Topologia polare

Sia ${\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )}$  una coppia duale, cioè una tripla formata da due spazi vettoriali ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  sullo stesso campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$  (dei numeri reali o complessi), e da una forma bilineare ${\displaystyle \langle ,\rangle :X\times Y\to \mathbb {F} }$  tale che:

• ${\displaystyle \forall x\in X\setminus \{0\}\quad \exists y\in Y:\langle x,y\rangle \neq 0}$ 
• ${\displaystyle \forall y\in Y\setminus \{0\}\quad \exists x\in X:\langle x,y\rangle \neq 0}$ 

Un insieme ${\displaystyle A\subseteq X}$  è un insieme limitato in ${\displaystyle X}$  rispetto a ${\displaystyle Y}$  se per ogni elemento ${\displaystyle y\in Y}$  l'insieme dei valori ${\displaystyle \{\langle x,y\rangle ;x\in A\}}$  è limitato in ${\displaystyle \mathbb {F} }$ :

${\displaystyle \sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |<\infty \qquad \forall y\in Y}$ 

Tale condizione è equivalente alla richiesta che l'insieme polare ${\displaystyle A^{\circ }}$  dell'insieme ${\displaystyle A}$  in ${\displaystyle Y}$ :

${\displaystyle A^{\circ }=\{y\in Y:\,\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}}$ 

sia un insieme assorbente in ${\displaystyle Y}$ , ovvero:

${\displaystyle \bigcup _{\lambda \in {\mathbb {F} }}\lambda \cdot A^{\circ }=Y}$ 

Sia ora ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  una famiglia di insiemi limitati di ${\displaystyle X}$  (limitati rispetto a ${\displaystyle Y}$ ) che soddisfi le seguenti proprietà:

• Ogni punto ${\displaystyle x}$  di ${\displaystyle X}$  appartiene a qualche insieme ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ : ${\displaystyle \forall x\in X\,\exists A\in {\mathcal {A}}:x\in A}$ .
• Ogni coppia di insiemi ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$  e ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$  è contenuta in qualche insieme ${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$ : ${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {A}}\,\exists C\in {\mathcal {A}}:A\cup B\subseteq C}$ .
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  è chiusa rispetto alla moltiplicazione per scalare:

${\displaystyle \lambda \cdot A\in {\mathcal {A}}\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}\quad \forall \lambda \in {\mathbb {F} }}$ 

Allora la seminorma:

${\displaystyle \|y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\qquad A\in {\mathcal {A}}}$ 

definisce una topologia di Hausdorff localmente convessa su ${\displaystyle Y}$ , la topologia polare su ${\displaystyle Y}$  generata dalla famiglia di insiemi ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ . Gli insiemi:

${\displaystyle U_{B}=\{x\in V:\quad \|\varphi \|_{B}<1\}\qquad B\in {\mathcal {B}}}$ 

formano una base locale di questa topologia. Una rete di elementi ${\displaystyle y_{i}\in Y}$  tende a un elemento ${\displaystyle y\in Y}$  rispetto a questa topologia se e solo se:

${\displaystyle \|y_{i}-y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y_{i}\rangle -\langle x,y\rangle |{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}}$ 

A causa di ciò, la topologia polare è spesso detta topologia della convergenza uniforme degli insiemi di ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ . La seminorma ${\displaystyle \|y\|_{A}}$  è il gauge dell'insieme polare ${\displaystyle A^{\circ }}$ .

• (EN) A.P. Robertson e W. Robertson, Topological vector spaces, Cambridge University Press, 1964.
• (EN) Helmuth H. Schaefer, Topological vector spaces, New York, The MacMillan Company, 1966, ISBN 0-387-98726-6.

• Forma bilineare
• Insieme polare
• Seminorma
• Spazio duale
• Spazio localmente convesso
• Topologia operatoriale

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