厳密には「6÷2(1+2)」ではなくて、数字の部分が文字になっているものですが。「かけ算の順序問題」のように、呼びやすい名前があるといいのですが、そうでもないので、最近よく目にする「6÷2(1+2)」をタイトルにしてみました。
さて本題。
記号が省略されたかけ算と、明記されたわり算の優先順位については、検索すればいろいろ見つかります。最近では「６÷２（１＋２）＝１ or 9 まとめ」など。私は、そのまとめのコメント欄にも登場している黒木さん(過去のtweet)にまったく同意するものです。
入試問題
問い合わせてみた
そこで、これを実施した県教育委員会にメールで問い合わせてみました。
--------------------------------- 質問1 新聞では「解答例(県教委)」として本設問の答が「6a」となっていた。これは県教委が発表したものに間違いないか? 質問2 その答は、『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』を前提としたときに導かれるが、この理解で正しいか? 質問3 そうだとすると、『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』の根拠は何か? できれば典拠を示していただきたい。 質問4 数学において『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』は常識ではない。すると本設問の答は「6 a^5 b^4」でもあり得る(ここで ^ はべき乗)。これも正解としないのか? 質問5 以上のように本設問はあいまいであり、入学試験問題としては不適切である。見解を伺いたい。 ---------------------------------
回答があった
翌日にさっそくPDFファイルが添付されたメールで回答がありました。PDFといっても、1枚の画像そのままです。PDFにしている意味がよくわかりません。
回答の内容を書き写すと、
- 答えは、県教委が発表したもので間違いありません。
- 中学2年の数学『単項式の乗法、除法』において学習しています。
- (教科書(啓林館)の例)
- 「平成26年度 全国学力・学習状況調査」の出題例
- 以上のように、中学校での学習や国の調査問題でも指導されております。このことから、学力検査問題として適切なものと考えております。
ということでした(式の部分はここに書き写すのが難しいのでPDFファイルを見てください)。
これから
こちらからの質問4、「これは数学においては常識ではない」がちょっと弱かったなと反省しています。自分でもそうは思っていたのですが、なるべく早く問い合わせたほうがいいと考えたので、じっくり考えて書く暇がなかったのでした。今回の回答のような“逃げ”を打たれないように、もう少し裏打ちのある根拠をこちらから挙げて聞くことができればよかったと思っています。このへん、どのような質問にすれば有効か、お知恵がありましたらコメントをいただければさいわいです。
ネットでああだこうだ言っていても、それだけで中学校の授業や高校入試の状況に影響を与えるのはなかなか難しいでしょう。しかし、高校入試というのはたいへんいい機会です。今回のように新聞に発表されますし、問い合わせれば出題ミスの可能性がある限り、まじめに検討して回答せざるを得ません。多くの問い合わせがあれば、各教育委員会からさらに本省のほうへ問い合わせが行くようになるかもしれません。少なくとも今回のような問題は「悪問」として、入試では避けよう、となるかもしれません。
何もしないよりはましだろうとまずは行動してみたよ、というお話でした。
この記事へのコメントは非常に長大になり、今後この記事を目にする人たちにとっては苦痛とも言えるほどになってしまいました。そのため、この記事へのコメントの受付は2019年2月4日をもって停止します。自由に意見を述べることを封殺する意図はありません。後にここを目にする人たちに対しての配慮です。ご理解ください。
この話題の続編とも言える記事が『「6÷2(1+2)」問題は100年前にも議論されていた』にあります。そちらにコメントしようとする場合は、ここに既にあるコメントと内容的に重複しないよう、慎重に考えた上でお願いします。
> 各教育委員会からさらに本省のほうへ問い合わせが行く
本省ってなんだろう？ 文部科学省？
教育委員会は文部科学省の出先機関じゃないから本省っていうのはおかしいと思うけど。
そういえばそうでしたね。本文の「本省」のところは「文部科学省」に訂正して読んでください。
しかし、問題化したときにはきっと自分のところで見解を出すということせずに、文部科学省に問い合わせ、その回答をただ伝えるだけに違いない、と思っています。形式はともかく実質的には「出先機関」みたいなものだろうということで、本文のその箇所の趣旨は変わりません。
Mako 氏は県教育委員会が”逃げ”を打ったと表現していますが、
私からすると県教育委員会は真摯に対応してくれたと思っています。
演算子の適用順は単に決め事の問題であり、乗除算の演算子が加減算より優先されるというルールですら、別に自然世界の観察から得た知識ではなく単に人間同士が勝手に決めた事です。
そこには、必然的な理由は含まれません。
ですので、中学校の学習過程でそのように習う、そして実際に教えているというのなら
それが全てだと思います。
[…] ← 「6÷2(1+2)」問題について教育委員会に問い合わせてみた […]
黒木さんが提唱している 4ab ÷ 2a = (4ab ÷2) × a は明らかに間違いですよ。
それは数式の本質を理解していません。
2aというは「項」であり記号の省略されたかけ算の式ではないからです。
2 × a を演算した結果が 2a です。
仮に a = 3 とするのでれば、 2a = 2 × 3 ではなく、2a = 6 となります。
1 ÷ 2 を 1 ÷ 1 + 1 という展開はせずに 1 ÷ (1 + 1) とするように
4ab ÷ 6 = 4ab ÷ (2 × 3) という式になるので、(4ab ÷ 2) ×3 とは完全に矛盾します。
同じように (10/3)a^3b^2、(5/9)a^2b^2 に関しても「項」として扱う必要があるので入試問題としての不適切さはなく、理解度を試す問題としては良い問題ではないでしょうか。
また項については明確な決まりがあり、乗算だけで成り立つことが前提です。
4ab ÷ 2a についても乗算に置き換えれば 4ab × 1 / 2a = 4ab / 2a = 2b となり得ます。
一方で6÷2(1+2)が問題なっているのは、2(1+2)についてこれが「項」なのかそれとも「式」なのかが明確でないからです。23という数字を 2 × 3 とは解釈しないように本来数字のみに成り立つ式において×は省略しません。よって2は(1+2)への係数という捉え方が可能です。しかし()があることで、省略が成立しているという考え方もあります。項としたいのであれば、(2×(1+2)) とするべきですし、式としたいのであれば2×(1+2)とするのが明確なルールに則った書き方だと思います。
ちなみに私は「記号の省略されたかけ算」という考え方が間違っていると思っています。教育の過程で確かに a × b を ab または a・b と表記するというのは習いましたが、それを「記号の省略」と解釈しているのがそもそもの間違いではないでしょうか。
この記事の次の私の記事「6÷2(1+2)問題あらため2a÷2a=1問題 — はてなブックマークのコメントに反応してみる」とそのコメント欄をご覧ください。あなたのこのコメントへのお答はそこにすべて出ています。時間的にはあなたのこのコメントより前に(それですらすでに数周遅れなのですが。ちゃんと検索されれば数年前からの何度にもわたる議論が見つかります)。
それでも、後になってこの記事をご覧になる方のためにも、ここでもお答えしておきます。
いいえ、違います。
たとえば私の次の記事で引き合いに出した Smith の文献の第5条をご覧ください。
https://archive.org/stream/atreatiseonalge04smitgoog#page/n18/mode/2up
単に省略した書き方だと言っています。
この出発点が間違っているので、あなたのコメントのそれ以下の部分は、何かを説明なさった気になっていらっしゃるようですが、まるで役に立っていません。
それをおわかりでありながら、2×a と 2a が別物とおっしゃるのは、まったく不思議です。
ここで「項」と「式」を対立させて考えること自体が間違っています。また、数字なのか文字なのかは問題ではありません。
いいえ。
たとえば、前に示しました Smith の文献はきわめて体系的に書かれている本ですが、そこにも単なる「記号の省略」と出てきます。「式(演算)と結果」などという解釈の記述は見当たりません。つまり論を組み立てるのに「式(演算)と結果」という解釈は不要です。しかもほかのルールと矛盾するため、その解釈は間違っており、持ち出してはなりません。
何でもいいですが、たとえば2次方程式の判別式でも思い浮かべてください。b2-4ac は式ですか、結果(値)ですか。ではそれを D とすると、D は式ですか、結果(値)ですか。「Dとする」かしないかで式か結果か、が変わりますか。もう式なのか結果なのかという捉え方自体がナンセンスだと気づきませんか。
Twitter で
https://twitter.com/genkuroki/status/577286927142916096
を見かけたとき(その前後と合わせてご覧ください)、私は膝を打ちました。
ひどく乱暴に言ってしまえば、数学(数式)がもう何かの目的のための道具・ことばになってしまっている人たちと、数学(数式)が単に答案用紙の空欄を埋めるためのものである人たちとの感覚の違いなのかな、とまで思ってしまいました。
中学数学だからこれでいい、という考え方にはまったく賛成できません。小学校にときに習った「乗除の優先順位は同列であり左から順に」にも矛盾しますし、高校から先ではもはや使わない表記です。前にも後にもつながりません。理解の助けにも渡し船にもなりません。中学と高校入試のときだけなのです。ちゃんと括弧を使うように指導さえすれば、この試験問題のような解釈を中学数学からすっかり取り去ってしまっても、誰ひとりとして困りません。
https://archive.org/stream/atreatiseonalge04smitgoog#page/n18/mode/2up
21ページ目に
Hence a^5b^2 ÷ a^2b = a^5×b^2÷a^2÷b
って書いてあるじゃん。
この書に従うなら
4ab ÷ 2a = 4×a×b÷2÷a = (4×a×b÷2)÷a = 2b ですよ。
正確には「この書のこの箇所に従うなら」ですね。たしかにそことちょっと前の第33条のなかほどにちらっと出てきますね。
しかし、どこにも「演算と結果」という見方は出てきませんし、省略された乗算が優先とはどこにもあからさまには書かれていません。第5条にそれらは同じ、とあります。「この書の第5条に従うなら」そうはなりません。この整合性のなさをどう理解したものか、とは思っています。
すでに何度も議論されて不毛かとは存じますが、少しだけおつきあいいただければ幸いです。
第1章 定義
第13条に以下とあります。
When two terms only differ in their numerical coefficients they are called like terms, Thus a and 3a are like terms; also 5a^3b^2c and 3a^3b^2c are like terms;
terms の日本語訳にすると難しいですが、ニュアンス的には「ひとまとまり」のイメージです。日本語では “項” と訳されるのが一般的でしょうか。
つまり 4ab ÷ 2a における 4ab, 2a はそれぞれが terms であるという定義があります。
第14条に以下があります。
An expression which contains only one term is called a monomial expression and expressions which contain two or more terms are called multinomial expression;
計算式において、一つの terms だけで成り立つ式をmonomial expression（単項式？）、二つ以上の terms で成り立つ式をmultinomial expression（多項式？）と呼ぶという定義があります。
その上で、多項式における計算が規則が 第２章 基礎ルール に明記されています。
この中の説明で、多項式の場合にそれぞれの単項をどのように展開すれば良いかが記載されており、これはローカルルールでもなんでもありません。
このルールが理解できている人間は 4ab ÷ 2a = 2b を回答することができ、理解できていない人間は 4ab ÷ 2a = 2a^2b となるわけです。
先の b^2-4ac が式か結果でいうのであれば、b^2-4ac は式（演算）であり、D=b^2-4ac としたとき、Dは項(結果）です。
b^2-4acは多項式であり、D = b^2-4ac としたとき、Dは単項式となります。
1-b^2-4ac の結果は、1-D としたときと演算結果が異なります。
短大新卒の女性にプログラムをさせたところ、2 * (a + 1) の値が思った通りになりないと言っていました。
()の中を先に計算するから、合ってるでしょうと？尋ねたところ、文系の短大だったので()を先にするいう法則は習っていないと言われたことがあります（実話です）。
極端な例ではありますが、項の計算が優先（という言葉を使うとまた叩かれそうですが、第
２章の本質はそういうことです）されるのは、教育課程で必ず教えています。
習ったことがないという人は上記のような女性と同じか、あるいは教える側が本当に教えなかったのか、無知だったのかのいずれかです。
4ab ÷ 2a = (4ab ÷ 2)a を正しいとする考え方は完全に間違っています。
資料を読ませていただき、「「記号の省略されたかけ算」という考え方が間違っている」という考え方は改めました。
良い書をありがとうございます。
第13条は「同類項」の話ですね。「項」termsの定義はその一つ前の第12条です。+か−を区切りと見たときのものが「項」です。つまり×(とその省略)や÷は「項」の区切りではありません。日本語の本でもいいのでもう一度ご確認を。
4ab÷2a は単項式と単項式の除算とも言えますし、全体で単項式です(けっして多項式ではありません)。
上のように「項」についての理解があやふやなので、この文で何をおっしゃりたいのかよく伝わってきませんが、四則混合と括弧について学ぶのは小学校4年のようです。
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/syokaisetsu/
にある小学校学習指導要領解説 算数の本体のページで158ページです。これさえ覚えていれば、その女性の話は「項の計算が優先」うんぬんは関係ないのではないでしょうか。
