Natuurlijke logaritme

Het is gebruikelijk de reeksontwikkeling van de natuurlijke logaritme om 1 te geven, omdat de logaritme voor 0 niet is gedefinieerd. Voor reële getallen ${\displaystyle -1<x<1}$  is:

${\displaystyle \ln(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots =\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}}$ 

• De functie ${\displaystyle \ln(x)}$  heeft gedefinieerd op de positieve reële getallen een reële uitkomst.
• De afgeleide ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ln(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{x}}}$ .
• De inverse functie is de e-macht, dus ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x}$ .
• De natuurlijke logaritme ${\displaystyle \ln(z)}$  van het complexe getal ${\displaystyle z}$  is als volgt gedefinieerd:^[1]

${\displaystyle \ln(z)=\ln(|z|e^{i\arg(z)})=\ln(|z|)+i\arg(z)}$ 

Voor een complex getal ${\displaystyle z}$  gegeven in poolcoördinaten ${\displaystyle z=re^{i\phi }}$  is ${\displaystyle \ln(z)=\ln(r)+i\phi +n2\pi i}$ , met ${\displaystyle r\geq 0}$  en ${\displaystyle n}$  een willekeurig geheel getal. Er wordt voor de uitkomst in het algemeen voor de waarde tussen ${\displaystyle -\pi }$  en ${\displaystyle \pi }$  gekozen.

• Is ${\displaystyle a}$  een algebraïsch getal en verschillend van 1, dan is ${\displaystyle \ln(a)}$  een transcendent getal. Dit volgt uit de stelling van Lindemann-Weierstrass.