成的环形干涉图；

图3为计算获得“零条纹”位置示意图；

图4为当干涉条纹与图像中心不连通时，满足设定阈值的“零条纹”位置分布图；

图5为利用图2中“零条纹”位置计算出的最佳拟合圆；

图6为当干涉条纹与图像中心连通时，仿真生成的干涉图；

图7为图6对应的面形图；

图8为某一测量位置实际测量的环形干涉图；

图9为图8对应的面形图；

图10为测长干涉仪实际测量的相对位移与计算出的“零条纹”的位置关系；

图11为最终获得的非球面方程计算出的矢高；

图12为轮廓测量的矢高与发明中论述方法测量的矢高的偏差。

具体实施方式

下面以具体的实施方案对本发明进行进一步解释，但是并不用于限制本发明的保护范围。

为了实现在完全未知非球面方程的情况下测量获得非球面方程，本实施方案提供了一种非球面方程的测量方法，其中，所用的测量装置参见图1，包括：稳频激光器S1、准直扩束系统S2、分光棱镜S3、汇聚镜组S4、移相参考面S5、测距干涉仪S6、非球面S7、夹持机构S8、多维调整台S9、成像镜S10、探测器S11、图像采集单元S12，其中，S1、S2、S3、S4、S5、S10、S11和S12构成了移相干涉仪。

具体的测量过程如下：

准备工作：选择恰当的球面参考镜，将被测非球面与移相干涉仪放置同心，将测距干涉仪置零；

1)沿移相干涉仪的轴向移动被测非球面，利用移相干涉仪测量被测非球面的环形面形图，利用测距干涉仪测量被测非球面轴向移动距离。

2)依据移相干涉仪测量的环形面形图，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径；

3)依据“零条纹”半径、测距干涉仪测量的轴向移动距离以及非球面方程的导数表达式，采用迭代优化的计算方法获得被测非球面方程。

在本实施方中，步骤2)的计算方法如下：

当移相干涉仪发出的球面波与被测非球面径向任一位置法线垂直时，会出现所示的环形干涉图如图2所示，计算示意图如图3所示。P为非球面面上的任意一点，非球面上过P点的法线与光轴相交于点F；若P点处于“零条纹”位置，则P点与F点的坐标可以表示为(ρ_i,z(ρ_i))和(0,s_i)，且满足：

$\frac{{\mathrm{\ρ}}_i}{z^{\′}\left({\mathrm{\ρ}}_i\right)}+z\left({\mathrm{\ρ}}_i\right)=s_i---\left(1\right)$

其中ρ_i表示所采集的第i环带所对应的非球面径向位置，z(ρ_i)表示此位置处非球面的矢高，z'(ρ_i)表示此位置处矢高的导数，s_i表示测距干涉仪测量的相对位移。

为了便于计算，公式(1)可以写成：

$z^{\′}\left({\mathrm{\ρ}}_i\right)=\frac{{\mathrm{\ρ}}_i}{s_i-z\left({\mathrm{\ρ}}_i\right)}---\left(2\right)$

并且满足：

$z\left(\mathrm{\ρ}\right)=\∫z^{\′}\left(\mathrm{\ρ}\right)d\mathrm{\ρ}=\∫\frac{{\mathrm{\ρ}}_i}{s_i-z\left({\mathrm{\ρ}}_i\right)}d\mathrm{\ρ}---\left(3\right)$

在面形图上，“零条纹”位置满足：

$\frac{\∂F(x,y)}{\∂\mathrm{\ρ}}=0---\left(4\right)$

其中F(x,y)表示测量的面形。

具体计算ρ_i(“零条纹”半径)可以分为两种情况：

情况一：当环形面形图中干涉条纹与图像中心不连通时，为了便于计算，公式(4)可以写成：

$\frac{\∂F(x,y)}{\∂\mathrm{\ρ}}=\frac{\∂F}{\∂x}\frac{\∂x}{\∂\mathrm{\ρ}}+\frac{\∂F}{\∂y}\frac{\∂y}{\∂\mathrm{\ρ}}=\frac{\∂F}{\∂x}cos\mathrm{\θ}+\frac{\∂F}{\∂y}sin\mathrm{\θ}=0---\left(5\right)$