中学数学の 4ab÷2a を 2b とするのはこれに矛盾しますし、高校以降ではもはや使わない表記です。前にも後にもつながらないまったくの無駄な(だけでなく、混乱を持ち込むやっかいものの)「知識」です。
2km^2は2(km)^2であって(2km)^2ではなことをふまえ、
4km^2÷2km^2をどう計算しますか？
文字式の文字と単位とはまったく別格であって、それとこれとをごっちゃしてしてはいけないようですよ。
https://twitter.com/genkuroki/status/579198405244649472
参考は、産総研の計量標準総合センターのページにある
https://www.nmij.jp/library/units/si/R8/SI8JC.pdf
の3ページめ
などでしょうかね。
そういう訳で、「ふまえ」ることはできません。
どれが「接頭語」でどれが「単位」でどれがそれらで一記号を形成したものと積となる「数値」かの区別が付いていないようですね
(1) 2(a+b)={2a+2b} 決して2(a+b)= 2a+2bではないのはお分かりだと思いますが。
(2) 2×(1+2)=2×3
(1)と(2)の意味が理解できない方は、論外です。
ところで、2(1+2)を
(1)に当てはめると、6÷6=1
(2)に当てはめると6÷2×3=9
では、2(1+2)を(1)とするか、(2)とするかのルールがないため、解答は不能ということですね。
この問題の最大の仕掛けは、「正解率8％」
これによって、この数式が正しく解答を導けると錯覚させることですね。
追加
(2×a)=2aですが、2×3=23とはなりません。
2×(1+2)も2(1+2)にはなりません。つまり、2(1+2)って、2×(1+2)ではないということですね。
ところで、この問題の出題者が何を求めて、このような出題をしたか？
推測するしかないが、自分の出した解答を如何に論理的に説明できるかを試しているのではないか？単純に1とか9とか言ってる人はNGではないのかなぁ・・・。
この場合、「記号の省略されたかけ算」は「単項式」だから優先されるのです。
それだけの話です。
すでに付いているコメントを丹念に読んでいただければ、その話はもう済んでいることがわかるかと思います。
「単項式」とは何か、いま一度お調べになるといいかと思います。単項式とは、たった一つの項だけで構成される式、です。じゃあ「項」とは何か。加法・減法の記号(符号としてのマイナスは別)を含まず乗除の形で表されるひとかたまり、です。別のコメントで挙げている文献ならその第12条です。
https://archive.org/stream/atreatiseonalge04smitgoog#page/n20/mode/2up
ですからたとえば -3ab はひとつの項(単項式)ですし、これを -a × 3b と書いても -3 × a × b と書いても全体でひとつの項(単項式)です。
最初の記事の問題1(1)ウは、その出題された形そのままでも全体で単項なのです。なぜならその中に加法・減法の記号を含みませんから。(ついでなのでここに書いておきますが、その意味では、はじめの出題文「計算をしなさい。」というのが微妙なのです。「簡単にしなさい。」ならよかったでしょう。)
このように、あなたの「単項」(単項式)についての知識があやふやなので、話が噛み合いません。もう一度出なおしてください。
「単項式」の意味を勘違いしていますよ。
問題1(1)ウは、(10/3)aaabb と (5/9)aabb がそれぞれ単項式です。
(10/3)aaabb ÷ (5/9)aabb は二項式です。
それを二項式ということこそが勘違いでしょう。既に過去のコメントで書いていますが、それをここに引き写しますと、
これをお読みになった上で今更「二項式」とおっしゃっているのであれば、その論拠をお示しください。
wikiの「単項式」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%A0%85%E5%BC%8F
ここの「定義」に
＞単項式とは、変数の冪積（べきせき、power product）[注釈 1]と係数と呼ばれる定数との積として書ける多項式の一種を言う。
とあります。つまり、単項式とは「積」なのです。
「×」や「÷」の記号が入ってしまったら、もうそれは積ではありません。
これらの記号は、「二項演算子」と言いますよね？
前後のニ項を演算する記号です。
なので、(10/3)aaabb ÷ (5/9)aabb は
(10/3)aaabb の項を (5/9)aabb の項で割る、という意味になるのです。
ちなみに、分数式の 1/a は単項式ではないですよ。
そして、a(b+c) は単項式です。
+ と – が入っていなければ単項式という認識は間違っています。
> 「×」や「÷」の記号が入ってしまったら、もうそれは積ではありません。
それは積ですよね。
b×cとbcは別モノ、というご主張でしょうか? この記事のコメントでもそのことは出てきています。先に挙げた文献の第5条にもあります。もうだいたい話としては出尽くしているのです。
> なので、(10/3)aaabb ÷ (5/9)aabb は (10/3)aaabb の項を (5/9)aabb の項で割る、という意味になるのです。
「 ÷」の記号がかかるのはどこの範囲までか、というのがこの話のそもそものスタートです。それをそのまま持ちだして「なので、」と言われても何の説明にもなっていません。
書き忘れました。
「二項演算」は英語だと binary operation です。日本語(漢字)で書くと同じ「項」ですが、単項式・多項式の「項」(英語だと term)と同じものを表しているわけではありません。
>> 「×」や「÷」の記号が入ってしまったら、もうそれは積ではありません。
>それは積ですよね。
言っている意味が分かりません。
a×b=ab
この式の、a×b は乗算の式で、その計算結果の ab が積ですよね？
a×b のことを積とは言いません。
この ab を
「記号の省略されたかけ算」と捉えるから、おかしなことになるのです。
加減乗除と和差積商を混同していませんか？
abとは、単なる a×b ではなく、
因数に a と b を持つ「一つの数（項）」のことを表現しているのですよ？
Mako さんの考え方は、
a×b=ab の結果の「ab」を、いつまでも「a×b」と考えていることになります。
ab÷ab=bb という考え方は、
2×3の計算結果の6を、いつまでも、2×3と考え
6÷6
=2×3÷2×3
=3×3
=9
と考えているのと、同じことになるのです。
それに、Mako さんの考え方では、
1/a も単項式なのですよね？
でも、これは単項式ではないですよ？
矛盾していませんか？
先に付いているコメントをご覧になっているでしょうか? ずっと前に hogehoge さんが書かれたことと同じではないでしょうか。それに対して返答もしております。
> 1/a も単項式なのですよね？
単項式・多項式というときには乗数は正の整数だけを考えるでしょう。定義により、aの-1乗が出てくるものは単項式でも多項式でもありません。
「返信」を押し忘れました。
＞先に付いているコメントをご覧になっているでしょうか? ずっと前に hogehoge さんが書かれたことと同じではないでしょうか。それに対して返答もしております。
私は、「記号の省略されたかけ算」が優先される、などとは言っていません。
ab は、a という因数と、b という因数を１つずつ持つ
「一つの数」つまり「単項」を表している、と言っているのです。
6が、2の因数と3の因数を一つずつ持つ
「一つの数」を表している、ということと同じです。
計算順序の話なんかしていませんよ。
ab が一つの数であるのなら、
ab÷ab=1 になりますよね？
どうしてこれが、
ab÷ab=bb になるのですか？
それと、
＞単項式・多項式というときには乗数は正の整数だけを考えるでしょう。定義により、aの-1乗が出てくるものは単項式でも多項式でもありません。
これは、a÷b は単項式だけど、a/b は単項式ではないと言っているのですか？
言っていることが、おかしくないですか？
たぶん、
> abとは、単なる a×b ではなく、
> 因数に a と b を持つ「一つの数（項）」のことを表現しているのですよ？
のところが私と根本的に違うところのような気がしています。
> ab は、a という因数と、b という因数を１つずつ持つ
> 「一つの数」つまり「単項」を表している、と言っているのです。
とまでおっしゃっていますが、私には ab と a×b は同じにしか見えません。 a×b も 「a という因子を1つと b という因子を1つ持つもの」にしか見えません。
ずっと前のコメントで言及していますが、
の心境です。
＞私には ab と a×b は同じにしか見えません。
これは違います。
a×b は乗算の式で、ab は「積」であり計算結果です。
a×b= の計算結果に、a×b を書けば間違いになりますよね？
つまり、a×b と ab は別物ということです。
例えば、a÷2 これは、計算結果ですか？
違いますよね？
a÷2 は除算の式で、分数の a/2 が「商」であり計算結果です。
そして、この計算結果の a/2 を『分数として表記』した場合、
a/2 ÷ a/2 = を計算するとどうなりますか？
a/2 ÷ a/2 = 1 ですよね？
a/2 ÷ a/2
=a÷2 ÷ a÷2
=1/4
とはなりませんよね？
つまり、a/2 を「一つの数」として扱っているのです。
ab÷ab= も、これと同じことです。
Makoさんは、加減乗除と和差積商を、混同しているのだと思います。
ちなみに私は、Twitterの 3+2×4で2×4の部分が「一つの数」を示している、
というのは間違っていると思います。
これは単に、掛け算を先にやるルールになっているだけの話だと思います。
ルールになっていることに、ケチをつけること自体、意味がありません。
このルールは、学校でもきちんと教えていることなので、文句はないでしょう？
この話と、a÷bc をゴッチャに考えること自体、
この黒木さんが、頭の中が整理できていない証拠だと思います。
> a×b は乗算の式で、ab は「積」であり計算結果です。
これはずっと前のコメントで出ている主張と同じですよね。それに対して私は明確に「いいえ、違います」と答えています。そこで「Smith の文献の第5条をご覧ください」とも書いています。既に同じ議論をぐるぐると繰り返されているに過ぎないとしか思えません。
> a×b= の計算結果に、a×b を書けば間違いになりますよね？
もう、典型的に、先ほど引用したツイートのとおりだ、とため息混じりに言わざるをえません。きっとこの「=」は等値という意味ではなくて、その左側が「問題」で右側が「答」という“作業”とかいう記号なんでしょう。
> Makoさんは、加減乗除と和差積商を、混同しているのだと思います。
むしろなぜ a×b と ab を別ものと見なければならないのか、その理由がありません。
>むしろなぜ a×b と ab を別ものと見なければならないのか、その理由がありません。
言っている意味が分かりません。
2×3 と 6 の違いが分からないと言っているのですか？
a×b と ab の違いは、これと同じですよ？
何度も言いますが、
「記号の省略されたかけ算」と捉えるから、おかしなことになるのです。
2√2だって、√8 という「一つの数」のことですよね？
これも、2の因数と√2の因数を持つ「一つの数」を表しています。
だから、2√2 ÷ 2√2 = 1 になるんですよ？
2√2 ÷ 2√2 = 2 になるのですか？
だったら、√8 ÷ √8 = 2 ですか？
あと、a/2 を分数の形式とした場合、
a/2 ÷ a/2 = 1/4 ですか？
> 何度も言いますが、
> 「記号の省略されたかけ算」と捉えるから、おかしなことになるのです。
こちらこそ何度も言っているのですが、「記号の省略されたかけ算」です。それが私の頭の中だけでないことを示すために文献も挙げています。見ていただけましたか?
何と答えようかと思って、以前のコメントを再度見なおしてみましたが、そこにもう答えるべきことがあるではないですか。本当に読んでいただけていますか? このページのコメント全部とそこのリンク先を読んでください。どうしてもそこに答が見つからないと言うのなら話はそれからです。
自分のコメントの再掲ばかりですが、もう一度。だってもう答えてあるんですから。
返信できなくなりましたので、また改めて。
＞そこにもう答えるべきことがあるではないですか。
どこに答えているのですか？
全く分かりません。
Smith 文献の第8条によれば、ab は a×b と一緒なんですよね？
そして、Smith 文献の第8条によれば、a^2 は、aa と一緒なんですよね？
だとしたら、a^2 ÷ a^2 = a^2 なんですか？
2√2 ÷ 2√2 =
a/2 ÷ a/2 =
これに答えてもらえれば、何を言っているのか分かると思って質問しているんですよ。
どうして答えられないのですか？
結局、自分の頭の中でも矛盾するので答えようがないんじゃないですか？
そもそも、Smith の文献のP21 や第33条についてのコメントが、
>正確には「この書のこの箇所に従うなら」ですね。たしかにそことちょっと前の第33条のなかほどにちらっと出てきますね。
>しかし、どこにも「演算と結果」という見方は出てきませんし、省略された乗算が優先とはどこにもあからさまには書かれていません。第5条にそれらは同じ、とあります。「この書の第5条に従うなら」そうはなりません。この整合性のなさをどう理解したものか、とは思っています。
こんな曖昧なコメントをしておいて、このSmith の文献で何を立証しようてしているのですか？
第33条に書かれていることが誤っていると思うのなら、第5条のことだけを引き合いに出すのはおかしいじゃないですか。
ただ単に、「だって、第5条にa×b と ab は同じって書いてあるじゃないか」って言っているだけなんですか？
だったら、木を見て森を見ずっていうことなので、「一生言ってろ」で終わりの話なんですよ。
でも、教育委員会に質問までしているんだから、そんな単純なことではなくて、何か主張したいことがあるんですよね？
それが何なのかを聞き出そうとしているんです。
「a×b と ab は同じ」と書いてあったとしても、ab÷ab=1 を答えとしている Smith の文献などではなく、ab÷ab=b^2 となっている文献を示すべきなんですよ。
それと、第33条について、『どこにも「演算と結果」という見方は出てきません』とコメントしていますが、
>It also follows from Art.29 that to divide by two quanitities in succession gives the same result as to divide at once by their product. Thus a÷b÷c=a÷(bc), which is usually written a÷bc.
