Kāpināšana

Kāpināšana ir matemātiska operācija, kas atbilst lieluma atkārtotai reizināšanai ar sevi. Kāpināšanu parasti pieraksta kā aⁿ, kur a ir kāpināmais, n ir kāpinātājs, bet iegūtais rezultāts — pakāpe. Izteiksmi aⁿ lasa kā "a pakāpē n".

Ja kāpinātājs n ir naturāls skaitlis (vesels, pozitīvs skaitlis), tad izteiksme aⁿ atbilst skaitļa a atkārtotai reizināšanai ar sevi n reižu:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\text{ reizes}}}.}$

Tas ir analoģiski tam, kā reizinājums a·n atbilst skaitļa a saskaitīšanai ar sevi n reižu:

${\displaystyle a\cdot n=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n{\text{ reizes}}}.}$

Mazām pakāpēm n ir atvēlēti īpaši nosaukumi:

• Ja n = 2, tad izteiksmi a² = a·a sauc par lieluma ${\displaystyle a}$ kvadrātu, jo pēc šādas formulas aprēķina kvadrāta laukumu;
• Ja n = 3, tad izteiksmi a³ = a·a·a sauc par lieluma a kubu, jo pēc šādas formulas aprēķina kuba tilpumu.

Kāpinot doto lielumu pakāpē −1, iegūst tā apgriezto lielumu:

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}$

Vispārīgā gadījumā, lai aprēķinātu dotā lieluma negatīvu pakāpi, skaitli 1 dala ar atbilstošu lieluma pozitīvo pakāpi:

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}.}$

Kāpināšana mazās pakāpēs

n	an
0	a0 = 1
1	a1 = a
2	a2 = a·a
3	a3 = a·a·a

Lieluma a kāpināšana pakāpē 1 atbilst reizinājumam, kurā a ietilpst tieši vienu reizi, tāpēc rezultāts ir vienāds ar a:

${\displaystyle a^{1}=a.\,}$

Ja jebkuru skaitli, kas atšķirīgs no nulles, kāpina pakāpē 0, tad iegūst skaitli 1:

${\displaystyle a^{0}=1.\,}$

Savukārt nulli nulltajā pakāpē nevar kāpināt (izteiksme 0⁰ ir nenoteiktība).

Kāpinātājs var būt arī racionāls skaitlis, piemēram, izteiksmi

${\displaystyle a^{1/2}={\sqrt {a}}}$

sauc par kvadrātsakni no a. Kāpināšana pakāpē 1/n, kur n ir naturāls skaitlis, atbilst n-tās pakāpes saknes vilkšanai:

${\displaystyle a^{1/n}={\sqrt[{n}]{a}}.}$

Vispārīgā gadījumā, ja pozitīvu skaitli a kāpina racionālā pakāpē m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir vesels, pozitīvs skaitlis, tad iegūst

${\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}.}$

Ja a ir negatīvs, tad šo formulu var lietot tikai tad, ja m ir pāra skaitlis.

Reizinot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju summu:

${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.}$

Līdzīgā kārtā, dalot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju starpību:

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}.}$

Kāpināšana ir distributīva pār reizināšanu:

${\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}.}$

Atkārtotu kāpināšanu var aizstāt ar kāpināšanu pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju reizinājumu:

${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n},}$

taču kāpināšana nav asociatīva:

${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}.}$

Tāpat kā saskaitīšanai pretējā darbība ir atņemšana un reizināšanai pretējā darbība ir dalīšana, kāpināšanai pretējā darbība ir logaritmēšana (ja grib atgūt kāpinātāju) un saknes vilkšana (ja grib atgūt kāpināmo).

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049
4	16	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
8	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

• Kvadrātsakne
• Kubsakne
• Logaritms
• Polinoms
• Saknes vilkšana

• Eric W. Weisstein, Exponentiation, MathWorld.
• Exponential Arhivēts 2010. gada 15. jūnijā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Eric W. Weisstein, Complex Exponentiation, MathWorld.
• Introducing 0th power Arhivēts 2010. gada 20. jūnijā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Exponentiation, answermath.com.
• Exponents Calculator (pakāpju kalkulators).