对面形图采用数值微分法，设置合适的阈值，可以得到“零条纹”位置分布图，如图4所示，采用最小二乘法进行拟合，即可得到“零条纹”的中心与半径，如图5所示。

情况二：当环形面形图中干涉条纹与图像中心连通时(此时移相干涉仪焦点接近非球面顶点球球心)，所测量的面形主要由离焦和球差项组成，如图6、图7所示，即：

F(x,y)≈a₁(2ρ²-1)+a₂(6ρ⁴-6ρ+1)(6)

其中a₁和a₂分别表示离焦和球差系数，其可以通过对环形面形图进行Zernike拟合获得。

将公式(6)带入公式(4)，可得：

${\mathrm{\ρ}}_i=\sqrt{\frac{3a_2-a_1}{6a_2}}---\left(7\right)$

在本实施方案中，步骤3)的计算优化方法为：

为了提高测量精度，被测非球面方程的导数表达式描述为：

$z^{\′}\left(\mathrm{\ρ}\right)=\frac{c\mathrm{\ρ}}{\sqrt{1-c^2{\mathrm{\ρ}}^2}}+\underset{n=0}{\overset{M}{\Σ}}{b}_n{P}_n(\mathrm{\ρ}/{\mathrm{\ρ}}_{\max })---\left(8\right)$

其中，c为最佳拟合球曲率，ρ_max为非球面径坐标最大值，M可以根据实际的需要进行整数取值，本实施方案中M取6，b_n表示多项式{P_n(x)}的系数，且多项式{P_n(x)}满足：

${\∫}_0^1{P}_n\left(x\right)P_m\left(x\right)dx={\mathrm{\δ}}_{mn},m\≥0,n\≥0---\left(9\right)$

根据公式(8)，非球面方程可以表示为

$\begin{array}{c}z\left(\mathrm{\ρ}\right)=\∫z^{\′}\left(\mathrm{\ρ}\right)d\mathrm{\ρ}\\ =\frac{{\mathrm{c\ρ}}^2}{1+\sqrt{1-c^2{\mathrm{\ρ}}^2}}+{\mathrm{\ρ}}_{max}\underset{n=0}{\overset{M}{\Σ}}{b}_n{T}_n(\mathrm{\ρ}/{\mathrm{\ρ}}_{max})\end{array}---\left(10\right)$

其中T_n(x)＝∫P_n(x)dx,n≥0。

令公式(3)与公式(10)相等，为了便于迭代优化，可以写为：

$\underset{n=0}{\overset{M}{\Σ}}{b}_n{P}_n(\mathrm{\ρ}/{\mathrm{\ρ}}_{max})=\frac{{\mathrm{\ρ}}_i}{s_i-z\left({\mathrm{\ρ}}_i\right)}-\frac{c\mathrm{\ρ}}{\sqrt{1-c^2{\mathrm{\ρ}}^2}}---\left(11\right)$

具体的迭代优化过程如下：

(Ⅰ)利用测距干涉仪测量“猫眼”位置与所述环形面形图中间环带位置的距离，并将测量得到的距离作为所述被测非球面方程中最佳拟合球曲率c的初值，并依据最佳拟合球曲率c的初值，估算出被测非球面的矢高z(ρ_i)；

(Ⅱ)将测距干涉仪测量的相对位移、步骤2)中获得的“零条纹”半径以及最佳拟合球曲率c和矢高z(ρ_i)，带入公式(11)，采用最小二乘法计算出拟合系数{b_n}；

(Ⅲ)利用公式(10)计算出非球面的方程；

(Ⅳ)根据非球面方程重新计算最佳拟合球的曲率c和矢高z(ρ_i)，将计算获得的最佳拟合球曲率与步骤(Ⅱ)代入的最佳拟合球曲率相减，获得差值；

(Ⅴ)将所述差值与阈值比较，当大于阈值时，重复步骤(Ⅱ)～步骤(Ⅳ)，直至所述差值小于等于阈值，此时，获得的非球面方程即为被测非球面方。

通过上述方法针对一高次偶次非球面进行测量，此非球面参数如表1所示：

表1非球面参数

利用步骤1)～步骤3)完成了对非球面方程的测量，结果如图8～11所示，图8为某一测量位置的环形干涉图，图9为与干涉图相对应的相位图，图10为测长干涉仪测量的相对位移与“零条纹”的位置，图11利用测量获得的非球面方程计算出的非球面矢高。