この文の主旨は、
>二つの数で連続して割ることは、これらの『積』で一度に割るのと同じ結果になります。
>従って、a÷b÷c=a÷(bc) となり、通常これは、a÷bc と書きます。
だと思うのですが、『to divide at once by their product.』ここに、『積で割る』という表現を使っていますよね？なんで、都合の悪いものを無視しようとするのですか？
それと一つ前のコメント、
>きっとこの「=」は等値という意味ではなくて、その左側が「問題」で右側が「答」という“作業”とかいう記号なんでしょう。
これはどういう意味ですか？
「=」は等値という意味だから、a×b=a×b も正解にしろという主張なのですか？
だとしたら、屁理屈にもほどがありますよ。これも、「一生言ってろ」のレベルです。
ab÷ab=1 と言っているSmith の文献などではなく、何が言いたいのかを自分の言葉でまとめて、この問の答えを出してみてください。そうすれば、何が言いたいのかが分かるような気がします。
① 2√2 ÷ 2√2 =
② a/2 ÷ a/2 =
③ ab ÷ ab =
④ a^2 ÷ a^2 =
応答がなくなりましたね。ちょっと責めすぎたようです。すみません。
意外に思うかもしれませんが、私は、Makoさんの言っていることを
完全否定しているわけではありません。
ただ、Makoさんの「abはa×bのことだ」という論理だと、
a^2÷a^2=a^2 ということになるので完全に破綻しているんです。
つまり、これは完全に間違っているのです。
私が言いたいことは、『こんな常識も解らないのか』ということではなく、
Makoさんに原点に立ち返って欲しいということなんです。
教育委員会に問い合わせたことは、十分に意義があったことだと思います。
『6÷2(1+2)問題あらため2a÷2a=1問題 ? はてなブックマークのコメントに反応してみる』
を読めば分かるんだけど、Makoさんも、学生の頃はab÷ab=1と理解していたんですよね？
それが、k/2(x^2+y^2+z^2) を目にして考え方が変わったわけです。
ここで、第一の間違いがあるのです。
それは、「/」と「÷」を同じ意味だと、勝手に解釈してしまったことです。
コンピュータなどでは同じ意味として使っているので、勘違いするのも無理もないのですが、
日本の義務教育の数学では、「/」は一切使わず、「÷」しか使っていないと思います。
つまり、日本の数学教育では、「/」記号の定義はしていないのです。
なので、1/2aが(1/2)aを意味するのか、1/(2a) を意味するのかは、
日本の義務教育においては、どちらが正しいと決めているわけではないと思います。
日本では決められていないからこそ、k÷2(x^2+y^2+z^2) では迷わないのに、
k/2(x^2+y^2+z^2) だと迷うわけです。
k÷2(x^2+y^2+z^2) でも迷うのであれば、それは理解不足です。
少なくとも、日本の高校数学までの教科書では、分数は括線でしか表現されていないと思います。
ただ、物理学系の分野の文献では、行数節約のため、「/」記号を普通に使っているようです。
海外では、数学でも「/」記号を使っている国もあるようなので、
物理学系では、その慣習を採用しているのかも知れません。
これはある意味、ローカルルールだと思います。
そして一般的に日本では、1/2 を「1 割る 2」と解釈する場合もありますが、
「割る」の場合は「÷」記号を使うと教えられているわけなので、
「2 分の 1」と解釈するのが普通だと思います。
だから、1/2a になると「2 分の 1」a のようにも見えるのです。
さらに、1/2(a+b) になってくると、なおさら、「2 分の 1」(a+b) のようにも見えてくるのです。
でも、1÷2(a+b) であれば、迷わないのではないでしょうか？
というわけなので、日本数学の高校入試については、「÷」に絞って議論する必要があるのです。
日本の数学教育では、12ab÷4b=3a としか教えていないので、それが日本のルールなのです。
海外でどう教えているか、世界の常識はなんなのか、そんなことはどうでも良いことです。
そういう意味では、黒木さんの主張も、的外れなものだと感じます。
では、日本では計算順序のルールをどう教えているか。
①カッコの中の計算が最優先
②乗除算は加減算より優先
③それ以外は左から順に計算
これだけだと思います。「乗除算より累乗を優先」っていうのも教えられていないような気がします。
累乗は演算子ではなく、表記上の決まりなので、計算順序とは関係ないのだと思われます。
そして問題の単項式で割る除法については、12ab÷4b=3a のような事例を示しているだけなわけです。
この4bのような記号を省略した書き方については、Smith の文献などを持ちださなくても、
「中学校学習指導要領解説 数学」のP72 の上方に同じようなことが書かれています。
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2011/01/05/1234912_005.pdf#page=6
＞乗法の記号×は，文字と文字の間や，数と文字の間では普通は省略し
これは、Makoさんのいうように、単なる省略だと言っています。
当然、教科書にも単なる省略と書かれていると思われます。
しかも、記号が省略された乗算を優先するという記述はどこにもない。
このことに対して問題提起をしているのではないのですか？
この問題提起って、どこかで見たことがありませんか？
静岡大学の熊倉氏のあの論文です。
http://ir.lib.shizuoka.ac.jp/bitstream/10297/996/1/080325001.pdf#page=6
＞「かけ算記号が省略された部分については,優先して計算を行う」★
＞ことについて,きちんと指導 している教科書は一社もない。
Makoさんの主張したいことの原点は、これと同じことではないですか？
つまり、同じ問題提起をしているところからスタートしているのに、
熊倉氏は、★の指導を徹底すべき、の方向に進み、
Makoさんは、ab÷ab=1 と理解していながら、
「教科書に単なる省略」と書かれているんだからab÷ab=b^2なんだ、
という方向に進んでいるわけです。
進んでいる方向がおかしいと思いませんか？
代数において、ab÷ab=1 ということは正しいわけですから、
ab÷ab=b^2 の根拠を探すなんていうことは、無理なことだし無意味です。
問題なのは、教え方がおかしいということなんです。
私は、先程の①～③の計算順序のルールが変わっていないことと、12ab÷4b=3a の事例から、
単項式は「一つの数」として扱っていると解釈したわけですが、
これも教科書などに明確に書かれているわけではありません。
そのために、多くの生徒に定着せず、４割もの人が正しく理解していない現状があるわけです。
つまり、★もしくは「単項式は一つの数として扱う」というようなことを、明文化することもなく、
12ab÷4b=3a という「記号パズル」のような事例を示しているだけなのに、
これを高校入試のようなものに出題して、合否を決定するのはおかしい、
ということが言いたいのではないですか？
これは、黒木さんも同じような主張だと思います。
だとしたら、進む方向が間違っていると思いませんか？
「曖昧な教え方をしておきながら、入試問題にこんな出題をするのはおかしい」
という主張は理解できますが、
「ab÷ab はb^2 にもなるんだから、これも正解にしろ」という主張は、
どう考えても、単に授業を理解できなかった人の戯言にしか聞こえないのです。
そもそも、代数において、ab÷ab=b^2 となっている事例というのは存在するのですか？
私の知る限り、一つたりとも見たことがないです。
もしかしたら、黒木さんの示した、48÷2(9+3) のような
数だけの式を根拠にしているのではありませんか？
このような数だけの式は、6÷2(1+2)と同じように
代数の問題ではなく、算術の問題とも考えられるわけです。
私の調べた限りでは、かけ算記号が省略された場合の計算ルールは、
代数と算術では違うらしいことが判っています。
（根拠もありますが、それは本件とはあまり関係ないので、また機会があれば。）
なので、数だけの式で、48÷2(9+3)の答えが、2 にも 288 にもなり、
一つに決まっていないとしても、それを根拠に、
代数の、ab÷ab の答えは 1 にも b^2 にもなるので一つに決まっていない、という論理は、
必ずしも成立しないのです。
ここに、第二の間違いがあると思われます。
そのことを、もう一度考え直してみて欲しいと思います。
教育委員会に問い合わせた件ですが、「質問２」と「質問３」だけで良かったのではないでしょうか。
特に、「質問４」は、「弱かった」というよりも必要なかったと思います。
「常識ではない」というのは、黒木さんに引っ張られて、こう表現したのだと思いますが、
中学では、12ab÷4b=3a としか教えていないのですから、
それが、世界の常識であるかないかなんて関係ないのです。
「質問２」と「質問３」が、ルールが明文化されていないという観点での指摘であったのなら、
意義があったと思います。
そして、案の定、「こういう事例が教科書に書かれている」という回答になりました。
なので、もし次に機会があれば、シンプルに、
「算数では、乗除算の計算順序は等位という計算ルールを教わっている。
事例などではなく、
単項式の中のかけ算を、除算よりも優先するという計算ルールは、
どこに、どのように明文化されているのか？」
というようなことを問い合わせてみてはどうでしょう？
いろいろ考えて見失っていると思いますが、そこが原点だと思います。
原点に立ち返るために、まず、数だけの式ではなく、
代数の式において、ab÷ab=b^2 となる事実が本当に存在するのか、
もう一度よく考えてみて欲しいと思います。
そして、仮に日本以外でそのような事実があったとしても、
それは、日本の高校入試とは全く関係がない、ということを認識して欲しいです。
まとまった時間が取れないので返事が遅れているだけです。すみません。
コメントに一定数以上のリンクが含まれていると、いったん承認待ちになってしまいます。いま承認して表示されるようにしておきました。
そのうち返答します。しばらくお待ちください。
そうでしたか。送信エラーかと思い、２回送ってしまいました。
返信を催促するつもりはないので、時間があるときで結構です。
枝葉の部分に細かく答えていると話が拡散して訳がわからなくなってくるので気をつけたいと思っていて、それで先のコメントにもどう答たものかと考えあぐねていましたが、まずひとつ。
> a^2÷a^2=a^2 ということになるので完全に破綻しているんです。
前のコメントにも a^2÷a^2 を持ち出して何とかおっしゃっていましたが、これだと「累乗は乗除に優先する」という別のルールが入り込んでくるので、私をやり込めるための例としてははなはだ不適切だと思うのです。そう思っていたら、今回のコメントでは
> これだけだと思います。「乗除算より累乗を優先」っていうのも教えられていないような気がします。
> 累乗は演算子ではなく、表記上の決まりなので、計算順序とは関係ないのだと思われます。
とも書かれていて、これは大間違いだと思います。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E3%81%AE%E5%84%AA%E5%85%88%E9%A0%86%E4%BD%8D
根拠として Wikipedia を挙げるのは正しい態度ではないことは承知していますが、特に本筋ではないのでこれで済まさせてください。
余談ですが、このページの「標準的な演算子の優先順位」の「例外」のところに、“Wolfram AlphaやTI-89電卓では、括弧付きでない暗黙の乗法、括弧付きの暗黙の乗法いずれも演算子を明示した乗法と同じ扱いをしている。”とあります。同じ箇所を英語版で見てみるともう少し詳しく、“Wolfram Alpha は以前は、演算子を明示した乗法よりそれを省略した乗法を優先していたが、2013年よりこれらを同等とした。”のような記述があります。少なくとも何らかの根拠があって、これらを同等と修正したようです。それで現在の Wolfram Alpha では 2x/2x は x^2 です。(ところが文字だけの xy/xy は 1 らしいです。意図をもってこうしているのだとしたらそれを知りたいところです。)
余談はここまでで、言いたいことは、冪乗(累乗)はここに持ち出さないほうがいいということです。
そして枝葉の部分から、本質的なところに話を移します。
> そもそも、代数において、ab÷ab=b^2 となっている事例というのは存在するのですか？
> 私の知る限り、一つたりとも見たことがないです。
> 原点に立ち返るために、まず、数だけの式ではなく、
> 代数の式において、ab÷ab=b^2 となる事実が本当に存在するのか、
> もう一度よく考えてみて欲しいと思います。
そもそも「除算の記号は明記するが乗算の記号は省略する」という、非常に中途半端な記述は、高校入試と中学校くらいにしか現れないのです。ですからそれがその外の世界でほとんど見られなくても不思議はありません。それほどにローカルな問題だと思います。それを探すのが重要だとは思いません。
今回のコメントで、匿名氏は
> 日本の数学教育では、12ab÷4b=3a としか教えていないので、それが日本のルールなのです。
> 海外でどう教えているか、世界の常識はなんなのか、そんなことはどうでも良いことです。
や
> そして、仮に日本以外でそのような事実があったとしても、
> それは、日本の高校入試とは全く関係がない、ということを認識して欲しいです。
と書かれていて、何をより重要と捉えるかという視点が、私とはまったく違うことがはっきりしました。
そりゃ高校入試や中学校数学では現状そうでしょう。しかしそれが正しいかどうかは別です。私は、「海外でどう教えているか、世界の常識はなんなのか」に合わせて「日本の数学教育」のルールを変えればいい、変えるべき、という考えです。
全体的に何を言っているのか分からないのですが、きちんと読んでいますか？
都合の悪いものを見なかったことにしているから、正しいことを見極められなくなるのです。
まず、累乗についてですが、私は学校でどう教わっているかという話をしています。
「日本では計算順序のルールをどう教えているか」の文脈なのですから
それぐらいは解りませんかね？
教科書で探すのは無理でも、学習指導要領などにそのような記述はあるのでしょうか？
累乗は中学になってから出てきたような気がするのですが、
その時に、改めて計算順序の話なんか出てきましたっけ？
私の記憶違いだったら、すみません。
それと、私がa^2÷a^2=a^2 を持ち出したのは、
Makoさんが、Smith の文献の第5条に、
「ab は a×b のことだと書いてある」と訳のわからないことを言っているからですよ。
第8条や第9条を見れば、a^2 は aa のことだと書いてありますよね？
だからその論理だと、a^2÷a^2 = aa÷aa = a×a÷a×a = aa = a^2 になるハズでは？
そもそも、ab÷ab=1 と言っている、Smith の文献を根拠にしていること自体が、
常人には理解不能なわけです。
一体これで、何を主張しようとしているのですか？
もっと分かりやすく説明してください。
Wolfram Alpha で 2x/2x は x^2 、 xy/xy は 1 となることは私も知っていました。
除数に係数が付いていると誤認するのかなぁ？という印象です。
まぁ、ソフトの仕様もしくはバグの話ですから、あまり重視する必要はないと思います。
ただ、わざわざ仕様を変更したということであれば、それは気にはなりますね。
私の調べた限りでは、算術では記号省略の乗算は優先されないので、
それを取り入れようとして、係数付きの単項式を誤認するバグを生んだのかも。
それを抜きにしても、Wolfram Alphaは挙動がおかしいです。
a(c+d)÷a(c+d) は 1 なのに、b(c+d)÷b(c+d) は (c+d)^2 になります。
意味が分かりません。
＞もそも「除算の記号は明記するが乗算の記号は省略する」という、非常に中途半端な記述は、
＞高校入試と中学校くらいにしか現れないのです。
何を言っているのですか？
Makoさんの示したSmith の文献のP21にも現れているじゃないですか。
https://archive.org/stream/atreatiseonalge04smitgoog#page/n38/mode/2up
知っていながらとぼけるとは、どういう了見ですか？
それと、例の6÷2(1+2)=9 を答えとした台湾でも、文字式では日本と同じ教え方をしています。
（意外に思うかもしれませんが、私は、この 6÷2(1+2)=9 も正しいと思っています。）
http://siro.moe.edu.tw/teach/index.php?n=0&m=0&cmd=content&sb=3&v=3&p=427
YouTube にだって、
https://www.youtube.com/watch?v=UGSyH7hYvqI
（最後のは、4:05 あたりから観てください。）
少し探しただけでも、いろいろ出てきます。
一体、どこの世界の話をしているのですか？
とにかく例外を一回も見たことがないんですよ。
どこかで見たのなら、その文献を示してください。
それでなければ、話は始まりませんよ。
何も根拠がないのに、「他では、あまり目にしたことがないなぁ」という印象だけで、
教育委員会に問い合わせをしたのですか？
だとしたら、ただの変人ですよ。
黒木さんが、何を根拠に主張しているのかでも良いです。
とにかく、何でも良いので根拠を示してください。
それと、「除算の記号は明記するが乗算の記号は省略する」を奇異に感じるとのことですが、
そもそも、ab と a×b が全く同じものだと本気で思っているのなら、
混在していたって違和感を持たないハズじゃないですか。
完全に矛盾していますよ。
それと、これも聞いておきたいのですが、
k/2(x^2+y^2+z^2) ではなく、k÷2(x^2+y^2+z^2) であったとしても迷うのですか？
> 累乗は中学になってから出てきたような気がするのですが、
> その時に、改めて計算順序の話なんか出てきましたっけ？
> 私の記憶違いだったら、すみません。
「中学 文字と式 累乗」で検索してみるとお勉強のページがたくさん見つかりますが、確かに明示的に「乗算より累乗を優先」的な文言はほとんど見つかりませんね。せいぜい http://sugakumakino.net/archives/232 ですか。うーん。
でもそれがないと、2a^2 と (2a)^2 の違いがわからないではないですか。そうすると話のネタにしている入試問題どころでないのでは。しかし他のページでも練習問題などを見るとこれを前提としないと解けません。あたりまえすぎてこういうページでの言及がないということでしょうかねえ。
> 第8条や第9条を見れば、a^2 は aa のことだと書いてありますよね？
> だからその論理だと、a^2÷a^2 = aa÷aa = a×a÷a×a = aa = a^2 になるハズでは？
いいえ。a^2÷a^2 を開いて書きたかったら (a×a)÷(a×a) です。「乗除算より累乗を優先」ですから。あまりばかばかしいので返答しませんでしたがしばらく前のコメントでの例 6÷6 = 2×3÷2×3 も小学校算数のレベルで間違っています。6÷6 = (2×3)÷(2×3) です。ところで念のため申し添えますが 2a÷2a は (2a)÷(2a) ではありません。
いずれにせよ、累乗の優先順位は話の本筋ではないと思います。匿名氏の主張を説明するのに a^2÷a^2 は不要だと思いますよ。反対の立場の私が言うのも何ですが。なのでもう累乗の話はやめませんか。
> そもそも、ab÷ab=1 と言っている、Smith の文献を根拠にしていること自体が、
> 常人には理解不能なわけです。
> 一体これで、何を主張しようとしているのですか？
「根拠」にはしていませんよ。そもそも Smith 文献を持ち出したのは「2a÷2a=1」かつ「2×a は演算で 2a は結果」派の人です(すみません、乱暴な括り方と呼び名で。もう面倒くさいもので)。33条の中の記述をもって「ほら、2a÷2a=1 の証拠だ」みたいに。で、私はその Smith 文献ですら、はじめのほうから読めば、明示されているのはむしろ「2×a と 2a とはまったく同等」でしょ、という文脈でこれを挙げている訳です。ですので、以前のコメントのご指摘
> こんな曖昧なコメントをしておいて、このSmith の文献で何を立証しようてしているのですか？
> ただ単に、「だって、第5条にa×b と ab は同じって書いてあるじゃないか」って言っているだけなんですか？
は、ある意味正しいです。私はこれで何かを立証しようとは思っていませんから。単に Smith 文献ですら……です。
> そもそも、ab と a×b が全く同じものだと本気で思っているのなら、
思っていますよ。前にも書きましたが、「私には ab と a×b は同じにしか見えません。 a×b も 「a という因子を1つと b という因子を1つ持つもの」にしか見えません」。さらに付け加えますと、中学生にはそう見えなくていいとは思っておらず、やはり同じもの(つまりどちらも演算(操作)であり結果である)と見えて然るべきと思っています。
時間が取れないので、途中ですがいまはここまで。
とりあえず、ここまでの返信を・・・。
＞確かに明示的に「乗算より累乗を優先」的な文言はほとんど見つかりませんね。
そうなんです。
なので、累乗も、記号省略の乗算と同様に、計算順序の話は教えられず、
明確な定義を教えられないまま、6a^3÷2a^2=3a のような事例のみで
刷り込まれてきた可能性が高いのです。
ですから、「ab は a×b のことであり、a^2 は a×a のこと」だと教えられているのだから、
Makoさんの論理で、ab ÷ ab は、a×b ÷ a×b = b^2 だとという主張をするのであれば、
a^2 ÷ a^2 = a×a ÷ a×a = a^2 という主張にならなければおかしいのです。
でも、Makoさんは、ab=a×b の方だけ「こう書いてあるじゃないか」と言いながら、
a^2=a×a の方は、教えられてもいない「計算順序」という概念を勝手に持ち出し、
a^2 ÷ a^2 =1 と解釈しているわけで、御都合主義も甚だしいのです。
決して、Smith の文献に限った話をしているわけではないです。
というわけなので、
＞累乗の優先順位は話の本筋ではないと思います。
と書いていますが、Makoさんの論理の根拠が、「ab は a×b のことだと書いてある」
だとすれば、これが本筋になってくるのです。
他に根拠はないのですか？
ちなみに、wiki では「演算子の優先順位」の項目に、この累乗も書かれていますが、
数学においては、この累乗を演算子と考えるのは、ちょっと違和感があります。
累乗は表記の仕方であって、演算子ではないと考えるのが自然だと思います。
どちらかと言うと、演算子ではなく
ニジュウサン を 23 のように表記する規則と同じような感じだと思います。
累乗を演算子と考えるのは、
コンピュータ言語などで、^ や ** などの演算子を使っていることの影響だと思います。
ついでに言っておくと、wiki で 1/2x は曖昧だと書いている件ですが、
これは、「/」の場合の話であって、「÷」の話ではありませんよ？
もしかして、これが勘違いの元凶なのでは？
「/」の場合は、少なくとも日本では定義がされておらず、
しかも、1/2 を「2分の1」と解釈する慣習があるわけなのですから、
1/2x は、「2分の1」x とも解釈できる、という話を、wikiではしているのです。
「1÷2x」の場合は、きちんと定義されているので曖昧ではないです。
そうですよね？
「1÷2x」が、「2分の1」x に見えますか？
「1 割る 2x」にしか見えないハズです。
これは、除算記号を「÷」として教えている国では、どこも同じだと思います。
イギリスでは除算記号に「/」を使っているようで、
そこでの定義がどうなっているかは分かりませんが、
「÷」を使っている国においては、「/」の定義は曖昧だという話だと思います。
>> こんな曖昧なコメントをしておいて、このSmith の文献で何を立証しようてしているのですか？
>> ただ単に、「だって、第5条にa×b と ab は同じって書いてあるじゃないか」って言っているだけなんですか？
>は、ある意味正しいです。私はこれで何かを立証しようとは思っていませんから。単に Smith 文献ですら……です。
「Smith 文献ですら」と書いていますが、私は、
訳している内容が正確なニュアンスなのかどうかも確信がもてませんし、
そもそも、こんな文献には何の権威も感じません。
Makoさんもそうなのですよね？
だったら、「Smith の文献」なんか、最初から取り上げないでくださいよ。
この記事のコメント全体や、あちこちのサイトにあるこの手の議論を見直していましたが、今回の匿名氏の主張は何か目新しいものではなく、それに対する答はもう提示されていると思いました。もうここで書き足すことはほとんどありません。以下、蛇足だとは思いますが。
***
まず枝葉の部分ですが累乗について。
> ＞確かに明示的に「乗算より累乗を優先」的な文言はほとんど見つかりませんね。
> そうなんです。
これは私の「中学 文字と式 累乗」で検索してみたというその検索語がまずかったのであって、ちょっと調べてみると中学校のカリキュラムでは文字式の前の「正負の数」のあたりで累乗について学習するようです。そこで -3^2 が (-3)^2 と違うことを学ぶようです。
さて肝心なことは、「-3^2 は (-3)^2 と違わない、あるいはあいまいな表記」ということを主張する人は(初学者で間違っているごくわずかの人を除いて)皆無ということです。一方、「ab÷ab は 1 とはいえない、あるいはあいまいな表記」という人は数割というレベルで存在します。プログラミング言語のように規格・仕様ありきというのとは違って、数学のこういうところはある意味、自然言語的です。匿名氏はこれらを同列に並べている時点でおかしいです。
***
また匿名氏は、「a×b と ab は別物」ということも言っています。そしてこれが ab÷ab=1 の根拠だと。それに対して私は、ab÷ab=1 とは無関係に、まず「a×b と ab は別物」は間違っていると考えています。
「隣りあう2辺の長さがそれぞれ a, b の長方形の面積は ab である。」というときの ab は式でもあり結果でもあり、それを区別して理解する必要はまったくありません。たとえこれが a×b や ba や b×a と表記されていても。
「隣りあう2辺の長さがそれぞれ a, b の長方形の周の長さは 2a+2b である。」でも同じです。これが a+b+a+b や 2(a+b) と書かれていても、やはり式でもあり結果でもあり、区別はしません。鍵括弧で言いたいことはそのまま伝わります。
***
繰り返しになりますが、
> そもそも、代数において、ab÷ab=b^2 となっている事例というのは存在するのですか？
> 私の知る限り、一つたりとも見たことがないです。
> 原点に立ち返るために、まず、数だけの式ではなく、
> 代数の式において、ab÷ab=b^2 となる事実が本当に存在するのか、
> もう一度よく考えてみて欲しいと思います。
に対しては、
ともう一度答えておきます。それに対し匿名氏は Youtube で見つけられた例を示されました。日本以外にも見られることはわかりましたが、同時に「算数の表記法から÷記号を省略する表記への過渡期の計算問題」のみに見られる、極めて局所的なものだということがわかります。示された 2本の Youtube のどちらも、2行めにはもう÷記号から分数表記になっています。「÷記号から分数表記への練習問題」ですからその1行めに÷記号が出てくるのは必然なんですが、そういう場面にしか現れないものなのです。Smith 文献も同種です。
***
そして匿名氏の主張のもう一つは、「数学教育では ab÷ab=1 だから」が先にあることです。それに対して私は、現状がそうだということはもちろん認識していますが、それが正しいとは思っていません。
「現状、数学教育では ab÷ab=1 だから」から出発してしまうから、そうしている意味を何かとってつけなくてはならなくなって、まるで関係のない「演算か結果か」のようなものを持ち出さなくなってしまうのではないですか。