为了验证此方法的可靠性，此非球面也采用轮廓仪进行了矢高的测量，二者测量的偏差如图12所示，从图中可以看出，二者测量的PV值偏差约为1.6μm。

Claims (6)

1.一种非球面方程的测量方法，其特征在于，包括：

1)利用移相干涉仪测量被测非球面的环形面形图，利用测距干涉仪测量被测非球面距离上一环形面形图测量点的相对位移量；

2)依据所述移相干涉仪测量的环形面形图，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径；

3)依据所述“零条纹”半径、所述测距干涉仪测量的相对位移量以及非球面方程的导数表达式，采用迭代优化法计算出被测非球面的方程。

2.按照权利要求1所述非球面方程的测量方法，其特征在于，所述依据所述移相干涉仪测量的环形面形图，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径，包括：

如果环形干涉条纹与图像中心点不连通，在环形面形图上采用数值微分法计算出满足阈值要求的坐标，而后采用最小二乘法计算获得在测量点对应的“零条纹”半径；

如果环形干涉条纹与图像中心点连通，采用Zernike的离焦和球差拟合法，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径。

3.按照权利要求2所述非球面方程的测量方法，其特征在于，所述采用Zernike的离焦和球差拟合法，计算获得在测量点对应的“零条纹”半径公式为：

${\mathrm{\ρ}}_i=\sqrt{\frac{3a_2-a_1}{6a_2}}$

其中，a₁表示离焦系数，a₂表示球差系数，且所述a₁和a₂可通过对环形面形图进行Zernike拟合获得。

4.按照权利要求1所述非球面方程的测量方法，其特征在于，所述非球面方程的导数表达式为：

$z^{\′}\left(\mathrm{\ρ}\right)=\frac{c\mathrm{\ρ}}{\sqrt{1-c^2{\mathrm{\ρ}}^2}}+\underset{n=0}{\overset{M}{\Σ}}{b}_n{P}_n(\mathrm{\ρ}/{\mathrm{\ρ}}_{max})$

其中，c表示最佳拟合球曲率，ρ表示“零条纹”半径，ρ_max表示非球面径向坐标最大值，M表示整数，b_n表示多项式{P_n(x)}的系数，且多项式{P_n(x)}满足： ${\∫}_0^1{P}_n\left(x\right)P_m\left(x\right)dx={\mathrm{\δ}}_{mn},m\≥0,n\≥0.$

5.按照权利要求4所述非球面方程的测量方法，其特征在于：M＝6。

6.按照权利要求4所述非球面方程的测量方法，其特征在于，所述迭代优化法具体为：

1)利用测距干涉仪测量“猫眼”位置与所述环形面形图中间环带位置的距离，并将测量得到的距离作为所述被测非球面方程中最佳拟合球曲率c的初值，并依据最佳拟合球曲率c的初值，估算出对应的矢高值z(ρ_i)；

2)依据最佳拟合球曲率c和矢高值z(ρ_i)，利用公式(a)和最小二乘法，计算获得多项式{P_n(x)}的系数b_n，

$\underset{n=0}{\overset{M}{\Σ}}{b}_n{P}_n(\mathrm{\ρ}/{\mathrm{\ρ}}_{max})=\frac{{\mathrm{\ρ}}_i}{s_i-z\left({\mathrm{\ρ}}_i\right)}-\frac{c\mathrm{\ρ}}{\sqrt{1-c^2{\mathrm{\ρ}}^2}}---\left(a\right)$

其中，ρ_i表示在测量点对应的“零条纹”半径，s_i表示测距干涉仪测量的相对位移量，ρ表示“零条纹”半径；

3)依据系数b_n获得被测非球面方程的导数具体表达式，并依据所述具体表达式计算获得非球面方程；

4)依据所述非球面方程，重新计算获得最佳拟合球曲率c以及矢高值z(ρ_i)，将计算获得的最佳拟合球曲率c与步骤2)代入的最佳拟合球曲率c相减，获得差值；

5)将所述差值与阈值比较，当大于阈值时，重复步骤2)～步骤4)，直至所述差值小于等于阈值。