別のところでも書いたと思いますが、ab÷ab を ab÷(ab) と書きさえすれば誰もあいまいだとは思いません。中学校でもこの表記で教えて何か困ることがあるでしょうか。括弧を付けても単項式の除算の意味を教えるのに何の不都合もありません。現状のあえて括弧を付けない ab÷ab でしか表せない何かがありますか。ab÷ab と書かなければならない必然性がどこにもありません。
返信が出来なくなったので改めて。
＞そこで -3^2 が (-3)^2 と違うことを学ぶようです。
ですから、それも、単なる事例ですよね？
6a^3÷2a^2=3a の事例と変わらないじゃないですか。
単なる事例によって、記号省略の乗算や、累乗の計算順序を
刷り込まれていると思われるわけです。どちらも同じじゃないですか。
中学で計算順序の話を、改めて明確に教えられたのですか？
計算順序の話は、算数で習った
①カッコの中が優先、②乗除算が優先、③左から、しか習っていないとすれば、
a^2=a×a として考えるという論理になるハズでしょ？
ab と a^2 は、ab と aa のことなんだから、どちらも計算順序は同じなんですよ。
そんなこと、当たり前の話じゃないですか。
a^2 は aa と書くと冗長的になるので省略して書いているだけですよ？
そしてこれは、a という因数を2つ持つ「一つの数」ということなんです。
これぐらいは分かりますよね？
そしてその数に、b^3 を掛けた結果は、aabbb つまり、
a の因数を2つと、b の因数を3つ持つ「一つの数」になり、
これを省略して、a^2b^3 と書いているだけなんですよ。
どうして、このaabbbという「一つの数」を、習ってもいない計算順序で、
a^2 と b^3 とに分けようとするのですか？
百歩譲って、Makoさんの論理を採用したとしても、a と abbb に分けるべきなんです。
そもそも、単項式の中では、計算なんかしていないんですよ。
共通因数で括ったり、共通因数で約分したりしているだけなんです。
単項式の意味をどう捉えているのですか？
＞さて肝心なことは、「-3^2 は (-3)^2 と違わない、あるいはあいまいな表記」ということを主張する人は(初学者で間違っているごくわずかの人を除いて)皆無ということです。
これが肝心なこと？？？
つまり、こういうことが言いたいのですか？
ab÷ab=1 が正解だとしても、正しく理解できていない人間がこれだけ多いのだから
ab÷ab=b^2 も正解にしろ、とでも言いたいのですか？
だとしたら、完全に、「落ちこぼれの戯言」です。
自分で何を言っているのか解っているのですか？
もっと論理的に答えてくださいよ。
それに、Makoさんの言葉を借りれば、
『「ab÷ab=b^2」ということを主張する人は(初学者で間違っているごくわずかの人を除いて)皆無ということです。』
と私は思いますけどね。
根拠があるのなら共感できなくもないですが、どこに根拠があるのか全く分かりません。
＞2本の Youtube のどちらも、2行めにはもう÷記号から分数表記になっています。
言っている意味が分かりません。
これが、「÷」の解釈が一意か否かの話と、何の関係があるのですか？
「あまり見かけない」という話と、「ab÷ab が 1 にならない」という話を、
ゴッチャにしないでください。
とにかく、ab÷ab が b^2 になっている事例がどこにあるのか、示してくださいよ。
どうして示せないのですか？
これが示せないのであれば、やはり、「単に授業を正しく理解できなかった奴の戯言」ですよ。
それと、何度も聞きますが、
k/2(x^2+y^2+z^2) ではなく、k÷2(x^2+y^2+z^2) であったとしても迷うのですか？
こんな簡単なことにも答えられないのですか？
すべて答えていますので、ここに付け加えるべきものはありません。
行き詰まって、ただ逃げているだけですね。
ab÷ab が b^2 になっている事例がどこに示されているのですか？
どこにも示されていませんよ。
調べたけど、どこにも無かっただけなんですよね？
結局のところ、「÷」と「/」が同じ意味だと勝手に思い込んで、
k/2(x^2+y^2+z^2) を見て迷っただけなんですよ。
そしてネットで調べたら、同志がいたのでその気になってしまった、ということなんでしょ？
そして、「÷」と「/」とは厳密には意味が違うので、「a÷b÷c」は一意だが、「a/b/c」は一意でない、
という指摘を受けて間違いに気づいても、引っ込みがつかなくなったっていうことです。
そして、言い返せなくなると、「既にお答えしています」と言って逃げ、
さらには、「ab÷ab=b^2 と解釈する人はたくさんいる」とか言って、
全く論理的でない方向に話を展開して誤魔化そうとするわけです。
他の人がこう言っているとか、中学でしか出てこないとか、全く関係ないんですよ。
Makoさんの中での定義を述べるべきなんです。
でも、結局自分の中でも整理できていないので、答えることができないんです。
違うというのなら、数学教育において「÷」と「/」が同じ意味の記号である根拠を示してください。
言っておきますが、コンピュータ言語やエクセルの文法とかは、根拠になりませんよ。
k/2(x^2+y^2+z^2) で迷うことは共感できますが、
k÷2(x^2+y^2+z^2) でも迷うということについては、全く共感できません。
それはただの、理解不足なんですよ。
ひとつ前のコメントでも、理解不足を疑いたくなるコメントがあります。
＞「隣りあう2辺の長さがそれぞれ a, b の長方形の周の長さは 2a+2b である。」でも同じです。これが a+b+a+b や 2(a+b) と書かれていても、やはり式でもあり結果でもあり、区別はしません。
この部分です。
どうして、「a+b+a+b」が結果なのですか？
これは、どう考えても式じゃないですか。
Makoさんは、「2+3+2+3」これが計算結果だと思うのですか？
要するにMakoさんは、答えの欄に「2+3+2+3」や「a+b+a+b」と書いても正解にしろ、
と言っているのですか？
だとしたら、単なる変人ですよ。
ただ、同じくひとつ前のコメントで、
＞「現状、数学教育では ab÷ab=1 だから」から出発してしまうから、そうしている意味を何かとってつけなくてはならなくなって、まるで関係のない「演算か結果か」のようなものを持ち出さなくなってしまうのではないですか。
これに関しては、大いに共感できる部分があります。
「記号省略の乗算優先」という概念を明文化せずに教えている結果、
４割もの人が正しく理解していない現状があるわけです。
この教え方の不備について、教育委員会に質問したということなら、理解できます。
理解できるというか、応援したい気持ちです。
しかし、その前に書いてある、
＞そして匿名氏の主張のもう一つは、「数学教育では ab÷ab=1 だから」が先にあることです。それに対して私は、現状がそうだということはもちろん認識していますが、それが正しいとは思っていません。
これには、共感できません。
「現状がそうだということは認識していますが、それが正しいとは思っていません。」
これはどういう意味ですか？
「現状がそうだということは認識しています」と言っておきながら、
教育委員会に質問したということになりますよ。
単なる変人じゃないですか。
そして、「それが正しいとは思っていません。」と言うからには、何か根拠があるのですよね？
それを示してくださいと言っているんです。
まさか、「黒木さんたちもそう言っている」というのが根拠っていうわけじゃないですよね？
これに答えることができないのなら、非常に残念ですが
単なるMakoさんの理解不足っていうことで決着です。
無意味な質問を終わりなくぶつけて論点をそらし、相手が答えるのをあきらめたら勝利宣言をする。TzO3i8+48bさんの常套芸ですね。さすがです。
どうもです。上の匿名のものです。
＞TzO3i8+48bさんの常套芸ですね．
懐かしいIDが出てきましたね。
でも、残念ながら私は、TzO3i8+48bさんではありませんよ。
TzO3i8+48bさんとやりあった、7u+26u94Poです。
ご存知かもしれませんが、今の私はどちらかと言うと、6÷2(1+2)=9 派です。
ab÷ab=b^2 になる根拠が本当にあるのなら、それを探ろうとしているのです。
それが、無意味な質問なのですかね？
よく読んでみてください。
良く分からないのですが、ジャッキーさんはMakoさんの側なのですかね？
だとしたら、Makoさんや、黒木さんたちが、
何を根拠に、ab÷ab=1 が間違いだと言っているのか分かりませんか？
もちろん、ジャッキーさんの根拠でも良いです。
Makoさんに、いくら質問しても出てきそうにありません。
Makoさんは、『すべて答えていますので、ここに付け加えるべきものはありません。』
と書いていますが、どこに、どのように答えているのか、ジャッキーさんには分かりますか？
メタメタ（高橋誠）です。
私も，以前はほぼ「匿名」さんと同じように考えていました。（方向性は，今もそんなに変わらないかもしれません。）
以前，この問題を議論して認識を革めさせられたことがあります。
加減乗除と和差積商という言葉は，小学校の数の計算のときに初めて教わり，前者が「計算」「式」で，後者がその「答」「結果」というように教わります。
しかし，中学で文字式を習うと，この区別は無くなります。ただそのことははっきりと教わらないため，私のように大人になっても，小学校のまま認識している人は多いし，国語辞典もそのように説明しているものの方が多いかもしれません。
しかし，数学プロパーでは違うので，数学プロパーの人と議論するときは，そこをきちんと踏まえていないと，バカにされます。（私はバカにされました苦笑。）
私のこのコメントに対する7u+26u94Poさんからの返事は，現在，私のブログの以下の発言に対するコメント欄の2番発言から連続しています。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10893091058.html#cbox
6÷2(1+2)=9派の人に
6÷2(1+2+3+4+5+…+n-1+n)はいくつになるのか聞いてみたい
6÷2(1+2+3+4+5+…+n-1+n)=6/(n(n+1))
なので、6÷2(1+2)=9 は間違っている。
この論理は義務教育の枠の中では、絶対的に正しいと思います。
私も、6÷2(1+2)=1 が唯一の正解だと思い込んでいました。
でも、その枠を外した場合、6÷2(1+2)=9 が間違いとは言い切れない、
と思われる節があるので、単に、6÷2(1+2)=9 が間違いだと決めつけるのは
避けたほうが良いように思います。
義務教育で教わることだけが全てではないようです。
（だからと言って、9派の全てが論理的に正しいわけではないです。）
>6÷2(1+2+3+4+5+…+n-1+n)=6/(n(n+1))
ちょっと違います
6÷2(1+2+3+4+5+…+n-1+n)=6÷2(n(n+1)/2)です
※6÷2(n(n+1)/2)=6/(n(n+1))とするためには「省略掛算と割り算の優先順位」が必要です
>6÷2(1+2)=9 は間違っている。
そうは一言も言っていません
6÷2(1+2)=9と6÷2(1+2+…+n-1+n)の答えから導けるのは
「9派の人の自己矛盾」か「9派の人にとってはab÷ab=b^2」のいずれかと考えています
>6÷2(1+2+3+4+5+…+n-1+n)=6÷2(n(n+1)/2)です
6÷2(n(n+1)/2) はまだ計算途中で結果ではないです。
その論理だと、
6÷2(1+2+3+4+5+…+n-1+n)=6÷(1+1)(1+2+3+4+5+…+n-1+n)
でも良いわけです。
計算結果を求めるのなら「÷」も残したままにしてはダメです。
代数的には、6÷2(n(n+1)/2)=6/(n(n+1)) にしかならないと思います。
これに反して、3n(n+1)/2 のようになっている事例がもしあったら是非とも教えてほしいです。
探しているのですが、どこにも無いような気がします。
>「9派の人の自己矛盾」か「9派の人にとってはab÷ab=b^2」のいずれかと考えています
そう考えるのが自然だと思います。
これについては、ab÷ab=1 でも 6÷2(1+2)=9 が矛盾しない考え方あるのですが、
この高校入試問題とは直接関係がないし、長くなりそうなので、ここではやめておきます。
ここで1派の人に言っておきたいのは、義務教育で教わることだけが全てではないので、
決めつけは避けた方が良いということだけです。
>>6÷2(1+2)=9 は間違っている。
>そうは一言も言っていません
それなら良いです。
失礼しました。
こんばんは。今更で大変申し訳なく思いますが、だいたいの文章を読ませていただきました。
私は、数学に興味はありますが、数学の専門的な知識が皆さんのようにあるわけではありませんし、
英語も苦手ですので文献読めませんし、言葉の意味も難しいなと思いながら拝見させていただきました。
ただ、的外れなのかもしれませんが、２つほど疑問に思うことがありましたので聞かせて頂きたいと思いました。
質問は、高校入試の問題に対する、解答の部分です。
1つ目は、
10 a^3 b^2 / 3 ÷ 5 a^2 b^2 / 9・・・（10 a^3 b^2はすべて分子で3が分母に、5 a^2 b^2はすべて分子で9が分母）
というような場合にはどうなるのでしょうか？
分子にすべて文字が書かれるものと、分数の横に書いてあるものは同じものだと思っており、
この場合には、割り算の後の 5 a^2 b^2 / 9 を逆数にして掛け算にするという風にすると考えています。
この場合にも5 / 9 だけを逆数にすると考えて解答を作るのであれば、
そもそも数学の教育として大部分間違ってくると思ってしまいました。
2つ目は、
文字式の表し方として、 ×は省略する。 ÷は分数にする。 などがあると思いますが、
書く順番を「数字 アルファベット順 同じアルファベットは累乗で」があると思います。
それを考えると、÷の後は、5/9 か a^2 か b^2（bが１つだけもある？）かは判断できないため、
÷の前の部分も考えれば、答えが数通りあると考えられ、おかしいのではないかと感じました。
教育委員会に質問されたときの答えのようにするためには、
÷の前は、×の省略された単項式の最後の部分（b^2）で、
÷の後は、×の省略された単項式の最初の部分（5/9）だけを取り出すということですが、
上記のルールがあるかぎり、なぜその部分だけを取り出して、割り算にできると考えられたのかが分かりません。
10/3 b^2 a^3 ÷ a^2 5/9 b^2 という表記もありで、
この場合は、a^3÷a^2 だけが割り算になるという感じでしょうか？
このような文章や、数式を使っての説明を初めてしますので、おかしな部分や、
専門的な言葉を使って説明ができませんでしたので、分かりにくい部分もあるかと思いますが、
２点のことについて、よろしくお願いいたします。
1つめ
横線が長ければ、( 5 a^2 b^2 ) / 9 の意味になると私は考えます。つまり、分数の横線は括弧の意味をじゅうぶん含んでいると考えます。そう考えることで生じる矛盾は思い当たりません。
> 分子にすべて文字が書かれるものと、分数の横に書いてあるものは同じものだと思っており、
ここだけを取り出してみると (5/9)a^2 B^2 と ( 5 a^2 b^2 ) / 9 は同じに見える、ということですね。それはそうです。この問題は、「÷ の記号が及ぶのはどこまでか」と言い換えることができるので、そこだけを取り出してみても意味がないのです。
2つめ
「上記のルール」が何を指しているのか読み取れなかったためお答えにならないかもしれませんが。
> 10/3 b^2 a^3 ÷ a^2 5/9 b^2 という表記もありで、
> この場合は、a^3÷a^2 だけが割り算になるという感じでしょうか？
そうですね。さきほども書きましたように問題は「÷ の記号が及ぶのはどこまでか」です。そこでこのような順番で書くことができるならそのようになるでしょうね。
私の考えは、もう何度も書いていると思いますが、次のとおりです。
演算の優先順位は
・括弧
・累乗
・乗除
・加減
・左から
の順だと理解しています。高校入試・中学校の模範解答どおりの答を出すには「ただし単項式で割る場合は括弧なしでも括弧があるようにみなして扱う」みたいな例外のルールを追加する必要があります(そこでこのルールの根拠を何か捻りださなければならなくなって、演算か結果かだとか項がどうとか馬鹿みたいなことを言い出すことになるんです)。この例外ルールがあまりにも美しくない。
実際、高校入試・中学校以外の世界では「あいまいな(どう受け取られるかわからない)表現なので、括弧をつけるように」と推奨されることもあります。
括弧をつけるようにすれば、変てこな例外ルールを持ち出すまでもありません。原則どおりです。高校入試・中学校でも括弧付きで通したとしても単項式の除算を教え、またその理解を計測するのに何の不都合もありません。
以上です。
早速の返信ありがとうございます。
読ませていただき私なりに考えた結果で、２点確認をさせて頂きたいのですが、
>ここだけを取り出してみると (5/9)a^2 B^2 と ( 5 a^2 b^2 ) / 9 は同じに見える、
>ということですね。それはそうです。この問題は、「÷ の記号が及ぶのはどこまでか」
>と言い換えることができるので、そこだけを取り出してみても意味がないのです。
今の教育では、 (5/9)a^2 B^2 と ( 5 a^2 b^2 ) / 9 は同じと教育していますが、
その直前に÷があった場合には、
(5/9)a^2 B^2 では、「5/9 にのみ÷の記号が及ぶ」、
( 5 a^2 b^2 ) / 9 では、「全部に÷の記号が及ぶ」ということがあり得るため、
『(5/9)a^2 B^2 と ( 5 a^2 b^2 ) / 9 は同じ』とする教育が間違っていると感じましたが、
この認識であっていますでしょうか？
>「上記のルール」が何を指しているのか読み取れなかったためお答えにならないかもしれませんが。
申し訳ありません。上記のルールとは「文字列の書き順」のルールを指していました。
日本の教育（外国は分かりません）では、文字列を「数字→アルファベット順」
「同じアルファベットは累乗で表す」などとしていると思います。
これは、「2a を × を使って表せ」という場合には、
「2 × a」「a × 2」でも答えになると思います。
ですので「10/3 a^3 b^2 ÷ 5/9 a^2 b^2」の問題では、
「10/3 × a^3 × b^2 ÷ 5/9 × a^2 × b^2」 →「6 a^5 b^4」
「10/3 × a^3 × b^2 ÷ a^2 × 5/9 × b^2」 →「50/27 a b^4」
「10/3 × a^3 × b^2 ÷ b^2 × a^2 × 5/9」 →「50/27 a^5」
「10/3 × a^3 × b^2 ÷ a × 5/9 × a × b^2」 →「50/27 a^3 b^4」
・
・
・
というように、かなり複数の場合を考えることができると思いますが、
県教委に質問した時に、「10/3 × a^3 × b^2 ÷ 5/9 × a^2 × b^2」のみ
取り上げられていたので、このような場合のことまで含めて考えられていたのか?
というところが、気になったところです。
分かりにくい文章であったようで、申し訳ありません。
どうぞよろしくお願いいたします。
> その直前に÷があった場合には、
> (5/9)a^2 B^2 では、「5/9 にのみ÷の記号が及ぶ」、
> ( 5 a^2 b^2 ) / 9 では、「全部に÷の記号が及ぶ」ということがあり得るため、
> 『(5/9)a^2 B^2 と ( 5 a^2 b^2 ) / 9 は同じ』とする教育が間違っていると感じましたが、
> この認識であっていますでしょうか？
まず、(5/9) a^2 b^2 は「5/9 と a^2 と b^2 の積」ですね。そして ( 5 a^2 b^2 ) / 9 は「( 5 a^2 b^2 ) を 9 で除したもの」ですね。ここだけ取り出せば結果的には同じ値になります。
このこととは独立に、「÷の及ぶのはどこまでか」があいまいな場合(人によって理解が異なっている場合)、÷の特に後ろが括弧なしだと、書き手の意図が読み手に正確に伝わるとは限らない、ということです。
「教育」という観点で言えば、先ほども書いたように、括弧付きで教えて困ることは何一つない、と思っています。
> というように、かなり複数の場合を考えることができると思いますが、
> 県教委に質問した時に、「10/3 × a^3 × b^2 ÷ 5/9 × a^2 × b^2」のみ
> 取り上げられていたので、このような場合のことまで含めて考えられていたのか?
問題を単純化しますと、何度も繰り返しますが、「÷の及ぶのはどこまでか」です。大元の出題に即して言えば、「÷の後ろ」は「5/9」なのか「5/9 a^2 b^2」なのかの二択です(「5/9 a^2」みたいな中途半端なのはこの際考えなくていいでしょう)。出題がこの順番なのですから、並べ替えをこちらが考慮する意味はないと思うのですが。
皆さんの内容とだいぶずれてしまっていますが、返信して下さり、ありがとうございます。
>「÷の及ぶのはどこまでか」があいまいな場合
私自身は、これを疑問に思ったことありませんでしたし、
今でも曖昧であると思っていませんが、
>「÷の及ぶのはどこまでか」があいまいな場合(人によって理解が異なっている場合)、
>÷の特に後ろが括弧なしだと、書き手の意図が読み手に正確に伝わるとは限らない、
>ということです。
>「教育」という観点で言えば、先ほども書いたように、
>括弧付きで教えて困ることは何一つない、と思っています。
これについては、このような問題を勘違いしてしまう可能性がある人が多いということであれば、
括弧があれば間違いにくくなりますし、分かりやすいとも思いますので、
良い考えだと思いました。
ただ、文科省なり県教委に連絡するときに、その解答はおかしいと指摘するのは
ただのクレーマーかなと思いました。
申し訳ないですが、私立や大学受験や就職試験の意表を突く問題のような場合はよくありますが、
公立の高校入試では、基本的に中学校で学習した内容や形式で出題してるのではないかと思います。
ですので、そもそも、そう読み取れませんと言ったところで、授業でこう習ってるんだから、
これが答えですと言われるのは当たり前だと思います。
改善するべきだと考えるのであれば、それが生徒が勘違いしやすい部分であること、
大人でももおかしいと思う人が多い部分（統計がいるかな）であること、
こういう表記をすれば防げること、等を進言するべきだと思います。
また、前に
>そりゃ高校入試や中学校数学では現状そうでしょう。
>しかしそれが正しいかどうかは別です。
>私は、「海外でどう教えているか、世界の常識はなんなのか」に合わせて
>「日本の数学教育」のルールを変えればいい、変えるべき、という考えです。
というように言われていますので、海外のルールでそのようなものがあれば、
それを合わせて提出し、日本の教育力の向上のために～なんて話をしていけば良いと思います。
まあ、私は海外のルールでそのようなものがあるのかが、分かりませんでしたので、
あれば、ですけれども。
ただ、もし、海外でも今の日本と同じような記述で教育して同じ答えとしているのであれば、
それにグダグダ文句を言っても、勉強ができない人の遠吠えみたいな感じだと思いました。
そのようなものでもあれば、私自身も、考え直すきっかけになりそうだと感じました。
ここまでに関しては個人の意見ですので、気にいらない部分は流して下さい。
ここからは、再度１つ質問なんですが、
>「÷の後ろ」は「5/9」なのか「5/9 a^2 b^2」なのかの二択です(「5/9 a^2」みたいな
>中途半端なのはこの際考えなくていいでしょう)。出題がこの順番なのですから、
>並べ替えをこちらが考慮する意味はないと思うのですが。
中学校で、「数字→アルファベット順」で教育していますので、
出題がこの順番でするのは当然であると考えます。
それなのに、なぜ並べ替えをこちらが考慮する意味はないのでしょうか？
数学では（この例が適当かは分かりませんが）「場合分け」や「解が複数存在する」等、
答えとしてあり得るものは、基本的にすべて答えとする必要があるのではないかと思います。
ですので、解く側が「これは２つだけを考えればよい」として答えはこれだ、
というのは、おかしいと思ってしまうのですが、どうでしょうか？
よろしくお願いいたします。
前後させてご返事します。
> それなのに、なぜ並べ替えをこちらが考慮する意味はないのでしょうか？
「そのように書かれているから」です。そうでない順序に書かれていたら、そのときはじめてその書かれているとおりに読みます。
ロボットをイメージしてみてください。前に書いた演算の優先順位「・括弧・累乗・乗除・加減・左から」というルールだけを知っているロボットです。これに出題の式を読ませます。ロボットは原則どおりに読むしかないのです。あなたの言うようなことを考慮しなければならないとしたら、それはルールに「ただし乗算の順序の入れ替えについては適宜判断する」みたいな変な例外ルールを追加しなければならないでしょう。そしてこんなあいまいなものはルールとすら言えないほどなのでロボットは処理を続けることができなくなってしまうでしょう。
読むのが人間でも同じです。誰が読んでも全く同じ意味に受け取られなければなりません。
数式は書き手の意思を読み手に伝える手段です。厳密に。小説や詩とは違います。ですから、あいまいさが入り込んでしまうようなルールが持ち込まれてはなりません。
> ただ、文科省なり県教委に連絡するときに、その解答はおかしいと指摘するのは
> ただのクレーマーかなと思いました。
> ですので、そもそも、そう読み取れませんと言ったところで、授業でこう習ってるんだから、
> これが答えですと言われるのは当たり前だと思います。
> それにグダグダ文句を言っても、勉強ができない人の遠吠えみたいな感じだと思いました。
昨今話題になっている「組体操」や「漢字のとめ・はね」問題を思い出してみてください。もう何年も前から、おかしいのではと主張する人たちがいました。はじめはごく少数だったでしょうし、クレーマー(という言葉もないほど昔からでしたでしょうが)呼ばわりされたでしょう。それがやっとつい最近になって大きく取り上げられるようになり、見直しの動きにつながりました。
この問題はそういうものと同じ性質のものだと私は思っています。
>「そのように書かれているから」です。
>そうでない順序に書かれていたら、そのときはじめてその書かれているとおりに読みます。
言われている意味が良く分からないのですが、
計算の順序としていろいろ教科書等に載っている通りに、文字式の表し方にも、
「×は省略、数字が先でアルファベット順、同じ文字は累乗」等のルールがあるはずです。
「a×b=ab」「b×a=ab」であるにもかかわらず、
逆の場合は「ab=a×b」のみを考えれば良いということですか？
まあ、この場合は「a×b=b×a」は同じものだからそれで良いと言われるかもしれませんが、
例えば「a÷ab」の場合は、そちらのいう理屈であれば、
「a÷a×b=b」と「a÷b×a=a^2/b」で答えが変わってくるため、場合分けをしていくのが、
普通であるとおもうのですが、どうなのでしょうか？
>演算の優先順位「・括弧・累乗・乗除・加減・左から」というルール
>それはルールに「ただし乗算の順序の入れ替えについては適宜判断する」みたいな
>変な例外ルールを追加しなければならないでしょう。
そちらのいうロボットのルールであれば、そうなるでしょう。
ですが、なぜこれを変な例外ルールとして決めているのでしょうか？
答えが変わってくる以上、例外ルールではなく、
ルールとして組み込んでおくべきであると思います。
そもそも、演算の優先順位を取り上げていますが、そこに疑問があるのではなく、
文字列の表し方のルールが無視されていることに私は疑問を投げかけています。
「a÷ab」を考えた場合、そちらの言う「÷の及ぶのはどこまでか」を考える際、
「a÷a×b」と見るからであると思います。
この段階で考えているのは、演算の優先順位ではなく、文字列のルールのはずです。
なぜ、この文字列のルールは無視して良いのかを聞きたいのです。
>そうでない順序に書かれていたら、そのときはじめてその書かれているとおりに読みます。
前も書きましたが、現在文字列のルールはしっかり明記されているため、
「2ba」や「a2b」なんて表記は基本あり得ません。
【例外：(a+b+c)^2=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca】(名前忘れましたが、循環のため)
それなのに、
「そうでない順序に書かれていたら、そのときはじめてその書かれているとおりに読みます」
なんてのは通用しないと思います。それこそ、教わるときや参考書すべてに文字列の順番が
入れ替わっているものが載ってなければ全員が理解できるとは思いません。
>誰が読んでも全く同じ意味に受け取られなければなりません。
まさしくそれです。
私は、この投稿を通して、このように感じました。
問題を単純化して例を出しますが、
「a÷ab」という問題の場合、
出題が「a÷(ab)」であれば、解答は「a÷(ab)=a/(ab)=1/b」で答え「1/b」
出題が「a÷ab」であれば、解答は
「ⅰ) a=a×bの場合 a÷ab=a÷a×b=a/a×b=b
ⅱ) a=b×aの場合 a÷ab=a÷b×a=a/b×a=a^2/b
ⅰⅱより b , a^2/b」
で答え「b , a^2/b」
私は、これが今の演算の優先順位と文字列の表し方のルールに乗っ取っていると思います。
これはおかしいのでしょうか？
> これはおかしいのでしょうか？
おかしいです。
おっしゃっているのはすべて書き手の側の問題です。書き手はあいまいでない書き方をすればいいのです。
読み手は、書かれているとおりに読む以外にありません。
> 「a÷ab」という問題の場合、
はそのまま読むしかないのであって、書き手がa÷baと書いてない以上、読み手がそう読んだら間違いです。
返信できなくなりましたので、こちらに。
>おっしゃっているのはすべて書き手の側の問題です。
読み手も書き手も「ab=a×b=b×a」であるというルールは分かっているはずです。
ですので、そのルールに乗っ取っていれば、
「そのどちらの場合も答えなさい」という趣旨の問題であると書き手は想定しなければなりません。
だから、２つともが答えである。と解答すれば良いだけの話では？
それを無視して、片方だけが答えです。とはならないと思います。
問題に「ただし、文字式abの書き順はそのままの順である。」とでも書き加えられてれば別ですが。
それこそ、教科書・参考書にも載っていない変な例外ルールだと考えられます。
落ち着いてゆっくり考えてみてください。
a×b と b×a は同じ値です。ここまではいいです。でも 「(何か)÷a×b」と「(何か)÷b×a」は同じではありません。ただそれだけのことです。
ついでに。
アルファベット順なんて、ルールでも何でもありません。ただの習慣です。たとえば F=ma やら E=mc^2 なんかも習慣です。あまり am やら c^2 m とは書きません(そう書いたからと言って間違っているというのはそれこそ大間違いですが)。
例として出したものが悪かったようで申し訳ありません。
>アルファベット順なんて、ルールでも何でもありません。ただの習慣です。
>たとえば F=ma やら E=mc^2 なんかも習慣です。あまり am やら c^2 m とは書きません
ルールであり、約束事として基本的に載っていますし、使われています。
それらの公式は物理学でも使われ、元々、質量やらなんやらがあって、
そこに頭文字である m などを当てはめていますので、違う場合があって当然ですし、
文字だけを考えていますので、不十分です。
また、公式に数字が入っているもので「文字→数字」のようなものが一般的に存在するならば、
「だたの習慣である」という論理は理解できます。
しかし、一般的にそれがなく、ほとんどの人が使用しない以上、
そちらの言っている「ただの習慣」こそが例外です。
例外を持ち出して、矛盾しますよは、成り立たないでしょう。
それこそ例外として、問題に明記しなければならないでしょう。
>そう書いたからと言って間違っているというのはそれこそ大間違いですが
それは当たり前ですし、もちろん、これも同じです。
一般的に「数字→アルファベット順」で書くことになっているので問題はそうするのが当たり前。
例外として「アルファベット順」でないことを理解してほしいなら、それこそ但し書きをすれば良い。
そうしないと「a2b^2」なんて普段使わないものを書かれても、混乱するだけです。
>a×b と b×a は同じ値です。
>「(何か)÷a×b」と「(何か)÷b×a」は同じではありません。
当たり前ですし、理解しています。
私がこのような理論「a÷ab=b」がおかしいと思うのは、まさしくこれがあるからです。
私が言っていることは、「ab」は「a×b」「b×a」のどちらでも良いはずなのに、
なぜそれを片方しか考える必要がないのか？
誰もが、例外はあるが「数字→アルファベット順」のこのルール（約束事）として
学習しているにもかかわらず、それを無視して議論をしているのか？
なのです。
「a÷a×b=b」「a÷b×a=a^2/b」であれば、もちろん当然であると思います。
「a÷ab」を考えたときなぜ「ab=a×b」だけを考えるのか？
「文字式の前に÷がある場合のみab=b×aとしなくてよい」はありません。
前の文章と同じになるかもしれませんが、「数字→アルファベット順」が基本的な記述の仕方であり、
例外として「F=ma やら E=mc^2」を学習しているが、それでも「数字→文字」の法則は守られている。
もし「文字→数字」として使われているものがあったとしても、一般的に使用されてなければ、
そちらが例外として、但し書きされるべきです。
そのため、但し書きがなければ、片方だけ考えるのは、不十分だと考えられます。
もう同じところを周っていますよ。
> 「a÷ab」を考えたときなぜ「ab=a×b」だけを考えるのか？
> 「文字式の前に÷がある場合のみab=b×aとしなくてよい」はありません。
ありません、じゃなくて、そこです。そこをわかっていただけないと、周り続けるだけです。
そうですか。残念です。
私としては、「同じ」ではないのですが、私の理解力がないのでしょう。
文字式の表し方について、新たに得るものがあるかと思いましたし、
私なりに納得できるものがあれば、非常に良い問題提起だと思ったのですが、
そうではなかったようです。
いろいろとお時間をとらせてしまい申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。
はじめまして、この問題提起を最近になって知ったにわかです。
管理人さんのお考えを伺いたいのですが、例えば
・6÷(1+2)=
・3a÷a=
この二問については、どのように解答されますでしょうか。
6÷(1+2)=6÷3=2
と解答されるようでしたら、abはa×bの省略でしかなく、一つの値などではない
という主張に矛盾が生じないでしょうか。
（もし上記の問題を18と解答されるようでしたら、主張に一貫性はあると思いますが…）
■カッコ()や、a文字の前にも必ず係数が存在します。
■何も数字が書いてない場合は、あくまで「１」という数字が省略されているだけです。
つまり上記問題は
・6÷1(1+2)=
・3a÷1a=
と（係数を省略せずに書くなら）なります。
ここで、それぞれの掛け算記号がない部分を「ただの省略」としてしか見ない場合
・6÷1×(1+2)=6×3=18
・3×a÷1×a=3a^2
となってしまいます。
結論としては、「掛け算演算子が省略されている場合は、それは一つの値としてみる」
というのはローカルルールではなく、数学における大前提だと思うのです。
もし「掛け算演算子が省略（書いていない）されていても、それはただの掛け算」であるならば
いくら後ろの文字にカッコを付けようが、望む計算結果にならずループすることになってしまいます。
あまりよく考えずに反射的にお答えします(いまちょっと時間がないので)。
もし、6÷(1+2)に1を補って、紛れのないように書くならば
6÷(1(1+2))
だと思います。まあふつうはこんな面倒なことはしませんが。
なぜ外側の括弧は書かずにすむとお考えになったのでしょうか?
その外側のカッコにも係数は必ず存在しているので
6÷(1(1+2))というのは、外側のカッコの前の係数1を省略して書いているだけなんです
省略せずに書くと、それも
6÷1(1(1+2))になるので、結局この呪縛からは逃れられないというか
カッコをつける、という対策はいくら（ ）をつけても、その（ ）の前の係数1から逃れられないんです。
あと、気になったのですが
6÷(1+2)をまぎれのないように書くのであれば
6÷(1(1+2))である。 というお考えをお持ちなのであれば、なぜ
6÷2(1+2)は6÷(2(1+2))である。といったことにならないのでしょうか？
係数が1から2に変わった瞬間にカッコをつけなければならないとお考えなのは何故でしょうか
つまりは「補う」という行為が間違っているのでは。
「係数1は省略してもよい」は正しいでしょうが、
「省略されている(と思われる)1を補う」は、正しいとは限らないのではないでしょうか。
管理人さんのご意見としては
aや(1+2)といった、係数が1のもの（省略されている）の場合は
1×a、1×(1+2)ではなく、セットとして(1×a)、{1×(1+2)｝である。
係数が1以外のものの場合
ex) 2a、2（1+2)といった係数が2のものの場合は
2×a、2×(1+2)である。
ということでしょうか。係数1が省略してある場合はカタマリとして見る、というのは
abという掛け算演算子が省略されている場合はカタマリとして見ている行為と同じように思うのです。
もちろんこの2つは同じものではありませんし比較として適切ではないですが、数学的解釈としてです。
貴重なお時間を使っていただき、ありがとうございます。
またお時間のある時に、お答えいただければ幸いです。
ここの管理人さんは、元々、a÷bc でさえ、ac÷b と同じだと考えているのですから、理解力が不足しているとしか言いようがありません。
a÷bc = ac÷b ということは、突き詰めれば、
a÷bc = a÷b/c ということです。(b/c の部分は分数表記)
a÷bc と a÷b/c が全く同じ意味になるという、
こんなバカげたことを言っているにも関わらず、何の違和感も持たない人というのは、
一体何を学んできたのかと、疑いたくなります。
学校では、演算は演算記号で行うということしか教わっていないので、
a÷bc は、a を bc で割るという意味にしかならないわけです。
どうして、そんな簡単なことが理解できていないのか、不思議でなりません。
そもそも、b×c =bc なので、a÷bc = a÷b×c と解釈するという論理であるのなら、
b÷c = b/c なので、a÷b/c = a÷b÷c = a/(bc) と解釈するハズなのですが、
a÷b/c の場合は、a÷(b/c) と解釈するようです。
全くもって意味不明です。
ただ、a÷bc = a÷(bc) と同じように考えて、a÷b(c+d) = a÷(b(c+d)) は確かに正しいのですが、
6÷2(1+2) = 6÷(2(1+2)) になるとは言い切れないようなので注意してください。
まだ、ハッキリとは分からないのですが、数字の部分の計算、
つまり係数の計算が優先されるというようなルールが存在している可能性があります。
（昔の文献に、そのような計算をしている記述が残されています）
係数の計算が優先されるとすれば、
6÷2(1+2) = (6÷2)(1+2) のように計算することになります。
つまり、6÷2(1+2) = 9 です。（これが絶対的に正しいとは限らない）
確かに、義務教育ではそんなルールは教わりませんが、
義務教育で教わることだけが、代数のルールの全てであるとは限らない
ということを疑ってみたほうが良いかも知れません。
係数の計算が優先されるとのことですが
6÷(1+2)の場合は（係数1は省略されているだけなため）
6÷1(1+2)=(6÷1)(1+2)=18 になる、ということでしょうか。
それとも係数1（省略）のときのみ特殊なルールが存在しているという解釈なのでしょうか。
興味があるのでその文献の名前を教えていただけないでしょうか。
変数でおくと
ex)
6÷a （係数は1ではなく6÷1)
=(6÷1)a=6a
6÷2a (係数は2ではなく6÷2)
=(6÷2)a=3a
6÷aの式をどういじれば万人が6/a(分数）と解答できるでしょうか
どうもです。
正直に言うと、どんなルールになっているかは良く分かりません。
私も完全に１派だったので言いたいことは良く解りますが、その文献を見て立ち止まることにしました。
=1 が完全に間違いだと言っているわけではないので誤解のないように。
その文献のリンクを張りたいのですが、リンクを張ると管理人さんの手間がかかるようなので、先頭のhを抜いておきます。もしかしたら、これでも、手間がかかってしまうかもしれないですが。
① まず、問題の式です。(P119の項４)
ttp://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1464017/80
6a^2×7bc÷(-2c)
=6×7÷(-2)a^2･b･c^1-1
=21a^2･b
指数の計算が優先されるのは当然としても、
係数の計算も優先されているように見えます。
これは、=9 の根拠になる式です。(他の文献にも同様の記述あり)
② 次に同じページの項５を見てください。
3a^2･b(x+y)^3÷ab(x+y)^2
=3a^2-1･b^1-1･(x+y)^3-2
=3a(x+y)
これは、義務教育で習っていることを応用することで導かれ、=1 の根拠になる式です。
同じ文献の中に説明が付いているページもあります。(P112の問６)
ttp://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1464017/77
15a(b+c)÷3a^2･(b+c) 答 5/a
【考ヘ方】 (b+c) ヲ一ツノ文字因数ノツモリデ計算セヨ。
まぁ、これは、当然でしょう。
③ 係数の話とは離れますが、同じ文献の中に=9の根拠になるものが他にもありました。(P50の問１６)
ttp://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/1464017/42
(-15)×3/2÷(5/3)(3/10) 答 -(4 と 1/20)
【考へ方】÷(5/3)(3/10) ハ ÷(5/3)×(3/10) デ ÷{(5/3)(3/10)} デハナイ。
つまり、数だけの計算の場合は、記号省略の乗算は優先されないということになります。
これら、①～③は全て同じ文献の中に書かれています。
②が書かれているにも関わらず、①や③も書かれているので、
学校で直接的に教わっていない①や③について、否定する根拠がどこにあるのか分からなくなったというわけです。
質問について、私の見解を書いておくと、
6÷a については、さすがに、(6÷1)aと解釈することはないとは思いますが、
6÷2a については、(6÷2)a と解釈する可能性も残されていると思っています。
ただし、これは、あくまでも本来の代数学の話です。
現代の義務教育で教わっているのは、本来の算術や代数ではなく、算術・代数・幾何を統合したものを教えられているようです。
(国立国会図書館デジタルコレクションの中に、その記述がされている文献があります)
その義務教育で教えられている範囲においては、=1 にしかならないことは明白ですが、
大学の数学講師や、数学科を学んだ人たちは、=9 を答えとする人が多いようなので、本来の代数学では、=9 になる可能性が残されていると思っています。
それと、私は万人がどう思うかという話をしているわけではないです。
大多数の義務教育だけを受けた人は、6÷2a=3/a と解釈するのが当然です。
(もちろん私も、大学で数学を教わったわけではないです)
丁寧にありがとうございます。
すごく参考になりました。
a と 2a の間には、単にaの係数が1であるか2であるかの違いしかない
と思っているのですが
やはり係数が1（省略）のときは、あたかも存在しない（0ではない）かのように
扱うしかなさそうですね･･･
係数優先文献で、係数1（省略）について言及しているものがあれば良いんですが…
参考になって良かったです。
これほどの根拠があるにもかかわらず、それはローカルルールだとかワケのわからないことを言う１派が結構いるんです。
９派の人たちに比べて、１派は論理的だと思っていたのですが、そうでも無さそうです。
かと言って、９派の短絡的な論理が正しいとも思いませんが。
結局のところ、一度言い出した自分の主張を、何が何でも守ろうとする人が多すぎる印象です。
ここの管理人さんも、おそらくそうです。
自分の考え方に違和感を持ちながらも、それを認めることができないのだと思います。
事実から目を背けて、一体なにを守ろうとしているのか、サッパリ分かりません。
なぜ、最初に 2a÷2a=a^2 という思い込みをしてしまったのか、その理由も分かっています。
① 熊倉論文の呪縛
② 「÷」と「/」の意味の混同
この二つです。
この件については、もし興味があれば詳しく書きます。
管理人さんも、今はもう間違いに気づいていると思います。
係数優先の話については、もし本当にそうであるのなら、現代の書籍でも確認できると思うのですが、近所の書店などでは、大学入試用の書籍しか置いていないようです。
神保町などに行けばあるかもしれませんが、そこまでする程のことではないでしょう。
それに、凡人に理解できる内容になっているかどうかも分からないです。
群・環・体とかの話になっていたら、お手上げです。
全てが解明されたときは、１派の完全敗訴になってしまうかも知れないです。
管理人さんが思い込みで主張しているのと同じように、
１派も、義務教育で教わったことが代数学のルールの全てであると、勝手に思い込んでいるだけなのかも知れません。
あいかわらず的はずれだなと思いながらも放っておりました。
しかし、
> この件については、もし興味があれば詳しく書きます。
どこかよそでやってください。ここでは迷惑です。
>あいかわらず的はずれだなと思いながらも放っておりました。
アハ。どっちが的はずれなんだか。＾＾
a÷bc=a÷b/c だなんて、誰が考えたって的外れです。
>どこかよそでやってください。
何を言ってるの？
これこそが、このMakoさんの主張の本丸じゃん。
それに、こういうことを書くこと自体が、間違いを自覚していることになるわけなのです。
自分の主張が正しいと本当に思うのなら、逃げずに受けて立つべきです。
>ここでは迷惑です。
どっちが迷惑なのか、良く考えてみて。
これを信じた生徒が試験や受験に落ちて、その親が文科省にクレームを入れた時に、きちんと申し開きができるの？
可能性はゼロではないよ。その覚悟があってやってるの？
信念があってやっていることなら、突っ張っても良いと思うけど、
間違いに気づいていながら突っ張っている姿は、哀れでしかないです。
今はもう、教育委員会に質問を送りつけるモチベーションもないはずです。
ttp://8254.teacup.com/kakezannojunjo/bbs/t38/586
ここの掲示板を見ていなかったのかなぁ？
つまり、計算というのは基本的には、演算記号＋－×÷によって行うものなので、
2a÷2a の場合は、演算記号は「÷」の一つしか無いので、
この式は、割り算を一回だけ行う式で、掛け算をする要素はないんですよ。
熊倉論文に書かれている、
「かけ算記号が省略された部分については,優先して計算を行う」
というのは、言葉にすればそうなるという程度のものであって、
計算ルールなんかではなかったのです。
そんな暗黙のルールが存在するという、幻想を見せられていたんです。
熊倉論文の呪縛に囚われていたので、こんなページを作ったというのは分からなくもないけど、
もうそれは幻想だと判った今でさえ、この主張をするのは無理があるよ。
逆に、これを読んでも間違いに気づかないとすれば、Makoさんはよっぽどの馬鹿だと思う。
Makoさんは馬鹿ではないと思うので、もう間違いに気づいていると思うけど、
そうでないと言うのなら、逃げずにきちんと反論してください。
> ここの掲示板を見ていなかったのかなぁ？
見ていません。いま見てみましたがあいかわらすとんちんかんな内容でした。反応しようもありません。
> 熊倉論文の呪縛に囚われていたので、
囚われようもありません。読んでみましたが、間違いを含む論文というのは世の中にゴマンとありますので、これも特にどうということはありません。
> 逃げずにきちんと反論してください。
もう何度も何度も同じことを言いますが、答えていますよ。
それを読み取れないのでしょうから、もうここには書かないでください。私はあなたの家庭教師でもありませんし、あなたが理解するまで付き合うつもりはありません(このページをここまで読む賢明な読者は黙ってすでに理解しているでしょう)。ここは一般の掲示板ではありません。公共の場所でもありません。実世界にたとえれば「私有地」です。権利者である私がここに立ち入るなと言っています。それに従ってください。
このあと、またもや蒸し返すような質問が来ました。答えようかと思ってみてみましたらやっぱり上の方で答えているものばかりです。
やはりこの方に理解力がないと判断せざるを得ません。
> 権利者である私がここに立ち入るなと言っています。それに従ってください。
と宣言しておきましたので、あしからず削除させていただきます。
全文読みました。
匿名さんの言い分は視野が狭いと思います。
論点が合わないのは当然かと思いました。
私はほぼ全面的に管理人さんの意見に納得です。
＞何もしないよりはましだろうとまずは行動してみたよ、というお話でした。
何もしない方がマシだったね、というお話でした。^^
最初に出されている論文か何かに「2aは単に2 x aの乗法演算子が省略されたものである」旨の記載があるということですが、
そもそも、たとえその著者が数学や数学教育の大家であったとしても、世界からその人がそう定義する権限でも与えられている
のでしょうか（もちろん、反語です）。
これも最初のほうに書かれているように、私は「2 x aは乗法（つまり演算）、2aは積（乗法という演算の結果）である」と考えています。
教委が根拠として挙げたものがその「思想」に基づくものか否かは知る由がないですが、もうひとつ不思議に思うことは、なぜ二度目
以降の問い合わせはしていないのですか。
生徒の一生を左右するような問題であるかもしれないのに。
全文読んだが匿名さんが正しい。
最後のずーもくんも正論。
Mako管理人は視野が狭く強情っ張り。
間違いを認めない人に未来はない。
全ての参考文献などに目を通す時間もないので，私の理解は断片的かもしれませんが，
６÷２(１＋２)＝？の右辺は，考えるその人の立場によって１にも９にもなり得て，
一致した見解はないということでしょうかね．
私自身としては，
６÷２(１＋２)＝？は
６÷２a＝？の式にａ＝１＋２として代入したものにしか見えませんので，
６÷２a＝３/aとなりますから
６÷２(１＋２)＝３/(１＋２)＝１
というふうにしか考えられないです．
６÷２(１＋２)＝９が成り立つためには，
６÷２a＝３aが成り立つということで，これには非常に違和感を覚えますね．
「根拠」ではなく「違和感」なのが悲しいですが．
この問題を通して思ったのは，代数で「÷」記号を用いなくなるのは，
このような曖昧さを回避するためなのではなかろうか，ということでした．
中学生のときに疑問に思ったことを今も議論してると思うとなんかウケる。
そのとき、a÷abみたい問題で、もちろん答えは1／bであってんだけど、「その答えしか認めないなら、a÷（ab）って問題にすればいいのに！問題の出し方、悪くない？」って思ったよ（笑）
暗黙のルールじゃなくて、ちゃんとハッキリしたルールを決めてもらいたいよね。
言っている意味が良くわからないです。
3÷(3×4) =3÷12 =3/12 =1/4 と同じように、文字でも
a÷(a×b) =a÷ab =a/ab =1/b と計算します。
数字でも文字でも全く同じ計算のしかたです。これがハッキリとしたルールじゃないというのは、どういうことなのでしょうか？
3÷(3×4) =3÷(12) =1/4 のように =3÷12 の 12 にもカッコが必要だと言っているのですか？必要ないですよね？
これを文字の場合は、a÷(ab) のようにカッコを付けないと、a÷ab =a÷a×b =b と考えてしまう人がいるということを言っているのですか？そんなおかしなことを考える人がいるのでしょうか？いたとしても、その人は単に計算ができない人ですよね？どうして、そんな計算ができない人のことを考えてカッコを付けなければならないのですか？
この記事を消したらどうですか？この際mokoさんの主張があっているかよりも、この記事に書いてある事を見て信じる中学生の心配をした方がいいと思います。結果がどうあれ、教育委員会の方針に反した解き方をしている以上、貴方の考えが真実だと思って高校入試に臨む人もいるかもしれませんよ？わざわざインターネット上にこの議題を載せるのならば、最初に「この解き方は明確に定められた訳では無いので、教科書に載っている方法を推奨する」と断ったほうがいいんじゃないでしょうか。
長文失礼しましたm(_ _)m
僕もそう思います。学校で教えていることを否定しているのだから、それなりの根拠があるのかと思ったのですが、全く根拠が示されていないように思います。
そもそも、このあとにMakoさんは『中学校数学と高校入試の外の常識やそれ以前に習った原則で考えれば、 ab÷ab=b^2 と解釈するより「しかたがない」と言っています。』と書いています。つまり、『中学校数学と高校入試の常識』と『中学校数学と高校入試の外の常識』は違うということを言っていると思うのですが、これは逆に言えば、『中学校数学と高校入試の常識』では ab÷ab=1 であることを認めているのだと思います。なのに、どうして『高校入試』のことについて教育委員会にまで問い合わせをしたのでしょうか？
『高校入試』は『中学校数学と高校入試の常識』で答えるのが自然だと思うので、『高校入試』に関するこの記事は訂正したほうが良いと思います。
ab÷ab=b^2を今後の教育で採択すべきだ、という主張をサポートする論理が全く展開されていない。
累乗や÷と/についての話をして匿名さんの主張全てに回答した気になっている。
たしかにa^2÷a^2などは累乗などのルールが入ってくるので最適ではないと思うが、最も本質的な回答をしないまま勝ち誇った気になっている管理者さんは支持できない。
ここまで長くなってしまったコメント欄をきちんと読んで理解せよというのは酷なのですが、私は
> ab÷ab=b^2を今後の教育で採択すべきだ、という主張をサポートする論理が全く展開されていない。
ぜんぜんそんなことは主張していません。「すべき」なんて主張していません。中学校数学と高校入試の外の常識やそれ以前に習った原則で考えれば、 ab÷ab=b^2 と解釈するより「しかたがない」と言っています。
「すべき」ことは、むしろ括弧を使うことです。別の解釈をさせたければ ab÷(ab) と、括弧をつかう「べき」です。単項式わる単項式の理解度を計測するのに、括弧を使っても何の不都合もありません。……というのが私の主張です。
なるほど。
イマイチ良くわからないのですが、『中学校数学と高校入試の外の常識やそれ以前に習った原則で考えれば、 ab÷ab=b^2 と解釈するより「しかたがない」と言っています。』とのことですが、どうして「しかたがない」のでしょうか？『中学校数学と高校入試の外の常識』や『それ以前に習った原則』が何のことを言っているのかが良く分かりません。それが『「記号の省略されたかけ算」は「記号の明記されたわり算」より優先する』のことですか？
最初から読ませていた出しましたが，ただただ，乗法と積の違いが理解できていないだけかと思いました。
ab÷abという式がちょうど上にありますが，これをb^2と解するのは無理があります。
割るの後にあるabは積です。積は「乗法の答え」です。
乗法の答えであるのだから，明記されている乗法より先に計算するのが当然です。
だから，ab÷abがab÷a×bと書かれていない以上，後半のabは乗法の答えつまり単一の数として取り扱われます。
括弧は無くてもab÷ab=ab÷(ab)の意味として当然取り扱われるのです。
入試の記法はこれに則ったものであり，適切と言わざるを得ません。これを悪問とは口が裂けても言えないです。（どの教科書でも積は同様に扱われますからね。）
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